Расчетно-графическое обоснование прямого стержня

Задача 1.1. Расчет прямого ступенчатого стержня

Исходные данные:

F1, кН	F4, кН	F6, кН	L1, см	L2, см	L3, см	A1, см2	A2, см2	A2, см2
160	60	100	64	36	44	8	6	4

1) Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений;

2) Оценить прочность стержня

1) С целью определений значений продольных сил в различных сечениях выделим характерные сечения трехступенчатого стержня, в которых найдем продольные силы. И построим эпюру продольных сил.

1. Сечение 1-1

кН

2. Сечение 2-2

кН

3. Сечение 3-3

кН

4. Сечение 4-4

кН

5. Сечение 5-5

кН

2) На основании найденных значений продольных сил в характерных сечениях стержня строим эпюру продольных сил. Нормальные напряжения в тех же сечениях определим по формуле: .

И построим эпюру напряжений.

мПа

мПа

мПа

мПа

3) Вычислим деформации отдельных участков стержня по формуле:

мм

мм

мм

мм

4) Найдем характерные перемещения стержня и построим их эпюры

мм

мм

=6 мм

+=11 мм

+=11 мм

5) Прочность материала стержня проверим в сечении, где наибольшее напряжение

Следовательно, перенапряжение материала составляет:

Задача 1.2. Геометрические характеристики плоских фигур

Для составного сечения необходимо определить:

1) Положение центра тяжести

2) Осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей

3) Положение главных центральных осей

4) Вычислить значения главных центральных моментов инерции

5) Построить круг инерции и по нему проверить положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции

6) Вычертить сечение в удобном масштабе и показать все необходимые оси и размеры

Исходные данные:

	A, см2	Ix, см4	Iy, см4	Dxy, см4
Лист 202	40	1333,3	13,3	-
Уголок 12,5/8	14,1	73,7	22,7	74,58
Швейлер 20а	25,2	139	1670	-

Решение

1. Найдем положение центра тяжести:

S_x=A₁*y₁+ A₂*y₂+ A₃*y₃=10*40+21,8*14,1+17,72*25,2=1153,924 см³

S_y= A₁*x₁+ A₂*x₂+ A₃*x₃=1*40+8,49*14,1+12*25,2=462,109 см³

X_c==5,8 см

Y_c==14,55 см

2. Вычислим значения осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей:

I_Xc=I_Xi +A_i*a_i²)=73,7+1333,3+139+4,55*40+3,17²*25,2+7,25²*14,1=3368,46 см⁴

I_Yc=I_Yi +A_i*b_i²)=13,3+227+1670+4,8²*40+2,69²*14,1+6,2²*25,2=3902,62 см⁴

D_XcYc=D_XiYi+A_i*a_i*b_i)=0+(-4,55)*(-4,8)*40+74,58+7,25*2,69*14,1+3,17*6,2*25,2=1724,34 см⁴

3. Определим положение главных центральных осей инерции:

tg2б₀==6,456 2б₀=8112^, => б₀=4036^,

4. Вычислим значения главных центральных моментов инерции:

I_max/main=

I_max=+==5380,44 см⁴

I_min===1890,64 см⁴

4. Определим положение главных центральных осей через моменты инерции I_max и I_min:

tgб₁=-1,167

б₁=-4924^,

tgб₂=0,857

б₂=4036^,

5. Построим круг инерции и по нему проверим положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции:

Задача 1.3. Изгиб балок

Проверка прочности балок при изгибе и исследование их деформации

Исходные данные:

a, м	b, м	c, м	d, м	F, kH	q, kH/м	M, kH*м
2	3	4	1	10	40	20

Требуется:

1) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

2) подобрать сечение балки двутаврового профиля и проверить прочность принятого сечения по нормальным напряжениям с учетом собственного веса балки

3) вычислить наибольшее касательное напряжение в сечении с максимальным значением поперечной силы

4) в одном из сечений балки, где имеют Q и M большие значения, определить главные напряжения на уровне примыкания полки к стенке и проверить прочность материала по энергетической теории прочности

5) построить эпюры нормальных, касательных, главных и максимальных касательных напряжений в сечении, указанном в п. 4

6) определить аналитическим путем прогибы посередине пролета и на конце консоли и углы поворота сечений на опорах

7) с учетом вычисленных значений прогибов показать на схеме балки очертание ее изогнутой оси

8) проверить жесткость балки при допускаемом значении прогиба v=l/500 и модуле упругости E=2*10⁵ Мпа

1) Определяем опорные реакции.

