1.1 Теория мультипликатора

При выявлении условий равновесия на рынке благ следует обратить внимание на характерную особенность макроэкономической концепции Дж.М. Кейнса - возникновение мультипликативных эффектов при изменении автономного спроса. На том этапе анализа величина мультипликатора была определена при двух упрощающих предпосылках: Майбурд Е. М. Введение в историю экономической мысли. От пророков до профессоров. М.: Дело, Вита-Пресс, 2006. - С. 97

1) прирост совокупного спроса не сопровождается ростом ставки процента

2) при сложившемся уровне цен предприниматели могут предложить любой объем благ.

В ходе анализа взаимодействия рынков благ и денег можно обнаружить, что денежный рынок притормаживает мультипликативный эффект, так как при заданном предложении денег увеличение автономного спроса повышает ставку процента, сдерживая инвестиционную активность. В дополнение к этому учтем теперь, что прирост предложения благ, необходимый для восстановления равновесия после увеличения автономных расходов, может сопровождаться повышением уровня цен.

Из условия равновесия на рынке благ следует, что при изменении автономного спроса равновесие восстановится, если будет выполняться равенство

Из условия равновесия на денежном рынке

следует, что в случае нарушения равновесия для его восстановления необходимо обеспечить равенство

Решив равенство (2) относительно приращения ставки процента, найдем

Если в выражение (1) подставить значение di из равенства (3), то получаем условие восстановления равновесия после изменения автономного спроса одновременно на рынках благ и денег

Это сделано для того, чтобы учесть рост уровня цен при увеличении эффективного спроса. Определим, насколько должен возрасти уровень цен, чтобы совокупное предложение благ увеличилось на dy. Для этого воспользуемся уравнением эффекта производства:

Произведение перед dy в правой части выражения (5) определяет наклон кривой совокупного предложения на рынке благ.

Теперь можно определить условие восстановления общего экономического равновесия после изменения автономного спроса. Для этого нужно в уравнение (4) подставить значение dP из уравнения (5) и после преобразований получаем

Сомножитель, стоящий перед dA в формуле (6), есть мультипликатор полной кейнсианской модели. Он показывает, насколько возрастет величина равновесного национального дохода при увеличении автономного спроса на единицу. Второе слагаемое знаменателя определяет меру гашения мультипликативного эффекта рынками денег и труда: повышение уровня цен, необходимое для увеличения предложения благ, сокращает реальные кассовые остатки, повышая ставку процента и снижая спрос на инвестиции; в результате стимулирующее воздействие прироста автономных расходов уменьшается.

Из-за большого числа факторов, определяющих значение мультипликатора полной модели, нельзя однозначно сказать, больше он или меньше единицы. Можно лишь отметить, что прирост автономного спроса тем больше увеличит объем производства и занятость, чем меньше: Сидорович. В. А. Курс экономической теории. М.:Экономика.-2005.- С. 189

· коэффициент «оттоков» (y),

· объем инвестиций реагирует на изменение ставки процента (Ii),

· спрос на деньги зависит от величины реального дохода (ly),

· уровни цен и занятости () влияют на цену предложения труда;

и чем больше:

· предпочтение ликвидности в качестве имущества (li),

· предельная производительность труда (yN).

Посредством мультипликатора можно также представить в алгебраической форме последствия увеличения номинального количества денег в кейнсианской модели. Если в состоянии ОЭР возрастет предложение денег, то домашние хозяйства используют их на покупку облигаций, так как при заданной величине дохода спрос на деньги для сделок фиксирован. Увеличение спроса на облигации повысит их курс и снизит текущую ставку процента. Величину ее снижения определим, записав в приращениях условия на денежном рынке при фиксированных значениях уровня цен и национального дохода

Наглядно это представлено на рис. 1.

Рис. 1. Величина снижения i в случае увеличения M при фиксированной величине эффективного спроса

В результате такого снижения ставки процента спрос на инвестиции возрастет на

Чтобы узнать, насколько это увеличит равновесный национальный доход, нужно I умножить на мультипликатор полной модели (). Поэтому

Из сопоставления выражений (6) и (7) следует, что «отдача» дополнительного рубля государственных расходов во столько раз превышает «отдачу» дополнительного эмитируемого рубля, во сколько раз предельная склонность к предпочтению ликвидности больше предельной склонности к инвестированию

