Математические методы экономических исследований
Системы, системный подход, системный анализ. Основные термины, определения, технологии. Экономико-математические методы, их состав, структура, направленность, классификация. Метод динамического программирования, теории игр. Сетевые методы планирования.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.06.2009 |
| Размер файла | 334,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Аналогичным образом определяется минимальный проигрыш (который может быть в действительности и выигрышем) для второго игрока:
.
Величина ? называется верхней ценой игры или минимаксом. Ей соответствует минимаксная стратегия второго игрока.
Имеет место неравенство: .
При ? < ? первый игрок может существенно увеличить свой средний выигрыш по сравнению с ?, если он будет пользоваться не чистой (одной единственной стратегией), а так называемой смешанной стратегией.
Смешанная стратегия С состоит в том, что при повторении игры происходит случайный выбор стратегий из некоторого множества смешиваемых стратегий и для каждой смешиваемой стратегии указывается вероятность ее выбора.
Известно, что для любой КПИНС существует пара оптимальных стратегий (вообще говоря смешанных).
Свойство оптимальности означает, что любое отступление одного из игроков от оптимальной стратегии (при условии, что второй игрок продолжает придерживаться своей оптимальной стратегии) при многократном повторении игры может только уменьшать его средний выигрыш (увеличить средний проигрыш).
Величина выигрыша (может быть, отрицательного) первого игрока при пользовании парой оптимальных стратегий называется ценой игры и обозначается ?.
Цена игры заключена между нижней и верхней ценой игры:
.
Стратегии, которые смешиваются для получения оптимальной стратегии, будем называть полезными.
Решить игру - это значит найти пару оптимальных стратегий и цену игры. Решение игры обладает одним важным свойством: если один из игроков использует свою оптимальную стратегию, а другой смешивает свои полезные стратегии в любых пропорциях (не обязательно оптимальных), то средний выигрыш продолжает оставаться равным цене игры. При этом, правда, как при любых отступлениях от оптимальной стратегии, соответствующее изменение стратегии противником может привести к увеличению его среднего выигрыша.
Известно, что у игры mn число полезных стратегий с каждой стороны не превосходит минимального из чисел m и n.
В области чистых стратегий решение может быть получено непосредственно. Если же решение нужно искать в области смешанных стратегий , то в общем случае mn матрицы применяется следующий прием.
Считая все m стратегий первого игрока полезными, определяют вероятность их применения в смешанной оптимальной стратегии (если какая-то стратегия в действительности бесполезна, то соответствующая вероятность обратится в нуль). Пусть искомые вероятности обозначаются , а цена игры (пока неизвестная) - ?.
Так как при оптимальной стратегии средний выигрыш первого игрока не меньше ??при любой стратегии противника, то ищем n неравенств:
Вводим новые неизвестные:
.
Чтобы исключить деление на нуль, можно всегда добиться . Для этой цели достаточно ко всем элементам матрицы прибавить одно и тоже положительное число с и все ее элементы сделать положительными. Эта операция увеличит цену игры на с, но не изменит искомых оптимальных стратегий.
Так как
= 1, то .
Таким образом, имеем систему неравенств:
, (8.1)
где все .
Так как цель оптимальной стратегии - максимизация выигрыша, то при ее достижении линейная функция:
должна обратиться в минимум. Итак, оптимальная стратегия первого игрока (т.е. набор вероятностей ) находятся в результате минимизации функции:
при , удовлетворяющих системе неравенств (8.1).
Таким образом, получили задачу линейного программирования. Методы решения таких задач известны. В результате ее решения находим не только оптимальную стратегию первого игрока, но и цену игры .
Зная цену игры, оптимальную стратегию (а1, а2, ..., аn) второго игрока можно находить уже без решения задачи линейного программирования (хотя оптимальную стратегию второго игрока можно находить и через решение этой задачи, если поменять игроков местами). Для этого выбирается n-1 полезных стратегий первого игрока (имея возможность менять местами игроков можно считать, что) и для каждой из них записывается средний выигрыш, который при этом должен быть обязательно равен цене игры . Например, если для первого игрока полезна стратегия Аi, то ей соответствует уравнение:
.
Кроме этого имеется еще одно уравнение:
.
Всего имеем n уравнений для n величин q1, q2, ..., qn.
Игровые методы могут применяться для изучения ситуаций, которые не являются в строгом смысле слова конструктивными. Например, ситуации, где вторым игроком является природа.
Тема 9. Имитационное моделирование
1. Понятие имитационного моделирования.
2. Общая постановка задачи имитационного моделирования.
3. Метод Монте-Карло.
Краткое содержание темы
До сих пор рассматривались методы решения задач, в которых была известна цель (или несколько целей), достижение которой (которых) считалось желательным. Однако далеко не все ситуации таковы. Особенно ими изобилует современный этап прикладных исследований, когда приходится иметь дело со сложными системами, когда наличествует не только множество целевых функций, но далеко не все ясно с количественным выражением этих функций. В данном случае речь может идти не столько о решении тех или иных задач (хотя это присутствует и здесь), сколько об исследовании поведения сложных систем, о прогнозировании их будущих состояний в зависимости от выбираемых стратегий управления.
Итак, практике потребовался метод для исследования сложных систем, и такой метод появился - это имитационное моделирование ("simulation modeling").
Поскольку для сложных систем многие функции, параметры, характеристики носят случайный характер, то для оценки этих атрибутов, как правило, используется аппарат статистических оценок, а сам метод имитационного моделирования иногда называют методом статистических испытаний. Другими словами, это метод вероятностных оценок, а отсюда, по аналогии с игровыми ситуациями Монте-Карло, его также называют методом Монте-Карло.
