Математическое моделирование каскада реакторов идеального смешения

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ярославский государственный технический университет» Кафедра «Технологических машин и оборудования»

Математическое моделирование каскада реакторов идеального смешения

Курсовая работа по курсу:

«Математическое моделирование технологических систем»

2015

Реферат

Оптимизация технологического процесса в каскаде реакторов идеального смешения.

Уравнение Аррениуса, энергия активации, константа скорости, оптимальная температура, максимальная скорость реакции, оптимизация процесса, степень превращения реакции, суммарный реакционный объём аппарата, влияние температуры на суммарный объём.

Объектом исследования служит каскад реакторов идеального смешения, состоящий из двух аппаратов.

Цель работы - по заданным исходным данным рассчитать установку для получения вещества В из вещества А, с минимальным суммарным объемом. При расчёте каскада реакторов нами использован аналитический метод оптимизации детерминированных моделей.

Эффективность с проектированной установки обеспечивает оптимальная температура (в разумных пределах, чтобы не разрушался сам аппарат) и минимальны суммарный реакционный объём.

Результатом нашего расчета являются найденные значения реакционного объема каждого аппарата и минимальный

Введение

Под химической технологией в широком значении этого слова понимается научное описание методов и средств производства в химической промышленности. Этим и обусловлено бурное развитие методов математического моделирования как дисциплины. Процессы химической технологии включают химическую переработку сырья, основанную на сложных по своей природе химических и физико-химических явлениях. Современная химическая технология, используя достижения естественных и технических наук, изучает и разрабатывает совокупность физических и химических процессов, машин и аппаратов, оптимальные пути осуществления этих процессов и управления ими при промышленном производстве различных веществ, продуктов, материалов, изделий. Значительный прогресс в химической технологии в последние годы связан с применением современных вычислительных средств для решения теоретических и прикладных задач. Применение вычислительной технике не только позволило ставить и решать сложные задачи, но и обогатило химическую технологию новыми подходами к их решению, связанными с математическим моделированием и системными исследованиями.

Химическая промышленность является одной из ведущих отраслей российской промышленности; ей принадлежит определяющая роль в ускорении научно-технического прогресса, повышении эффективности общественного производства, материального и культурного уровня жизни людей. Научной основой химической и смежных с нею отраслей промышленности является химическая технология, а базой технического прогресса этих отраслей - химическое машиностроение.

Большинство процессов химической технологии имеют двойственную детерминированно-стахостическую природу, проявляющуюся в наложении стахостических особенностей гидродинамической обстановки в аппарате на процессы массо-, теплопереноса и химического превращения. Это объясняется случайным взаимодействием составляющих компонентов фаз или случайным характером геометрии граничных условий в аппарате. Подобного рода системы характеризуются чрезвычайно сложным взаимодействием составляющих их фаз и компонентов, вследствие чего изучение их с позиции классических детерминированных законов переноса и сохранения становится невозможным. Ключ к решению этой проблемы даёт метод математического моделирования, базирующийся на стратегии системного анализа, сущность которой заключается в представлении процесса как сложной взаимодействующей иерархической системы с последующим качественным анализом её структуры. Разработкой математического описания и оценкой неизвестных параметров. Под математическим моделированием понимается изучение свойств объекта на основе математической модели. Его целью является определение оптимальных условий протекания процесса. Управления им на основе математической модели и перенос результатов на объект.

Размещено на http://www.allbest.ru

Обзор и анализ существующих методов оптимизации химико-технологических процессов

Оптимизация заключается в нахождении оптимума рассматриваемой функции или соответственно оптимальных условий проведения данного процесса. Для оценки оптимума необходимо, прежде всего выбрать критерий оптимизации. Здесь в качестве оптимальных параметров мы выбираем оптимальную температуру, при которой скорость нашей химической реакции будет максимальной и минимальный суммарный объём реакторов. Будем считать, что именно эти два параметра в наибольшей степени будут определять эффективность данной установки. На основании выбранных критериев оптимизации составляем так называемые целевые функции, или функции

выгоды Vmin=f(Wrmax) и Wr=f(x) представляющие собой зависимость критерия оптимизации от параметров, влияющих на его значение. Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Здесь у нас в первом случае будем находить максимум скорости, а во втором случае - максимальную степень превращения.