Мультипликационный эффект тесно взаимосвязан с акселеративным эффектом. Понятие акселератора было введено французским экономистом Р. Афтальоном в 1903 г., но неокейнсианские теоретики цикла - П. Самуэльсон, Дж. Хикс, Э. Хансен и др. детально разработали и использовали принцип акселерации при задании инвестиционной функции. Принцип акселерации представляет теорию индуцированных (производных) капиталовложений и связан с особенностями воспроизводства основного капитала. Если спрос постоянно растет, а наличные мощности находятся на пределе своих производственных возможностей, то тут появляются индуцированные инвестиции (Iин) Леонтьев В.В. Экономические эссе. -М., Республика, 2006. -С. 234. В отличие от автономных индуцированные инвестиции функционально зависят от величины национального дохода и служат для удовлетворения возросшего в результате роста дохода совокупного спроса. При этом между изменением Дохода и осуществлением инвестиций лежит временной лаг, в течение которого разрабатывается технический проект и затем осуществляется его материализация. Поэтому данная функциональная связь может быть формализована так:

Itин = Itин(yt-1-yt-2)

Из особенностей воспроизводства средств труда вытекает, что стоимость основного капитала (К0) превышает ту ее часть, которая уже перенесена на готовый продукт. Значит прирост инвестиций должен быть больше вызывающего его прироста дохода. На степень этого превышения и указывает акселератор (b). Другими словами, это показатель приростной капиталоемкости дохода

.

Поскольку рост основного капитала происходит за счет увеличения чистых инвестиций (In) правомерна и такая запись:

С учетом акселератора функция индуцированных инвестиций принимает вид:

Itин = b(yt-1-yt-2).

Рассмотрим динамику индуцированных инвестиций в течение нескольких периодов времени при различных вариантах изменения национального дохода. Допустим, что уровень последнего в базовом (t0) и в двух предшествующих ему периодах одинаков, а акселератор постоянен и равен трем. Для определения величины индуцированных инвестиций воспользуемся формулой

Itин=b· yt-1 = b(yt-1-yt-2).

I вариант. Равномерный рост национального дохода.

Пусть национальный доход в каждом последующем периоде возрастает на 30, а его базовое значение равно 60. Какова будет динамика индуцированных инвестиций в данной ситуации? (см. табл. 1).

Таблица 1

Динамика показателя производных инвестиций при условии равномерного роста национального дохода

Поскольку изменение дохода начиная с периода 1 составляет одну и ту же величину (30), уровень индуцированных инвестиций, появившихся в периоде 2, в дальнейшем остается неизменным (90). II вариант. Неравномерный рост национального дохода. Пусть национальный доход в каждом последующем периоде возрастает, но величина его прироста то увеличивается, то уменьшается. Таблица 2 отражает динамику индуцированных инвестиций при данном варианте изменения национального дохода. Поскольку в периодах 1 и 2 прирост национального дохода составлял одинаковую величину (30), то в периодах 2 и 3 индуцированные инвестиции сохранялись на уровне 90. В периоде 3 прирост дохода увеличился с 30 до 60. Поэтому в периоде 4 индуцированные инвестиции возросли с 90 до 180. В периоде 5 инвестиции упали со 180 до 30 единиц, поскольку в периоде 4 прирост дохода сократился с 60 до 10.

Таблица 2 Динамика показателя производных инвестиций при условии неравномерного роста национального дохода

Таким образом, при постоянном, но неравномерном росте дохода колебание величины прироста последнего обусловливает то увеличение, то уменьшение индуцированных инвестиций. III вариант. Неравномерные колебания национального дохода. Пусть национальный доход то растет, то уменьшается. Как это скажется на динамике индуцированных инвестиций (см. табл. 3).

Таблица 3 Динамика показателя производных инвестиций при условии неравномерных колебаний национального дохода

Данные таблицы показывают, что неравномерные колебания дохода вызывают еще более сильные по амплитуде колебания инвестиций. Если в предшествующем периоде доход падал, то инвестиции текущего периода принимают отрицательное значение. Например, в периоде 2 доход сократился на 25. Тогда в периоде 3 индуцированные инвестиции составили 75. Экономический смысл данного явления заключается в том, что чистые инвестиции (I_n) здесь отсутствуют, а средства, отпускаемые на возмещение износа (I_r) не обеспечивают простое воспроизводство основного капитала.

1.2 Механизм распространения циклических колебаний

В реальной жизни мультипликатор и акселератор взаимодействуют. Допустим, экономическая система находится в состоянии равновесия. Для осуществления какого-нибудь технического нововведения требуется увеличение автономных инвестиций, следствием которого будет увеличение спроса и рост национального дохода. Прирост последнего, в свою очередь, приведет к появлению производных инвестиций. Следовательно, эффект мультипликатора вызывает эффект акселератора и экономическая система из статического состояния переходит в динамическое. С учетом индуцированных инвестиций функция совокупного спроса примет вид: Добрынин А.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория: учебник. - СПб, Питер, 2005. - С. 134

y_t = MPC·y_t-2 + I_t^a +b(y_t-1 - y_t-2)

Таблица 4 Динамика показателя совокупного потребления, индуцированных инвестиций и национального дохода в результате однократного всплеска автономных инвестиций (MPC = 0,6; b = 0,7)

Рассмотрим механизм взаимодействия мультипликатора и акселератора на условном числовом примере. Пусть величина национального дохода в базовом и в двух предшествующих ему периодах равна 120. Базовый уровень автономных инвестиций - 48, предельная склонность к потреблению и акселератор постоянны и равны, соответственно, 0,6 и 0,7. Предположим, что в периоде 1 автономные инвестиции возросли с 48 до 60 и в дальнейшем сохранялись на этом уровне.