Идея метода Монте-Карло чрезвычайно проста и состоит в следующем. Вместо того, чтобы описывать исследуемый процесс (как правило случайный) с помощью аналитического аппарата, производится "розыгрыш" процесса (явления) с помощью какой-либо процедуры, дающей случайный результат. Так же как и в реальности конкретное осуществление (реализация) случайного процесса складывается каждый раз по-разному, также и в результате статистического моделирования (розыгрыша) получаем каждый раз новую, отличную от других, искусственную реализацию процесса. Множество получаемых таким образом реализаций далее обрабатывается как статистический материал, и из него получаются нужные вероятностные характеристики требуемого результата.
При получении множества реализаций мы пользуемся случайностью как аппаратом исследования, заставляя случайность работать на себя.
Метод имитационного моделирования, как правило, используется для анализа функционирования сложных систем, когда возникают непреодолимые сложности при попытке построить "строгую" математическую модель изучаемого объекта, содержащего много связей между элементами, разнообразные нелинейные ограничения, огромное количество параметров и т.п. Иногда можно построить такую модель, но использовать ее из-за отсутствия математического аппарата не представляется возможным. В некоторых случаях для исследуемой системы не существует стройной теории, объясняющей все аспекты ее функционирования, а, следовательно, представляется затруднительным формулирование тех или иных правдоподобных гипотез ее поведения.
Далее, реальные системы, как правило, подвержены влиянию различных случайных факторов, учет которых аналитическим путем представляет порой непреодолимые трудности.
С другой стороны, использование математического аппарата дает возможность сопоставить модель и оригинал только в начале и после применения соответствующего аппарата, что затрудняет верификацию модели.
В основе метода имитационного моделирования лежит возможность максимального использования всей имеющейся в распоряжении исследователя информации о системе с тем, чтобы получить возможность преодолеть аналитические трудности и найти ответы на поставленные вопросы о поведении системы.
Имитационное моделирование, как правило, используется в сугубо практических целях.
Основными этапами метода являются:
1. Формулировка основных вопросов о поведении системы и задание параметров, характеризующих состояние системы, т.е. определение вектора состояния.
2. Декомпозиция (разбиение) системы на более простые части - блоки. В один блок объединяются "родственные", т.е. преобразующиеся по близким правилам, компоненты вектора состояния и процессы, их преобразую щие.
3. Формулируются правила и "правдоподобные" гипотезы относительно поведения системы в целом и ее отдельных частей. В каждом блоке может использоваться свой математический аппарат (алгебраические дифференциальные уравнения, математическое и динамическое программирование и т.п.). Именно это, т.е. блочный способ (принцип), дает возможность установить необходимые пропорции между точностью описания каждого блока, обеспеченностью его информацией и необходимостью достижения цели моделирования.
4. Вводится так называемое системное время, которое моделирует ход времени в реальной системе.
5. Формализованным образом задаются необходимые феноменологические свойства систем в целом и отдельных ее частей. (Часто эти свойства не могут быть обоснованы на современном уровне знаний, а опираются на опыт - длительное наблюдение за поведением системы). Иногда одно такое свойство оказывается эквивалентным множеству сложных математических соотношений и с успехом их заменяет, что, конечно, требует глубокого знания системы.
6. Случайным параметрам, фигурирующим в модели, сопоставляются некоторые их реализации, сохраняющиеся в течение одного или нескольких тактов системного времени. Далее отыскиваются новые реализации.
Как правило, пятый и шестой этапы наиболее просто осуществимы на ЭВМ, поэтому имитационные модели обычно реализуются с использованием специализированных программ, описывающих функционирование отдельных блоков и правила взаимодействия между ними.
Использование реализаций случайных величин требует многократного повторения экспериментов с моделью с последующим статистическим анализом полученных результатов.
Общая постановка задачи
Под имитационным моделированием будем понимать пошаговое моделирование поведения объекта с помощью ЭВМ. Это означает, что фиксируются определенные моменты времени t1,t2,...,tn, и состояние модели определяется (вычисляется на ЭВМ) последовательно в каждом из этих моментов времени. Для реализации этого необходимо задать правило (алгоритм) перехода модели из одного состояния в следующее, т.е. преобразование: , где Yi - состояние модели в i-й момент времени.
Пусть, как обычно, состояние модели определяется вектором: , т.е. m - числами, состояние среды вектором: , n - числами, а состояние управления вектором: , q - числами.
Тогда имитационная модель определяется оператором F, с помощью которого можно определить состояние модели в последующий момент времени, т.е. определить вектор Yi+1, зная состояние модели в предыдущий момент времени Yi и значения Хi+1 и Ui+1, т.е. .
Таким образом, в имитационной модели состояние модели определяется рекуррентно на каждом шаге, исходя только из предыдущего шага. Этот алгоритм можно записать в виде рекуррентной формулы:
,
где F - оператор имитаций изменения состояния модели. Он и определяет имитационную модель объекта.
Можно рассмотреть частный случай имитационной модели под воздействием окружающей среды в виде:
.
Но имитационное моделирование (или модели) тем и хорошо, что позволяет учитывать неконтролируемые факторы Е объекта, т.е. его стохастичность, в этом случае модель можно представить рекуррентным соотношением вида:
, i = 1,...,N, (9.1)
где необходимо знать, каким образом фактор Е влияет на состояние Y объекта, т.е. следует хорошо разобраться в объекте и указать точно, как входит неконтролируемый фактор Е в оператор объекта с тем, чтобы эти данные отразить в операторе F объекта. Для работы с такой моделью необходимо знать конкретные значения фактора E, который, как известно, ненаблюдаем. Возникает противоречие, которое решает так называемый метод Монте-Карло. Собственно, как правило, он и является основным методом имитации.
Для реализации метода Монте-Карло необходимо знать некоторые статистические свойства фактора Е (например, закон его распределения). Эти свойства, вообще говоря, могут зависеть от Y, X и U. Располагая этими сведениями, можно моделировать ненаблюдаемый фактор в виде случайных рядов:
, j = 1, 2, ..., N,
где индекс внизу соответствует дискретному времени, а верхний _ номеру моделируемого ряда (всего моделируется N таких статистически эквивалентных рядов). Естественно, ни один из этих рядов не является точной реализацией действительности, но каждый имеет такие же статистические свойства, что и реальный. Именно поэтому ряды позволяют исследовать статистические свойства модели (9.1).
