1.3.2. Применение булевой алгебры для описания

Эти элементы реализуют функцию логического умножения (конъюнкции). Функции являются как минимум двухместными либо многоместными и описываются следующими логическими выражениями:

X = a&b = a b = a·b = ab. (1.6)

Символы конъюнкции & и допускается заменять точкой, либо совсем не ставить. Выходной сигнал элемента И принимает значение лог.1 только в том случае, если все входные сигналы принимают значение лог.1. На рис.1.4 приведены условные графические обозначения и карты Карно для двухвходового (рис.1.4,а и б) и трёхвходового (рис.1.4,в и г) логического элемента И.

Рис.1.4. Условные графические обозначения элементов И: двухвходового (а),

трёхвходового (в), карты Карно логических функций 2И (б) и 3И (г)

Как видно из приведённых булевых матриц, конъюнкция равна лог.1 только в единственном случае, когда все аргументы и первый, и второй, и третий и т.д. одновременно принимают значение лог.1. Поэтому такие элементы называют схемами совпадения, реже встречается название «конъюнкторы», а описывающие их функции, иногда функциями И. В сериях ИМС выпускаются различные логические элементы И, например, микросхема К155ЛИ1 содержит 4 элемента 2И (двухвходовых). Отличие заключается в разном числе входов у различных элементов.

Приведёнными на рис.1.4,б и рис.1.4,г матрицами иллюстрируются правила логического умножения, а показанные УГО соответствуют соглашениям положительной логики.

Благодаря справедливым в булевой алгебре переместительному и сочетательному законам, входы логических многовходовых элементов И являются логически равнозначными, а многовходовой логический элемент И можно получить из нескольких двухвходовых элементов И. Так, на рис.1.5 приведе

ны два варианта построения логического элемента И с шестью входами (6И) на двухвходовых элементах И (2И).

Все приведённые на рис.1.5 схемы логически эквивалентны и, в свою очередь, они эквивалентны условному графическому обозначению 6-тивходового логического элемента И (рис.1.5,в). Вместе с тем, схемы описываются различными по форме записи логическими выражениями:

X = ((((a·b)·c)·d)·k)·m ? схема рис. 1.5,а; (1.7)

Y = ((ab)·(cd))·(km) ? схема рис. 1.5,б; (1.8)

а условному обозначению элемента 6И соответствует следующее выражение:

Z = abcdkm. (1.9)

Хотя в соответствии с упомянутыми законами булевой алгебры от перемены мест сомножителей логическое произведение не меняется и скобки в выражениях логического произведения можно не ставить, тем не менее, выражения (1.7), (1.8) и (1.9) несут информацию о способах построения схем. Таким образом, указанные выражения можно считать «логико-математическими моделями» приведённых схем и в том числе УГО элемента 6И.

Следует заметить, что при описании логических комбинационных устройств с помощью булевых выражений, как правило, абстрагируются от фактора времени. Такое описание соответствует описанию устройств в статике при установившихся значениях входных сигналов (и переменных). Считается, что изменение входных и выходных сигналов происходят мгновенно, аналогично меняются значения аргументов и значения самих логических функций. В то же самое время реальные элементы имеют конечное время перехода из одного состояния в другое или, как принято говорить, обладают конечным (не равным нулю) временем распространения сигналов от входов к выходу элемента либо устройства. С учётом сказанного, следует отдать предпочтение схеме рис.1.5,б, в которой время распространения сигналов от входов, помеченных аргументами функций, к выходу схемы в среднем меньше. В источнике [5] содержатся сведения о временных логических функциях, которые можно применять для описания схем с временными задержками.

1.3.6. Логические элементы ИЛИ

Логическими элементами ИЛИ реализуется логическая сумма нескольких двоичных сигналов (и входных переменных). Функция, описывающая такие элементы, называется дизъюнкцией или функцией логического сложения. На рис.1.6 приведены условные обозначения (УГО) элементов ИЛИ и карты Карно описывающих их функций.

