Синергетические подходы в антикризисном регулировании

14

Введение

В работе с использованием методов теории самоорганизации (синергетика) анализируются возможности антикризисной регуляции макроэкономики, показано, что системный кризис, формально вызван внешними макроэкономическими факторами, может иметь в основании проблемные социально-экономические отношения и из-за ухудшения общего экономического положения противоречия становятся доминирующими, которые могут иметь следствием полный дисбаланс всей системы.

Среди математических методов, которые применяются для анализа экономических систем, методы синергетики, или теории самоорганизации, занимают особое место. Главное их отличие от традиционных подходов заключается в способе использования математического аппарата. Если в традиционном варианте любое математическое моделирование или прогнозирование имеет целью выяснение количественных характеристик или показателей, то в рамках синергетического анализа получают результаты на качественном уровне. В порядке аналогии можно привести классическую модель Альфреда Маршалла с кривыми спроса и предложения: она не позволяет количественно указать цену равновесия (для этого, как минимум, нужно знать уравнения кривых спроса и предложения), но на основе наиболее общих свойств этих кривых можно установить тип динамики цены при изменении совокупного спроса либо предложения. Примерно тем же целям служат синергетические модели. Их применяют тогда, когда исследуемая система характеризуется сложной структурой с многими конкурирующими факторами, действующими одновременно. Спецификой таких систем является нелинейность в широком смысле этого понятия. Создание для них точных математических моделей, которые давали бы удовлетворительные количественные результаты, - задача чрезвычайно сложная, а то и вообще нереальная. Именно из-за нелинейности для получения приемлемого количественного результата следует учитывать самые незначительные, на первый взгляд, факторы. Более того, для нелинейных систем принципиальным является вопрос устойчивости решений. Иными словами, даже полученное для нелинейной модели точное аналитическое решение может оказаться бесполезным, ибо, образно говоря, описывает незапрещенный вариант развития событий, который, тем не менее, не реализуется на практике. Изложенное ни в коем случае не ставит под сомнение возможности применять математические методы для анализа экономических систем, а только лишь указывает на сложность задач, с которыми приходится сталкиваться.

В рамках синергетического подхода также используются нелинейные модели (как правило, это нелинейные дифференциальные уравнения), но несколько иным способом. Точнее, при создании синергетических моделей выдвигаются иные критерии по сравнению с обычным математическим моделированием. Здесь на первый план, вместе с требованием адекватности модели по отношению к реальной исследуемой ситуации или системе, выдвигается требование топологической устойчивости. На практике топологическая устойчивость модели означает, что результаты, полученные в рамках последней на качественном уровне, не зависят от конкретного вида использованных в модели функциональных зависимостей, а определяются только их наиболее общими свойствами. Этот, на первый взгляд, незначительный факт имеет серьезные перспективные последствия, поскольку позволяет использовать существенно упрощенные модели, которые на качественном уровне адекватно описывают экономическую систему.

Таким образом, в рамках синергетического подхода отказываются от количественных оценок (выполняют только качественные), но такая уступка в требованиях к базовой модели имеет преимущество, поскольку появляется возможность использовать относительно простые модели, допускающие проведение эффективного анализа. Более того, для синергетических моделей характерной чертой является универсальность: оказывается, что явления различной природы из области физики, химии, биологии, социологии, экономики описываются одинаковыми математическими моделями. Некоторые из них, несмотря на относительно молодой возраст синергетики как научного направления, уже успели обрести статус «классических».

Преимуществами описанного выше подхода воспользуемся для анализа возможных последствий макроэкономического регулирования при условии кризисного изменения внешнеэкономических факторов.

1. Синергетические подходы в антикризисном регулировании

Чтобы исследовать динамику макроэкономической системы, воспользуемся синергетической моделью логистического типа. В частности, обозначим через x(t) показатель уровня развития экономической системы (например, внутренний национальный продукт), который является функцией времени / и который для удобства в дальнейшем будем называть экономическим потенциалом, а его увеличение или уменьшение - отождествлять, соответственно, с ростом или сокращением экономики. Динамика этого показателя описывается дифференциальным уравнением

dx/dt = kx(t) (x₀-x(f)) - n(x), (1)

где dx/dt - производная во времени от функции x(t);

к - темпы развития макроэкономической системы;

