При побудові індексної моделі функція розглядається для двох періодів: базисного і поточного .

Абсолютну і відносну зміну показника-функції у можна розкласти за факторами-множниками . Оцінювання ступеня та абсолютного розміру впливу кожного з них на динаміку функції здійснюється в рамках індексної моделі, в якій відтворюються взаємозв'язки між показниками:

При розрахунку частинного індексу необхідно елімінувати вплив інших включених у модель факторів. Задля цього всі фактори-множники, окрім , фіксуються на постійному рівні. Найчастіше фактори, розміщені в ланцюгу зліва від , фіксуються на рівні поточного періоду, а розміщені справа від - на рівні базисного періоду. Скажімо, в моделі принцип послідовно-ланцюгового елімінування впливу фактора х₂ реалізується таким чином:

.

За такою ж схемою визначається абсолютний вплив його на у:

.

Абсолютний вплив факторів можна визначити з використанням відповідних частинних індексів. При послідовному множенні (за ланцюговою схемою) базисного рівня показника-функції на індекси факторів визначаються розрахункові рівні, тобто такі рівні, які мав би показник у під впливом і-го фактора і при незмінному рівні решти факторів. Якщо базисний його рівень позначити , розрахунковий рівень для першого фактора - у', для другого -- у" і т. д., то порядок розрахунку абсолютного впливу і-го фактора схематично можна представити так:

.

Методику побудови багатофакторної індексної моделі розглянемо на прикладі взаємозв'язку показника прибутковості капіталу з індикаторами фінансового стану та платоспроможності підприємства. Для окремої компанії (фірми, корпорації) прибутковість капіталу розраховується відношенням чистого прибутку до власного капіталу. Динаміку цього показника можна розкласти за такою множиною факторів:

a -- чистий прибуток на одиницю валового обороту (реалізації продукції, послуг);

b -- оборотність поточних активів;

с -- поточна ліквідність;

d -- частка поточних пасивів у залучених коштах, (коефіцієнт заборгованості);

f -- співвідношення залучених і власних коштів.

Взаємозв'язок між ними має вигляд:

Наприклад, прибутковість капіталу умовної фірми становила: в базисному періоді - 115,1%, у поточному - 129,0%, тобто прибутковість зросла на 13,9 процентного пункту, індекс прибутковості - 1,121. Індекси включених у модель факторів - множників і розрахунок внеску кожного з них в абсолютний приріст прибутковості капіталу наведено в табл. 3.1.

Таблиця 3. 1

Фактор	Індекс фактора	Розрахунковий рівень прибутковості	Абсолютний внесок фактора в приріст прибутковості
а	1,057	121,7	+6,6
b	0,986	120,0	-1,7
с	1,012	121,4	+ 1,4
d	1,025	124,4	+3,0
f	1,037	129,0	+4,6
Разом	X	X	+ 13,9

Абсолютний приріст прибутковості в розмірі 13,9 процентного пункту розкладено за факторами. Всі фактори, окрім оборотності поточних активів, мали позитивний вплив на динаміку прибутковості. З-поміж них найвагоміший вплив фактора а -- чистого прибутку на одиницю валового обороту, на другому місці фактор f - співвідношення власних і залучених коштів, на третьому - фактор d - коефіцієнт заборгованості.

Систему взаємозв'язаних показників можна представити у матричному вигляді. На головній діагоналі матриці за певною стратегією розміщуються т абсолютних величин на основі яких можна визначити т(т- 1) відносних величин , де .

Очевидно, що недіагональні елементи, симетрично розташовані щодо головної діагоналі, є оберненими одна до одної величинами, тобто . Система взаємозв'язаних абсолютних і відносних величин утворює квадратну матрицю. Аналогічно складається матриця індексів.

У табл. 3.2 наведено індексно-матричну модель економічного розвитку умовної країни за певний період. На головній діагоналі розміщено індекси макропоказників (D-національний дохід. М-матеріальні витрати, F-виробничі фонди, Т -чисельність зайнятих працівників). Вони ранжовані за економічною нормаллю, згідно з якою темпи зростання кінцевих результатів мають бути вищими за темпи зростання витрат і ресурсів, тобто.

Таблиця 3.2

Показник нормалі	D	M	F	Т
D	1,142
М	=1,005	1,136
F	=0,935	= 0,930	1,222
Т	=1,І71	= 1,165	= 1,253	0,975

За даними таблиці економічна нормаль порушена у двох ланках: та . Значення індексів свідчать про фондоємкий трудозберігаючий тип відтворення. Піддіагональні елементи матриці - це результат бінарних відношень між індексами, на перетині яких знаходиться відповідний елемент. За змістом вони характеризують динаміку показників інтенсивності та ефективності економіки: -- продуктивності праці, -- фондовіддачі, І_т --- матеріаловіддачі, -- фондоозброєності праці, -- співвідношення матеріальних витрат і вартості основних фондів. Аналізуючи співвідношення цих індексів, можна виявити диспропорції У використанні живої та уречевленої праці.