Алгебраическое выражение логической суммы двух переменных a и b записывается следующим образом

X = a b = a + b. (1.10)

В булевой алгебре для обозначения дизъюнкции используется символ . В технических же её приложениях обычно применяется знак + (арифметического сложения), но только тогда, когда это не приводит к некорректности при записи формул и логических выражений. (Преимущественно этот знак будет использоваться в дальнейшем для обозначения дизъюнкции.)

Как видно из карт рис.1.6,б и рис.1.6,г, функция логического сложения принимает значение лог.0 только в единственном случае, когда все аргументы принимают значение лог.0. Значение же лог.1 она имеет, если первый аргумент или второй, или третий и т.д., или все вместе аргументы принимают значение лог.1. Поэтому эту функцию называют функцией ИЛИ.

Так же, как и к конъюнкции многих переменных, к дизъюнкции применимы переместительный и сочетательный законы булевой алгебры. И следствием этого является логическая равнозначность входов у логических элементов ИЛИ, а также возможность построения многовходовых элементов ИЛИ из аналогичных элементов, но с меньшим числом входов. Если на рис.1.5 все элементы И заменить двухвходовыми элементами ИЛИ (2ИЛИ), то все выводы, сделанные относительно схем рис.1.5, будут справедливыми для схем, полученных такой заменой. Можно так же записать логико-математические модели для полученных схем и УГО элемента 6ИЛИ, заменив в выражениях (1.7), (1.8) и (1.9) все символы логического умножения знаками + (дизъюнкции).

В различных сериях ИМС имеются логические элементы ИЛИ. Например, в серии ТТЛ это микросхема К155ЛЛ1, она содержит 4 элемента 2ИЛИ.

1.3.7. Логические элементы И-НЕ

Эти элементы реализуют инверсию логического произведения входных сигналов. Другими словами, элементы И-НЕ описываются функцией «отрицания конъюнкции». В булевой алгебре такие функции называются функциями Шеффера, для их обозначения введён специальный символ « ? », называемый штрихом Шеффера. Для простоты чтения мы будем использовать для обозначения функций Шеффера символ инверсии (черта вверху) над выражением конъюнкции переменных. Например, алгебраическая форма записи функции Шеффера от двух аргументов будет иметь следующий вид:

X = a / b = = . (1.11)

В выражении (1.11) знаки равенства соответствуют логической тождественности выражений, причём правая часть выражения соответствует КСНФ функции И-НЕ (функция V₁₃ в табл.1.3). А в целом выражение читается так: «инверсия логического произведения равна логической сумме инверсий аргументов». Это высказывание известно в булевой алгебре как закон де Моргана относительно инверсии логического произведения (инверсии конъюнкции). На рис.1.7 приведены условные графические обозначения элемента 2И-НЕ, его функциональная эквивалентная схема и карта Карно для рассматриваемой функции. Сравнивая карты Карно функций И и функций И-НЕ, нетрудно заметить, что в клетках стоят противоположные значения названных функций. Сопоставляя карты с алгебраическими выражениями функции И и функции И-НЕ, можно сделать следующие выводы:

Каждой единице, стоящей в клетке матрицы, соответствует логическое произведение (конъюнкция) всех аргументов функции; взятых один раз со знаком либо без знака инверсии. Если клетка с единицей располагается на области единичных значений аргумента, то этот аргумент входит в конъюнкцию без инверсии. Если же клетка располагается на области нулевых значений аргумента, то этот аргумент входит со знаком инверсии.

Каждому нулю, стоящему в клетке матрицы, соответствует логическая сумма (дизъюнкция) всех аргументов функции, взятых один раз со знаком либо без знака инверсии. Если клетка с нулём располагается на области единичных значений аргумента, то этот аргумент входит в дизъюнкцию со знаком инверсии. Если же клетка располагается на области нулевых значений аргумента, то этот аргумент входит без знака инверсии.

Эти выводы носят характер правил отыскания ДСНФ (первый вывод) и КСНФ (второй вывод) по булевым матрицам логических функций. Следует только добавить, что для отыскания ДСНФ функции необходимо эти элементарные конъюнкции «соединять» символами дизъюнкции (плюс), а при отыскании КСНФ функции элементарных дизъюнкций следует соединять символами конъюнкции.

Под элементарной конъюнкцией логических функций понимают логическое произведение всех аргументов функции, взятых один раз со знаком либо без знака инверсии.

