В таблице 3.1 использованы следующие условные обозначения:

· исх - исходящий трафик от сервера к клиенту переданной информации в единицу времени [bits/sec];

· вхд - входящий трафик от клиента к серверу переданной информации в единицу времени [bits/sec];

· сумма - суммированный исходящий и входящий трафик переданной информации в единицу времени [bits/sec];

· cpu - загрузка центрального процессора сервера представлена в виде % от максимально допустимой.

Рис 3.1 Пропускная способность канала корпоративной сети с защищенным каналом с серверной операционной системой Windows Server 2003.

На рис. 3.1 использованы следующие условные обозначения:

***_* пример (128_1);

*** - размер ключа шифрование в битах 128, 256;

* - количество удаленных клиентов при тестировании сети.

P - пропускная способность защищенного канала, принимается значение в единицу времени [bits/sec]

Результаты тестирования для варианта используемых ОС: сервер - Fedora core, клиент - Windows XP, представлены в таблице 3.2

В таблице 3.2 использованы следующие условные обозначения:

· исх - исходящий трафик от сервера к клиенту переданной информации в единицу времени [bits/sec];

· вхд -входящий трафик от клиента к серверу переданной информации в единицу времени [bits/sec];

· сумма - суммированный исходящий и входящий трафик переданной информации в единицу времени [bits/sec];

· cpu - загрузка центрального процессора сервера представлена в виде % от максимально допустимой.

Рис 3.2 Пропускная способность канала корпоративной сети с защищенным каналом с серверной операционной системой Fedora core.

На рис. 3.2 использованы следующие условные обозначения:

***_* пример (128_1);

*** - размер ключа шифрование в битах 128, 256;

* - количество удаленных клиентов при тестировании сети;

P - пропускная способность защищенного канала, принимается значение в единицу времени [bits/sec].

Всего было проведено 360 опытов, и на их основе построен сводный график, представляющий общую зависимость пропускной способности защищенного канала сети.

канал алгоритм шифрование регрессионный

Рис 3.3 Пропускная способность канала корпоративной сети с защищенным каналом для альтернативных вариантов серверных ОС.

На рис 3.3 использованы следующие условные обозначения:

· OS -тип сетевой операционной системы (MS Windows Server 2003 - win, Fedora core 8 - lin);

· KEY - в bit (бит) - длинна ключа, установленного для используемого протокола шифрования (использована группа протоколов AES-xxx-CBC, в название которой вместо ххх - длины ключа использовано значение 256 бит);

· C - количество удаленных узлов, одновременно осуществляющих обмен данными с сервером VPN;

· P - пропускная способность защищенного канала, принимается значение в единицу времени [bits/sec]

Рис 3.4 График загрузки центрального процессора для альтернативных вариантов серверных ОС.

На рис 3.4 использованы следующие условные обозначения:

· OS -тип сетевой операционной системы (MS Windows Server 2003 - win, Fedora core 8 - lin);

· KEY - в bit (бит) - длинна ключа, установленного для используемого протокола шифрования (использована группа протоколов AES-xxx-CBC, в название которой вместо ххх - длины ключа использовано значение 256 бит);

· C - количество удаленных узлов, одновременно осуществляющих обмен данными с сервером VPN;

· L - загрузка центрального процессора сервера представлена в виде % от максимально допустимой

Анализ графиков, представленных на рис. 3.3, рис. 3.4, позволяет сделать следующие выводы:

1. При прочих одинаковых условиях сбора статистики, ОС семейства Fedora core обеспечивают большую производительность по сравнению с ОС Windows 2003 в условиях защищенного канала.

2. В условиях работы ОС Fedora core увеличение количества удаленных клиентов не значительно сказывается на пропускной способности защищенного канала, чего нельзя сказать при использование ОС семейства MS Windows Server 2003, для неё характерны большие нагрузки на производительность канала;

3. Так же исходя, из проведенных тестирований, можно сделать вывод, что для современных компьютеров серверного класса длина ключа шифрования защищенного канала незначительно сказывается на общей производительности системы.

4. В условиях работы ОС Fedora core нагрузка на центральный процессор значительно меньше, особенно при увеличении количества узлов сети. Для ОС семейства MS Windows Server 2003 характерны достаточно большие нагрузки на ЦП.