Так поведение модели " в среднем" описывается как:
, ,
где Yij - j-я реализация поведения модели в i-ый момент времени:
i=1,2,....,N.
Дисперсия выхода модели вычисляется по формуле:
.
Таким образом, метод Монте-Карло позволяет оценить статистические свойства поведения объекта путем вероятностного "разыгрывания" поведения модели, причем одна реализация поведения отличается от другой различными значениями ненаблюдаемого фактора Е.
В сущности методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета.
В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется в трех основных ролях:
1. Моделирование сложных, комплексных объектов и операций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов.
2. Проверка применимости более простых аналитических методов и выяснений условий их применимости.
3. В целях выработки поправок к аналитическим формулам "типа эмпирических формул" в технике.
Таким образом, этот метод является своеобразным ОТК математических методов. При этом статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В такую модель вписывается все, что угодно - любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний.
Главный же недостаток таких моделей - их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализаций, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует большого расхода машинного времени. Кроме этого, результаты такого моделирования труднее осмыслить, чем расчеты аналитическими методами и, соответственно, труднее оптимизировать решение (в основном, наощупь). Наиболее целесообразным является сочетание аналитических и имитационных методов. Как правило, аналитическими методами рассчитываются отдельные элементы и блоки сложной системы, а затем, как из "кирпичиков", строится большая сложная имитационная модель.
Основным элементом, из совокупности которых складывается статистическая модель, является одна случайная реализация моделируемого явления.
Реализация - это как бы один экземпляр случайного явления со всеми присущими ему случайностями. Этим реализации отличаются одна от другой. Отдельная реализация разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры (алгоритма), в которой основную роль играет "жребий" или, как говорят, "бросание жребия". Каждый раз, когда в ход явления вмешивается случай, его влияние учитывается не расчетом, а жребием.
Понятие "жребия". Пусть в ходе процесса наступил момент, когда его дальнейшее развитие (а значит и результат) зависит от того, произошло или нет какое-то событие А.
Тогда нужно "бросанием жребия" решить вопрос: произошло событие или нет? Как можно осуществить этот жребий? Необходимо привести в действие какой-либо механизм случайного выбора.
Если жребий бросается для того, чтобы узнать, произошло ли событие А, его нужно организовать так, чтобы условный результат розыгрыша имел ту же вероятность, что и событие А.
Кроме случайных событий на ход и исход операции могут влиять различные случайные величины.
С помощью жребия можно разыграть как значение любой случайной величины, так и совокупности значений нескольких величин.
Условимся называть "единичным жребием" любой опыт со случайным исходом, который отвечает на один из следующих вопросов:
1. Произошло или нет событие А?
2. Какое из событий А1, А2, ..., Аk произошло?
3. Какое значение приняла случайная величина Х?
4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин Х1, Х2, ..., Хk?
Любая реализация случайного явления методом Монте-Карло строится из цепочки единичных жребиев, перемежающихся с обычными расчетами. Ими учитывается влияние исхода жребия на дальнейший ход событий (в частности на условия, в которых будет разыгран следующий жребий).
Единичный жребий может быть разыгран разными способами, но есть один стандартный механизм, с помощью которого можно осуществить любую разновидность жребия. А именно, для каждой из них достаточно уметь получать случайное число R, все значения которого от 0 до 1 равновероятны (т.е. обладают одинаковой плотностью вероятности).
Условно назовем величиной R "случайное число от 0 до 1". С помощью такого числа можно разыграть любой из четырех видов единичного жребия.
Тема 10. Методы теории массового обслуживания
1. Основные понятия теории массового обслуживания.
2. Постановка задачи теории очередей.
3. Подходы решения задач теории очередей.
Краткое содержание темы
Практическая деятельность человека тесно связана с различного рода системами массового обслуживания. В области экономики - это банковское обслуживание, пользование объектами торговли и услугами сферы обслуживания и многие другие виды экономической деятельности.
Любая система массового обслуживания может включать в себя следующие элементы:
Входящий поток требований или заявок на обслуживание. Этот элемент является основным. Изучение входящего потока требований и его описание необходимо при организации любой системы массового обслуживания.
Очередь. В тех случаях, когда поступающие в систему массового обслуживания требования не могут быть удовлетворены немедленно, возникает очередь. В такой ситуации интерес может представлять длина этой очереди, порядок, по которому ожидающие требования направляются на обслуживание (как говорят, дисциплина очереди), время ожидания.
В отдельных случаях систем массового обслуживания очереди не допускаются, т.е. требование, заставшее систему занятой, не обслуживается (получает отказ).
Обслуживающее устройство. Этот элемент присутствует в любой системе массового обслуживания. От характеристик и параметров, способов организации обслуживающего устройства зависят не только время, необходимое на обслуживание одного требования, но и длина очереди и время ожидания.
Выходящий поток обслуженных требований. Этот элемент может оказаться очень важным в тех случаях, когда выходящий поток обслуженных требований является входящим для другой системы массового обслуживания.
Как правило, число требований на входе системы массового обслуживания за какой-либо промежуток времени и время обслуживания одного требования являются случайными величинами. Функционирование системы массового обслуживания в таком случае представляет собой случайный процесс, и методы исследования таких систем используют имитационное моделирование. Однако понять сущность задач и методов теории массового обслуживания можно на примерах детерминированных моделей систем массового обслуживания и прежде всего моделей теории очередей.
Основными компонентами модели очереди являются:
описание входящего потока требований;
описание способа, которым выполняется обслуживание (т.е. описание дисциплины обслуживания);
описание дисциплины очереди (т.е. каким образом из очереди выбираются клиенты на обслуживание: “первый пришел - первый обслужен”, “последний пришел - первый обслужен”, “по указанным приоритетам” и т.п.).