Под элементарной дизъюнкцией логических функций понимают логическую сумму всех аргументов функции, взятых один раз со знаком либо без знака инверсии.

В сериях микросхем есть элементы И-НЕ, различающиеся числом входов, количеством элементов в одной микросхеме, а также способом организации выхода. Например, микросхема К155ЛА3 содержит 4 элемента 2И-НЕ со стандартной нагрузочной способностью. Микросхема К155ЛА8 содержит один элемент 8И-НЕ с повышенной нагрузочной способностью (она равна 30, а стандартная нагрузочная способность равна 10).

Элемент 2И-НЕ является базовым для микросхем транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ), т.е. этот элемент положен в основу построения всех названных микросхем и в том числе микросхем ТТЛш.

1.3.8. Элементы ИЛИ-НЕ

Функции, описывающие элемент 2ИЛИ-НЕ, в булевой алгебре называют функциями Пирса, для них введён специальный символ (стрелка Пирса). В технических приложениях эти функции называют «инверсией логической суммы (дизъюнкции)» или просто функциями ИЛИ-НЕ. В частности, двухместная функция Пирса, функция 2ИЛИ-НЕ имеет следующие алгебраические выражения:

Z = a b = = . (1.12)

В дальнейшем эти функции будем обозначать символом инверсии над выражением логической суммы. Правая часть выражения (1.12) соответствует утверждению, что «инверсия логической суммы есть в то же самое время логическое произведение слагаемых, взятых с противоположными символами инверсии». Это утверждение является вторым законом де Моргана относительно инверсии дизъюнкции. Согласно выражению (1.12), элемент 2ИЛИ-НЕ можно представить условными графическими обозначениями при соглашениях положительной логики, при соглашениях отрицательной логики и функциональной эквивалентной схемой (рис.1.8).

В интегральном исполнении выпускаются логические элементы ИЛИ-НЕ с различным числом входов. Примером может служить микросхема К155ЛЕ1, содержащая 4 логических элементов 2ИЛИ-НЕ, или К155ЛЕ3 с двумя элементами 4ИЛИ-НЕ. Как и у элементов ИЛИ, так и у элементов ИЛИ-НЕ все входы логически равнозначны.

1.3.9. Элементы «ЗАПРЕТ»

Эти двухвходовые элементы получили такое название потому, что сигнал по одному из входов «запрещает» либо «разрешает» прохождение на выход элемента сигнала, поданного на второй вход. Поэтому один вход называется входом запрета он инверсный, а второй вход называют «информационным». Значения выходного сигнала совпадают со значениями входного информационного сигнала в состоянии разрешения, а в состоянии запрета выходной сигнал имеет значение лог.0 независимо от значения сигнала по информационному входу. В табл.1.3 показаны две функции запрета V₁ (запрет b) и функция V₄ (запрет а). На рис. 1.9 приведены УГО элемента «запрет а» (запрет по а), алгебраическое выражение и карта Карно функции с аналогичным названием и функциональная эквивалентная схема элемента.

При а = 0 значения функции Z совпадают со значением аргумента b.

Если а = 1 (состояние запрета) на выходе элемента будет постоянно сигнал лог.0. Таким образом, вход а является входом запрета, а вход b информационным. Очевидно, такое же УГО будет соответствовать элементу «запрет b» только вход b будет инверсным, а вход а будет прямым. Аналогично в алгебраическом выражении такой функции аргумент b будет со знаком инверсии, аргумент же а войдёт без знака инверсии.

Следует отметить, что у элементов ЗАПРЕТ входы логически неравнозначны. Это в свою очередь означает, что сигналы по входам нельзя менять «местами».

Логические элементы ЗАПРЕТ выпускаются в интегральном исполнении, но не во всех сериях. Например, в серии К161 (на МОП-транзисторах с р-каналом) есть микросхема К161ЛП2, содержащая 4 элемента ЗАПРЕТ с общим входом запрета. На рис.1.9,а приведено условное графическое обозначение (УГО), соответствующее соглашениям положительной логики. Можно составить УГО при соглашениях отрицательной логики. Для этого над правой частью алгебраического выражения функции надо «взять» двойной знак инверсии, затем один знак раскрыть по закону де Моргана:

= . (1.13)

Таким образом, при соглашениях отрицательной логики аналог УГО элемента ЗАПРЕТ будет представлять собой УГО элемента 2ИЛИ-НЕ, только по одному из входов следует поставить указатель инверсии.

