Изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода

Содержание

1. Выборочное наблюдение

1.1 Постановка задачи

1.2 Исходные данные для расчетов

1.3 Вычисление средних затрат времени на изготовление одной детали

1.4 Вычисления среднего квадрата и среднего квадратического отклонения

1.5 Вычисление коэффициента вариации

1.6 Вычисление предельной ошибки выборочного среднего и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе

1.7 Вычисление предельной ошибки выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на изготовление от t₁ до t₂ минут

2. Индексы

2.1 Постановка задачи

2.2 Исходные данные для расчетов

2.3 Вычисление общего индекса затрат на производство продукции

2.4 Вычисление общего индекса себестоимости продукции

2.5 Вычисление общего индекса физического объема производства продукции

2.6 Вывод

3. Прогнозирование на основе линейной трендовой модели

3.1 Задание 1. Постановка задачи

3.2 Исходные данные

3.3 Составим уравнение линейной регрессии , характеризующее изменение остатков вкладов населения в коммерческом банке по месяцам года

3.4 Дадим интерпретацию коэффициенту регрессии в

3.5 Рассчитаем по найденному уравнению теоретические (выравненные) уровни и сравним

3.6 Спрогнозируем величину остатков вкладов населения в коммерческом банке для следующего месяца

3.7 Задание 2

3.8 Вывод

4. Список литературы



1. Выборочное наблюдение

1.1 Постановка задачи

В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода 10%-ная случайная выборка, в результате которой получено распределение деталей по затратам времени, представленное в таблице 1.

На основании этих данных вычислите:

1. средние затраты времени на изготовление одной детали;

2. средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратное отклонение;

3. коэффициент вариации;

4. с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

5. с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от t₁ до t₂ минут (область от t₁ до t₂ для варианта выделена жирно в табл. 1).

1.2 Исходные данные для расчетов

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число деталей, шт.
До10	7
10-12	18
12-14	34
14-16	26
16 и более	15
Итого:	100



1.3 Вычисление средних затрат времени на изготовление одной детали

У нас значения усредняемого признака заданы в виде интервалов, то есть интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

От интегрального ряда перейдем к дискретному путем замены интегральных

значений их средними значениями f (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала).

При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число деталей f, шт.	Середина интервала	хf
До 10	8	9	63
10-12	17	11	198
12-14	37	13	442
14-16	27	15	390
16 и более	11	17	255
Итого:	?f=100		?xf=1348

После того, как найдены середины интервалов, вычисления делаются, как в дискретном ряду - варианты умножают на частоты и сумму произведений делят на сумму частот:

=?xf/?f=1348/100=13,48 ?13 мин.

Итак, на изготовление одной детали уходит в среднем приблизительно 13 минут.



1.4 Вычисление дисперсии и среднего квадратического отклонения

Дисперсия (S²) признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, мы определяем ее по формуле взвешенной дисперсии:

S²===5,05

Среднее квадратическое отклонение (S) равно корню квадратному из дисперсии:

S==?2,25 мин.

Среднее квадратическое отклонение (S) - это обобщенная характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Значит, на 2,25 минуты затраты времени в среднем отклоняются от средних затрат времени на изготовление одной детали.

1.5 Вычисления коэффициента вариации

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

н==100=16,67%



Значит, совокупность по затрату времени на одну деталь считается количественно однородной (т.к. полученный коэффициент вариации не превышает 33%).

1.6 Вычисление предельной ошибки выборочного среднего и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе

Заданная вероятность составляет 0,954, значит, по таблице нормального распределения вероятностей получим значение нормированного отклонения (t=2).

а) определяем ошибку выборочной средней при бесповторном отборе:

Так как у нас произведена 10%-ная выборка то коэффициент выборки равен 0,1 (), объем выборки равен 100 (n=100).

б) переходим от выборочной средней ( к генеральной средней (:

=13,480,43

13,0513,91

Получаем, что ошибка выборочной средней равна 0,43, а возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали, составляют 13,0513,91.



1.7 . Вычисление предельной ошибки выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на изготовление от t₁ до t₂ минут

Заданная вероятность составляет 0,954, значит, по таблице нормального распределения вероятностей получим значение нормированного отклонения (t=2). Так как t₁=8, t₂=14, m=7+18+34=59 (m - число единиц, обладающих изучаемым признаком).

а) определяем выборочную долю: Так как у нас произведена 10%-ная выборка то коэффициент выборки равен 0,1 (), объем выборки равен 100 (n=100).

