Имеются данные о деятельности 25 крупнейших компаний США (таблица 8.2.1).

Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида:

.

Для этого проведем регрессионный анализ данных факторов с помощью табличного редактора МС Excel.

Таблица 8.2.1 - Исходные данные для проведения корреляционного и регрессионного анализа

где y - чистый доход, млрд. долл. x₁ - оборот капитала, млрд. долл. x_{2 -} использованный капитал, млрд. долл. x₃ - численность служащих, тыс. чел. x_{4 -} рыночная капитализация компаний, млрд. долл. x₅ - заработная плата служащих, тыс. долл.

Для построения модели можно воспользоваться инструментом анализа данных Регрессия. Порядок действий следующий:

а) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

б) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров ввода (рисунок 8.2.1):

классическая модель линейная регрессия

Рисунок 8.2.1 - Диалоговое окно ввода параметров инструмента "Регрессия"

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал Х - диапазон, содержащий данные всех пяти факторов;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа - ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 8.2.2.

Рисунок 8.2.2 - Результат применения инструмента Регрессия для факторов

Составим уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты регрессии показывают среднее изменение результативного признака с изменением на 1 единицу своего измерения данного фактора при условии постоянства всех остальных.

Таким образом, коэффициент регрессии при х₁ показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,0136 млрд. долл., при х₂ показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,003 млрд. долл., х₃ показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,012 тыс. чел., х₄ показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,025 млрд. долл., х₅ показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,07 тыс. долл., при фиксированном значении остальных факторов.

Параметр экономического смысла не имеет.

2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора на 1 % от своей средней и при фиксированном воздействии на y всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости

,

где - коэффициент регрессии при в уравнении множественной регрессии.

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены на рисунке 8.2.3.

Рисунок 8.2.3 - Результат применения инструмента "Описательная статистика"

Здесь ,

,

,

,

.

По значениям средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат y признаков факторов и , чем признаков факторов , и .

Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,008 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными, , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,003 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными, , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,009 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными, , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,019 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными, , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,005 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.

3. Оцените с помощью F-критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии и показателя тесноты связи.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера:

.

Для проверки значимости уравнения выдвигаем две гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии статистически не значимо;

Н₁: уравнение регрессии статистически значимо.

По данным таблиц дисперсионного анализа, представленным на рисунке 8.2.2, =11.52. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,00003, что не превышает допустимый уровень значимости 5 %; об этом свидетельствует величина P - значение из этой же таблицы. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи . =0,00003. > следовательно уравнение регрессии является статистически значимым.

4. Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем две гипотезы: Н₀: коэффициенты регрессии статистически не значим, т.е. равны о; Н₁: коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. отличны от нуля. Значения случайных ошибок параметров с учетом округления равны (рисунок 8.2.2):

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировались под влиянием случайных факторов. Эти значения используются для расчета t-критерия Стьюдента (рисунок 8.2.2):

.

Если значения t-критерия меньше 2,09, можно сделать вывод о неслучайной природе данного значения параметра, т. е о том, что он статистически значим и надежен. T_табл=

5. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле средней арифметической простой:

Таблица 8.2.2 - Данные для расчета средней ошибки аппроксимации

Таким образом, фактические значения результативного признака отличаются от теоретических значений на 117,5 %. Следовательно, построенная модель не является удовлетворительной.

i. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы в модели. Укажите коллинеарные факторы.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии.

Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

; .

Рисунок 8.2.4 - Матрица коэффициентов парной корреляции

Из матрицы можно заметить, что факторы и , и мультиколлинеарны, т.к. коэффициенты корреляции превышают 0,7. Таким образом, можно сказать, что они дублируют друг друга.

При отборе факторов в модель предпочтение отдается фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В нашем примере получаем, информативными факторами являются: и .

Построим новое уравнение множественной регрессии с информативными факторами.

7. Постройте модель в естественной форме только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида:

.

Параметры вычисляем аналогично пункту 1 (рисунок 8.2.7).

Рисунок 8.2.7 - Результат применения инструмента "Регрессия"

Получаем уравнение следующего вида: .

Уравнение в целом, а также его параметры являются статистически значимыми.

8. Постройте модель в стандартизованном масштабе и проинтерпретируйте ее параметры.

Уравнение в стандартизованном масштабе имеет вид:

.

Расчет в - коэффициентов выполним по формулам

; .

Парные коэффициенты корреляции берутся из матрицы (рисунок 8.2.6):

Получим уравнение .

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результативный признак, если соответствующий фактор изменится на 1 сигму при неизменном среднем уровне других факторов.

В нашем случае, при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 1,07 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне, при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход уменьшится на 0,46 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне.

9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитаем ожидаемое прогнозное значение чистого дохода как точечный прогноз путем подстановки в уравнение регрессии прогнозные значения факторов:

1) найдем максимальное значение для фактора (рисунок 8.2.4):

2) найдем максимальное значение для фактора (рисунок 8.2.4):

3) найдем прогнозные значения факторов:

для фактора :

для фактора :

4) подставим прогнозные значения факторов в уравнение

В результате получим:

Таким образом, при прогнозных значениях использованного капитала 356 млдр. долл. и численности служащих 216,1 тыс. чел. чистый доход крупнейших компаний США составит 92,21 млрд. долл.

Размещено на Allbest.ru