При конструировании модели очереди первоочередной задачей является символическое представление основных компонент, после чего изучаются соотношения между ними.
Принципиальными характеристиками очереди являются:
длина очереди в различные моменты времени;
общая продолжительность нахождения требования в системе обслуживания (т.е. время, потраченное на ожидание в очереди, плюс собственное время обслуживания);
время, в течение которого обслуживающее устройство было свободно.
Основной целью исследования систем массового обслуживания является установление равновесия между допустимыми нагрузками обслуживающего устройства, ограниченной пропускной способностью системы и раздражением клиента, с одной стороны, и допустимой стоимостью обслуживающих точек, с другой.
Рассмотрим систему массового обслуживания, имеющую один источник требований, проходящих через единственное обслуживающее устройство. Пусть имеют место следующие предположения:
1. Требования поступают через одинаковые интервалы времени. Каждый интервал имеет длину a единиц.
2. Требования обслуживаются за одинаковые интервалы времени, каждый интервал имеет длину b единиц. При этом, как только закончится обслуживание одного требования, обслуживающее устройство готово к обслуживанию следующего требования.
3. Дисциплина очереди устанавливается по правилу “Первый пришел - первый обслуживается”. Другими словами, ожидающие требования образуют очередь, и, когда обслуживающее устройство освободится, на обслуживание поступает требование, имеющее большее время ожидания.
Определим длину очереди как общее число требований, находящихся на обслуживании и ожидающих в очереди. Представим сформулированную задачу в виде следующей схемы:
Поведение системы зависит от того, как связаны между собой величины a и b. Возможны три случая: 1) b > a; 2) b = a; 3) b < a. Рассмотрим каждый из этих случаев.
1) Случай b > a. Это значит, что скорость обслуживания 1/b меньше, чем скорость поступления требований 1/a, т.е. требования обслуживаются и покидают систему медленнее, чем прибывают. Следовательно, в этом случае будет образовываться очередь и она будет постоянно возрастать.
2) Случай b = a. Если в очереди нет требований, то первое поступившее требование сразу начнет обслуживаться. Его обслуживание закончится в тот же самый момент, в который поступит на обслуживание следующее требование. Следовательно, требований, ожидающих обслуживания, не будет.
Если же первоначально имеется очередь, то ее длина будет оставаться постоянной.
3) Случай b < a. Это значит, что скорость обслуживания больше, чем скорость поступления требований. Следовательно, какое бы ни было начальное число ожидающих обслуживания требований, длина очереди будет сокращаться до 1 или 0.
Пусть в начале процесса число требований в очереди r 2 (если первоначально есть только одно требование (r = 1), то оно будет обслужено прежде, чем поступят на обслуживание следующие требования, и очередь будет пустой).
В общем случае, пусть имеем r требований, стоящих в очереди перед началом обслуживания. Тогда число требований (N), поступивших после начала процесса обслуживания до тех пор, пока сохраняется очередь, можно определить по формуле:
, (10.1)
где обозначение [x] означает целую часть числа x. Действительно, очередь будет отсутствовать, если через обслуживающее устройство полностью пройдет N+r требований. Для этого потребуется (N+r)b единиц времени. За это время на обслуживание поступит N требований, так что к поступлению (N+1)-го требования обслуживающее устройство будет свободно и готово обслужить его сразу без всякой очереди. Но (N+1)-е требование поступит на обслуживание через (N+1)a единиц времени, при этом будет выполнено соотношение:
.
Отсюда,
. (10.2)
Докажем, что в полученном соотношении N больше правой части не более чем на 1. Действительно, первое стоящее в очереди требование будет уже обслужено, а первое вновь поступающее на обслуживание требование еще не появится в очереди (a > b). Поэтому справедливо соотношение:
aN (N+r-1)b или .
Таким образом, если к правой части соотношения добавим 1, то оно будет тождественно равно правой части соотношения . То есть прибавление 1 к правой части соотношения приводит его к соотношению - смысл неравенства меняется на противоположный. Это и требовалось доказать.
Очевидным является то, что N есть целое число. Следовательно, если от правой части в соотношении (10.2) взять целую часть и добавить к ней 1, то, исходя из предыдущих рассуждений, получим для вычисления N выражение (10.1).
Аналогичными рассуждениями и используя (10.1) можно найти, что для вычисления времени, которое необходимо для обслуживания всех ожидающих требований, справедлива формула:
. (10.3)
В теории очередей важной функцией является функция времени ожидания обслуживания. Обозначим ее через W(t). Определим W(t) как время, которое необходимо затратить на ожидание обслуживания требования, поступившего в момент времени t (считаем, что t = 0 соответствует началу процесса обслуживания).
Определим формулу для W(t). Легко видеть, что требование, поступившее на обслуживание в момент t T-b (величина T определяется с использованием формулы (10.3)), найдет систему обслуживания пустой или только что освободившейся. Такому требованию не придется стоять в очереди. Требование, поступившее в момент времени tT-b, найдет впереди себя требований, стоящих в очереди, причем первое из них в этот же момент поступит на обслуживающее устройство. Эта величина получается следующим образом:
(начальная (число требований, обслужен- (число поступ-
очередь) - ных к моменту времени t) + лений)
r - + .
Таким образом, время ожидания W(t) для рассматриваемого требования может быть выражено формулой:
. (10.4)
Рассмотрим i-е требование в начальной очереди (0 <i r), тогда впереди его будет (i - 1) требований, для обслуживания которых потребуется (i - 1)b единиц времени.
Обобщая полученные результаты относительно функции W(t), получим для нее следующее выражение:
,
где i - номер i-го требования в начальной очереди; требования поступают в моменты времени a, 2a, ...; b = na (n = 1, 2, ...).
Тема 11. Управление запасами
1. Понятие задачи управления запасами.
2. Основная задача управления запасами.
3. Управление запасами в условиях производственных поставок.
4. Управление запасами в условиях дефицита.
