Экономико-математические модели задач транспортного типа (на примере ПО "Гомсельмаш")

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого

Кафедра "Экономика в отраслях"

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Экономико-математические методы и модели в экономике»

На тему: «Экономико-математические модели задач транспортного типа» (на примере ПО «Гомсельмаш»)

Гомель 2013

Введение

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся “на глазок” (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать “по науке”. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово “программирование” здесь и в аналогичных терминах (“линейное программирование, динамическое программирование” и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово “планирование”. С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу. Временем рождения линейного программирования принято считать 1939 г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”. Поскольку методы, изложенные Л.В. Канторовичем, были малопригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В. Канторовича осталась почти не замеченной.

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования.

Классическая транспортная задача - задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта или взаимозаменяемых продуктов из пунктов производства в пункты потребления, встречается чаще всего в практических приложениях линейного программирования. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования - области математики, разрабатывающей теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями.

Транспортная задача линейного программирования получила в настоящее время широкое распространение в теоретических обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особо важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта. Кроме того, к задачам транспортного типа сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

В первой главе описывается постановка транспортной задачи, ее модели и методы решения.

Во второй главе формулируется и решается транспортная задача на примере ПО «Гомсельмаш».

Цель заданной работы - научиться формулировать и решать задачи транспортного типа.

программирование математический задача транспортный

Глава 1. Теоретические аспекты экономико-математического моделирования задач транспортного типа

1.1 Постановка транспортной задачи

Задачи транспортного типа относятся к задачам линейного программирования. Для них характерно:

Показатель эффективности (целевая функция) W линейно зависит от элементов решения х₁, х₂,..., х_n;

Ограничения, налагаемые на элементы решения, имеют вид линейных равенств или неравенств относительно х₁, х₂,..., х_n.

Такие задачи довольно часто встречаются на практике, например, при решении проблем, связанных с распределением ресурсов, планированием производства, организацией производства, организацией работы транспорта и т.д. Это и естественно, так как во многих задачах практики расходы и доходы линейно зависят от количества закупленных или утилизированных средств (например, суммарная стоимость партии товаров линейно зависит от количества закупленных единиц; оплата перевозок производится пропорционально весам перевозимых грузов и т.д.).

Разумеется, нельзя считать, что все встречающиеся на практике типы зависимостей линейны; можно ограничиться более скромным утверждением, что линейные (и близкие к линейным) зависимости встречаются часто, а это уже много значит.

Любую задачу линейного программирования можно свести к стандартной форме, так называемой "основной задаче линейного программирования" (ОЗЛП), которая формулируется так: найти неотрицательные значения переменных х₁, х₂,..., х_n, которые удовлетворяли бы условиям-равенствам

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +... + а_1п = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +... + а_2п = b₂,

..............................................

а_m1х₁ + а_m2х₂ +... + а_mп = b_m

и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных:

L = c₁x₁ + c₂x₂ +... + c_nx_n max

Убедимся в этом. Во-первых, случай, когда L надо обратить не в максимум, а в минимум, легко сводится к предыдущему, если попросту изменить знак L на обратный (максимизировать не L, а -L). Кроме того, от любых условий-неравенств можно перейти к условиям равенствам ценой введения новых, дополнительных переменных.

Возможен также и обратный переход от ОЗЛП к задаче с ограничениями-неравенствами.

Доказано, что оптимальное решение ОЗЛП (если оно существует) достигается при такой совокупности значений переменных х₁, х₂,..., х_n, где, по крайней мере, k из них обращаются в нуль, а остальные неотрицательны.

Сформулируем транспортную задачу в общем виде. Имеется m пунктов-изготовителей однородной продукции (i = 1, 2,..., m) и n пунктов-потребителей этой продукции (j = 1, 2,..., n); объем производства в каждом из пунктов-изготовителей равен соответственно а₁, а₂,..., а_m, а объем, требующийся каждому пункту-потребителю этой же продукции, - b₁, b₂,...,b_n (единица измерения продукции в обоих случаях принимается одной и той же). Доставка груза от изготовителя к потребителю требует определенных затрат: пусть с_ij - стоимость доставки единицы продукции от i-го изготовителя к j-му потребителю. Требуется определить, какое количество продукции и в адрес каких потребителей должен отправить каждый из пунктов-изготовителей х_ij, чтобы общая сумма затрат на перевозки была минимальной, при этом вся производственная продукция была бы реализована, а заявленная потребность каждого из пунктов-потребителей полностью удовлетворена. Тогда суммарные расходы по транспортировке всей продукции будут равны c_ijх_ij; последняя должна быть минимизирована:

c_ij х_ij min (1)

Для любой транспортной задачи существует план. Для наглядности условие задачи представим в виде таблицы, которая называется распределительной (табл. 1). Матрица Ic_ijI m x n называется матрицей тарифов (издержек или транспортных расходов).