В індексно-матричній моделі ранжування показників і ступінь їх деталізації цілковито залежить від економічної стратегії та мети дослідження.

Особливості моделювання взаємозв'язаних динамічних рядів

Якщо інформаційна база регресійної моделі представлена рядами динаміки, то виникають певні методологічні труднощі, спричинені залежністю рівнів, їх автокореляцією. Наявність останньої порушує одну з передумов регресійного аналізу --. незалежність спостережень -- і призводить до викривлення його результатів.

У практиці регресійного аналізу застосовують різні способи усунення автокореляції. Найпростішим є спосіб різницевих перетворень, коли замість первинних рівнів взаємозв'язаних рядів динаміки , використовують абсолютні прирости (різниці). Так, різниці першого порядку та усувають лінійний тренд, однофакторна регресія набуває такого вигляду:

,

де b інтерпретується як звичайний коефіцієнт регресії; a -- вільний член рівняння.

Якщо тенденція нелінійна, доцільно застосувати спосіб відхилень від тенденції, коли первинні рівні , замінюються відхиленнями від тренда

.

Усуненню автокореляції сприяє також уведення фактора часу t у рівняння регресії . Навантаження на змінну t залежить від комплексу включених у модель факторів. Зміст параметрів такої моделі розглянемо на прикладі взаємозв'язку динаміки імпорту нафти і цін за барель нафти на світовому ринку. За даними табл. 3.3, обсяги імпорту нафти в країну систематично зменшувалися, що зумовлено як зміною цін, так і внутрішніми факторами. Зв'язок між цими показниками можна подати лінійною функцією

,

де b -- середній приріст результативної ознаки у на одиницю приросту факторної ознаки х; с -- середній щорічний приріст у під впливом зміни неідентифікованих факторів, які рівномірно змінюються в часі.

Таблиця 3.3

Порядковий номер року	Iм порт нафти, ,млн. барелів	Ціна за 1 барель, , дол.
1	1749	13,48	1808	-59
2	1702	14,76	1743	-41
3	1769	18,92	1653	116
4	1600	22,97	1562	38
5	1431	30,29	1442	-11
6	1325	34,66	1349	-24
7	1302	30,77	1332	-30
8	1341	29,36	1292	49
9	1232	28,07	1251	-19
10	1180	26,40	1213	-33
11	1162	27,79	1147	15
Разом	15793	х	15793	0

Модель імпорту нафти описується рівнянням:

Y= 1984,340-2,497, -52,986t

(27,97) (-2,50) (-6,99).

Наведені в дужках значення t-критерію перевищують критичне (8) = 2,31, що дає підстави з імовірністю 0,95 вважати вплив кожного фактора на обсяги імпорту істотним. Згідно із значеннями коефіцієнтів регресії підвищення ціни одного бареля нафти на 1 долар зменшує імпорт нафти в країну в середньому на 2,5 млн. барелів. За рахунок інших факторів, передусім політики енергозбереження, імпорт нафти щорічно зменшується в середньому на 53 млн. барелів.

Значення коефіцієнта детермінації = 0,951 та дисперсійного критерію F(2,8) = 77,48 свідчать про адекватність моделі.

Отже, за наявності лінійної тенденції в рядах у модель вводиться змінна часу

де -- чистий ефект впливу i-го фактора на у; с -- ефект неідентифікованих факторів, які формують тенденцію ряду.

У динамічній моделі можна відобразити не лише тенденцію, а й більш складні компоненти ряду, скажімо, періодичні чи сезонні коливання, перервність процесу тощо.

Особливістю регресійного аналізу динамічних рядів є оцінка автокореляції залишкових величин . Якщо автокореляція істотна, значить включені в модель фактори не повністю розшифровують механізм формування процесу, модель визнається неадекватною. Перевірку істотності автокореляції можна здійснити на основі циклічного коефіцієнта першого порядку .

У програмних засобах для перевірки істотності автокореляції частіше використовують критерій Дарбіна-Ватсона, характеристика якого D функціонально зв'язана з _:

,

За відсутності автокореляції між суміжними членами ряду значення D становить приблизно 2, при високій додатній автокореляції D наближається до 0, при високій від'ємній автокореляції-- до 4. Визначені критичні межі його значень: нижня і верхня , на основі яких приймається або відхиляється гіпотеза про відсутність автокореляції: : = 0.

При перевірці гіпотези можливі три висновки:

- D > -- автокореляція відсутня;

- D < -- гіпотеза про відсутність автокореляції відхиляється;

- D -- висновок залишається невизначеним.