б) определяем ошибку выборочной доли при бесповторном отборе:

в) переходим от выборочной доли (w к генеральной доле (:

0,540,64, 54%64%

Получаем, что ошибка выборочной доли равна 0,1 (т.е. выбранная доля отклоняется от генеральной на 10%) , а границы удельного веса числа деталей составляют 54%64%.



2. Индексы

2.1 Постановка задачи

Динамика себестоимости и объема производства продукции характеризуется данными представленными в таблице.

На основании имеющихся данных вычислите по двум видам продукции вместе общий индекс:

- затрат на производство продукции;

- себестоимости продукции;

- физического объема производства продукции.

Определите в отсчетном периоде изменение суммы затрат на производство продукции и разложите по фактора (за счет изменения себе стоимости и объема выработанной продукции).

Показать взаимосвязь между исчисленными индексами.

2.2 Исходные данные для расчетов

Вид продукции	Выработано продукции, ед. за период	Себестоимость единицы продукции, тыс.руб.
	базисный	отчетный	базисный	отчетный
АМ-6	850	650	5,7	5,5
ТБ-2	640	580	6,5	6,6

2.3 Вычисление общего индекса затрат на производство продукции

Начнем решение с обозначения:

q - количество(объем) какого-либо продукта, изделия в натуральном выражение (в базисный период, в отчетный период);

z - себестоимость единицы продукции(в базисный период(z₀), в отчетный период(z₁));

zq - затраты на производство всей продукции;

Индекс затрат на производство продукции представляет собой отношение затрат на производство продукции текущего(отчетного) периода ?q₁z₁ к затратам на производство продукции базисного периода ?q₀z₀:

Затраты на производство продукции отчетного периода по сравнению с базисным уменьшились в 0,82 раза.

Если 82%-100%=-18%, значит на 18% снизились затраты на производство продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным.

=7403-9005=-1602 тыс.руб.

Следовательно, на 1602 тыс. руб. снизились затраты на производство продукции в текущем периоде по сравнению с базисным.

2.4 Вычисление общего индекса себестоимости продукции

Индекс себестоимости продукции характеризует среднее изменение себестоимости единицы продукции отчетного периода по сопоставимому с базисным периодом кругу продукции.

где

затраты на производство той же продукции, если бы себестоимость единицы продукции оставалась на уровне базисного периода.

В среднем уровень себестоимости на продукцию, произведенную в отчетном периоде, уменьшился в 0,99 раз.

Если 99%-100%=-1%, то на 1% в среднем снизился уровень себестоимости на продукцию, произведенную в отчетном периоде.

=7403-7475=-72

Следовательно, экономия составляет 72 тыс. рублей.

2.5 Вычисление общего индекса физического объема производства продукции

Индекс физического объема производства продукции:

Следовательно, физический объем производства всей продукции в отчетном периоде составляет 83% от его уровня в базисном периоде.

Если 83%-100%=-17%, то на 17% снизился физический объем всей продукции.

Вычитая из числителя знаменатель, находим абсолютное снижение стоимости продукции в неизменной себестоимости:

=7475-9005=-1530 тыс. руб.

Следовательно, в отчетном периоде стоимость продукции уменьшилась в абсолютном выражение на 1530 тыс. руб.



2.6 Вывод

Вычисленные индексы выражают свое определенное значение, но они также и имеют некою взаимосвязь:

0,82=0,99*0,83. Данная проверка показывает, что полученные нами индексы вычислены верно.



3. Прогнозирование на основе линейной трендовой модели

3.1 Задание 1. Постановка задачи

На основании исходных данных, используя метод аналитического выравнивания, выполнить следующие действия:

а) составить уравнение линейной регрессии , характеризующее изменение остатков вкладов населения в коммерческом банке по месяцам года;

б) дать интерпретацию коэффициенту регрессии в, что он в содержательном плане обозначает для составленного уравнения регрессии;

в) рассчитать по найденному уравнению теоретические (выравненные) уровни. Одновременно проверить правильность расчетов параметров уравнения регрессии, когда соблюдается равенство сумм фактических и теоретических значений результативного признака, т.е. = (при этом возможно некоторое расхождение вследствие округления расчетов).

д) спрогнозировать величину остатков вкладов населения в коммерческом банке для следующего (будущего) временного периода (месяца);

е) сделать общий вывод по проведенным расчетам.

3.2 Исходные данные

Исходные данные об остатках (на начало месяца) вкладов населения в коммерческом банке (млн. руб.)

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Остатки вкладов населения, млн. руб.	22,5	24,1	26,8	28,3	29,4	28,0	32,8	35,7	37,2



3.3 Составим уравнение линейной регрессии , характеризующее изменение остатков вкладов населения в коммерческом банке по месяцам года

Примем за точку отсчета 5 месяц.

