Ниже приведён "универсальный график комплектации грузов"

Остойчивостью судна называется его способность восстанавливать вертикальное положение после того, как оно было выведено из этого состояния под действием внешних сил. Сохранение необходимой остойчивости - одно из основных условий обеспечения безопасности плавания судна. В эксплуатационной практике часто случается, что суда перевозят разнообразные по массе и объему грузы; специализированные суда принимают к перевозке не тот груз, для которого они предназначаются; в ряде случаев груз размещают на палубе. Кроме того, не всегда суда следуют с полной нагрузкой. Таким образом, если на практике встречается такой вариант загрузки, который отличается от оптимального варианта для данного судна, необходимо произвести поверку остойчивости судна.

Остойчивость судна определяют взаимным расположением центра тяжести судна О и поперечного метацентра М. Мерой остойчивости является метацентрическая высота, т.е. расстояние от центра тяжести до поперечного метацентра. Каждый тип судна имеет свои пределы значений метацентрической высоты, при которых обеспечивается остойчивость. Так, например, большие пассажирские суда-0,3-1,5 м, средние пассажирские - 0,6-0,8, средние грузовые-0,3-1,0 и большие грузовые-0,3-1,5 м. Метацентрическая высота судна h определяется из выражения

H = Z_m - Z_g. (2.16)

При наличии на судне диаграммы плавучести и начальной остойчивости или кривых элементов теоретического чертежа определение отстояние поперечного метацентра от киля не представляет затруднений. На этой диаграмме по осадке или водоизмещению судна даны:

шкала числа тонн на 1 см осадки;

кривая отстояние центров тяжести от миделя;

кривая поперечных метацентрических радиусов;

кривые коэффициентов полноты водоизмещения;

кривая продольных метацентрических радиусов и другие кривые, характеризующие остойчивость и дифферент судна.

При отсутствии этой диаграммы значение метацентрической высоты можно вычислить по формулам. Для этого прежде всего следует определить величину поперечного метацентрического радиуса по приближенной формуле

P =; (2.17)

где В - ширина судна;

T - осадка судна.

Затем определяют отстояние центра величины от грузовой ватерлинии по эмпирической формуле:

Z_w = ; (2.18)

где Т - осадка судна;

V - объемное водоизмещение;

S - площадь действующей ватерлинии.

В свою очередь, площадь действующей ватерлинии можно найти по формуле:

S = ; (2.19)

где t₁ - число тонн, изменяющее осадку судна на 1 см;

г - плотность забортной воды.

Определив отстояние центра величины от киля по формуле:

Z_c = T - Z_w, (2.20)

можно определить отстояние поперечного метацентра от киля

Z_m = с + Z_c. (2.21)

Для расчета метацентрической высоты нужно знать также значение величины отстояния центра тяжести судна от киля, которая определяется по формуле:

Z_g = ; (2.22)

где Уq_n·z_n - суммарный момент отдельных партий груза относительно киля; D_oz_go - момент порожнего судна относительно киля; q_n - масса отдельных партий груза и запасов; z_n - удаление их центра тяжести от киля; z_go-удаление центра тяжести порожнего судна от киля; D - полное водоизмещение судна.

Значение величины z_go может быть определено по приближенной формуле:

z_go = k · H, (2.23)

где k - коэффициент, значение которого зависит от типа судна грузовые суда - 0,64, углевозы с полубаком и ютом - 0,69, грузопассажирские суда - 0,68); Н - высота борта судна.

Пример 1. Длина между перпендикулярами, L м …….110

Ширина B, м ………………………………………….….16,6

Высота борта H, ………………………………………….7,5

Осадка, м:

в полном грузу Т …………………………………………6,49

порожнем То ………………………………………………3,04

Водоизмещение, т:

полное D …………………………………………….…….6 890

порожнем Dо ……………………………………………. 3 068

Полная грузоподъемность D_b, т ………………………... 3822

Плотность забортной воды г ……………………….…....1,026

Объёмное водоизмещение V= D / г, м³ ………………….6 715

Число тонн на 1 см осадки t₁ ……………………….…… 17.0

1. Величина метацентрического радиуса (м)

с = = = 3,4.

2. Площадь действующей ватерлинии (м²)

S = = = 1657.

3 Отстояние центра величины от ватерлинии (м)

Z_w = = = 2,4.

4 Отстояние центра величины от киля (м) будет составлять

Z_c = T - Z_w = 6,49 - 2,4 = 4,09.