1.3.10. Логические элементы «сумматоры по mod2» и

схемы контроля чётности /нечётности

Логическая функция V₅ «неравнозначность» (табл.1.3) принимает значение лог.1 только тогда, когда нечётное число аргументов принимают значение лог.1. Поскольку функции и аргументы могут принимать только два значения, то эта функция равносильна операции сложения по модулю два (mod2) над двоичными числами, отображающими двоичные наборы значений аргументов. Для обозначения этой операции используется символ между аргументами. Эти функции, как минимум двухместные, однако, могут быть многоместными, т.е. зависеть от большего числа аргументов.

Алгебраические формы записи функции сложения по mod2 от двух аргументов имеют следующий вид:

Y = a b = . (1.14)

Правые части выражения (1.14) представляют собой ДСНФ и КСНФ, соответственно. В соответствии с этими формами можно построить функциональные эквивалентные схемы сумматора по mod2 с двумя входами. Эти схемы, а также УГО, рекомендованное ГОСТом, и булева матрица этой функции приведены на рис.1.10.

Обратите внимание, в схеме рис.1.10,а использованы УГО элементов запрета и элемент 2ИЛИ. В схеме рис.1.10,в для реализации дизъюнкции инверсий аргументов применён элемент 2И-НЕ и, кроме того, элементы 2ИЛИ и 2И. Приведённые схемы лишний раз показывают, что функциональных схем для двухвходового сумматора по mod2 можно составить несколько!

Выше, на рис.1.2,а, в качестве примера была приведена карта Карно 4-местной функции сложения по mod2. Она может быть реализована 4-входовым сумматором по mod2 с условным графическим обозначением, аналогичным рис.1.10,г (должно быть 4 входа). Так как от перемены мест слагаемых сумма по mod2 не меняется, то все входы у сумматоров по mod2 логически равнозначны. Заметим ещё раз! Что если число входных сигналов, принявших значение лог.1, чётное, то выходной сигнал сумматора по mod2 будет равен лог.0, т.е. имеет неактивное значение, чётность «не нарушена». Поэтому такие элементы получили название «схем контроля чётности».

Обратите теперь внимание на функцию V₁₀ функцию логической равнозначности, (табл.1.3). Она принимает противоположные значения по сравнению с суммой по mod2, то есть является её инверсией. Поэтому условное графическое обозначение элемента, её реализующего, будет отличаться от рис.1.10,г лишь наличием указателя инверсии на выходе элемента.

Используя алгебраические выражения двухместной функции равнозначности (1.15), можно получить функциональные эквивалентные схемы двухвходового сумматора по mod2 с инверсным выходом (2-НЕ).

X = = = . (1.15)

Карта Карно этой функции будет отличаться от карты рис.1.10,б тем, что в клетки следует ставить противоположные значения (нули заменить единицами, а единицы ? нулями). Нетрудно установить смысловое значение этой функции, поскольку она принимает значение лог.1 при чётном числе и значение лог.0 при нечётном числе единичных значений её аргументов. Схемы же её реализующие получили название «схем контроля нечётности».

В интегральном исполнении выпускаются логические элементы 2, например, микросхема К155ЛП5 содержит 4 таких элемента.

Есть микросхемы, выполняющие функцию многовходового сумматора по mod2 с прямым и инверсным выходом. Например, микросхема К155ИП2 является 8-разрядной схемой контроля чётности/ нечётности с прямым и инверсным выходом и с двумя управляющими входами. Такой микросхемой реализуются одновременно функция 8 и функция 8-НЕ. Условное графическое обозначение этой микросхемы и таблица, описывающая режимы работы ИМС, приведены на рис.1.11.

