Исходные данные вариант №21

Номинальная величина 56

Количество измерений 56

Исходные данные - таблица 1.2

3,18	3,80	3,32	3,27	3,73	3,64	3,08
3,53	3,03	2,58	3,41	3,16	2,75	2,51
2,43	2,96	3,33	2,98	3,29	3,24	2,45
2,35	3,33	2,79	2,22	3,00	3,04	2,94
3,57	3,49	2,93	2,14	3,30	3,05	2,37
2,16	3,79	3,37	2,49	3,16	2,59	2,96
2,65	3,64	2,95	2,75	2,76	3,23	3,73
2,73	3,67	3,43	2,38	2,76	3,21	2,07

2. Математическая обработка результатов

Исходные данные вариант №21

Номинальная величина 56

Количество измерений 56

Таблица 2.1

3,18	3,80	3,32	3,27	3,73	3,64	3,08
3,53	3,03	2,58	3,41	3,16	2,75	2,51
2,43	2,96	3,33	2,98	3,29	3,24	2,45
2,35	3,33	2,79	2,22	3,00	3,04	2,94
3,57	3,49	2,93	2,14	3,30	3,05	2,37
2,16	3,79	3,37	2,49	3,16	2,59	2,96
2,65	3,64	2,95	2,75	2,76	3,23	3,73
2,73	3,67	3,43	2,38	2,76	3,21	2,07

Многократные измерения проводятся для определения с заданной вероятностью погрешности измерений. В основу вероятностной оценки погрешности измерения положено допущение случайного характера этой погрешности, что правомерно в случае исключения систематической составляющей погрешности измерения, которая обязательно присутствует в любом результате измерения. Поскольку полное исключение систематической составляющей погрешности измерения невозможно, удовлетворительной следует считать такую ситуацию, когда остаточная /не исключенная/ систематическая составляющая пренебрежимо мала по сравнению со случайной составляющей погрешности измерения.

Математическая обработка результатов многократных измерений выполняется на базе теории вероятностей и математической статистики,

причем обработке подлежат только исправленные результаты измерений, т.е. результаты, полученные после исключения систематических погрешностей измерения. В результате обработки, как правило, получают результат измерения в стандартной форме:

А , Р,

где А- результат измерения в единицах измеряемой величины / за результат измерения принимают среднее арифметическое значение исправленных результатов измерений/,

- граница погрешности измерения в тех же единицах / за границу погрешности измерения принимают значение =Д=tx /.

Р- установленная вероятность, с которой погрешность измерения находится в указанных границах.

Порядок математической обработки прямых измерений можно представить следующим образом:

1. Рассчитать среднее арифметическое значение, принимаемое за результат измерения.

2. Вычислить N отклонений от среднего

Таблица 2.2. Отклонение от среднего арифметического

0,17	0,79	0,31	0,26	0,72	0,63	0,07
0,52	0,02	-0,43	0,4	0,15	-0,26	-0,5
-0,58	-0,05	0,32	-0,03	0,28	0,23	-0,56
-0,66	0,32	-0,22	-0,79	-0,01	0,03	-0,07
0,56	0,48	-0,08	-0,87	0,29	0,04	-0,64
-0,85	0,78	0,36	-0,52	0,15	-0,42	-0,05
-0,36	0,63	-0,06	-0,26	-0,25	0,22	0,72
-0,28	0,66	0,42	-0,63	-0,25	0,2	-0,94

3. Проверить равенство нулю суммы отклонений / несоблюдения равенства свидетельствует об ошибке в вычислении i или x /.

i=-0,11

4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов измерений

x=

5. Проверить согласие опытного распределения случайной величины с теоретическим / проверка выполняется в соответствии с ГОСТ 11.006-74 /.

В случае обоснованного предположения о нормальном распределении значений измеряемой величины, проверка гипотезы проводится с уровнем значимости от 10% до 2% по ГОСТ 8.207-76.

Необходимо иметь в виду, что критериями Колмогорова и Пирсона по ГОСТ 11.006-74 можно использовать для объёма выборки N50 и для выборки объёма 3-50 наблюдений применяется специальный критерий W.

Критериями Колмогорова и 2 можно пользоваться только для распределений непрерывных случайных величин.