Для автоматически управляемых процессов или систем различают две стадии оптимизации: статистическую и динамическую. Статистическая оптимизация решает вопросы создания и реализации оптимального стационарного режима процесса, а динамическая - создания и реализации системы оптимального управления процессом.

В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей применяются различные математические методы оптимизации.

Аналитические методы являются классическими методами определения экстремального значения функции (минимума или максимума). Они применяются, когда оптимизируемые функции заданы аналитически и число независимых переменных невелико.

Аналитический поиск экстремума или принцип максимума представляет собой совокупность ряда теорем теории оптимальных процессов, содержание которых устанавливает необходимые условия для построения оптимального закона управления процессом.

Метод множителей Лагранжа обычно используется для рассмотрения детерминированных процессов, описываемых дифференцируемыми функциями с ограничениями в виде неравенств. Каждое ограничение добавляет ещё одно уравнение и на каждое ограничение вводится один множитель Лагранжа. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе программирования, где с их помощью иногда удаётся снизить размерность решаемой задачи.

Вариационные методы используются в том случае, когда критерии оптимальности заданы в виде функционалов. Базируются вариационные методы на решении уравнения Эйлера. Применение их направлено, прежде всего, на исследование многослойных адиабатических реакторов, а также на определение оптимального температурного режима обратимых экзотермических реакций в слоях идеального вытеснения.

Принцип максимума Понтрягина позволяет решать задачи широкого класса; особенно задачи оптимального управления.

Методы математического программирования

Метод геометрического программирования имеет одно очень существенное преимущество, а именно он позволяет свести сложную задачу оптимизации нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений, то есть. минимизирует выкладку математических выражений.

Линейное программирование состоит в нахождение экстремума критерия оптимальности в задачах с линейными уравнениями. Характерными для данного метода задачами являются: задача изготовления различной продукции с максимальным доходом при различных видах сырья; задача оптимального использования оборудования; транспортная задача.

Динамическое программирование применяется для многостадийных процессов, характеризуемых последовательностью решений, когда состояние системы зависит только от предыдущего шага и не зависит от ранее сделанных шагов. Основная идея динамического программирования заключается в том, что если какой либо поток изменяется на каждой стадии процесса, то если на последней стадии режим работы не будет оптимальным по отношению к поступающему на неё потоку, не будет оптимальным и режим всего многостадийного процесса в целом.

Градиентные методы оптимизации относятся к численным методам поискового типа. Эти методы универсальны и весьма эффективны в большинстве случаев поиска экстремального значения нелинейных функций с ограничениями и без них, а также, когда функция вообще аналитически неизвестна. Сущность градиентных методов заключается в определении значений независимых переменных, дающих наибольшие изменения целевой функции.

Метод наискорейшего спуска (крутого восхождения) осуществляется по следующей схеме: сначала мы определяем частные производные двух переменных, затем находим градиент, направление которого совпадает с направлением «наискорейшего спуска». Затем начинаются рабочие шаги по направлению, противоположному направлению градиента. После каждого рабочего шага оценивается приращение целевой функции. Если оно оказывается отрицательным, это означает, что движение происходит в верном направлении. Иначе этот метод называют методом двух производных.

Метод градиента заключается в том, что после определения градиента делается один рабочий шаг, а затем в новой точке опять начинается серия пробных движений. Такой метод поиска обеспечивает более точное установление минимума, чем метод наискорейшего спуска, так как кроме того, он ещё позволяет быстрее приблизиться минимуму.

Метод крутого восхождения при наличии ограничений основывается на следующем. Сперва выбирается базисная точка так, чтобы она лежала в пределах ограничений, и поиск ведётся по методу крутого восхождения. После расчёта следующей точки оценивается: не произошло ли нарушения ограничений; если нарушения нет, поиск продолжается.