Краткое содержание темы
Класс задач по управлению запасами является достаточно специфичным как по разнообразию постановки задач, так и по методам их решения. Здесь успешно применяются методы линейного и динамического программирования, методы теории массового обслуживания и многие другие. В данном разделе рассматриваются простые методы математического анализа для решения задач управления запасами.
Предприятия в процессе своей деятельности делают различные запасы. Запасы - это совокупность предметов (товаров), представляющих собой временно неиспользуемые экономические ресурсы.
Причины создания запасов могут быть различными.
Если в нужный момент производства необходимые материалы или товары не поступают от поставщиков и их нет на складе в запасе (т.е. имеет место дефицит), процесс производства может задержаться или совсем остановиться. Однако, если запасы достаточно велики, то возрастает плата за них и за их хранение.
Таким образом, возникает задача управления запасами, т.е. необходимо выбрать некоторое компромиссное решение по созданию запасов или выработать стратегию управления запасами.
Основные типы принимаемых решений по управлению запасами следующие:
1. Определить какое, количество товара должно быть в запасе.
2. Определить, в какое время необходимо производить пополнение запасов.
В настоящее время существует множество подходов к решению подобного рода задач.
Рассмотрим три простейшие математические модели, включающие:
а) основную модель управления запасами - определение оптимального размера партии;
б) модель производственных поставок;
в) модель, учитывающую штрафы.
Итак, предмет изучения - количество запаса на складе и время t, для которого рассматривается этот запас, т.е. исследуется функция = f(t), соответствующая величине запаса в момент времени t. График такой функции называется графиком изменения запаса.
По поводу изменения функции запасов сделаем следующие предположения:
1 .При наличии заявки на товар, он отпускается и уменьшается. Величина спроса непрерывна во времени.
2. Если = 0, то имеет место дефицит товара.
3. При поступлении товаров на склад (запасы пополняются) и увеличивается. Пусть сначала пополнение запасов будет мгновенным, затем допустим, что пополнение идет непрерывно, в течение некоторого интервала времени.
Издержки, связанные с запасами, можно представить следующим образом:
Организационные издержки - расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, необходимые для каждого цикла складирования. Это подготовительно-заключительные операции при поступлении товаров и подаче заявок.
Если запасы нужно пополнить, то на склад завозится очередная партия. Издержки на поставку - организационные издержки.
Количество товаров, поставляемое на склад, - размер партии товаров.
Издержки содержания запасов - затраты, связанные с хранением. Расходы этого рода возникают из-за ренты складирования и амортизации в процессе хранения (товары могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.п.).
Издержки, связанные с дефицитом (штрафы). Если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом. Это может быть реальный денежный штраф, уплачиваемый лицу, делающему заявку на товар, или ущерб, не осязаемый непосредственно (ухудшение бизнеса в будущем, потеря потребителей).
Математическая модель должна учитывать все эти издержки, и цель моделирования заключается в том, чтобы найти такую стратегию управления запасами, при которой суммарные издержки, связанные с запасами, сводились бы к минимальным.
Основная задача
Итак, имеем следующую таблицу параметров модели и предположения (допущения) по изменению их величин.
|
Название параметра |
Обозначение |
Единицы измерения |
Предположения |
|
|
Интенсивность спроса |
d |
Ед-цы товара в год |
Спрос постоянен и непрерывен. Весь спрос удовлетворяется. |
|
|
Организационные издержки |
s |
$ за одну партию |
Организационные издержки постоянны, не зависят от размера партии |
|
|
Стоимость товара |
c |
$ за ед-цу товара |
Цена ед-цы товара постоянна, имеем только один вид товара |
|
|
Издержки содержания запасов |
h |
$ за ед-цу товара в год |
Стоимость хранения ед-цы товара в течение года постоянна |
|
|
Размер партии |
q |
Ед-ца товара в одной партии |
Постоянная величина, поступление мгновенное, как только уровень запаса становится равным 0. |
Задача управления: определить значение q, при котором минимизируются годовые затраты.
Рассмотрим график изменения запасов. В соответствии с предположениями этот график имеет вид:
Чтобы полностью удовлетворить годовой спрос d в размере поставки, равном q, нужно за год сделать поставок. Партия - это поставка.
Средний уровень запасов равен .
Составляем уравнение издержек. Это будет:
.
Чтобы найти минимум С, считаем функцию f(q) дифференцируемой. Тогда значение q находится из уравнения:
или ,
откуда
,
где q* - оптимальный размер партии, называемый также оптимальным заказом.
Модель производственных поставок
Рассмотрим теперь модель производственных поставок, когда поступление товаров на склад производится непосредственно с производственной линии, т.е. уже не будет мгновенным (т.е. партия не поставляется в течение одного дня).
Считаем, что заказы поступают непрерывно.
Допущения в таблице остаются такими же за исключением тех, которые касаются поступления продукции. Эта величина теперь будет определяться скоростью производства, p - количество товаров, выпускаемых производственной линией за год.
За каждый цикл изменения запасов на склад поступает q единиц товара. Это количество идет с производственной линии, работающей со скоростью p. Спрос в течение года постоянен и его интенсивность d. Как только уровень запасов станет нулевым, с линии начнет поступать следующее количество товаров. Величина q - размер партии, т.е. количество товара в одной поставке. Описанная картина представлена на следующем графике:
Эффективная скорость пополнения запасов в течение времени поставки равна p - d.
Уравнение издержек:
С = С1 + С2 + С3.
Для С1 имеем следующее. Спрос равен d товаров в год. Следовательно, если одна поставка содержит q - товаров, то за год нужно сделать поставок, а именно:
.
Для С2 имеем:
С2 = сd.
Для С3 (затраты на хранение запасов) имеем:
С3 = (средний уровень запасов) h.
Средний уровень запасов находится следующим образом:
1. Максимальный уровень RT = (p - d)t, где t _ продолжительность поставки.
2. pt = q (количество товаров в одной поставке).
Отсюда:
(средний уровень запасов) = (максимальный уровень запасов) = .