Остановимся на критерии 2. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе нормального распределения. Сумма квадратов разностей частот по интервалам не должна превышать значений 2, для составлены таблицы в зависимости от уровня значимости критерия q и числа степеней свободы

k=L-3,

где, L-число интервалов.

6. Группируют наблюдения по интервалам.

Таблица 2.3

2,07-2,42	2,42-2,77	2,77-3,12	3,12-3,47	3,47-3,8
2,07	2,43	2,79	3,16	3,49
2,14	2,45	2,93	3,16	3,53
2,16	2,49	2,94	3,18	3,57
2,22	2,51	2,95	3,21	3,64
2,35	2,58	2,96	3,23	3,64
2,37	2,59	2,96	3,24	3,67
2,38	2,65	2,98	3,27	3,73
	2,73	3	3,29	3,73
	2,75	3,03	3,3	3,79
	2,75	3,04	3,32	3,8
	2,76	3,05	3,33
	2,76	3,08	3,33
			3,37
			3,41
			3,43

Для каждого интервала находим вычисляем середину хi0

Х10	Х20	Х30	Х40	Х50
2,25	2,60	2,95	3,30	3,65

Подсчитываем число наблюдений, попавшие в каждый интервал

7	12	12	15	10

7. Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее нормальному распределению.

Для этого сначала от реальных середин интервалов хi0 переходим к нормированию:



z2	z2	z3	z4	z5
-1,65	-0,89	-0,13	0,63	1,39

Затем для каждого значения zi находят значение функции плотности вероятностей. Вычисление f(xi) ведется с помощью табл. II-I приложения.

f(z1)	f(z2)	f(z3)	f(z4)	f(z5)
0,1023	0,2685	0,3956	0,3271	0,1518

Теперь можно вычислить ту часть общего числа имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов:

где n-общее число наблюдений, -длина интервала, принятая при построении гистограммы.

4,36	11,44	16,86	13,94	6,47

Затем определяют число степеней свободы

,

Вычисляют показатель разности частот 2:

, где

1,60	0,027	1,40	0,081	1,93

Таблица 4. Исходные данные и промежуточные выкладки для вычисления

№ интервала	Середина интервала	Эмперическое число наблюдений в интервале	Длина интервала	Нормированные середины интервала	Функция плотности вероятности	Теоретическое число наблюдений в интервале	Показатель разности частот
1	2,25	7	0,35	-1,65	0,1023	4,36	1,60
2	2,60	12	0,35	-0,89	0,2685	11,44	0,027
3	2,95	12	0,35	-0,13	0,3956	16,86	1,40
4	3,30	15	0,35	0,63	0,3271	13,94	0,081
5	3,65	10	0,35	1,39	0,1518	6,47	1,93

8. По уровню значимости q и числу степеней свободы k в табл. В-3 находим границу критической области , так как гипотеза о нормальности принимается.

9. Обнаружение грубых погрешностей.

Задачи решаются статическими методами, основанными на том, что распределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным.

В дальнейшем были табулированы q-процентные точки распределение максимальных по модулю отклонений результатов наблюдений от их среднего значения

,

.

Чтобы проверить возможность отбросить наблюдение хв , нужно сначала вычислить

,

.

Затем, выбрав уровень значимости q=5%, нужно найти в таблице В-6 значение , отвечающее этому уровню и числу наблюдений. Так как , то можно отбросить.

Затем, выбрав уровень значимости q=5%, нужно найти в таблице В-6 значение , отвечающее этому уровню и числу наблюдений.

Так как , то не отбрасывается.

10. Критерий 1. По данным наблюдений вычисляем значение параметра d по формуле

где

Выбираем затем уровень значимости критерия и по табл. П - 4 находим и , и гипотеза о нормальности по критерию I принимается, так как d лежит в пределах.

11. Критерий 2. Этот критерий введен дополнительно для проверки "концов" распределений.

Принимаем, что гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более 2-ух разностей превзошли , где вычисляется по формуле, а - верхняя - процентная квантиль нормированной функции Лапласа (табл. П-2);

m=2 n=23 б=0,95 Z0,475=1,96 x=0,46

По критерию 2 гипотеза отвергается.

Теория о нормальности принимается, если для проверяемых групп данных выполняются оба критерия. В данном случае гипотеза о нормальности принимается.

12. Доверительные интервалы.

Обычно доверительные интервалы строят, основываясь на распределении Стьюдента, которым называют распределения случайной величины

, ,

,

- оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического вычисляемая по формуле приведенной выше.