В табл.1.4, в столбцах значений выходных сигналов X и Y, приведены сокращённые алгебраические выражения одноимённых выходных функций. Из этих выражений следует, что при комбинации сигналов на управляющих входах v₁ =0 и v₂ =1 на выходе X будет реализована сумма по mod2 всех восьми информационных сигналов. В то же самое время на выходе Y будет реализована инверсия этой суммы. Кроме того, из таблицы видно, что при комбинациях сигналов на управляющих входах 0-0 либо 1-1 микросхема оказывается в «нерабочем» состоянии, когда на обоих выходах сигналы принимают одинаковые значения независимо от значений входных информационных сигналов.

1.3.11. Мажоритарные логические элементы

Эти элементы описываются логическими функциями, у которых число аргументов больше двух и является нечётным. Соответственно у любого мажоритарного элемента число входов всегда нечётное. Выходной сигнал принимает активное значение, когда большинство входных сигналов принимают активные значения. Поэтому такими элементами реализуется «принцип большинства» в обработке или в приёме сигналов.

Допустим, что за активное значение входных и выходного сигналов принят уровень лог.1. Тогда у мажоритарного элемента « 2 из 3-х» (с тремя входами) сигнал на выходе будет равен лог.1, если два (любых) либо все три входных сигнала принимают значение лог.1.

На рис.1.12 приведены УГО такого элемента, карта Карно выходной функции и функциональная его эквивалентная схема.

По карте функции F можно найти её минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ):

F = ab + bc + ac. (1.16)

Этой формулой непосредственно описывается схема рис.1.12,б. Как видно по карте Карно (рис.1.12,в), единицы стоят в клетках, расположенных на областях единичных значений двух и всех трёх аргументов. По аналогии можно построить карту Карно для мажоритарного элемента «3 из 5-ти», найти минимальное алгебраическое выражение его выходной функции, а затем построить функциональную схему.

В интегральном исполнении мажоритарные элементы есть, но не во всех сериях. Например, в серии КР1533 есть микросхема КР1533ЛП3, представляющая собой три мажоритарных элемента «2 из 3-х» с инверсным общим входом управления. Сигнал лог.0 по входу управления разрешает выполнение функций мажоритарности, а сигнал лог.1 запрещает их реализацию. Функциональная схема этой микросхемы и её УГО приведены на рис.1.13. Сопоставляя функциональную схему рис.1.13,б со схемой мажоритарного элемента рис.1.12,б, можно понять, как организовано управление, и какие значения принимают выходные сигналы при подаче на управляющий вход (он помечен на УГО меткой «Е») сигнала лог.1. (На УГО и соответственно на схеме рис.1.13,б цифры означают номера выводов микросхемы.)

Есть мажоритарные элементы с инверсным выходом, например, микросхемы 533ЛП3 и КР134ЛП3 содержат по три таких элемента. В этом случае принцип «большинства» будет реализован относительно сигналов низкого уровня (сигналов лог.0). Следует также заметить, у мажоритарных элементов, как и у элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ, все входы логически равнозначны, т.е. порядок подачи входных сигналов не имеет существенного значения.

1.3.12. Элементы «логического порога» и элементы

«исключающее ИЛИ»

Среди многовходовых логических элементов можно выделить группу элементов, у которых выходной сигнал принимает активное значение только в тех случаях, когда определённое заданное число входных сигналов также принимают активное значение. Такие элементы принято называть элементами «логического порога». В частности, если выходной сигнал принимает значение лог.1, когда только один и только один из входных сигналов принимает значение лог.1, то такие элементы называют элементами «исключающее ИЛИ». Это тоже элементы логического порога, только «порог» равен единице. Для них ГОСТами также регламентировано УГО, в основное поле которого помещается метка «=1» (для элементов исключающее ИЛИ), либо метка вида «=n», где n целое число меньше числа входов у логического элемента.

Так, на рис.1.14 приведены УГО элемента исключающее ИЛИ с тремя входами, УГО элемента логического порога «=2 из 4-х», карты Карно их выходных функций и функциональные эквивалентные схемы.

Анализируя приведённые карты Карно функций X и Y, замечаем, что минимальных дизъюнктивных алгебраических форм у этих функций нет (о визуально-матричном способе минимизации логических функций будет сказано ниже). Поэтому функциональные схемы названных элементов можно построить, найдя алгебраические выражения в ДСНФ либо в других формах.