3.1.2 Разработка модели функционирования сети

С целью автоматизации выбора оптимальных параметров в защищённом канале корпоративной сети, построенной на базе OpenVPN, необходимо построить функцию отклика, которая будет идентифицировать пропускную способность канала в зависимости от воздействующих факторов: операционной системы, длины ключа, количества узлов корпоративной сети . Математическим аппаратом, который позволяет решить данную задачу, является Метод Группового Учёта Аргументов (Group Method of Data Handling). Он применяется в самых различных областях для анализа данных и отыскания знаний, прогнозирования и моделирования систем, оптимизации и распознавания образов. Индуктивные алгоритмы МГУА дают уникальную возможность автоматически находить взаимозависимости в данных, выбрать оптимальную структуру модели или сети и увеличить точность существующих алгоритмов.

Этот подход самоорганизации моделей принципиально отличается от обычно используемых дедуктивных методов. Он основан на индуктивных принципах - нахождение лучшего решения основано на переборе всевозможных вариантов.

При помощи перебора различных решений подход индуктивного моделирования пытается минимизировать роль предпосылок автора о результатах моделирования. Компьютер сам находит структуру модели и законы, действующие в объекте. Он может быть использован при создании искусственного интеллекта как советчик для разрешения споров и при принятии решений.

Другим достоинством МГУА является то, что он гарантирует помехоустойчивость получаемых моделей. Чем больше степень неточности данных, характеризуемая отношением мощности помехи к мощности точных данных, тем проще модель оптимальной сложности, поэтому МГУА при увеличении помех выбирает все более узкие границы области моделирования и все более простые структуры моделей. Таким образом, при самоорганизации модели на ЭВМ выбирается структура, ближайшая к оптимальной для каждого уровня отношения помеха-сигнал.

Исходя из вышеизложенного, МГУА - наиболее удобное средство для решения задачи количественной идентификации системы, которая позволяет получить объективную, помехоустойчивую, непротиворечивую модель оптимальной структуры.

Для подготовки элементов выборки к использованию в МГУА необходимо произвести ее цензурирование, т.е. приведение к отрезку [0,1].

Для нормальной случайной величины 99,7% значений находятся внутри интервала

где - среднее значение, -дисперсия этой величины, поэтому значения, находящиеся вне этого интервала, как правило, порождены разными погрешностями и являются выбросами, а, значит, такие наблюдения должны быть удалены из выборки.

После цензурирования выборки все ее значения приводятся к отрезку [0,1] по формуле

(3.1)

Необходимость такого приведения вызвана большим числом арифметических операций на элементах выборки в МГУА, что при разных порядках чисел ведет к накоплению больших погрешностей и плохой сходимости метода.

Для восстановления зависимости используется полиномиальный итерационный алгоритм МГУА, в результате работы которого должна быть получена зависимость

(3.2)

где l - число элементов в исходном базисе факторов;

m - число слагаемых модели с ненулевыми значениями коэффициентов, называемое сложностью модели.

Перед началом работы алгоритма выборка делится на две части: рабочую, по которой модель строится, и экзаменационную - на ней она проверяется.

Одна из основных трудностей при применении методов перекрестного обоснования, частным случаем которых является МГУА, связана с разбиением выборки на два подмножества - рабочую и экзаменационную части. Поскольку модель в значительной степени определяется рабочей частью выборки, необходимо, чтобы объем рабочей части был больше, и чтобы и в рабочую, и в экзаменационную часть попадали наблюдения со всего интервала множества значений, поэтому перед запуском алгоритма МГУА, полезно упорядочить наблюдения в выборке по возрастанию отклика, а, затем, выбирать данные для экзаменационной части через некоторое одинаковое число наблюдений.

Рассмотрим подробнее процедуру МГУА.

В качестве нулевого приближения берется множество моделей сложности 1, это сами значения факторов. Таким образом, первоначальная модель имеет вид где коэффициент определяется итерационным методом наименьших квадратов (МНК) по рабочей части выборки, после этого по экзаменационной части выборки определяется F наилучших моделей с помощью внешнего критерия регулярности - минимума евклидовой нормы вектора невязки между реальным значением отклика и значением, полученным по проверяемой модели

, (3.3)

где - число элементов в экзаменационной части выборки.