Критичні межі D залежать від кількості членів ряду п і кількості параметрів моделі т. У додатку 8 наведено критичні значення D для додатної автокореляції при = 0,05. Перевірка від'ємної автокореляції проводиться на основі значень (4 - D).

За даними табл. 7.1 D = 1,831, що потрапляє в інтервал допустимих значень гіпотези , а отже, істотність автокореляції не доведено. Аналогічний висновок дає перевірка гіпотези за допомогою циклічного коефіцієнта автокореляції, значення якого = 0,085 значно менше за критичне (11) ⁼ 0,353. Відсутність автокореляції залишків підтверджує адекватність моделі. Характерною рисою механізму формування варіації та динаміки соціально-економічних показників є запізнення впливу факторів, коли причина і наслідок розірвані в часі (наприклад, інвестиції в іригацію і введення в дію зрошувальних земель). Часові лаги зумовлені тривалістю виробничого циклу, інерційністю процесів, наявністю зворотного зв'язку тощо. Для оцінювання ефектів запізнення впливу i-го фактора в модель вводиться лагова змінна . Фактори, що мають два і більше лагів (розподілений у часі лаг), вводяться в модель блоками лагових змінних. Загальний вигляд моделі з розподіленими лагами:

де p = 0, 1,...,k -- лаги; т -- кількість включених у модель факторів.

Теоретично модель з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість факторів, проте практична реалізація такої моделі натикається на непереборні труднощі, зумовлені обмеженістю динамічних рядів і складністю внутрішньої їх структури. Як правило, в модель включаються такі лагові змінні, для яких лаги обґрунтовано теоретично і перевірено емпірично. Інструментом визначення лагів слугує взаємокореляційна функція, яка являє собою множину коефіцієнтів кореляції між рядами та y зсуненими відносно один до одного на лаг р. Зі збільшенням лага взаємокореляційна функція згасає. У табл. 3.4 наведено коефіцієнти кореляції між попитом на легкові автомобілі у та двома факторами: середньодушовим доходом та цінами х₂.

Таблиця 3.4

Лаг
0	0,823	0,612
1	0,646	0,441
2	0,416	0,187
3	0,098	0,098

Для фактора істотними виявилися лаги p = 0,1,2; для фактора х₂ -- лаги p = 0,1. Модель набуває вигляду:

.

де параметри i характеризують ефекти впливу факторів з відповідними лагами, параметр с -- вплив неідентифікованих факторів (мода, смаки тощо).

Динамічна модель для сукупності об'єктів

Через обмеженість динамічних рядів соціально-економічних явищ неможливо врахувати в моделі усі особливості розвитку процесу. Аби розширити інформаційну базу моделі, практикують об'єднання просторових і динамічних рядів. Скажімо, описується залежність заданими по 10 об'єктах за п'ять років. Можливі різні варіанти використання такої змішаної статично-динамічної інформації. Розглянемо два з них.

1. Динамізація просторових моделей. Для кожного i-го року визначається статична модель .У нашому прикладі їх буде п'ять. Коефіцієнти регресії статичних моделей утворюють динамічні ряди. Якщо ефект впливу i-го фактора змінюється в часі, то така зміна виявиться трендом ряду . Методом екстраполяції тренда можна визначити очікуваний ефект впливу на період упередження . Водночас визначається прогнозний рівень самого фактора . Поєднання цих прогнозів дає прогноз функції y:

.

За відсутності тренда коефіцієнта регресії в прогнозній моделі використовують середнє його значення. В табл. 3.5 наведено фрагменти динамічних рядів параметрів регресійної моделі продуктивності праці в цементній промисловості (тонн на одного робітника). Фактори: -- енергоозброєність праці, кВт-г; -- продуктивність цементних печей т/г; -- коефіцієнт використання календарного часу роботи цементних печей.

Таблиця 3.5

Рік
1	11,8	11,3	18,5
2	11,5	11,9	19,1
3	11,3	12,2	17,7
4	10,6	13,4	18,2
5	9,9	13,7	18,6

Як видно з даних таблиці, в цементній промисловості відбувається перерозподіл ефектів впливу факторів на продуктивність праці: зменшується вплив енергоозброєності праці (), збільшується вплив продуктивності устаткування (х₂) і практично незмінним залишається вплив використання календарного часу устаткування (х₃).

Прогнозування ефектів впливу факторів та їх рівнів можна здійснити у будь-який спосіб, обґрунтувавши функціональний вид прогнозної моделі. Звісно, щоб характер динаміки чітко виявився, довжина динамічного ряду має бути достатньою. Умова достатності інформації стосується і просторового ряду.