5. Отстояние поперечного метацентра от киля (м)

Z_m = с + Z_c = 3,4 + 4,09 = 7,49.

Пример 2.

Пользуясь данными примера 1, определить отстояние центра тяжести груженого судна от киля и его метацентрическую высоту.

1. Отстояние центра тяжести порожнего судна от киля (м) составляет

Z_go = k·H = 0,64 · 7,5 = 4,8.

2. Расчет статических моментов относительно киля ведется в табличной форме (табл.1.).

3. Отстояние центра тяжести груженого судна от киля (м)

Z_g == = = 7,44.

4. Метацентрическая высота (м)

h = Z_m - Z_g = 7,49 - 7,44 = 0,05.

Таблица 1.

Расчет статических моментов относительно киля

При расчете метацентрической высоты необходимо учитывать влияние свободного уровня жидкости в танках или цистернах судна, наличие которого уменьшает метацентрическую высоту. Величину этого уменьшения можно определить по формуле:

Дh = ; (2.24)

где I - момент инерции свободной поверхности жидкости;

г_ж - плотность жидкости;

D - водоизмещение судна.

Величину I для танков прямоугольной формы рассчитывают по формуле

I = ; (2.25)

В современных условиях транспортные перевозки зачастую перевозятся отдельными судами небольших судоходных компаний. Как и раньше, а в нынешних условиях особенно остро становится вопрос оптимального использования отдельного судна в данном конкретном рейсе. При этом следом за задачами безопасной и сохранной перевозки груза наиболее актуальными становятся задачи экономической эффективности в работе судна.

Для решения задач подобного типа наукой разработаны специальные методы и приемы выбора оптимальных режимов работы предприятий, которые максимизируют или минимизируют величину заданного экономического показателя (критерия эффективности) при выполнении определенных ограничений, накладываемых реальными условиями работы. В общем виде, эти приемы разрабатываются в специальных разделах математики с названиями экономико-математические методы или методы конечной математики. Одним из наиболее разработанных в этой области является специальный математический аппарат линейного программирования. Его возможно применить для решения задачи оптимального использования отдельного судна.

Задача линейного программирования возникает тогда, когда зависимости между её параметрами носят линейный характер. Именно такие зависимости наблюдаются при решении вопросов связанных с эксплуатацией судна перевозящего различные грузы. Решение задачи линейного программирования осуществляется на математической модели конкретной ситуации.

Линейное программирование - это математический метод отыскания максимума и минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. В задачах линейного программирования разрабатывается программа действий, когда зависимость между всеми параметрами задачи линейная.

Ограничения характеризуют имеющиеся возможности решения задачи, определяют область допустимых решений (ОДР.). В сущности, решение задачи сводится к нахождению условия, которое образует целевую функцию в максимуме или минимуме при соблюдении всех ограничений. Решение, удовлетворяющее условиям задачи, и соответствующее намеченной цели называется оптимальным планом. Это определенные значения параметров задачи, которые удовлетворяют ограничениям и приводят к максимуму или минимуму целевую функцию.

Хотя многие процессы не всегда имеют линейные зависимости, но их можно приводить к таким зависимостям с допустимыми погрешностями. При этом применение ЛП позволяет повысить эффективность работы без дополнительных ресурсов и средств, только за счет оптимизации процесса. Математическая модель задачи линейного программирования в общем виде записывается так:

L= C_i•X_i max (min)

a_i x_i b_i; x_i0; j=1,2,…m; i=1,2,…n,

где a_i,, b_i, C_i - задаются (известные величины).

Задачи линейного программирования могут решаться графически на плоскости, если переменных не более 2-х. А при наличии ЭВМ расчёт можно вести для любого количества переменных. Можно также решать задачи аналитически, при матрицах небольших размеров, а также автоматически с использованием специальных пакетов программ.

Графический метод линейного программирования является наиболее простыми очень наглядным методом решения задач линейного программирования. Рассмотрим применение этого метода на примере расчета оптимальной загрузки судна двумя видами груза. Введем следующие обозначения:

q₁, q₂ - количество принимаемых в перевозке грузов, в тоннах;

u₁, u₂ - удельный погрузочный объем груза, в м³/т;

D_ч - чистая грузоподъемность судна, в тоннах;

W - объём грузовых помещений судна, в м³;

C₁, C₂ - стоимость фрахта за перевозку одного груза, в у. е.