х₀ соответствует оптимальному значению для показателя x(t). Производная в левой части уравнения (1) определяет темпы динамики макроэкономической системы. Слагаемые в правой части соответствуют факторам, которые определяют динамику системы. В нашем случае их два. Естественное воспроизводство описывается слагаемым kx(t) (x₀-x(t)), которое, в сущности, соответствует воспроизводству, пропорциональному показателю развития экономики x(t), но коэффициент пропорциональности уменьшается с ростом параметра x(t) в силу возрастающей конкуренции, ограниченности природных и трудовых ресурсов и т.д. Зависимость такого типа хорошо известна и широко используется для описания различных процессов. Слагаемое п(х) (с отрицательным знаком) описывает потери системы - изъятые из процесса воспроизводства ресурсы, в том числе в виде уплаченных налогов. Чтобы упростить дальнейший анализ, рассмотрим это слагаемое в виде п(х) = а + bx. Параметр а означает наличие постоянных потерь (то есть таких, которые не зависят или мало зависят от состояния экономики), а параметр b определяет потери системы как долю от уровня показателя развития экономики. Первое слагаемое а может, в частности, описывать уровень теневых отчислений, а слагаемое bх описывает налоговое давление, при этом b есть обобщенный показатель ставки налога. В некотором смысле обозначенная уравнением (1) модель принадлежит к указанным выше «классическим» моделям синергетики и довольно часто используется в социальных и экономических исследованиях.

Для формального анализа уравнение (1) можно упростить путем обезразмеривания переменных, которые в него входят. Эта исключительно математическая процедура заключается втом, что в базовом уравнении (1) переходим к новым обозначениям и полагаем х=(х₀ - b/k) z, а также масштабируем время t = т(х₀ - b/к)/а и вводим параметр

? = к(х₀ - b/к)²/а. (2)

Тогда уравнение модели для вновь введенного показателя z(?) запишется следующим образом:

dz/d?= ?z(?) (1-z(?) - 1. (3)

Уравнение содержит, наряду с неизвестной функцией всего один параметр ?, который имеет смысл обобщенного безразмерного показателя и определяет динамику системы, причем не только количественно, но и качественно. Этот показатель связан с темпами роста экономики и, кроме всего прочего, зависит от внешних экономических факторов. Их изменение имеет следствием изменение параметра ?. Как показывает анализ уравнения (3), критическим является значение ?_с = 4, поскольку при ? > ?_с экономическая система эволюционирует нормально, без катастрофических последствий даже при условии ухудшения внешних экономических показателей. Но если эти показатели ухудшаются настолько, что ?< ?_c тогда в системе начинают происходить необратимые процессы, которые приводят в конечном счете к ее полному коллапсу.

Хотя уравнение можно решить аналитически, ограничимся качественным анализом на основе фазовых траекторий (или фазовых кривых) системы. Фазовая траектория является удобным инструментом для анализа динамики систем различной природы, в том числе и экономических. Она представляет собой кривую в координатной плоскости, где по горизонтали откладываются значения параметра z(?), а по вертикали - значения производной dz/d? в тот же момент времени.

Для разных значений параметра ?, согласно уравнению, получаем различные фазовые траектории, однако в любом случае это параболы. Все они при z = 0 и z = 1 соответствуют значению dz/? = -1 и в зависимости от значения параметра ? могут:

а) пересекать горизонтальную ось в двух точках (при ? >?_с-кривая 1 на рис. 1);

б) касаться горизонтальной оси при z - 1/2 (при ? = ?_с - кривая 2 на рис. 1);

в) не пересекать горизонтальную ось.

Таким образом, каждому значению параметра ? соответствует своя фазовая траектория. Состояние системы при фиксированном значении ? в любой момент времени можно обозначить точкой на фазовой траектории. Динамика системы соответствует изменению положения этой точки на фазовой траектории. Важно, в каком направлении движется система: экономика растет, когда движение происходит с увеличением параметра z, то есть вправо вдоль фазовой кривой. С другой стороны, изменение параметра z определяется знаком производной dz/d?, которая откладывается вдоль вертикальной оси. При положительных значениях dz/d? параметр z растет, а при отрицательных, наоборот, уменьшается. Положительной производная dz/d? будет там, где фазовая траектория находится выше горизонтальной оси. Следовательно, движение по фазовой траектории идет слева направо вдоль фазовой кривой (экономика растет), если система находится на участке фазовой траектории, который лежит выше горизонтальной оси. Для участков фазовой траектории, которые находятся ниже горизонтальной оси, движение идет справа налево (экономический потенциал сокращается).