Планом транспортной задачи называется матрица X=Ix_ijI m x n, где каждое число x_ij обозначает количество единиц груза, которое надо доставить из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Матрицу x_ij называют матрицей перевозок.

Таблица 1. Распределительная таблица

Поставщик	Потребитель	Запас груза
	В1	...	Вn
А1	с11 х11	...	c1n х1n	а1
...	...	...	...	...
Аm	cm1 хm1	...	cmn хmn	Аm
Потребность в грузе	b1	...	bn

Из постановки задачи следует ряд ограничений. Общая сумма поставок j-му потребителю не должна превышать его потребность в данном продукте х_ij =b_j. Суммарная величина поставок, произведенная i-м поставщиком, не должна превышать всей произведенной им продукции х_ij = а_i.

Стоимость доставки единицы продукции от i-го пункта-изготовителя до j-го пункта-потребителя и количество продукции, поставленное i-м поставщиком j-му потребителю, - неотрицательные величины, т.е. с_ij0; х_ij0.

Модель задачи:

f (х) =c_ij х_ij min; (2)

х_ij = а_i, i = ; (3)

х_ij = b_j, j=; (4)

х_ij 0, i = ; j=. (5)

В разработанной модели рассматриваемой задачи может оказаться, что вся изготовленная продукция строго равна заявленной потребности, т.е. а_i = b_j. Тогда модель данной задачи будет иметь следующий вид:

c_ij х_ij min; (6)

а_i = b_j; х_ij = b_j; (7)

х_ij = а_i, с_ij 0; х_ij 0. (8)

1.2 Модели транспортной задачи

Модель, в которой спрос и производство равны, называется закрытой (сбалансированной).

Если баланс производства и потребления нарушен, т.е. часть произведенного продукта не вывозится а_i > b_j, модель транспортной задачи будет открытой. Для решения открытой модели приведем ее к виду закрытой, введя фиктивный пункт потребления. Его потребность в произведенной продукции будет равна: b_m+1 = а_i - b_j. В случае, когда спрос превышает мощность пунктов-изготовителей, также имеем вариант открытой модели. Подход к ее решению аналогичен ранее приведенному: открытую модель сводим к закрытой, вводя соответственно фиктивного поставщика. В связи с нарушением баланса спроса и предложения изменяются и ограничительные условия: предложение больше спроса - условия х_ij а_i, в противном случае х_ij b_j.

Удовлетворение критериального условия - минимизация транспортных расходов - возможно только при учете реальных затрат, связанных с поставкой продукции реальным потребителям. Это необходимо иметь в виду, чтобы в процессе решения задачи блокировать прикрепление к фиктивному потребителю реальных поставщиков.

1.3 Методы решения транспортных задач

Решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного плана. Наиболее простой способ его нахождения основывается на так называемом методе северо-западного угла. Суть метода состоит в последовательном распределении всех запасов, имеющихся в первом, втором и т.д. пунктах производства, по первому, второму и т.д. пунктам потребления. Каждый шаг распределения сводится к попытке полного исчерпания запасов в очередном пункте производства или к попытке полного удовлетворения потребностей в очередном пункте потребления. На каждом шаге q величины текущих нераспределенных запасов обозначаются a_i^(q), а текущих неудовлетворенных потребностей - b_j^(q). Построение допустимого начального плана, согласно методу северо-западного угла, начинается с левого верхнего угла транспортной таблицы, при этом полагаем a_i⁽⁰⁾ = a_i, b_j⁽⁰⁾ = b_j. Для очередной клетки, расположенной в строке i и столбце j, рассматриваются значения нераспределенного запаса в i-ом пункте производства и неудовлетворенной потребности j-ом пункте потребления, из них выбирается минимальное и назначается в качестве объема перевозки между данными пунктами: х_i,j = min {a_i^(q), b_j^(q)}. После этого значения нераспределенного запаса и неудовлетворенной потребности в соответствующих пунктах уменьшаются на данную величину:

a_i^(q+1) = a_i^(q) - x_i,j, b_j^(q+1) = b_j^(q) - x_i,j.