Математическая модель задачи:

L= C_i•X_i max

Ограничения:

по грузоподъемности судна: q₁ + q₂ D_ч;

по грузовместимости: q₁ u₁ + q₂ u₂ W;

по массе для отдельных грузов: Q_{1 min} q₁ Q_{1 max,} Q_{2 min} q₂ Q_{2 max};

по объему для отдельных видов грузов: W_{1 min} u₁ q₁ W_{1 max,}

W_{2 min} u₂ q₂ W_{2 max}.

Целевая функция: L = c_{1 •} q₁ + c₂ • q₂ max.

Задача решается следующим образом. В декартовой системе координат q₁, q₂ выбирается масштаб построения.

На положительной его части q₁, q₂ обозначаются линии, соответствующие границам неравенств, для чего неравенство превращается в равенство, т.е. знаки неравенств заменяют на равенство, например, q₁ + q₂ D_ч q₁+ q₂ = D_ч.

Затем на плоскости проводятся линии соответствующие равенствам. На линиях границ обозначают область, удовлетворяющую соответствующим неравенствам, и стрелками на концах линий обозначают направление, соответствующее неравенству. После построения всех ограничений определяется область допустимых решений. Любая точка в ОДР имеет координаты удовлетворяющие условиям задачи (рис.2).

Рис.2. Геометрическое решение задачи линейного программирования.

Для определения оптимальных значений q₁ и q₂ строят направление целевой функции L', приравняв её к любому положительному числу. Построив направление L', перемещаем её параллельно самой себе до соприкосновения с самой отдаленной от начала построения точкой ОДР. Координаты этой точки дают оптимальное решение q_о1, q_о2. После определения q_о1 и q_о2 анализируется полученный результат.

Рассмотрим пример решения задачи оптимальной загрузки судна двумя видами груза.

Вариант - 17 (2)

Дано: D_ч = 1000 т;

W = 1500 м³;

u₁ = 0,5 м³/т; u₂=2,0 м³/т;

Q_{1 min} = 200 т; Q_{2 min} = 500 т;

Q_{1 max} = 300 т; Q_{2 max} = 800 т;

 W_{1 min}; W_{2 max};

ограничений по объёму нет;

W_{1 min}; W_{2 max;}

C₁ = 5 у. е. /т; C₂ = 3 у. е. /т.

Задание:

1. Составить математическую модель оптимальной загрузки судна.

2. Выбрать масштаб графического построения в прямоугольной системе координат q₁ и q₂.

3. Определить оптимальную загрузку судна и выполнить анализ полученных результатов:

сравнить L и L_оптим.;

определяющее ограничение;

максимально возможное L без ограничений;

изменение q_о1 и q_о2 при увеличении c₁ и c₂;

какое будет L_оптим при c₁ и c₂ наоборот.

Решение:

q₁ + q₂ = D_ч; q₁ + q₂ = 1000; q₁ = D_ч - q₂;

u₁ + q₂u₂=W 0,5q₁+2,0q₂=1500 q₂=(W-u₁D_ч)/(u₂-u₁)

q₁ = 333,33;

q₂ = 666,67;

200 q₁ 300;

500 q₂ 800;

q_о1 = 300 т; q_о2 = 675 т;

L = c_{1 •} q₁ + c₂ • q₂ max.; L_оптим = 5•300 + 3•675 = 3525 у. е.;

Возможно было бы получить максимальную прибыль при оптимальной загрузке трюмов для случая q₁ = 333,33 т, q₂ = 666,67 т при котором целевая функция L = c_{1 •} q₁ + c₂ • q₂ = =5•333,33 + 3•666,67 = 3666,66 у. е., если бы отсутствовало определяющее ограничение по весу первого груза q₁ Q_{1 max}. При отсутствии ограничений по весу и по объёму отдельных видов грузов можно взять на борт максимальное количество более дорогого первого груза

q_{1 max} = 1000 т (удовлетворяет условию грузовместимости судна) и получить наиболее выгодный фрахт: L_{без огранич} = 5•1000 + 3•0 = 5000 у. е. При перемене платы за перевозку и увеличении её в 10 раз (с₁ = 50 у. е. /т, с₂ = 30 у. е. /т) меняется только величина L_оптим = 50•300 + 30•675 = 35250 у. е. При изменении значений c₁ и c₂ наоборот наблюдается небольшое изменение наклона прямой L_оптим следовательно, наивыгоднейшие условия загрузки судна будут описываться прежней крайней точкой ОДР. Графическое решение данной задачи приведено на рисунке 3.