Так, схема рис.1.14,д получена по следующему выражению:

X = . (1.17)

Это ДСНФ функции «исключающее ИЛИ». Если бы аналогично находить выражение функции Y, то оно состояло бы из 6 дизъюнктивных членов (слагаемых), каждый из которых представлял бы произведение всех 4-х аргументов. Тогда функциональная схема элемента логического порога «=2 из 4-х» состояла бы из элемента 6ИЛИ, шести логических элементов 4И и из 4-х элементов НЕ. Схема же на рис.1.14,е получена по следующему логическому выражению:

Y = (ad)(bc) + (ab)(cd). (1.18)

О правилах получения подобного рода алгебраических выражений по булевым матрицам логических функций речь будет идти ниже. Сейчас же уместно напомнить, что сумма по mod2 отображается на картах Карно шахматным узором расположения единиц и нулей. Так, выражение (1.18) получено по выделенным различной заливкой «частным шахматным узорам» (рис.1.14,г) для функции Y с применением операции выноса за скобки общих сомножителей. Аналогичное выражение можно было бы получить и для функции «исключающее ИЛИ» по карте рис.1.14,б.

Следует отметить, что в частном случае, когда число входов у элемента «исключающее ИЛИ» равно двум, то эта функция тожественно равна функции сложения по mod2 от двух аргументов (2). К сожалению, в интегральном исполнении логические элементы «исключающее ИЛИ» и «логического порога» при числе входов более двух не выпускаются.

1.3.13. Логические элементы «ИМПЛИКАТОРЫ»

Эти логические элементы описываются функцией «импликация» (табл.1.3 функции V₁₁ и V₁₄).

V₁₁ = b a = ,

V₁₄ = a b = . (1.19)

Первая из функций называется «импликация b», а вторая «импликация а». На рис.1.15 приведены условные графические обозначения логического элемента ИМПЛИКАТОР а и карта Карно его выходной функции. Правые части выражений (1.19) свидетельствуют о том, что функция импликации в то же самое время является инверсией функции ЗАПРЕТ.

Из карты рис.1.15,в следует, что функция импликации ложна только в том случае, когда один из аргументов принимает ложное значение, а другой истинное.

В интегральном исполнении ИМПЛИКАТОРЫ в сериях ИМС широкого применения практически не выпускаются. Вместе с тем, согласно УГО рис.1.15,а и в, функцию импликации можно реализовать элементом 2ИЛИ, подав сигнал на его один из входов через инвертор, либо на элементе ЗАПРЕТ, включив на его выход инвертор. Эти функциональные эквивалентные схемы мы не приводим, из-за их тривиальности.

Следует отметить, что входы у логических элементов импликаторов логически неравнозначны, поэтому порядок подачи входных сигналов строго фиксирован.

1.3.14. Многофункциональные логические элементы

Выше были рассмотрены «простые» логические элементы, которые реализуют простые либо достаточно простые логические операции. Вместе с тем, в интегральном исполнении выпускаются более сложные логические элементы (ЛЭ), которые способны реализовать (одновременно, либо путём перекоммутации входов к шинам лог.0 или лог.1) несколько простых функций. По сути, эти элементы допускают возможность реализации многоместных логических функций по фрагментам их нормальных дизъюнктивных, либо нормальных конъюнктивных алгебраических форм. В табл.1.2 уже были приведены названия интегральных схем по функциональному назначению и их условные обозначения. Рассмотрим только наиболее широко применяемые многофункциональные ЛЭ.

Логические элементы И-ИЛИ-НЕ

Такие элементы реализуют инверсию дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) алгебраических выражений функций, что эквивалентно реализации конъюнктивных нормальных форм (КНФ) этих функций. Так, на рис.1.16 приведены УГО микросхем К155ЛР1 и К155ЛР3. В микросхеме К155ЛР1 содержится два элемента 2-2И-2ИЛИ-НЕ, а микросхема К155ЛР3 представляет собой один элемент 2-2-2-3И-4ИЛИ-НЕ, расширяемый по ИЛИ.