Метод сопряжённых градиентов является попыткой объединить достоинства градиентных методов первого и второго порядка с исключением их недостатков. На начальных этапах метод ведёт себя как метод первого порядка, а в окрестностях оптимума приближается к методам второго порядка.

Метод тяжёлого шарика. Метод базируется на аналогии с движением

«тяжёлого» материального шарика по наклонной поверхности. Скорость шарика при движении вниз будет возрастать, и он будет стремиться занять нижнее положение, то есть точку минимума. Также и здесь вдали от оптимума поиск будет ускоряться, а вблизи возможны колебания около точки минимума.

Автоматические методы с самонастраивающимися моделями. Автоматические методы применяются для поиска оптимума для нахождения заданного оптимума непосредственно на объекте.

Слепой поиск является очень простым и наглядным методом. Случайным образом в допустимой области берётся точка и сравнивается значение критерия в ней с текущим наилучшим. Если новая случайно взятая точка хуже хранящейся в качестве лучшей, то берут другую точку. Если же нашли точку, в которой критерий лучше, то её запоминают в качестве текущей лучшей.

Сканирование представляет собой частный случай метода слепого поиска, при нём точки области одна за другой просматриваются в определённом порядке, например строчка за строчкой.

Чисто случайный поиск предполагает случайный выбор точек на плоскости с неизменным законом распределения. Он пригоден лишь для сравнительно простых случаев, и область его применения ограничена.

Поиск анализом промежуточных результатов. Здесь программа поиска не установлена заранее, а зависит от результатов предшествующих наблюдений.

Метод локального поиска - имеет особенно важное практическое значение. При локальном поиске изображающая точка перемещается по некоторой линии, причём пробные перемещения позволяют определить направление, в котором следует перемещаться, чтобы уменьшить значение функции.

Метод случайных направлений содержит в себе следующую идею: из заданной начальной точки делается шаг в случайном направлении. Если значение целевой функции в новой точке меньше чем в предыдущей при поиске минимума критерия оптимальности, то новая точка принимается за текущую и из неё делаются шаги в надежде найти новую точку. Если

значение функции в новой точке больше значения в предыдущей точке, то делаются новые попытки, но уже с другим шагом.

Метод поиска с «наказанием случайностью». Метод является аналогом метода наискорейшего спуска, только направление локального поиска не градиентное, а случайное. Как и в предыдущем методе, из текущей точки делают случайные шаги до тех пор, пока не будет найдена точка с лучшим значением критерия оптимальности.

Метод с «блуждающим» поиском. Данный метод является статистическим расширением градиентного метода и реализуется в соответствии с алгоритмом. Который наиболее вероятно приводит к глобальному экстремуму.

Метод деления пополам. Метод основан на делении отрезка, где содержится искомый экстремум, на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется максимум в качестве следующего текущего отрезка.

Метод золотого сечения. Метод основан на делении текущего отрезка, где содержится искомый экстремум, на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения, для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

Метод параболической аппроксимации. Метод заключается в замене нелинейной функции квадратичной параболой, построенной по трём точкам, принадлежащим целевой функции, используя аналитические условия оптимальности.

Статистические методы используются для объектов бездетерминированного описания, а также для оптимизации и планирования эксперимента.

Методы регрессионного анализа имеют значимое преимущество по отношению к другим методам при изучении зависимости от одного переменного параметра необходимого для определения вида уравнения регрессии.

В случае линейной регрессии одного параметра требуется определить по методу меньших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии.

В Методе параболической регрессии главное уравнение представляет собой полином некоторой степени, то есть замена нелинейной функции квадратичной параболой, построенной по трём точкам, с последующим определением максимума параболической функции, используя аналитические условия оптимальности.

Метод Гаусса-Зайделя (метод покоординатного спуска) заключается в последовательном поиске оптимума целевой функции поочерёдно по каждой переменной, причём после завершения перебора всех переменных опять в общем случае приходится перебирать все переменные до тех пор, пока не придём к оптимуму.