Для формирования базиса переменных дальнейших шагов итерационной процедуры используется функция , которая из F лучших моделей предыдущего шага и l исходных переменных формирует базисные переменные следующего шага, например,

. (3.4)

Число F передаваемых от шага к шагу наилучших моделей называется свободой выбора метода.

При формировании базиса r-го шага учитывается тот факт, что на r-м шаге сложность модели не должна превышать r. Параллельно с процессом построения базиса идет построение набора коэффициентов для этого базиса итерационным МНК по рабочей части выборки и вычисление критерия регулярности по экзаменационной части. В памяти ЭВМ в каждый момент времени сохраняются только F лучших моделей. При исчерпании множества базисов r-го шага осуществляется переход к следующему (r+1)-му шагу.

Процесс останавливается при выполнении следующего неравенства:

(3.5)

и за результат принимается лучшая модель (r-1) шага.

Теперь рассмотрим подробнее процедуру подбора коэффициентов модели по заданной структуре модели итерационным МНК.

Пусть задана структура модели сложности , необходимо подобрать коэффициенты , чтобы приблизить значения отклика из рабочей части выборки:

(3.6)

с точностью до заданного , чтобы минимизировать взвешенную сумму квадратов отклонений:

(3.7)

где Np - число наблюдений в рабочей части выборки.

Первоначально весовые коэффициенты наблюдений предполагаются одинаковыми и равными 1, с этими весами строится система коэффициентов k, k=1,2,...,m модели в виде решения системы линейных уравнений

(3.8)

Затем выбираются веса таким образом, чтобы вес i-го наблюдения зависел от отношения i-го остатка в предыдущей итерации к общей мере остатков в этой итерации:

(3.9)

и по этим весам строится новая система коэффициентов модели и т.д. Процесс останавливается, когда достигается заданная степень точности , т.е. когда выполнится неравенство

. (3.10)

Для использования полученной зависимости в имитационной модели необходимо произвести пересчет коэффициентов модели с учетом коэффициентов линейного преобразования, которое осуществлялось при центрировании и нормировании [6].

Для построения функции отклика воспользуемся специализированным пакетом для моделирования нейронных сетей NeuroShell 2 (Ward Systems Group, Inc.), в котором реализован комбинаторный алгоритм МГУА. Для построения функции требуется серия опытов с разным состоянием сети, будем использовать данные, полученные при тестирование из приложения 1.

В результате расчёта с использованием пакета NeuroShell была получена функция отклика:

Y=-0.42-0.14*X1-8.8E-002*X2+0.4*X3+0.36*X3^2+6.7E-002*X1*X2+0.26*X1*X3-2.6E-002*X2*X3, (3.11)

где: X1=2*(win/lin-1)-1 операционная система;

X2=2*(key-128)/128 длина ключа в битах;

X3=(Kol-1)/2 количество клиентов участвующих в тестирование;

Y=2*S<->C- 6.54/87 (расчётная производительность в тысячах bit/sec ).

В результате работы пакета NeuroShell построим графики:

Рис 3.5 График производительности защищенного канала построенный на основе данных полученных опытным путем.

Значения параметра N определяет условия проведения опыта в части используемой сетевой операционной системы сервера, количества удаленных клиентов сети и длины ключа шифрования. Вся необходимая информация для построения графика, представленная на рис. 3.5, приведена в приложении 1.

Рис 3.6 График функции Y(N) производительности защищенного канала корпоративной сети

Значения параметра N определяет условия проведения опыта в части используемой сетевой операционной системы сервера, количества удаленных клиентов сети и длины ключа шифрования. Вся необходимая информация для построения графика, представленная на рис. 3.6, приведена в приложении 1.

Для сравнения с исходными данными, полученными при просчете программой, построим вместе с ним график пропускной способности сети полученный опытным путём при тестировании

Рис 3.7 Совмещенный график функции отклика Y(N) и эмпирических данных.

Значения параметра N определяет условия проведения опыта в части используемой сетевой операционной системы сервера, количества удаленных клиентов сети и длины ключа шифрования. Вся необходимая информация для построения графика, представленная на рис. 3.7, приведена в приложении 1.