В периоде 1 национальный доход увеличился на величину прироста автономных инвестиций ( I₁^a = 12) и составил 132. Данное обстоятельство привело в периоде 2 к увеличению объема совокупного потребления до 79,2 и к появлению индуцированных инвестиций в размере 8,4. Это означает что здесь действуют и мультипликатор и акселератор.

В периоде 3 объем производных инвестиций достиг максимального значения (I_t^ин= 10,9), поскольку в предыдущем периоде произошел максимальный прирост национального дохода ( у₂ = y₂ - y₁ = 15,6). В дальнейшем (периоды 4 и 5) величина индуцированных капиталовложений уменьшалась из-за падения темпов прироста национального дохода в периодах 3 и 4. Более того, начиная с периода 6 производные инвестиции приняли отрицательное значение. Это объясняется снижением уровня дохода в предшествующем периоде (I₆^ин = -1,7, поскольку ( у₅ = y₅ - y₄ = 15,6). Совокупное потребление продолжало возрастать и в периоде 5 достигло максимальной величины (98,4), поскольку в предыдущем периоде национальный доход был максимален (164). В дальнейшем, с 6 по 10 период происходило снижение объема потребления.

Табличные данные и рисунок отражают затухающие колебания национального дохода, совокупного потребления и производных инвестиций. Если бы действовал только один мультипликатор, то при данном варианте автономного инвестирования система устремилась бы к новому равновесному состоянию. Подключение акселератора привело к волнообразным колебаниям экономической системы. Таким образом, форма экономических колебаний определяется значениями акселератора и предельной склонности к потреблению.

Формула совокупного спроса y_t=MPC·y_t-2 + I_t^a +b(y_t-1-y_t-2) представляет собой неоднородное разностное уравнение второго порядка. Если его преобразовать в однородное и решить, то мы получим пару комплексных корней b1,2 = (1 ± (1-МРС) )². Кривая ОЕ отражает значение b2, а кривая ЕК - значение b1. Выделяют четыре зоны парных значений МРС и b. В зависимости от того, в какую зону попадаем, мы получаем разный характер изменений национального дохода. В I и II зонах экономическая система стабильна. При этом в I зоне она характеризуется монотонным приближением к новому равновесию, а во П зоне - затухающими колебаниями. В III и IV зонах система неустойчива. При этом в III зоне колебания носят взрывной характер, а в IV зоне происходит монотонное удаление от равновесного состояния. Точки кривой ОЕК представляют комбинации МРС и b, вызывающие постоянные (равномерные) колебания дохода. Если теоретически взаимодействие мультипликатора и акселератора допускает взрывоопасные колебания, то на практике, как утверждает Дж. Хикс, взрывов не происходит, поскольку колебания дохода наталкиваются на определенные границы Любимов Л. Л., Раннеева Н. А. Основы экономических знаний. М., 2006. - С. 103. Верхний предел роста национального дохода задается уровнем полной занятости. Ударившись об этот «потолок» рост реального дохода прекращается. Тогда производные инвестиции сокращаются до нуля, что в свою очередь, приводит к сокращению общего спроса и дохода. В своем падении национальный доход наталкивается на нижний предел, определяемый величиной амортизационных отчислений для простого восстановления основного капитала. Отрицательно чистые капиталовложения не могут превышать величины «изношенного» капитала. Достигнув уровня последнего отрицательные инвестиции не меняются, а значит, сокращение дохода замедляется. А это, в свою очередь, ведет к сокращению отрицательных чистых капиталовложений, что обусловливает рост дохода, а за ним и индуцированных инвестиций. Таким образом, когда национальный доход достигает верхней или нижней границы, он меняет движение на противоположное, что исключает как взрыв, так и полное затухание цикла Любимов Л. Л., Раннеева Н. А. Основы экономических знаний. М., 2006. - С. 109. В наших числовых примерах мультипликатор и акселератор фигурируют в качестве постоянных величин. В реальной экономической жизни не существует постоянных коэффициентов мультипликации и акселерации в силу действия таких переменных факторов. Как научно-технический прогресс, сальдо торгового баланса, товарные запасы, степень монополизации производства и т. д. Хотя идея мультипликатора-акселератора принадлежит кейнсианской школе, она уже давно используется в макроэкономических моделях представителей других направлений экономической мысли.