Метод Розенброка направлен на ликвидацию одного из недостатков метода Гаусса-Зайделя - высокую чувствительность эффективности к выбору системы координат. Метод сводится, по сути, к отысканию «удачной» системы координат путём поворота исходных осей координат.

Метод Бокса-Уильсона справедлив тогда, когда на выходной параметр влияют две величины и экстремум выглядит в виде некоторого поля. В этом случае уравнение целевой функции описывает некоторую поверхность, которая называется поверхностью отклика. Здесь берётся некоторая начальная точка и в ней проводится эксперимент, а далее делаем пошаговое движение, пока последняя точка не станет хуже, чем предыдущая. С каждым изменением направления целесообразно изменять шаг.

Метод параллельных касательных заключается в следующем. Из двух произвольных точек, не лежащих на одной прямой заданного направления, проводят два спуска по направлению и находят две точки оптимумов. Далее оптимум ищут на прямой, соединяющей эти точки.

Симплексный метод. В организации алгоритма поиска используется важное свойство симплекса: против каждой вершины находится только одна грань. В окрестности начальной точки строим симплекс, затем находим самую «плохую» его вершину и на противоположной грани строим новый симплекс, отличающийся от исходного только одной вершиной. После построения нового симплекса требуется лишь одно вычисление критерия оптимальности: только в новой вершине.

Исходные данные

В двух последовательно расположенных аппаратах идеального смешения производительностью V=0.41 м3/мин, при степени превращения xA=0,78 и начальной концентрации CA0 =2 кмоль/м3 и CB0 =0 кмоль/м3

протекает реакция, описываемая уравнением вида:



A

Рассматриваемая реакция является гомогенной, и будет протекать в среде высококипящего растворителя.

Взяв в качестве критерия оптимизации суммарный объём всех ступеней каскада двух аппаратов, нам необходимо рассчитать установку для получения вещества В из вещества А при следующих исходных данных:

степени превращения реакции xA

объёмном расходе вещества через аппарат V

начальных концентрациях CA0 и CB0

количестве аппаратов в каскаде

Также нам задана зависимость констант скорости реакции от температуры, которая представлена в виде таблицы

Т, К	300	350	400	450	500	550
	4,5*10-5	3*10-3	0,11	1,11	10,9	61
	9*10-9	9,2*10-5	1,8*10-3	10,4*10-2	2,5	36

1.Таблица 1. Зависимость константы скорости химической реакции от температуры.

Определение параметров уравнения Аррениуса

Так как в качестве параметра оптимизации мы выбрали суммарный объём аппарата, то нам необходимо его минимизировать, то есть снизить материалоёмкость, но так как чтобы это не сказывалось отрицательно на всём проводимом процессе. Минимальным объём аппарата будет в том случае, когда скорость химического процесса максимальна.

Vmin>WrAmax (1.1)



В общем случае уравнение химической реакции будет иметь вид:

WrAmax=k1CA- k2CB (1.2)

В последней формуле фигурирует константа скорости реакции, которую мы можем определить с помощью уравнения Аррениуса.

k=k0exp(-E/RT) (1.3)

где k0- - предэкспоненциальный множитель, который зависит от числа столкновений реагирующих молекул, с-1; E- энергия активации, дж/кмоль;

T- температура процесса, К; k - константа скорости химической реакции, с-1

Проще всего повлиять на соотношение л=k2/k1 , изменив температуру проведения реакции, так как температура является одним из технологических параметров, в наибольшей степени влияющим на скорость химической реакции. Рассмотрим влияние температуры на скорость химической реакции более подробно.

Экспериментально при изучении кинетики химических реакций было обнаружено, что при увеличении температуры на 10° скорость реакции увеличивается в 2-4 раза. Более строго эта зависимость выражается в виде уравнения Аррениуса.

Т.к. реакция, протекающая в нашем аппарате обратимая, то разность энергий активации прямой и обратной реакций равна тепловому эффекту реакции.