Для определения параметров уравнения а и в составим расчетную таблицу:

Месяцы	Остатки вкладов населения, млн. руб.	Условные месяцы t	t2	уt	уt
1	22,5	-4	16	-90	22,38
2	24,1	-3	9	-72,3	24,14
3	26,8	-2	4	-53,6	25,9
4	28,3	-1	1	-28,3	27,66
5	29,4	0	0	0	29,42
6	28,0	1	1	28,0	31,18
7	32,8	2	4	65,6	32,94
8	35,7	3	9	107,1	34,7
9	37,2	4	16	148,8	36,46
Итого	=264,8		=60	=105,3	?уt =264,78

= млн. руб.;

млн. руб.

Таким образом, уравнение прямой примет вид у_t =29,42+1,76*t .



3.4 Дадим интерпретацию коэффициенту регрессии в

Коэффициент регрессии одна из характеристик связи между зависимой и не зависимой переменной. Геометрически коэффициент регрессии является угловым коэффициентом наклона линии у.

Коэффициент регрессии в показывает, как изменится величина остатков вкладов населения в зависимости от месяца.

3.5 Рассчитаем по найденному уравнению теоретические (выравненные) уровни и сравним

Для того чтобы это получить подставим в уравнение у_t =29,42+1,76*t значение t (условные месяцы).

Для проверки правильности расчетов параметров уравнения регрессии, сравним суммы фактических и теоретических значений результативного признака,

=.

264,8?264,78

Значения фактически равны. Лишь существует небольшая погрешность из-за округлений. Это означает, что все вычисления были проделаны правильно.

Представим графики фактических и теоретических уровней ряда:



3.6 Спрогнозируем величину остатков вкладов населения в коммерческом банке для следующего месяца

Значение следующего условного месяца будет равно 5. Подставим значение в уравнение у_t =29,42+1,76*t и получим: у_t =29,42+1,76*5=38,22 млн. руб.

3.7 Задание 2

Исходные данные по производству продукции (тыс. шт.).

Годы	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Объем производства (тыс. шт.)	18,1	18,6	20,4	18,3	20,4	23,8	24,1

Составим уравнение линейной регрессии , характеризующее изменение остатков вкладов населения в коммерческом банке по месяцам года.

Примем за точку отсчета 2002 год.

Для определения параметров уравнения а и в составим расчетную таблицу:



Годы	Объем производства, (тыс. шт.)	Условные годы, t	t2	уt	уt
1999	18,1	-3	9	-54,3	17,5
2000	18,6	-2	4	-37,2	18,51
2001	20,4	-1	1	-20,4	19,52
2002	18,3	0	0	0	20,53
2003	20,4	1	1	20,4	21,54
2004	23,8	2	4	47,6	22,55
2005	24,1	3	9	72,3	23,56
Итого	=143,7		=60	=28,4	?уt =143,71

= тыс. шт.;

тыс. шт.

Таким образом, уравнение прямой примет вид у_t =20,53+1,01*t .

Следующий год 2005, его условное значение равно 4, подставив 4 в уравнение у_t =20,53+1,01*t получим объем производства на 2005 год. у_t =20,53+1,01*4=24,77 тыс. шт.



3.8 Вывод

Суть аналитического выражения заключается в замене фактического уравнений у теоретическим , которое рассчитано по определенному уравнению, принятую как математическую модель, где теоретические уровни рассматриваются как функции от времени .

Мы составили уравнение линейной регрессии , характеризующее изменение остатков вкладов населения в коммерческом банке по месяцам года. Сравнили фактические уровни с теоретическими, получили расхождения равные 0,01, вызванные округлениями данных. Высчитанный коэффициент регрессии показал нам наклон теоретического графика. Были выявлены особенности теоретического уравнения: благодаря нему можно спрогнозировать величину остатков вкладов населения в коммерческом банке, что является необходимым при определении в рядах динамики общей тенденции развития процесса. Из графика следует, что линия построенная по значениям показывает тенденцию роста объема остатков вкладов населения в коммерческом банке.

Список литературы

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2000.

2. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ,2002.

3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА - М, 2000.

4. Харченко Л.П. Статистика: Курс лекций. - М.: ИНФРА - М, 2000.

5. Ефимова М.Р. Общая теория статистики. - М.:ИНФРА - М, 2002.

6. Борисова С.А. Статистика. Общая теория статистики. - М.: ЮНИТА 1, 2002.

7. Едронова В.Н., Едронова М.В. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Юристь, 2001.