2. Модель об'єкто-періодів. У невеликих за обсягом сукупностях просторові та динамічні ряди об'єднуються в один інформаційний масив, одиницею якого є об'єкто-період. Для 10 об'єктів і п'яти років маємо 10*5=50 об'єкто-періодів. Такий підхід до об'єднання просторово-динамічних рядів значно розширює інформаційну базу моделі, водночас наділяє її особливими властивостями. Головна особливість статично-динамічної інформації -- залежність спостережень. Залежними виявляються не лише рівні динамічних рядів, але й ряди в цілому ( і просторові, і часові), оскільки належність рівнів до того чи іншого ряду фіксована. Так, залежність між рядами динаміки -- це результат просторової варіації, яка через інерційність процесів зберігається певний час. Залежність просторових рядів відбиває синхронність динаміки показників по окремих об'єктах, зумовлену спільними умовами розвитку. Ігнорування цих особливостей інформаційної бази моделювання призводить до помилкових висновків.

Особливості просторової варіації враховуються в моделі за допомогою структурних змінних окремих об'єктів . Властивий усім об'єктам тренд функції у фільтрується за допомогою змінної часу t. Проте через нерівномірність розвитку окремих об'єктів сукупності поряд зі спільним трендом можуть виявитися істотними індивідуальні тренди. Для їх фільтрації можна використати змінні динамічної взаємодії: для факторів -- , для об'єктів -- . З урахуванням усіх цих особливостей регресійну модель для сукупності об'єкто-періодів можна записати так:

.

Параметри моделі вимірюють:

-- чистий, елімінований від взаємозв'язків у межах моделі, ефект впливу фактора ;

-- зміну ефектів впливу , у часі;

-- різницю між значеннями функції на j-му об'єкті та в ці. лому по сукупності;

-- зміну цих відмінностей у часі;

f -- спільний для всіх об'єктів сукупності тренд -- вплив неідентифікованих в моделі факторів;

-- вільний член рівняння. Для кожного j-го об'єкта вільний член рівняння дорівнює сумі ; на відміну від сума має економічний зміст -- вимірює вплив факторів, які визначають специфіку цього об'єкта.

Отже, модель об'єкто-періодів включає дві групи параметрів. Одна з них представляє оцінки ефектів впливу факторів і зміну їх у часі, друга -- особливості сукупності, специфіку розвитку окремих об'єктів. Уникнути перевантаження моделі і зберегти максимум інформації для оцінки параметрів можна, скориставшись алгоритмом покрокового регресійного аналізу.

Як приклад розглянемо параметри моделі продуктивності праці в агрогосподарствах, які спеціалізуються на вирощуванні винограду та фруктів і мають власні переробні цехи. Інформаційний масив сформовано за даними 18 господарств за п'ять років. До ознакової множини моделі включено фактори: -- економічна оцінка сільськогосподарських угідь, бали; х₂ -- частка садів і виноградників у загальній площі сільськогосподарських угідь; х₃ -- частка праці механізаторів у загальній кількості відпрацьованих людино-днів. Для оцінювання тенденцій ефектів впливу кожного з цих факторів введено змінні динамічної взаємодії . Два нетипових (аномальних) господарства представлено в моделі структурними змінними , а індивідуальні їх тренди -- змінними динамічної взаємодії .

Істотними виявилися ефекти впливу всіх факторів , параметр при змінній динамічної взаємодії другого фактора , параметри при структурних змінних обох господарств , параметр при змінній динамічної взаємодії другого господарства - Значення параметрів наведено в табл. 3.6.

Таблиця 3.6

Параметр моделі
Значення параметра	39,86	15.63	20,46	1,17	-42,65	56,78	-3,52

Коефіцієнти регресії інтерпретуються традиційно як чисті ефекти впливу включених у модель факторів. При цьому, як показує параметр , ефект впливу спеціалізації (частки садів і виноградників у загальній площі сільськогосподарських угідь) на продуктивність праці щорічно збільшується в середньому на 1,17 тис. грн. Істотність параметрів і а₂ підтверджує нетиповість господарств, представлених у моделі структурними змінними. За рахунок специфічних умов функціонування цих господарств рівень продуктивності праці на першому з них нижчий за середній на 42,65 тис. грн, на другому, навпаки, на 56,78 тис. грн. вищий. Останній параметр має тенденцію до зменшення щорічно в середньому на 3,52 тис. грн.

Отже, модель об'єкто-періодів більш універсальна і повніше використовує інформацію про взаємозв'язки порівняно зі схемою динамізації просторових моделей.

4 Методи експертних оцінок

При прогнозуванні процесів, розвиток яких повністю або частково не піддається формалізації (наприклад, розвиток науки і техніки, соціально-економічні та політичні наслідки прийняття певних управлінських рішень), використовують методи експертних оцінок. Вони ґрунтуються на мобілізації професійного досвіду та інтуїції експертів, які добираються за принципом компетентності.