Энергия активации элементарной реакции - это минимальный избыток энергии над средней внутренней энергией молекул, необходимый для того,

чтобы произошло химическое взаимодействие (энергетический барьер, который должны преодолеть молекулы при переходе из одного состояния реакционной системы в другое).

Предэкспоненциальный множитель k0 учитывает число соударений, вероятность распада активированного комплекса реакции на исходные реагенты без образования продуктов реакции, пространственную ориентацию молекул реагентов, а также ряд других факторов, влияющих на скорость реакции и не зависящих от температуры.

С учётом полученного уравнения Аррениуса вновь запишем уравнение для максимальной скорости химического процесса.

WrAmax = k01exp(-E1/RT)CA- k02exp(-E2/RT)CB- (1.4)

Судя по этому уравнению скорость, будет максимальной тогда, когда температура будет оптимальной. Так как согласно заданию у нас обратимая реакция, то мы будем иметь:

(1.5)

Для нахождения максимальной скорости в каждом случае нам необходимо знать предэкспоненциальный множитель и энергию активации. Таким образом, чтобы провести оптимизацию процесса нам необходимо знать четыре параметра всего из двух уравнений. Поэтому на первом этапе нашей работы необходимо определить параметры уравнения Аррениуса. В нашем случае составляются два уравнения, которые будут решаться совместно: одно для прямой реакции, а другое для обратной. Такая система будет иметь вид:

(1.6)

Для решения подобной системы используется либо графический, либо

аналитический метод (метод наименьших квадратов).

Графический метод

Решение нашей системы начнём сначала с рассмотрения одного уравнения. Так для прямой реакции мы имеем:

ln k1 = lnk0 - E1 /RT (1.7)

y b a x=1/T

Данную запись можно пояснить тем, что уравнение Аррениуса с одной стороны это уравнение прямой в логарифмической системе координат, а именно:

y = ax + b (1.8)

Для удобства решения и облегчения задачи составим следующую таблицу:

Таблица 2. Исходные данные для графического метода.

1/T	0.00333	0.00285	0.00250	0.00222	0.00200	0.00181
- ln k1	-10,001	-5.809	-2.207	0.104	2.389	4.11
ln k2	-18.526	-9,294	-6,266	-2.23	0,916	3.584
xnyn(прям.)	-0.0333	-0.0166	-0.0055	0.0002	0.0048	0.0074
xnyn (обрат)	-0.0617	-0.0265	-0.0157	-0.0050	0.0018	0.0065
(xn)2	11*10-6	8.12*10-6	6.25*10-6	4.93*10-6	4*10-10	3.27*10-6

Для прямой реакции составим следующую систему:

(1.9)

Здесь мы имеем два уравнения и две неизвестные, а именно:



Lnk01>k01 и E1/R>E1

С учетом данных таблицы 2 система, составленная для прямой реакции, будет иметь вид:

Для дальнейшего решения системы примем следующие обозначения ln k01-=c и . С учетом принятых обозначений запишем:

; ; ;

Из системы мы находим:

lnk1=21,0432> k01=e21,0432=1377037101=1.38*10-9

=9313,26; E1=9313,26*8.314=77430,44



6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

Рисунок 1. Графическое изображение уравнения Аррениуса для прямой

реакции в логарифмической системе координат.

Теперь составим систему, но уже для обратной реакции.

(1.10

)

Подставив в систему данные из таблицы 2, согласно принятым обозначениям получим:

Также как и в случае решения системы для прямой реакции примем следующие обозначения ln k02-=c и . С учётом принятых обозначений запишем:

; ; ;

Теперь определим из данной системы основные параметры уравнения Аррениуса для обратной реакции:

lnk02=30.116 > k01=e30.116=1,2*10-13

=; E2=*8.314=121322,876

Рисунок 2. Графическое изображение уравнения Аррениуса для обратной

реакции в логарифмической системе координат.