Эти простые рассуждения позволяют прийти к некоторым важным выводам. А именно, если ? ? ?_с, то каким бы ни было начальное состояние системы (уровень развития экономики), она эволюционирует так, что параметр z постоянно уменьшается - в конце концов до нуля. Такая ситуация с экономической точки зрения соответствует полному дисбалансу системы, вплоть до окончательного ее разрушения. На рисунке 1 такой сценарий реализуется для кривых 2 и 3. Несколько иначе складывается ситуация для фазовых кривых типа 1. Как уже говорилось, при ? > ?_с фазовая траектория пересекает горизонтальную ось в двух точках, где производная dz/d?=0. Такие состояния системы называются стационарными⁹. На рисунке 1 соответствующие точки обозначены как А и В. Если в начальный момент система находится на фазовой кривой типа I справа от точки А, она рано или поздно окажется в точке В, поскольку справа и слева от нее движение идет в направлении к ней. Это стационарное состояние является устойчивым. В отличие от него, стационарное состояние в точке А неустойчиво, поскольку движение по фазовой траектории идет от точки А. Следовательно, для фазовых кривых типа 1 катастрофическое сокращение экономики имеет место, если система окажется слева от стационарной точки А. Это означает, что даже в благоприятных условиях, когда параметр ? > ?_c но экономика развита плохо (то есть z < z_min), она все равно сокращается до нуля.

2. Антикризисное регулирование

Исходя из предложенной модели можно проанализировать несколько сценариев развития событий, имеющих непосредственное отношение к антикризисному макроэкономическому регулированию. В их основе лежит резкое уменьшение показателя ?. Нас будут интересовать, прежде всего, те сценарии, которые приводят к нежелательным последствиям - разрушению макроэкономической системы. Здесь остановимся только на двух, самых простых и реалистичных.

В первом случае на начальном этапе система находится на фазовой кривой типа I, в области между точками А и В. При таких условиях экономика растет. Если изменение внешних экономических факторов приводит к незначительному уменьшению параметра Я, система переходит на другую фазовую траекторию, но того же типа (то есть типа I). Ее развитие продолжается, но более медленными темпами. Если же уменьшение параметра ? настолько значительно, что кривая типа 1 становится кривой 2 или 3, то общая ситуация меняется принципиально: теперь неизбежным является сокращение экономики, даже если ее нынешний потенциал остается на достаточно высоком уровне. Такая ситуация проиллюстрирована на рисунке 2.

В начальный момент экономика находится в состоянии, соответствующем точке А на фазовой траектории 1, и растет. После изменения параметра ? (например, вследствие мирового экономического кризиса) фазовая траектория 1 переходит в фазовую траекторию 2, а состояние экономики соответствует точке В. Потенциал экономики при этом тот же, но теперь он вместо того, чтобы расти, сокращается. Если ничего не переменится на макроуровне, результат пессимистический. Однако даже если параметр ? через какое-то время возвратится к своему начальному состоянию, нет никаких гарантий, что экономика сможет восстановиться. Именно такая ситуация нашла отражение на рисунке 2. В частности, из точки В система эволюционирует в точку Сна фазовой кривой 2, после чего параметр Я возвращается к своему начальному значению (то есть значению, при котором система находилась в точке А). Это означает, что фазовая траектория 2 переходит в фазовую траекторию I, а система из точки С переходит в точку D. Но теперь потенциал экономики находится на слишком низком уровне, чтобы восстановиться, и она продолжает сокращаться.

В начальный момент система находится в точке А на кривой 1 (параметр ? > ?_с). После изменения параметра ? система переходит в точку В на кривой 2 (параметр ?< ?_с) и эволюционирует к точке С. Если параметр Я возвращается к своему начальному значению, переход системы в точку D на кривой 1 положения не исправляет: экономический потенциал сокращается

К неутешительным результатам приводит и второй сценарий развития событий. Рассмотрим рисунок 1, где начальное состояние экономики показано на фазовой кривой I точкой А. Фазовая кривая I соответствует случаю ? >?_c и экономика находится в состоянии роста. После уменьшения параметра ? фазовая кривая I переходит в фазовую кривую 2, при этом состояние экономики соответствует точке В на кривой 2. Отличие данного сценария от предыдущего заключается в том, что даже для кривой 2 условие ? > ?_с остается справедливым. Но теперь на новой фазовой кривой, по сравнению с предыдущей кривой I, значение z_min выросло, и потому имеет место соотношение z < z_min - экономический потенциал сокращается. Когда система находится в точке С на кривой 2, параметр Я меняет значение на начальное и фазовая кривая 2 переходит в фазовую кривую I. На кривой 1 состояние системы соответствует точке D. Поскольку теперь и на кривой 1 имеет место условие z < z_min, продолжается сокращение экономического потенциала, только меньшими темпами.

Разумеется, рассмотренные выше ситуации смоделированы. На практике подобные сценарии развития событий, как правило, оканчиваются революциями, сменами политических режимов и прочими социальными катаклизмами, чему есть много примеров в истории. Однако, принимая во внимание топологическую устойчивость использованной логистической модели, можно прийти к некоторым выводам достаточно универсального характера. В первую очередь, проделаем определенное обобщение приведенных выше результатов. В частности, существуют две характеристики, которые на качественном уровне влияют на динамику экономической системы. Это «критическое» значение ?_с параметра ? и нижняя граница z_min для показателя z. Для того чтобы в экономике не начались необратимые разрушительные процессы, должны выполняться два условия: ?>?_c и z> z_min. Конечно, измерить на практике или хотя бы определить параметры ? и z_min - задача нереальная. Но она и не ставится.