- R_a*9+q*7*3,5+M-F*4-q*0,5=0

R_a==104,4 kH

- R_b*9-F*5-M+q*8*6=0

R_b==205,6 kH

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

1. Q₁=-R_a=-104,4 kH

2. Q₂=-R_a+q (z-2)=-104,4+120=-15,6 kH

3. Q₃=-R_a+q (z-2) - F=104,4-10+40*7=165,6 kH

4. M₁=-R_a*z=-104,4*2=-108,8 kH/m

5. M₂=-R_a*z+ z=5 -104,4*5+20*3²=342 kH/m

z=6 -104,4*4+20*4=337,6 kH/m

z=7 -104,4*3+20=293,2 kH/m



2) Построим сечение балки двутаврового профиля и проверим прочность принятого сечения по нормальным напряжениям с учетом собственного веса.

W_x=1,6285*10^-3 м³=1628,5 см³

Подбираем двутавр:

№60

I_x=75450 см⁴

W_x= 2510 см³

S_x=1450 см³

m=104 кг

Находим опорные реакции с учетом собственного веса.

- R_a*9+q*7*3,5-F*4+M-q*0,5-q₁*9,45+q₁*0,5=0

R_a==99,8 kH

- R_b*9-F*5-M+q*8*6-q₁*10*5=0

R_b==199,8 kH

Строим эпюры Q и M с учетом собственного веса.

Q₁=-R_a-q₁*z=-99,8-1,04*2=-101,88 kH

Q₂=-R_a-q₁*z+q*(z-2)=-99,8-5,2+40,3=15 kH

Q₃=-R_a-q₁*z+q*(z-2) - F=-99,8-9,36+280-10=160,84 kH

M₁=-R_a*z-=-99,8*2-1,04*2=-201,68 kH/m

M₂= R_a*z-=-332 kH/m



Проверим на прочность.

Недонапряжение составляет 30%

3) Вычислим наибольшее касательное напряжение в сечении с максимальным значением поперечной силы

=28,67 МПа

4) В сечении балки, где Q и M имеют большее значение, определяем главное напряжение на уровне примыкания балки к стенке и проверяем прочность материала по энергетической теории прочности

M=208,8 kH/m

Q=104,4 kH

Определяем нормальные напряжения.

=78,1 МПа

Определяем касательные напряжения.

=12,3 МПа

Определяем главные напряжения.

39,05±40,94

Проверяем прочность материала по энергетической теории.

80,9 МПа

80,9 МПа ?=140 МПа

5) Строим эпюры нормальных, касательных, главных и максимальных касательных напряжений.

Определяем нормальные напряжения

=83 МПа

=78,1 МПа

Определяем касательные напряжения.

-0,78 МПа

-12,3 МПа

-18 МПа

Определяем главные напряжения.

-1,89 МПа

18 МПа

-18 МПа

Определяем максимальное касательное напряжение

=41,5 МПа

40,94 МПа

39,05 МПа

Строим эпюры.

6) Определяем аналитическим путем прогибы посередине пролета и на конце консоли и углы поворота сечений на опорах.

Уравнение углов поворота сечений.

Уравнение прогибов.

Находим начальные параметры:

При z=9, =0

959 kH

Значение прогиба по середине пролета:

При z=4,5

_ср=

Значение прогиба на конце консоли.

=-

Угол поворота на опоре A.

Угол поворота на опоре B.

7) C учетом вычисленных значений прогибов, покажем на схеме балки очертания её изогнутой оси.

8) Проверим жесткость балки при допускаемом значении прогиба = и модуля упругости E=2*10⁵МПа

Условие по жесткости выполнено.