Определение оптимальной температуры

Расчет скорости химической реакции

В отличие от изотермических реакторов, в которых температура остаётся неизменной в процессе реакции, и адиабатических реакторов, в которых изменение температуры в процессе реакции жёстко связано со степенью превращения и величиной теплового эффекта реакции, в политропических реакторах изменение температуры может происходить независимо от величины теплового эффекта реакции и степени превращения по любому закону. В связи с этим возникает проблема оптимизации аппаратов нашей установки по температуре, то есть проблема определения оптимального профиля (во времени или в пространстве) температуры, при которой скорость процесса в любой бы момент времени или в любом сечении аппарата была бы максимально возможной.

Рассмотрим механизм оптимизации обратимой реакции первого порядка, кинетика которой описывается уравнением:

Wr= CA0 CA0(1-xA)k01E1exp()- CA0xAk02exp () (2.1)

Wr=CA0(1-xA)k01E1exp() - CA0xAk02exp ()=0 (2.2)

Продифференцировав, получим:

=0 (2.3)

Здесь производная имеет вид обыкновенной дроби, так как знаменатель нулю мы приравнять не можем, то тогда запишем:



(2.4)

= exp(/RT) (2.5)

Последнюю запись уравнения прологарифмируем:

Ln()=/RT (2.6)

Из этого уравнения выразим значение оптимальной температуры:

(2.7)

По заданным начальным концентрациям и степени превращения определим концентрации веществ А и В:

=0,44 кмоль/ (2.8)

= 2*0.78= 1,56 кмоль/ (2.9)

По найденным значениям концентрации численно определим оптимальную температуру:

= 489.49 K

На практике уравнение для оптимальной температуры чаще принято и удобнее представлять в следующем виде:

= ( 2.10)



Здесь , вид которой зависит от типа и порядка обратимой реакции, но, так как у нас обратимая реакция первого порядка, то мы будем иметь:

Следует иметь в виду, что на начальное значение температуры всегда накладываются ограничения, обусловленные экономическими или техническими соображениями. Определившись со значением оптимальной температуры, по формуле найдём значение максимальной скорости реакции, протекающей в наших аппаратах:

exp(-)-exp(-/R) (2.11)

Подставив в последнюю формулу числовые значения параметров, будем иметь:

0,44 -) 1,56= 1.198802 кмоль/

В этом разделе мы нашли значение оптимальной температуры, необходимое нам для определения максимальной скорости. Полученное значение максимальной скорости в свою очередь позволяет определить нам экстремум целевой функции (минимальный объём аппаратов). Здесь сразу стоит заметить, что объём наших аппаратов, а, следовательно, и их габаритные размеры могут не совпадать.

Расчёт установки для получения продукции Определение зависимости оптимальной скорости химической реакции от степени превращения

Будем здесь исходить из того, что у нас есть формула для определения скорости химической реакции:

(3.1)

Теперь запишем туже самую скорость, но уже через экспоненту:

( 3.2)

Максимальная скорость у нас будет в том случае, когда температура будет оптимальной. Но с другой стороны в качестве критерия оптимизации нами взят минимальный объём. Данный нам каскад аппаратов идеального смешения представляет собой два последовательно соединённых проточных реакторов (секций) идеального смешения. Реакционная смесь

последовательно проходит через все секции. Для каскада реакторов идеального смешения должны выполняться следующие допущения об идеальности:

В каждой секции каскада выполняются условия реактора идеального смешения, то есть мгновенное изменение параметров процесса, равенство параметров во всех точках секции и в потоке, выходящем из неё;

Отсутствие обратного влияния: каждый последующий реактор не влияет на предыдущий.

Математическая модель каскада реакторов идеального смешения, работающего в изотермическом режиме, представляет собой систему уравнений материального баланса по какому-либо участнику реакции, включающую, по меньшей мере, N уравнений по числу секций каскада. Для каждого аппарата можно записать уравнение материального баланса и из него выразить реакционный объём. Так для того, чтобы осуществить оптимизацию процесса, необходимо провести зависимость, позволяющую определить объём реакторов. Уравнения материального баланса для любой из секций каскада однотипны. Материальный баланс по компоненту А для первого аппарата в стационарном режиме работы каскада имеет вид:

V (3.3)