В начальный момент система находится в точке А на кривой I (? > ?_с). После изменения параметра ? система переходит в точку В на кривой 2 (параметр ? > ?_с) и эволюционирует к точке С. Если параметр ? возвращается к своему первоначальному значению, переход системы в точку D на кривой 1 положения не исправляет, экономический потенциал сокращается

На самом деле нужно выяснить, какие факторы воздействуют на значения параметров ? и z_min и какие меры следует предпринять, чтобы увеличить значение параметра ? и уменьшить значение параметра z_min. Более того, поскольку для параметра имеет место соотношение (4), в которое входят только параметры ? и ?_c а параметр ?_с=4 есть величина постоянная, остается дать ответ на вопрос об увеличении параметра ? (значение при этом z_min. автоматически уменьшается). Для этого обратимся к способу, которым на основе модели (1) вводился параметр ?, то есть рассмотрим соотношение (2). В нем, напомним, параметр х₀ - это оптимальный уровень экономического потенциала, и данная характеристика, скорее, связана с уровнем развития производительных сил, квалификацией рабочей силы, наличием земельных ресурсов и т.п., то есть с факторами, которые если и испытывают внешнее воздействие, то изменяются не слишком быстро. Поэтому целесообразно предположить, что данный параметр остается неизменным. Фактически за изменение общей конъюнктуры отвечает параметр модели, и, очевидно, во время кризиса он уменьшается. Что же касается параметров а и b, то они служат как раз теми рычагами, через которые государство воздействует на макроэкономическую ситуацию. Если в силу каких-то обстоятельств коэффициент k уменьшается в т раз, то есть к > к/т, то для неизменности параметра Я необходимо уменьшить в т раз показатели а и b. Математически эта процедура тривиальна, но на практике сделать соответствующую корректировку трудно. Основная опасность связана с параметром а. Действительно, уменьшение параметра Ъ означает фактическое уменьшение экономического (налогового, в первую очередь) давления на субъектов предпринимательской деятельности. Такая процедура хотя и не безукоризненно, но может быть просчитана. Параметром а «управлять» намного труднее, поскольку в нем «скрыты» в значительной мере неэкономические потери, в том числе связанные с теневым сектором экономики. Проблема же заключается в том, что для эффективного управления экономикой нужно влиять на оба параметра - а и b. Действительно, даже если считать b = 0, для развития экономики необходимо выполнить условие, что

a< (5)

Если механизмов воздействия на показатель а нет, а параметр k уменьшается настолько, что условие (5) перестает выполняться, экономику ожидает коллапс, который можно предотвратить, в частности, при помощи социальных реформ, связанных, в первую очередь, со снижением уровня коррупции в экономической сфере.

Заключение

Предложенный нами качественный анализ на основе достаточно простой, хотя и нелинейной модели позволяет утверждать, что при появлении серьезных кризисных событий в экономике, вызванных внешними факторами, антикризисное управление исключительно экономическими методами может оказаться неэффективным в силу социальных причин. Если экономические механизмы государства являются не в полной мере рыночными, такие причины могут быть определяющими, следовательно, восприимчивость национальных хозяйственных систем к мировым экономическим кризисам зависит не только от интегрированности в международные связи, но и от национальных особенностей, прежде всего, таких как доля теневого сектора и уровень коррумпированности в государстве. Вот почему формально правильные действия правительства по стабилизации макроэкономики могут не принести желаемых результатов. Более того, существенно меняется понятие допустимого уровня коррупции в государстве, поскольку «приемлемый» при высоких темпах экономического развития ее уровень может стать абсолютно недопустимым (с точки зрения самого существования экономической системы) в обстоятельствах глобального кризиса.

Литература

1. Хакен Г. Синергетика. М., «Мир», 1980, 406 с.

2. Васильев А. Синергетические подходы в экономической теории. «Экономика Украины» №5, 2007, с. 75-78

3. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М., МЦНМО, 2008, 32 с.

4. Васильев А.Н., Модель самоорганизации рынка труда. «Экономика и математические методы», т. 37, 2001, №2, с. 123-127

5. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для двух отраслей экономики. «Экономика и математические методы», т. 40, 2004, №4, с. 137-139.

6. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М., «Наука», 1997, 286 с.

7. Балацкий Е.В., Лапин В.И. Диффузионная модель динамики инновационного рынка с учетом налогового фактора. «Финансовый бизнес» №4,2004, с. 36-40.