Рис 3.8 График среднеквадратического отклонения ошибки и корреляцией Y(N) и исходных данных

Значения параметра N определяет условия проведения опыта в части используемой сетевой операционной системы сервера, количества удаленных клиентов сети и длины ключа шифрования. Вся необходимая информация для построения графика, представленная на рис. 3.8, приведена в приложении 1.

Из графика рис 3.7 видно, что функция отклика, полученная с помощью пакета МГУА рис 3.6, схожа с графиком рис 3.5 построенным на основе данных полученных опытным путем. Исходя из этого можно судить об адекватности данной модели в реальных условиях.

Полученная функция отклика (3.11) позволяет производить периодическую адаптацию модели к изменениям в корпоративной сети в зависимости от нагрузки. Позволяет рассчитать производительность защищённого канала при изменении ситуации в корпоративной сети (возрастание трафика, изменение алгоритмов шифрования изменение количества удаленных рабочих станций входящих в корпоративную сеть). Данная функция может быть использована в программном обеспечении для управления защищённым каналом. Например, такое приложение может выполнять динамическую смену алгоритма шифрования на основе предсказанной модели поведения системы. Стоит отметить и то, что функцию можно автоматически адаптировать к среде по мере расширения данных о состоянии канала, так как МГУА позволяет динамически «обучаться» по новым выборкам.

3.1.3 Многомерный регрессионный анализ

Для того чтобы определить значимость зависимых переменных на полученную функцию отклика (3.11) проведем многомерный регрессионный анализ.

Очевидно, что простое поверхностное изучение данных не позволяет обнаружить, какие факторы, рассмотренные на стадии статистического анализа исходной информации, являются существенными, а какие - нет.

Необходимо найти оптимальный вариант модели, отражающий основные закономерности исследуемого явления с достаточной степенью статистической надежности.

В модель должны быть включены все факторы, которые оказывают влияние на зависимую переменную (в нашем случае - количество узлов, операционная система, размер ключа шифрования). При невыполнении этого требования модель может оказаться неадекватной вследствие недоучета существенных факторов.

С другой стороны, количество факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком большим. Невыполнение этого требования приводит к необходимости увеличения числа наблюдений, к невозможности использования достаточно сложных зависимостей, к снижению точности оценок, к сложности интерпретации модели и к трудности ее практического использования.

Таким образом, возникает задача уменьшения числа переменных, включаемых в модель, без нарушения исходных предпосылок, т.е. задача понижения размерности модели.

Выделяют два существенных подхода к решению проблемы сокращения количества исходных переменных:

отсеивание менее существенных факторов в процессе построения регрессионной модели;

замена исходного набора переменных меньшим числом эквивалентных факторов, полученных в результате преобразований исходного набора.

Процедура отсева несущественных факторов в процессе построения регрессионной модели и получила название многошагового регрессионного анализа.

Этот метод основан на вычислении нескольких промежуточных уравнений регрессии, в результате анализа которых получают конечную модель, включающую только факторы, оказывающие статистически существенное влияние на исследуемую зависимую переменную. Различные сочетания одних и тех же факторов оказывают разное влияние на зависимую переменную. Вследствие этого появляется необходимость выбора наилучшей модели, т.к. перебирать все возможные варианты сочетания факторов и строить множество уравнений регрессии (количество которых может быть очень велико) просто не имеет смысла.

Таким образом методы пошагового регрессионного анализа позволяют избежать столь громоздких расчетов и получить достаточно надежную и полную модель зависимости исследуемого признака от ряда объясняющих переменных.

Как было сказано выше, основой многошагового регрессионного анализа является построение уравнения регрессии. Рассмотрим более подробно его систему и основные понятия.

В общем виде многомерная линейная регрессионная модель зависимости y от объясняющих переменных , ,…, имеет вид:

 (3.12)

Для оценки неизвестных параметров взята случайная выборка объема n из (k+1)-мерной случайной величины (y, ,,…,).

В матричной форме модель имеет вид:

(3.13)

где , , , е= (3.14)

- вектор-столбец фактических значений зависимой переменной размерности n;

- матрица значений объясняющих переменных размерности n*(k+1);

- вектор-столбец неизвестных параметров, подлежащих оценке, размерности (k+1);

- вектор-столбец случайных ошибок размерности n с математическим ожиданием ME=0 и ковариационной матрицей

(3.15)

соответственно, при этом

-единичная матрица размерности (nxn).