В общем случае в этом уравнении перед последним его слагаемым ставится знак «плюс-минус», но здесь определённо мы ставим «минус», так как вещество А у нас не накапливается, а расходуется. При этом среднее время пребывания реакционной смеси в первом аппарате равно: (3.4)

Подобные уравнения составим и для второго аппарата каскада. Здесь

уравнение материального баланса записывается в форме:

V(3.5)

Среднее время пребывания реакционной смеси во втором аппарате равняется:

(3.6)

Расчёт каскада реакторов идеального смешения обычно сводится к двум задачам - прямой и обратной. В случае прямой задачи расчёт фактически представляет собой определение числа секций заданного объёма, необходимых для достижения определённой глубины превращения, или определение состава реакционной смеси на выходе из последнего аппарата каскада. Обратная задача предусматривает определение реакционных объёмов каждого аппарата при заведомом их числе. Именно эту задачу нам и предстоит решить. Различают аналитический и численный методы расчёта каскада. В численных методах заложена следующая основа, так как уравнения материального баланса для всех секций однотипны, то можно составить алгоритм решения этих уравнений для какой-то одной секции и последовательно применять его N раз.

Применение аналитического метода возможно в том случае, если уравнения материального баланса могут быть аналитически решены относительно концентрации. В нашем случае это оказывается возможным, потому что протекающая реакция описывается кинетическими уравнениями первого порядка.

Для первого реактора аппарата выразим реакционный объём из уравнения:

=

где (3.7)

Формулу для реакционного объёма мы также можем записать также в несколько ином виде, связав его со степенью превращения:

= (3.8)

Взяв во внимание, что

(3.9)

(3.10)

Для нахождения значений и необходимо использовать формулу (3.2) и подставить её в формулу (3.8), но такой подход потребует сложного дифференцирования. Здесь мы можем пойти проще вместо формулы (3.2) использовать зависимость или которая справедлива для всех степеней превращения.

Более обще формулу для реакционных объёмов будут выглядеть следующим образом:

(3.11)

(3.12)

Чтобы определить степень превращения реакции в каждом аппарате, сперва запишем суммарный реакционный объём c учетом формул (3.11) и (3.12):

(3.13)

Для того, чтобы определить степени превращения реакции нам необходимо взять частную производную от выражения, записанного для суммарного объёма по и приравнять её к нулю

Также мы можем записать: =0 (3.14) (3.15) Так как наш аппарат содержит в себе только два реактора, то нужна нам

будет только X1. Чтобы определить реакционные объёмы наших аппаратов будем действовать согласно следующей схеме. Сперва, составим таблицу с расчётными данными. Зададимся несколькими степенями превращения и вычислим для них значения оптимальной температуры и скоростей прямой и обратной реакции. Получившиеся расчётные данные и составят основу нашей таблицы. Остальные графы таблицы заполним чуть позже.

Вычислим значения максимальной скорости:

1 -) 1= 25.4079

кмоль/

0.8 -) 1.2= 9.9407кмоль/

0.6 -) 1.4= 3.4196 кмоль/

0.4 -) 1.6= 0.8809кмоль/

0.2 -) 1.8= 0.1053 кмоль/

Для расчётов нам также потребуется определить:

= -0.82043; =1.90392

Следующим этапом нашего расчёта будет нахождение коэффициентов А и р.

Для этого прологарифмируем выражение:

lg()=p*lg()+

Математически преобразуем записанное выражение:

lg()=p*lg()+lgA (3.17)

Это выражение соответствует выражению прямой в логарифмической системе координат, то есть мы можем записать его в виде линейной функции.

y= ax+b

B этом уравнении у нас приняты следующие обозначения:

y=lg; a=p; b=lgA; x=lg

Здесь мы имеем линейное уравнение с двумя неизвестными а и b.

В данном случае для решения прибегнем к методу наименьших квадратов:

a== -8.9571

b== -1.0890

По этим значениям мы теперь можем определить

A===0.081473 и соответственно p= - 8.9571

Подставим найденные значения в уравнение (3.17), тогда мы получим:

= = 0.684

Рассчитав степень превращения в первом реакторе аппарата, найдём численные значения реакционных объёмов.