Доверительный интервал отвечает вероятности

где - q-процентная тачка распределения Стьюдента; значение находят в таблице В-7 по числу степеней свободы к=n-1=56-1=55 по уровню значимости q=5%.

Иногда строят доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения. Для этого используют распределение, приведенное в табл.В-7 3. Доверительный интервал с границами и для вероятности

}=,

т.е. ,

находят следующим образом. В табл. В-3 даны вероятности P{}. Значение находят из таблицы для а x-для .

13. Толерантные интервалы

Толерантный интервал - интервал для случайной величины, и этим он в принципе отличается от доверительного интервала, который строится, чтобы накрыть неслучайную величину.

Границы толерантного интервала:

и вычисляются по формулам и на основе имеющейся группы данных.

Толерантный множитель вычисляется по формуле:

,

где и определяется по уравнениям

Отсюда

.

Значения Ф (Z) приведены в табл. В-2.

и

14. Строю точечную диаграмму результатов измерений (см. приложение 5)

Проверка допустимости различия между оценками дисперсий выполняется с помощью критерия Р. Фишера в случае двух групп наблюдений.

Таблица 2.5

1-я группа	2-я группа
3,18	2,14
3,53	2,49
2,43	2,75
2,35	2,38
3,57	3,73
2,16	3,16
2,65	3,29
2,73	3,00
3,80	3,30
3,03	3,16
2,96	2,76
3,33	2,76
3,49	3,64
3,79	2,75
3,64	3,24
3,67	3,04
3,32	3,05
2,58	2,59
3,33	3,23
2,79	3,21
2,93	3,08
3,37	2,51
2,95	2,45
3,43	2,94
3,27	2,37
3,41	2,96
2,98	3,73
2,22	2,07

.

Затем по таблице В-8 и В-9, где приведены вероятности , .

Гипотеза принимается, т.е. оценки дисперсии можно считать отвечающей одной и той же дисперсии, так как неравенство выполняется.

Метод М. Бартлетта

Теперь пусть у нас L=4 групп и для них найдены - несмещенные оценки дисперсии групп наблюдений (L>2), каждая из которых имеет степеней свободы, причем все .

Таблица 2.6

1-ая группа	2-ая группа	3-ая группа	4-ая группа
3,18	3,64	2,14	3,24
3,53	3,67	2,49	3,04
2,43	3,32	2,75	3,05
2,35	2,58	2,38	2,59
3,57	3,33	3,73	3,23
2,16	2,79	3,16	3,21
2,65	2,93	3,29	3,08
2,73	3,37	3,00	2,51
3,80	2,95	3,30	2,45
3,03	3,43	3,16	2,94
2,96	3,27	2,76	2,37
3,33	3,41	2,76	2,96
3,49	2,98	3,64	3,73
3,79	2,22	2,75	2,07

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий групп основана на статистике

,

где , .Если гипотеза о равенстве дисперсии верна, то отношение



Из табл. В-3 находим такое, что . Так как неравенство , то различия между оценками дисперсии допустимы.

Проверка допустимости различий между средними арифметическими

Различия между оценками дисперсий не допустимы.

Если дисперсии групп неизвестны, то задача решается лишь при условии, что обе группы имеют одинаковые дисперсии. В этом случае вычисляется



Метод Фишера состоит в сравнении оценок межгрупповой дисперсии и средней дисперсии групп

Таблица 2.7

1-ая группа	2-ая группа	3-ая группа	4-ая группа
3,18	3,64	2,14	3,24
3,53	3,67	2,49	3,04
2,43	3,32	2,75	3,05
2,35	2,58	2,38	2,59
3,57	3,33	3,73	3,23
2,16	2,79	3,16	3,21
2,65	2,93	3,29	3,08
2,73	3,37	3,00	2,51
3,80	2,95	3,30	2,45
3,03	3,43	3,16	2,94
2,96	3,27	2,76	2,37
3,33	3,41	2,76	2,96
3,49	2,98	3,64	3,73
3,79	2,22	2,75	2,07

,

где и

(оценка имеет k1 =L-1=4-1=3 степеней свободы);



(число степеней свободы =52).

Обе оценки дисперсий имеют - распределение с числом степеней свободы соответственно и . Их отношение имеет распределение Фишера с теми же степенями свободы.