2. Модели взаимодействия мультипликатора и акселератора

2.1 Модель Самуэльсона-Хикса

Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен Майбурд Е. М. Введение в историю экономической мысли. От пророков до профессоров. М.: Дело, Вита-Пресс, 2006. - С. 203.

Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде

Ct = Ca,t + Cyyt-1,

где Ca - автономное потребление.

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде

It = Ia,t + (yt-1 - yt-2).

На рынке благ установится динамическое равновесие, если

где

At = Сa,t + Ia,t.

Уравнение (8) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

При фиксированной величине автономных расходов (At = A = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е.
yt = yt-1 = yt-2 = ... = yt-n = , где n - число периодов с неизменной величиной автономных расходов.

Из уравнения (8) следует, что  = A/(1 - Cy).

Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.

Освободимся от неоднородности в уравнении (8). Значения yt и удовлетворяют равенству (8), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:

где

yt  yt - .

Так как yt =  + yt, то направление изменения yt определяется направлением изменения yt.

Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений следует, что характер изменения yt зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (Cy + )2 - 4, то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины мультипликатора и акселератора.

Рис. 2. Четыре области сочетаний Cy

Если (Cy + )2 - 4 > 0, то изменение yt происходит монотонно;

при (Cy + ) 2 - 4 < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции , изображенный на рис. 1, отделяет множество сочетаний Cy, , обеспечивающих монотонное изменение yt, от множества комбинаций из значений Cy, , приводящих к колебаниям yt.

Устремляется ли значение yt к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если  < 1, то равновесие установится на определенном уровне. При  > 1 нарушенное 1 раз равновесие больше не восстановится. Когда  = 1 , тогда значение yt будет колебаться с постоянной амплитудой.

В результате все множество сочетаний Cy и оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 1. Если значения Cy и указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение yt монотонно устремится к новому равновесному уровню При значениях Cy и , находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений Cy и , расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки B на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений Cy, указывают на область III, тогда динамика yt приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений Cy, в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия yt монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания yt.

В рассматриваемой модели динамика национального дохода в случаях, когда сочетания Cy, соответствуют областям III и IV (см. рис. 2), представляется неправдоподобной: не может в коротком периоде объем производства многократно возрасти или снизится. Это противоречие объясняется тем, что в модели не были учтены два обстоятельства. Во-первых, произведенный национальный доход не может существенно превысить национальный доход полной занятости; этим ограничивается амплитуда колебаний объема национального дохода сверху. Во-вторых, как отмечалось в выше, объем отрицательных индуцированных инвестиций не может превысить сумму амортизации; это ограничивает амплитуду колебания национального дохода снизу. В результате, когда сочетания Cy, соответствуют областям III и IV, модель взаимодействия мультипликатора и акселератора принимает вид

где Iin,t = max{-D; (yt-1 - yt-2)}, если yt < yF, и Iin,t = yt - Ct - Ia,t при yt  yF.

С учетом этих обстоятельств приращение автономных инвестиций приводит к колебаниям национального дохода даже при нахождении сочетания Cy, в области IV.

Включим в модель взаимодействия мультипликатора и акселератора еще один фактор - рост населения. Пусть в результате роста населения автономный спрос ежегодно увеличивается в (1 + n) раз. Тогда уравнение (8) принимает вид

В этом случае вследствие мультипликативного эффекта величина равновесного национального дохода ежегодно будет возрастать в (1 + n) раз:

Первый сомножитель в правой части выражения (3) называют супермультипликатором Хикса. Он показывает, насколько увеличивается совокупный спрос в году t, если в дополнение к ежегодному росту автономного спроса, обусловленного ростом населения, на единицу возрастут автономные инвестиции Майбурд Е. М. Введение в историю экономической мысли. От пророков до профессоров. М.: Дело, Вита-Пресс, 2006. - С. 144.

Вследствие ежегодного увеличения населения с тем же темпом будут расти автономные расходы и национальный доход полной занятости - верхний предел возможных колебаний национального дохода

yF,t = yF,0(1 + n)t.

Экзогенный рост автономного спроса повышает и нижнюю границу колебаний национального дохода, даже если допустить рост амортизационных отчислений с тем же темпом, что и автономный спрос

Dt = D0(1 + n)t = -In,t,min.

Тогда в ситуациях, соответствующих областям III и IV, после увеличения автономного спроса с темпом (1 + n) колебания национального дохода будут происходить в наклонном коридоре.

2.2 Модель Тевеса