Характерною особливістю моделювання та прогнозування соціально-економічних процесів є багатоваріантність, тобто можливість використання різних методів, моделей, інформаційного забезпечення, критеріїв оцінювання адекватності моделі тощо. Вибір між конкуруючими варіантами базується на певній системі правил, що забезпечують надання обґрунтованих оцінок кожному варіанту. Вважається, що експерт володіє цією системою правил і може порівняти варіанти, приписуючи кожному з них числа. Найчастіше перевага чи відносна значущість варіантів встановлюється за допомогою методів ранжування, попарних порівнянь або безпосереднього оцінювання.

При ранжуванні експерт повинен розмістити варіанти (фактори, моделі, об'єкти тощо) у порядку, який вважає раціональним, і приписати кожному з них числа натурального ряду -- ранги 1, 2, ..., n. Кількість рангів дорівнює кількості варіантів. Якщо експерт надає двом і більше варіантам однакові ранги, то кожному з цих варіантів приписується середній ранг, обчислений з відповідних чисел натурального ряду.

При обґрунтуванні складних управлінських рішень в умовах невизначеності, при довгостроковому прогнозуванні розвитку науки, техніки, економіки використовують групові експертизи. Надійність групових оцінок залежить від узгодженості думок експертів, що потребує відповідної статистичної обробки інформації.

При груповій експертизі (n експертів) для кожного /-ro варіанта визначається сума рангів R_t, за якою упорядковуються варіанти. Скажімо, перший -- найвищий -- ранг надається варіанту, який набирає найменшу суму рангів, а останній -- варіанту з найбільшою сумою рангів. Результати опитування експертів оформляються у вигляді матриці.

Наприклад, за даними ранжування трьох варіантів п'ятьма експертами (табл. 4.1), перший ранг надається варіанту A, для якого R_t = 6, другий -- варіанту B, третій -- варіанту C. Слід зазначити, що ранги визначають лише місця варіантів поміж іншими, не враховуючи існуючих між ними відстаней.

Таблица 4.1

Варіант	Експерт	Сума рангів	d	d
	1	2	з	4	5
А	2	1	1	1	1	6	-4	16
В	1	2	з	2	2	10	0	0
C	З	З	2	3	З	14	4	6
Разом	X	X	X	X	X	З0	X	32

Статистична обробка результатів ранжування передбачає оцінювання ступеня узгодженості думок експертів. Мірою узгодженості слугує коефіцієнт конкордації W, в основу розрахунку якого покладено відхилення d сум рангів за окремими варіантами R_i від середньої суми рангів, яка становить 1/2 n (m + 1). Коефіцієнт конкордації -- це відношення суми квадратів названих відхилень S = d² до максимально можливої суми квадратів відхилень S_max = n² (m³ - т) / 12. Якщо ранги не повторюються, то

де m -- кількість варіантів; n -- кількість експертів.

При неузгодженості думок експертів W = 0. Чим вищий ступінь узгодженості, тим більше значення W наближається до 1. За даними табл. 1.1, середня сума рангів становить 30:3 = 10, сума квадратів відхилень S - 32, а коефіцієнт конкордації

,

що свідчить про певні розбіжності в оцінках експертів щодо значущості варіантів.

Перевірка істотності коефіцієнта конкордації W здійснюється за допомогою критерію ² з (m - 1)числом ступенів вільності (свободи). Статистична характеристика критерію розраховується за формулою²=Wn(m - 1). Для наведеного прикладу ² = 0,64 * 5(3 - 1) = 6,4, що перевищує критичне значення ²(2) = 5,99 (див. додаток 2). Це дає підстави стверджувати з імовірністю 0,95, що значення W= 0,64 не випадкове і думки експертів узгоджені. При попарних порівняннях експерти використовують дві оцінки: 0 або 1. Більш вагомому варіанту надається оцінка 1, менш вагомому -- 0. Результати попарних порівнянь оформляються у вигляді матриці, елементами якої є кількості наданих переваг a_ij. Діагональні елементи такої матриці представлені нулями. Одна із властивостей матриці a_ij + a_ji = n, де n -- кількість експертів.

Таблиця 4.2

Варіант	А	В	C	Разом	i
А	0	4	5	9	0,60
В	1	0	4	5	0,33
C	0	1	0	1	0,07
Разом	1	5	9	15	1,00

Відношення кількості наданих відповідному варіанту переваг до загальної суми елементів матриці характеризує його вагомість. За даними табл. 4.1, найвагомішим виявився варіант A, для якого = 9 : 15 = 0,60.