Рассеивание средних арифметических считывают допустимым, если при выбранной вероятности лежит в пределах и :

Верхние пределы распределения Фишера приведены в табл. В-8 и В-9, нижние находят по соотношению ,так как неравенство выполняется, то рассеивание средних арифметических допустимо

Метод Аббе менее чувствителен к рассеиванию средних арифметических, чем метод Фишера, но зато позволяет выявить монотонные смещения средних арифметических.

Таблица 2.8

1-ая группа	2-ая группа	3-ая группа	4-ая группа
3,18	3,64	2,14	3,24
3,53	3,67	2,49	3,04
2,43	3,32	2,75	3,05
2,35	2,58	2,38	2,59
3,57	3,33	3,73	3,23
2,16	2,79	3,16	3,21
2,65	2,93	3,29	3,08
2,73	3,37	3,00	2,51
3,80	2,95	3,30	2,45
3,03	3,43	3,16	2,94
2,96	3,27	2,76	2,37
3,33	3,41	2,76	2,96
3,49	2,98	3,64	3,73
3,79	2,22	2,75	2,07

Средние арифметические значения групп следует выписать в последовательности, соответствующей очередности их получения.

Затем находим две несмещенные оценки дисперсии группы средних арифметических: одну - по обычной формуле

где и

вторую - по формуле

,

где , …; , … ; ;

, , .

Отношение должно быть меньше . Критические значения в зависимости от уровня значимости q и числа групп L приведены в табл. В-10.

Раxспределение средних арифметических по методу Аббе является монотонным.

14.Вычислить оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического исправленных результатов, т.е. результата измерения

.

15. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения. Обычно доверительная вероятность принимается Р=0,95, в ответственных случаях берут Р=0,99 и выше:

16. Записать результат измерения в стандартной форме:

, где () при Р=0,95.

Заключение

При выполнении курсового проекта были решены следующие практические задачи:

? сформулирована цель: определение уровня сыпучих материалов с помощью уровнемера;

? подобран прибор для измерения уровня сыпучих материалов - радарный уровнемер SITRANS LR200, потому что этот прибор отвечает заданной точности (точность прибора определяем из расчетов); соответствует требуемой экономичности измерений.

? выполнены многократные измерения уровня сыпучих материалов, проведена математическая обработка результатов измерений, воспользовавшись при этом проверкой по:

- критерию Пирсона (ч2) - гипотеза о нормальности распределения случайных величин принимается, т.к. полученное значение входит в пределы допустимых;

- критерию I - гипотеза о нормальности распределения случайных величин принимается, d лежит в допустимых пределах: и ;

- критерию II - гипотеза о нормальности принимается, т.к. число разностей не равно нулю;

- построили доверительный интервал, он будет следующим: (2,89;3,13);

- толерантный интервал, его границы: [0,67;5,35]

Проверили однородность наблюдений: по критерию Фишера. Рассеивание средних арифметических считаем допустимым, т.к. F лежит в пределах Fн и Fв.

Проверив однородность наблюдений по критерию Аббе, делаем вывод, что измерения можно осуществить с требуемой точностью.

В результате получили:

Доверительные границы погрешности: ;

Результат измерения в стандартной форме при Р=0,95.

Список использованных источников

1. "Автоматизация технологических процессов пищевых производств". Под редакцией профессора Е.Б. Карнина. - М. "Пищевая промышленность" 1997г.

2. Пронько В.В. Технологические приборы и КИП в пищевой промышленности. - М.: Агропроиздат. - 1989.

3. Исаакович Р.Я. "Технологические измерения и приборы". - М: "Недра" 1979 г.

4. Автоматизация производственных процессов и АСУ ТП в пищевой промышленности / Л.А. Широков. В.И. Михаилов и др.; под ред. Л.А. Широкова. - М.: Агропромиздат. - 1986.

5. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учеб. для вузов -- М.: Высш. шк., 2001.

6. Назаров В.Н., Карабегов М.А., Мамедов Р.К. Основы метрологии и технического регулирования: Учебное пособие -- СПб: СПбГУ ИТМО, 2008.

7. Шишкин И.Ф., Яншин В.Н. Прикладная метрология: Учебник для вузов. - М.: РИЦ "Татьянин день", 1993. -- 150 с.

Приложения

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Размещено на Allbest.ru