Оценки неизвестных параметров находятся методом наименьших квадратов, минимизируя скалярную сумму квадратов по компонентам вектора в.

Далее подставив выражение

(3.16)

в

получаем скалярную сумму квадратов

Условием обращения полученной суммы в минимум является система нормальных уравнений:

, (j=0,1,2,…,k).

В результате дифференцирования получается:

.

При замене вектора неизвестных параметров в на оценки, полученные методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение:

. (3.17)

Далее умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим

(3.18)

Так как , тогда .

Полученные оценки вектора b являются не смещенными и эффективными.

Ковариационная матрица вектора b имеет вид:

где - остаточная дисперсия.

Элементы главной диагонали этой матрицы представляют собой дисперсии вектора оценок b. Остальные элементы являются значениями коэффициентов ковариации:

, (3.19) где , .

Таким образом, оценка - это линейная функция от зависимой переменной. Она имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией

. (3.20)

Несмещенная оценка остаточной дисперсии определяется по формуле:

(3.21)

где n - объем выборочной совокупности; k - число объясняющих переменных.

Для проверки значимости уравнения регрессии используют F-критерий дисперсионного анализа, основанного на разложении общей суммы квадратов отклонений на составляющие части:

где (3.22)

- сумма квадратов отклонений (от нуля), обусловленная регрессией

(3.23)

- сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных , т.е. сумма квадратов отклонений относительно плоскости регрессии, обусловленное воздействием случайных и неучтенных в модели факторов.

Для проверки гипотезы используется величина

(3.24)

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и . Если , то уравнение регрессии значимо, т.е. в уравнении есть хотя бы один коэффициент регрессии, отличный от нуля.

В случае значимости уравнения регрессии проверяется значимость отдельных коэффициентов регрессии. Для проверки нулевой гипотезы используется величина

(3.25)

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и ; - соответствующий элемент главной диагонали ковариационной матрицы.

Коэффициент регрессии считается значимым, если . Для значимых коэффициентов регрессии можно построить доверительные интервалы, используя формулу

(3.26)

где находится по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .

Проводить регрессионный анализ будем с помощью программы Statistica 6.0

В качестве данных для проведения множественной регрессии будем использовать табличные данные из приложения 1.

Statistica 6.0 - Система для статистического анализа данных, включающая широкий набор аналитических процедур и методов: более 10 000 различных типов графиков, описательные и внутригрупповые статистики, разведочный анализ данных, корреляции, быстрые основные статистики и блоковые статистики, интерактивный вероятностный калькулятор, T-критерии (и другие критерии групповых различий), таблицы частот, сопряженности, флагов и заголовков, анализ многомерных откликов, множественная регрессия, непараметрические статистики, общая модель дисперсионного и ковариационного анализа, подгонка распределений. (Приведено описание только базового блока. Также существуют дополнительные блоки: Линейные / нелинейные модели, Многомерные разведочные технологии, Анализ мощности, Нейронные сети, Data Mining, Карты контроля качества, Анализ Процессов, Планирование экспериментов и др.)

Результаты, полученные из программы Statistica 6.0 в результате расчета по исходным данным из приложения 1:

Таблица 3.3 Матрица парных коэффициентов корреляции

В таблице 3.3 переставлены следующие условные обозначения:

· X1 -тип сетевой операционной системы (MS Windows Server 2003 - win, Fedora core 8 - lin);

· X2 - в bit (бит) - длинна ключа, установленного для используемого протокола шифрования (использована группа протоколов AES-xxx-CBC, в название которой вместо ххх - длины ключа использовано значения 128, 256);

· X3 - количество удаленных узлов, одновременно осуществляющих обмен данными с сервером VPN;

· Y - полученная функция отклика.

Анализ матрицы таблица 3.3 парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем X3 - количеством клиентов, так как этот показатель имеет наибольшее значение.

Отсюда можно сделать вывод, что наиболее значимым параметром в функции отклика (3.11), полученной ранее, является параметр X3,тоесть именно количество клиентов в большей степени повлияло на функцию при ее просчете пакетом NeuroShell.

3.2 Механизмы оптимизации