Часто завданням експерта є не ранжування варіантів, а безпосереднє оцінювання рівнів певного явища чи окремих його властивостей, скажімо, якості продукції, конкурентоспроможності фірм тощо. У таких ситуаціях спершу визначається шкала (діапазон) оцінок, у межах якої експерт і оцінює явище (властивість) певним балом z_ij, де і -- властивість, j-- елемент сукупності.

Для певної множини m властивостей одного явища визначається середній бал G_j = z_ij /m.

Ha таких методичних засадах ґрунтується більшість рейтингових систем. Так, всесвітньо відома рейтингова система CAMEL, якою користуються органи нагляду за банківською діяльністю, має п'ятибальну шкалу оцінок: від 1 (добре) до 5 (незадовільно). Для кожного банку оцінюється достатність капіталу, якість активів, ефективність менеджменту, прибутковість і ліквідність балансу. Середній бал G_j є рейтингом фінансового стану j-го банку. Від його значення залежить ступінь втручання органів банківського нагляду і комплекс заходів щодо усунення недоліків.

Якщо властивості z, не рівновагомі, то рейтинг визначається як середня арифметична зважена G_j = z_{ij i} , де _i -- вага i-ой властивості. Саме так оцінюються комерційні, політичні ризики тощо. Наприклад, комерційний ризик, пов'язаний з інтернаціоналізацією банківської діяльності, оцінюється індексом Бері. Ознакова множина цього індексу включає 15 різновагомих показників, які характеризують політичну та економічну ситуацію в країні-партнерові. Зокрема, політична стабільність (вага 12 %), стан платіжного балансу (вага 6 %), темп економічного розвитку (вага 10 %), інші. Сума ваг становить 100 %.

Одним з популярних методів формування групової експертизи є метод Дельфи, назва якого походить від дельфійських мудреців, які славилися в давнину передбаченнями майбутнього. Основні принципи методу Дельфи: анонімність, регульованість зворотного зв'язку та узгодженість групової оцінки.

Автономне опитування експертів проводиться, як правило, в чотири тури. Кожного разу експерт виражає свою думку певною оцінкою в межах визначеної шкали. Результати опитування групи експертів упорядковуються; на основі упорядкованого ряду визначається медіана Me й квартилі оцінок -- нижній Q₁ і верхній Q₃ - Медіана розглядається як узагальнююча групова оцінка процесу; для характеристики варіації оцінок використовують інтерквартильний розмах R = Q₃ - Q₁ .

Значення медіани і розмаху повідомляють усім експертам. Тим з них, чиї оцінки виявилися за межами діапазону (Q₃ - Q₁ ) , пропонують аргументувати свої висновки, аби ознайомити з ними решту експертів. Такий зворотний зв'язок відсікає «шуми», зменшує вплив індивідуальних і групових інтересів, не пов'язаних з проблемою.

Ітераційна процедура упорядкування та узагальнення експертних оцінок дає можливість зблизити точки зору експертів, що робить групові оцінки надійнішими за просте усереднення. Проте сама по собі процедура опитування не розв'язує всіх проблем точності прогнозів. Вирішальну роль відіграють компетентність експертів і досконалість програми опитування.

5. Оцінювання якості прогнозів

Забезпечення адекватності регресійної моделі

Адекватність регресійної моделі означає здатність її правильно описати реальну структуру взаємозв'язків між ознаками та y. Методологічною основою вирішення проблеми адекватності є теоретичний, змістовний аналіз матеріальної природи процесу (явища) та обґрунтування типу й структури моделі, яка описує механізм його формування. Практично з метою забезпечення адекватності моделі змістовний аналіз поєднується з формальними процедурами перевірки гіпотез щодо дотримання логіко-статистичних умов використання МНК.

Мірою адекватності моделі слугують відхилення фактичних значень від теоретичних . На величину цих відхилень впливає весь комплекс умов, зокрема:

- обсяг та однорідність сукупності;

- незалежність спостережень;

- інформативність включених у модель факторів;

- стабільність не включених у модель факторів;

- тип моделі.

Репрезентативність оцінок регресійного аналізу прямо пропорційна обсягу та однорідності сукупності. Саме недостатній обсяг сукупності та її неоднорідність вважаються найвагомішими чинниками неадекватності моделей. Тому при формуванні ознакової множини моделі слід враховувати співвідношення між обсягом вибірки і кількістю включених у модель факторів (воно має бути приблизно 8:1).

Оцінювання однорідності сукупності здійснюється на етапі розвідувального аналізу даних. Так, наявність аномальних значень, які не узгоджуються з розподілом основної маси даних, може бути наслідком помилок спостереження або результатом незвичайної комбінації причин і умов, у яких функціонує одиниця сукупності. Ідентифікація таких спостережень дає можливість Усунути помилки, а якщо це неможливо, то вилучити аномальний об'єкт з подальшого аналізу. Якщо сукупність розшарована на групи (кластери), то в моделі можна врахувати таку неоднорідність.