Следовательно:
.
Оптимальный размер партии находится из уравнения:
.
Отсюда
.
Модель, учитывающая штрафы
Рассмотрим третью модель, которая включает штрафы.
Считаем, что существуют периоды дефицита товаров (нулевые запасы), который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.
Пусть по контракту предприятие должно поставить q единиц товара в течение каждого промежутка времени продолжительностью L, за единицу времени поставляется d единиц товара (q = Ld). Значения q и L постоянны. Пусть далее в начале каждого периода L предприятие делает запас единиц товара y < q, т.е. в течение периода наблюдается дефицит товара и некоторое время поставок не будет. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q-y, но они будут удовлетворены, как только поступит следующая партия товаров в количестве q.
За несвоевременную поставку на предприятие налагается штраф, величина которого зависит от того, на сколько была задержана поставка. (Иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать средства на хранение запасов, превышающих величину у).
Задача управления в этом случае состоит в том, чтобы выбрать такое значение у, которое ведет к минимизации всех затрат.
Рассмотрим издержки одного цикла. Общие издержки в модели пусть будут:
h - издержки хранения единицы товара за единицу времени;
p - затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.
График изменения запасов будет:
Находим издержки одного цикла.
Для С1 имеем следующее. Товары находятся на складе в течение периода АВ, средний уровень запасов за этот период равен у/2. Продолжительность периода АВ равна у/d. Отсюда:
.
Для С2. Штраф выплачивается за невыполнение поставок в течение периода . Общее количество "товаро-дней", за которые налагается штраф, равно площади BCD. Но
SBCD = .
Отсюда:
.
Cледовательно:
.
Оптимальное значение у находим из условия:
,
отсюда:
, .
Таким образом, взяв значение у* в качестве уровня запасов в начале каждого цикла, при условии, что невыполненные заявки в дальнейшем будут удовлетворены, сведем суммарные расходы С к минимуму.
Тема 12. Методы экспертных оценок
1. Основные понятия методов экспертных оценок.
2. Понятие множества неулучшаемых альтернатив.
3. Основные подходы к поиску предпочтительных экспертных оценок.
4. Основные этапы подготовки и проведения экспертных оценок.
Краткое содержание темы
Как показывает опыт практической экономической деятельности, особенно в той ее части, которая связана с управлением в области экономики, где существенную роль играет такой аспект действий как принятие решений, одного арсенала формально решаемых задач в большинстве случаев бывает недостаточно. В таких случаях приходится обращаться к компетентным специалистам, в интуиции которых сосредоточен иррациональный опыт хозяйствования и управления и рационального познания экономики в виде формализованных моделей. Такие специалисты, которые в “совершенстве” владеют определенной проблемой, называются экспертами. Результатом их труда являются различного рода оценки, рекомендации и предложения. При привлечении значительного количества экспертов к выработке вариантов решений встает задача обработки результатов работы экспертов. Здесь опять встает проблема использования формализованных методов - методов экспертных оценок.
Как правило, результат работы каждого эксперта представляется в виде альтернативы, поскольку безальтернативные результаты работы различных экспертов могут быть представлены в виде результата работы коллективного эксперта и каких-либо методов обработки таких результатов не требуется.
Таким образом, методы экспертных оценок можно рассматривать как методы преодоления альтернатив.
Технология проведения экспертных оценок включает в себя три составляющие:
интуитивно-логический анализ;
формирование и выдача характеристик (собственно оценка, результат решения);
обработка результатов экспертизы _ различных альтернатив.
Интуитивно-логический анализ строится на логическом мышлении (возможно на использовании формализованных экономико-математических моделей) и интуиции экспертов, их знании и опыте. В принципе это - индивидуальный процесс, в котором каждый эксперт проводит сравнительный анализ различных альтернатив решения, их количественные и качественные измерения (оценки) в разных условиях.
Формирование и выдача результатов экспертизы является, как правило, многокритериальной задачей, решение которой не сводится к достижению какой-либо одной цели.
На заключительном этапе, когда в общей экспертизе участвует не один эксперт (не одна группа экспертов), полученные от экспертов результаты используются для обобщения и формирования результирующей характеристики проблемы явления, объекта в виде обобщенной итоговой оценки. В этом процессе используется вся мощь методов экспертных оценок. Именно на этом этапе осуществляется процесс преодоления альтернатив.
С преодолением альтернатив связаны два фундаментальных понятия:
множество различных вариантов решений (альтернатив), обозначим его {X};
принцип выбора, т.е. правила, по которым осуществляется выбор, обозначим его через Ф.
Задача экспертизы может быть записана в следующем виде:
, (12.1)
где {X*} - выбранные альтернативы.
В зависимости от степени формализации введенных понятий различают следующие типы задач:
1. Задача оптимального выбора - если множество {X} однозначно определено, а принцип выбора Ф формализован (т.е. может быть описан, передан и результаты его применения к элементам из {X} не зависят от субъективных условий).
2. Задача выбора (просто) - если множество {X} однозначно определено, но принцип выбора Ф не может быть формализован или просто фиксирован. Выбор зависит от того, кто и на основе какой информации его делает.
3. Общая задача выбора - если множество {X} не имеет определенных границ (может дополняться и видоизменяться), а принцип выбора Ф неформализуем или даже не фиксирован. В этом случае разные субъекты могут выбирать в качестве решения те альтернативы, которые другими субъектами и не рассматривались, а один и тот же субъект при использовании одного и того же принципа выбора (неформализованного, но для него существенного) может изменять свое решение при обнаружении им новой альтернативы.
С формальной точки зрения может показаться, что последняя задача является настолько расплывчатой, что теряет смысл - т.е. не знаем из чего выбирать и чем руководствоваться при выборе. Однако именно эта задача с некоторыми естественными ограничениями наиболее характерна для практики.
Каковы же эти естественные ограничения?