Реакционный объём первого реактора

==0.2293

Реакционный объём второго реактора:

= =0.1044

Определив реакционные объёмы, найдём суммарный объём аппарата:

=

Полученное значение суммарного реакционного объёма аппарата как раз и будет экстремумом (точкой минимума) целевой функции

Проверка процесса на температурную устойчивость

Для того, чтобы провести проверку процесса на температурную устойчивость, изменим значение оптимальной температуры и пронаблюдаем какой характер будет носить изменение суммарного реакционного объёма. Значение температуры возьмём отличное от оптимальной на 10К как в большую, так и в меньшую сторону. Таким образом, значения температур у нас будут иметь следующие значения:

Найдём теперь значение скорости химической реакции, соответствующее каждой из температур:

*exp=1.0926 кмоль/

*exp= 1,0087 кмоль/

Проведя расчёт скоростей реакции, мы тем самым подтвердили утверждение Менделеева о том, что при увеличении температуры на 10К скорость изменяет своё значение в 2-4 раза. По рассчитанным скоростям вновь вычислим соответствующие им суммарные реакционные объёмы

При уменьшении температуры:

= = = 0.128

При увеличении температуры:

= = = 0.138

Зависимость суммарного реакционного объёма аппарата от температуры отразим в виде графика, построенного по рассчитанным значениям.

Полученная расчётным путём кривая зависимости реакционного объёма от оптимальной температуры несёт в себе следующее распределение: реакционный объём мало изменяется вблизи непосредственно самой оптимальной температуры и сильно увеличивается при движении по графику вправо либо влево от этой точки. Таким образом, про кривую можно сказать, что она может быть выражена в виде какой-то параболической функции.Размещено на http://www.allbest.ru

Заключение

В ходе проведённой работы нами были получены параметры уравнения Аррениуса: предэкспоненциальные множители и энергии активации, а также значения оптимальной температуры и соответствующая ей максимальная скорость химической реакции. Самое главное мы определили минимальный суммарный реакционный объём аппарата, соответствующий максимальной скорости и оптимальной температуре, что и послужило итогом к выполнению задания. При этом мы определили, каким образом изменение оптимальной температуры влияет на изменение реакционного объёма, постарались дать оценку этой зависимости и изобразить её графически. Зависимость эта выглядит в виде некоторой параболы, изображение которой говорит нам, что увеличение или уменьшение оптимальной температуры требует увеличения суммарного реакционного объёма. Поэтому температуру в аппарате необходимо поддерживать на неизменном уровне.

Эффективность спроектированной установки состоит в её малых габаритах, экономичности, малых энергетических затратах при заданной концентрации, степени превращения и расходе.

Именно поэтому в качестве целевой функции нами и был выбран минимальный реакционный объём аппарата.

В настоящей работе нами также был приведён краткий обзор методов оптимизации химико-технологических процессов. Здесь в качестве методов оптимизации мы использовали графический метод при нахождении параметров уравнения Аррениуса и аналитический метод (метод наименьших квадратов) для нахождения степени превращения в первом реакторе. При этом мы оптимизировали не только объём, но и температурный режим, и скорость химической реакции.



Список использованных источников

химический реакция смешение моделирование

1. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 256 с.: ил.

2. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. Изд. 3-е, пер. и доп. М., «Химия», 1976. - 464 с.

3. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Перов В.Л. Принципы математического моделирования химико-технологических систем.: Учеб. для техн. вузов. - М., «Химия», 1974. - 434 с.

4. Кутепов А.М., Бондарева Т.И., Беренгартен М.Г. Общая химическая технология: Учеб. для техн. вузов. - М.: Высш. шк. 1985. - 448 с, ил.

5. СТП ЯрПИ 701-99 Документы текстовые учебные. Требования к оформлению.

6. СТП 702-99 Документы текстовые учебные. Требования к оформлению титульных листов и основных надписей.

Размещено на Allbest.ru