Інформативність включених у модель факторних ознак залежить як від соціально-економічного змісту, так і від шкали вимірювання ознаки. Якщо ознака за змістом не інформативна, то ніякий спосіб моделювання не забезпечить належних результатів. Так само результати аналізу будуть суттєво різнитися залежно від того, якою шкалою представлено одну й ту саму ознаку (метричною, ранговою чи номінальною).

Ті властивості, що безпосередньо не вимірюються або не мають єдиного вимірника, включаються в модель у вигляді інтегральних оцінок. Наприклад, погодні умови характеризуються середньодобовою температурою повітря, кількістю опадів, тривалістю сонячного світла, хмарністю і т. ін. Усі ці характеристики агрегуються в індексі погодних умов.

Важливою умовою регресійного аналізу є відсутність мультиколінеарності, яка веде до зсунення оцінок параметрів моделі та унеможливлює коректну інтерпретацію результатів. Два фактори вважаються колінеарними, якщо коефіцієнт кореляції між ними перевищує сукупний коефіцієнт кореляції, тобто . Найпростіший спосіб усунення мультиколінеарності -- виключити одну із корельованих ознак із моделі або замінити її іншою. Часом колінеарні фактори агрегуються в одну узагальнюючу оцінку.

Стабільність не включених у модель факторів означає, що вплив їх на варіацію у незначний і врівноважується, він однаковий в усіх частинах сукупності. Математичною основою дотримання цих передумов МНК слугує імовірнісний розподіл залишків . Передбачається, що:

- для кожного спостереження залишок -- випадкова величина, яка має нормальний розподіл. Умова нормальності необхідна для визначення довірчих меж коефіцієнтів регресії і для перевірки гіпотез щодо їх істотності;

- математичне сподівання залишків М(е) = 0;

- дисперсія залишків однакова в усіх частинах сукупності: . Ця умова пов'язана з однорідністю сукупності;

- залишки незалежні, тобто відсутня серійна кореляція чи автокореляція даних.

Використовуючи параметри моделі, можна також оцінити потенційно можливі рівні показника-функції для кожної одиниці Окупності, визначити резерви збільшення (зменшення) показника у за рахунок факторів, які піддаються регулюванню (суб'єктивних факторів). У нашому прикладі -- це збільшення виходу цукру з 1 т сировини за рахунок зменшення витрат при зберіганні цукрового буряка і в процесі його переробки. Така оцінка, природно, орієнтована на кращі досягнення в галузі. Ефект регулювання і-го фактора на -му об'єкті визначається за формулою

,

де -- база порівняння, -- коефіцієнт регресії і-го фактора.

Застосовуючи цю методику, визначимо резерв збільшення виходу цукру з 1 т сировини для -го заводу (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Фактор	Рівень втрат, %	Відхилення	Коефіцієнт регресії	Ефект регулювання фактора
	фактичний	мінімальний
	1,06	0,90	0,16	-10,084	-1,613
	2,68	2,0	0,68	-1,729	-1,175
Разом	X	X	X	X	-2,788

Якщо мінімальні втрати цукрового буряка при переробці -- 2,0%, а на -му заводі -- 2,68%, то ефект доведення втрат до мінімального рівня становить (2,68-2,0)(-1,729) = -1,175. Зменшення втрат при зберіганні цукрового буряка дає ефект (1,06--0,90)(-10,084) = -1,613. Отже, сумарний ефект за рахунок обох факторів -2,788, а потенційно можливий вихід цукру з 1 т сировини за незмінності цукристості буряка, яка є зовнішнім, об'єктивним фактором, становить 11,91 кг. Відношення фактичного рівня до потенційно можливого характеризує ступінь використання об'єктивних можливостей. У розглянутому прикладі це відношення становить 9,13 : 11,91 =0,777, тобто ефективність використання сировини на заводі нижча за потенційно можливу на 23,3%. При визначенні резервів збільшення (зменшення) показника функції за рахунок регулювання суб'єктивних факторів базою порівняння може бути середня величина, норматив, стандарт тощо.

Функція нормального розподілу .