Во-первых, в реальной задаче, как правило, всегда существует так называемое начальное множество альтернатив {X(0)}, на основе которого приступают к принятию решения. В дальнейшем это множество изменяется, но можно считать, что на любой момент процесса экспертизы мы имеем дело с фиксированным множеством {X(i)}:
.
Во-вторых, подразумевается, что альтернатива X ? из множества всех мыслимых альтернатив {X(M)} может быть оценена с точки зрения полезности включения ее в множество {X}. Это делается при помощи некоторого вспомогательного принципа выбора Ф(M). Чаще всего этот принцип неформализован. Таким образом, и само множество {X}, вообще говоря, является итогом экспертной оценки, которую можно представить в виде:
. (12.2)
В-третьих, считается, что существуют хотя бы неформализованные принципы выбора, относящиеся к принимаемому решению. Часто (но не всегда) есть уверенность, что применение таких принципов различными субъектами дает пересекающиеся или в каком-то смысле близкие результаты.
Перечисленные условия дают уверенность в том, что общая задача выбора 3 может быть решена в той или иной степени обоснованно.
Практические пути решения не полностью определенных задач 3 и 2 состоят в использовании для этой цели ряда задач с фиксированным, но меняющимся от задачи к задаче множеством {X} и фиксированным (хотя необязательно формализованным) принципом выбора Ф. Это происходит с применением ряда приемов. Первый из них - организация итерационного процесса решения набора задач вида 1. Она состоит в начальном решении одной или нескольких формализованных задач, анализе результатов их решения, назначения измененных множеств альтернатив {X} и измененных принципов выбора Ф, нового решения набора задач и т.д. до получения удовлетворительного результата. Другой прием заключается в решении ослабленного варианта задачи 1, когда принцип выбора формализован не полностью, а допускает участие экспертов, каждый из которых по-своему, обычно неформальным образом, фиксирует принцип Ф. В этом случае каждый из экспертов порождает свою задачу типа 1, а решение исходной задачи формируется на основе их решений. Следующей прием близок к первому. Здесь задачам типов 3 или 2 сопоставляется некоторый аналог, выбранный среди задач типа 1, а полученное решение служит основой для неформального поиска решения требуемой задачи.
Таким образом, задача типа 1 является ядром в процессе решения других типов задач.
Общепринятым принципом, который облегчает принятие решения, является переход от сравнения альтернатив в целом к сравнению их отдельных частей и свойств (аспектов, характеристик, признаков, преимуществ и т.п.). Основная идея такого перехода состоит в том, что в отношении отдельной части и (или) отдельного свойства существенно легче сказать, какая из альтернатив предпочтительней.
Но сравнение по отдельным частям (свойствам) порождает серьезные проблемы обратного перехода к требуемому сравнению альтернатив в целом.
Выделение частей и/или свойств альтернатив является не чем иным, как декомпозицией альтернативы.
Сравнение альтернатив по отдельным частям (свойствам) может быть выполнено следующими способами:
1) на основе парного (реже группового) сравнения альтернатив по данному свойству;
2) на основе введения естественных числовых характеристик выделенного свойства;
3) на основе введения искусственных числовых характеристик выделенного свойства.
Рассмотрим эти способы сравнений.
Парное сравнение. Пусть для двух альтернатив X1 и X2 из множества {X} можно произвести выбор наиболее предпочтительной по данному свойству. Способ выбора в общем случае не конкретизируется. Если он связан с использованием числовых характеристик, то такая ситуация относится к способу (2) или (3). Возникает вопрос: «Существует ли объективный способ выбора, не связанный с числами?» С практической точки зрения можем считать вполне объективными и не основанными на числовых характеристиках такие утверждения: “Этот вариант размещения пунктов потребления более предпочтителен для развертывания широкой торговли”, “Этот человек более удачно справится с поставленной задачей” и т.п.
С формальной точки зрения для альтернатив X1 и X2 из {X} вводится бинарная операция сравнения по признаку (свойству) R. Запись этого события можно представить в виде:
X1RX2, (12.3)
что означает: альтернатива X1 предпочтительней (или “не хуже”) альтернативы X2 по признаку R. Указанная операция может быть применена как к любой паре (X1, X2) из {X}{X}, так и не ко всем из них. В последнем случае допускается, что относительно некоторых пар нельзя сделать выбор, как говорится, элементы множества {X} только частично сравнимы по признаку R.
Для операции R естественной является аксиома транзитивности, которая заключается в том, что из X1RX2 и X2RX3 следует X1RX3.
На основе бинарного сравнения может быть выполнена специальная операция ранжирования (упорядочивания). Результатом такой операции является то, что альтернативы в зависимости от их свойства R располагаются в определенном порядке: от наиболее до наименее предпочтительной. Математически эта операция эквивалентна определенной перестановке.
Введение числовых характеристик. Сравнение элементов на основе сопоставления им числа представляется наиболее аргументированным способом выбора. Необходима только уверенность, что выполненное сопоставление объективно. Как правило, это имеет место, если числовая характеристика обладает физическим смыслом. Можно утверждать, что в процессе экспертной оценки следует стремиться довести декомпозицию экспертируемого объекта до уровней, на которых возможны числовые оценки.
Свойства, для которых существуют объективные численные характеристики, принято называть критериями.
Таким образом, получение набора критериев - наилучший итог процесса декомпозиции. Он настолько привлекателен, что к его аналогу прибегают и тогда, когда естественные числовые характеристики отсутствуют. В этом случае вводятся искусственные оценки типа баллов. Они проставляются экспертами, каждый из которых может исходить из своего неформального принципа выбора. Этим решается задача количественной оценки качественных сторон явления или проблемы. Примерами таких оценок могут служить: коэффициент трудового участия, разрядная сетка рабочих специальностей, процент износа механизма.
Искусственные оценки практически непрерывно переходят в естественные. Однако в ряде случаев процесс перехода осложнен, и тогда эксперт обладает определенной свободой выбора. Это имеет место при присвоении рабочих разрядов, назначении коэффициентов в эмпирически подобранные зависимости, определении отдельных внутренних параметров и т.п.
Дополнительным приемом, который в ряде случаев облегчает все приведенные выше способы сравнения, является распределение элементов по подмножествам. Тогда любая альтернатива X из {X} в целом или по своему свойству R относится к одному из фиксированных подмножеств {X1}, {X2}, ... . Такое распределение называется задачей классификации и может как сводиться к перечисленным способам сравнения, так и быть самостоятельной задачей. Частным случаем классификации является деление свойств альтернатив по степени важности в данной задаче. Смысл этого приема состоит в сужении числа свойств, принимаемых во внимание в первую очередь.
Процесс декомпозиции альтернативы является мощным орудием анализа проблемы, оценки ее отдельных свойств. Однако, смысл любой экспертизы заключается в оценке проблемы в целом, т.е. в обобщенной оценке. Процесс обобщения отдельных экспертных оценок, полученных на этапе декомпозиции альтернативы, носит название композиции оценок и сравнений. Сразу следует отметить, что непростой процесс анализа альтернативы на этапе декомпозиции намного усложняется на этапе композиции.
Множество неулучшаемых альтернатив получило название множества Парето.
Ясно, что точки, не принадлежащие множеству Парето, не могут претендовать на то, чтобы считаться лучшей альтернативой.
Выделение множества Парето - это только первый шаг в сравнении альтернатив. Вообще можно ограничиться только этим шагом и считать лучшими все те альтернативы, которые попали в это множество. Однако в большинстве случаев проведения экспертиз требуется в итоге выбрать только одну альтернативу. Как действовать на множестве Парето?
Приемов такого выбора, основанных на столь же естественных предположениях, которые привели к выделению множества Парето, к сожалению не существует. Здесь часто используются специфические, порой спорные приемы.
Выше рассмотрены основные методы экспертных оценок, которые могут применяться в ходе проведения экспертиз и обработки их результатов. Но, как организуется экспертиза? Формы организации экспертизы могут быть достаточно разнообразными и многочисленными в зависимости от условий проведения экспертизы и контингента привлекаемых экспертов. Классические формы работы с экспертами - это заполнение анкет (таблиц), интервью, запрос аналитического отчета.
Первая из этих форм является наиболее распространенной. В вопросники как правило включаются простые вопросы, которые для ответа не нужно разбивать на отдельные части. Интервью предпочтительнее анкет, если оно проводится высококвалифицированным специалистом, способным подстроиться под интервьюируемого, помочь ему выбрать более обоснованные ответы, но одновременно не привнести в них свое мнение.
Следует иметь в виду, что человек более обосновано приводит качественные ответы, чем количественные.
Экспертизы различаются и по форме взаимодействия экспертов. Обмен мнениями может быть свободным, регламентированным и недопустимым. Все эти способы имеют свои преимущества и недостатки.
При свободном общении ряд экспертов может доминировать над другими, и чье-то мнение может оказаться неучтенным.
Регламентированное общение требует более сложной организации; его известный вид - это метод “мозговой атаки”, когда сначала мнения высказываются без обсуждения и только через некоторое время дискутируются, как правило, под руководством хорошо подготовленного ведущего.
Изолированная работа с экспертами чревата попаданием в дальнейшую обработку искаженных или просто неверных оценок, которые могли бы быть выявлены и изменены при свободном или регламентированном способе.
Причинами неудовлетворительных ответов могут быть нарушения целого ряда требований к экспертам - от неполной компетентности и предвзятости до неспособности решать нестандартные задачи и предвидеть неочевидные последствия.
Предполагается, что правильно обработанное коллективное мнение экспертов более достоверно и надежно, чем индивидуальные мнения отдельных экспертов, и что истинная величина изучаемого явления находится внутри диапазона оценок группы экспертов. Надежность экспертных оценок определяется в первую очередь подбором специалистов-экспертов, их информированностью в изучаемых проблемах, а также возможностью математико-статистической обработки полученных результатов экспертизы.
Подобные документы
Моделирование экономических систем: основные понятия и определения. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования.
лекция [124,5 K], добавлен 15.06.2004Математическое моделирование. Сущность экономического анализа. Математические методы в экономическом анализе. Теория массового обслуживания. Задача планирования работы предприятия, надежности изделий, распределения ресурсов, ценообразования.
контрольная работа [24,9 K], добавлен 20.12.2002Исследование содержания методов динамического программирования и статистической теории игр как приемов оптимизации нелинейных задач математического программирования. Произведение расчета коэффициентов текучести и оборота по приему и выбытию рабочих.
контрольная работа [41,8 K], добавлен 01.09.2010Применение теории игр для обоснования и принятия решений в условиях неопределенности. Цель изучения систем массового обслуживания, их элементы и виды. Сетевые методы планирования работ и проектов. Задачи динамического и стохастического программирования.
курсовая работа [82,0 K], добавлен 24.03.2012Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [30,5 K], добавлен 14.04.2004Развитие экономико-математических методов и моделирования процессов в землеустройстве. Задачи схем и проектов. Математические методы в землеустройстве. Автоматизированные методы землеустроительного проектирования. Виды землеустроительной информации.
контрольная работа [23,5 K], добавлен 22.03.2015Решение задач линейного программирования с применением алгоритма графического определения показателей и значений, с использованием симплекс-метода. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП.
контрольная работа [94,6 K], добавлен 23.04.2013Решение задач линейного программирования на примере ПО "Гомсельмаш". Алгоритм и экономико-математические методы решения транспортной задачи. Разработка наиболее рациональных путей, способов транспортирования товаров, оптимальное планирование грузопотоков.
курсовая работа [52,3 K], добавлен 01.06.2014Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008Математические методы прогнозирования инновационных процессов в экономике, применяемых для построения интегральных моделей в экономической сфере. Метод стратегических сетей, разработанный М. Джексоном, М. Конигом, основанный на современной теории графов
статья [712,4 K], добавлен 07.08.2017