Додаток 1

z	00	11	22	23	44	55	66	77	88	99
00,0	500	504	508	512	516	520	524	528	532	536
00,1	540	544	548	552	556	560	564	567	571	575
00,2	580	583	587	591	595	599	603	606	610	614
00,3	618	622	626	629	633	637	641	644	648	652
00,4	655	659	663	666	670	674	677	681	684	688
00,5	691	695	698	702	705	709	712	716	719	722
00,6	726	729	732	736	739	742	745	749	752	755
00,7	758	761	764	767	770	773	776	779	782	785
00,8	788	791	794	797	800	802	805	808	811	813
00,9	816	819	821	824	826	829	831	834	836	839
11,0	841	844	846	849	851	853	855	858	860	862
11,1	864	867	869	871	873	875	877	879	881	883
11,2	885	887	889	891	893	894	896	898	900	901
11,3	903	905	907	908	910	911	913	915	916	918
11,4	919	921	922	924	925	926	928	929	931	932
11,5	933	934	936	937	938	939	941	942	943	944
11,6	945	946	947	948	950	951	952	953	954	954
11,7	955	956	957	958	959	960	961	962	962	963
11,8	964	965	966	966	967	968	969	969	970	971
11,9	971	972	973	973	974	974	975	976	976	977
22,0	977	978	978	979	979	980	980	981	981	982
22,1	982	983	983	983	984	984	985	985	985	986
22,2	986	986	987	987	987	988	988	988	989	989
22,3	989	990	990	990	990	991	991	991	991	992
22,4	992	992	992	992	993	993	993	993	993	994
22,5	994	994	994	994	994	995	995	995	995	995
22,6	995	995	996	996	996	996	996	996	996	996
22,8	997	998	998	998	998	998	998	998	998	998
22,9	998	998	998	998	998	998	998	999	999	999

Критичні значення

Додаток 2

/с	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
<х =0,10	2,71	4,61	6,25	7,78	9,24	10,64	12,02	13,36	14,68	15,99	17,28
а =0,05	3,84	5,99	7,81	9,49	11,07	12,59	14,07	15,51	16,92	18,31	19,67

Квантилі t-розподілу Стьюдента t_1-0,05 (k): | t | 1 -- двосторонній критерій; t-- односторонній критерій

Додаток 3

Іс	І'І	І	Ј	І'І	І
5	2,57	3,04	18	2,10	2,17
6	2,45	2,78	20	2,09	2,15
7	2,37	2,62	25	2,06	2,11
8	2,31	2,51	30	2,05	2,08
9	2,26	2,43	40	2,02	2,05
10	2,23	2,37	50	2,01	2,03
11	2,20	2,33	60	2,00	2,02
12	2,18	2,29	100	1,98	1,99
14	2,15	2,24		1,96	1,96
16	2,12	2,20

Значення Z* для оцінювання довірчих меж прогнозу (лінійний тренд)

Додаток 4

n	V	n	v
	1	2	3		1	2	3
5	1,366	1,524	1,702	10	1,211	1,270	1,335
7	1,309	1,427	1,558	11	1,191	1,239	1,293
8	1,267	1,358	1,459	12	1,174	1,215	1,260
9	1,236	1,308	1,389

Критичні значення циклічного коефіцієнта автокореляції (а = 0,05)

Додаток 5

n	Додатні значення	Від'ємні значення	n	Додатні значення	Від'ємні значення
5	0,253	-0,753	20	0,299	-0,399
6	0,345	-0,708	25	0,276	-0,356
7	0,370	-0,674	ЗО	0,257	-0,356
8	0,371	-0,625	35	0,242	-0,300
9	0,366	-0,593	40	0,229	-0,279
10	0,360	-0,564	50	0,208	-0,248
11	0,353	-0,539	60	0,191	-0,225
12	0,348	-0,516	70	0,178	-0,207
13	0,341	-0,497	80	0,170	-0,195
14	0,335	-0,479	90	0,161	-0,184
15	0,328	-0,462	100	0,154	-0,174

Квантилі F-розподілу ( = 0,05)

Додаток 6

k2	k1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,59	3,50	3,44	3,39	3,35
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85
12	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75
13	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2.51	2,42	2,36	2,30	2,25
26	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08
60	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99
120	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,09	2,02	1,96	1,91
	3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88	1,83

Критичні значення коефіцієнта детермінації R² кореляційного відношення ² для рівня істотності б = 0,05

Додаток 7

k2/k1	1	2	3	4	5
5	0,569	699	764	806	835
6	500	632	704	751	785
7	444	575	651	702	739
8	399	527	604	657	697
9	362	488	563	618	659
10	332	451	527	582	624
12	283	394	466	521	564
14	247	348	417	471	514
16	219	312	378	429	477
18	197	283	345	394	435
20	179	259	318	364	404
24	151	221	273	316	353
28	130	193	240	279	314
32	115	171	214	250	282
36	102	153	192	226	256
40	093	139	176	207	234
50	075	113	143	170	194
60	063	095	121	144	165
80	047	072	093	110	127
100	038	058	075	090	103
120	032	049	063	075	087
200	019	030	038	046	053