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: a_i^(q+1) =0 или b_j^(q+1) =0. Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i+1, т.е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же b_j^(q+1) =0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j-го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей (a_i = b_j), нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1, поэтому всегда останутся свободными (нулевыми) mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (a_i^(q) = b_j^(q)). В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

Особенностью допустимого плана, построенного методом северо-западного угла, является то, что целевая функция на нем принимает значение, как правило, далекое от оптимального. Это происходит потому, что при его построении никак не учитываются значения c_i,j. В связи с этим на практике для получения исходного плана используется другой способ - метод минимального элемента, в котором при распределении объемов перевозок в первую очередь занимаются клетки с наименьшими ценами.

Поскольку в правиле ”северо-западного угла“ значение Cij не учитывается, нельзя ожидать, что при вычислении исходного плана по этому правилу соответствующее значение линейной формы будет близким к минимальному.

1. Правило минимума по строке. Пусть минимальным элементом первой строки будет C1k (если минимальных элементов имеется более одного, то выбираем элемент с наименьшим индексом j).Предположим X1k= a, если a1<=bk; x1k=bk, если a1>bk. В первом случае полагают Xik=0 для i = k и переходят ко второй строке, заменяя bk наbk-a1. После этого находят минимальный элемент второй строки и повторяют процесс. Во втором случае заменяют a1 на a1-bk, bk-на нуль и определяют наименьший за вычетом C1k элемент первой строки, после чего описанный процесс повторяется.

2. Правило минимума по столбцу. Вычисление исходного плана проводится по правилу, описанному выше, с той разницей, что строки заменяются столбцами.

3. Правило минимального элемента матрицы. Отыскивается минимальный элемент Cij матрицы стоимостей перевозок, после чего величина перевозки (xij) полагается равной min(aibj). Процесс повторяется до тех пор, пока весь продукт не будет перевезен.

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

vj[k] - ui[k] = Cij, i=1,..., m; j=1, …, n.

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

Метод минимальной стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел аi или bj. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Метод двойного предпочтения. Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.

В каждом столбце отмечают знаком V клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку V V. В них находится минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз, исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком \/. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

Транспортная задача - это классическая задача линейного программирования о нахождении наиболее рационального с точки зрения затрат плана перевозок однородного продукта от изготовителя (поставщика) к потребителю. Термин "транспортная задача" определяет не только область приложения метода, но и особенности его реализации с точки зрения используемых математических приемов и т.п. В новых условиях хозяйствования, когда максимально необходимо сокращать расходы, в том числе и транспортные, решение транспортной задачи приобретет важнейшее значение.

Глава 2. Постановка и решение задачи транспортного типа (на примере ПО «Гомсельмаш»)

2.1 Краткая характеристика ПО «Гомсельмаш»

программирование математический транспортный

Производственное объединение “Гомсельмаш” (далее - ПО “Гомсельмаш”) было создано в 1978 году приказом министра машиностроения для животноводства и кормопроизводства.

ПО “Гомсельмаш” основано на государственной форме собственности и находится в ведении Министерства промышленности Республики Беларусь. Объединение обладает правами юридического лица и осуществляет свою деятельность в соответствии с уставом объединения.

В настоящее время в состав объединения входят:

1. Республиканское унитарное предприятие ”Гомельский завод сельскохозяйственного машиностроения "Гомсельмаш" - головное предприятие;

2. Республиканское унитарное предприятие "Гомельский завод литья н нормалей" (РУП ” ГЗЛиН”);

3. Республиканское унитарное предприятие "Гомельский завод зерноуборочных комбайнов" (РУП "ГЗЗК")

4. Республиканское унитарное предприятие "Светлогорский завод сельскохозяйственного машиностроения "Светлогорсккорммаш" (РУП "СЗСХМ Светлогорсккорммаш");

5. Республиканское унитарное предприятие “Гомельский завод самоходных комбайнов” (РУП “ГЗСК”);

6. Республиканское унитарное предприятие “Гомельский завод специнструмента и технологической оснастки” (РУП "ГЗСИиТО");

7. Республиканское строительное унитарное предприятие "СП";

8. Республиканское конструкторское унитарное предприятие "ГСКБ по зерноуборочной и кормоуборочной технике";

9. Республиканское жилищно-ремонтно-эсплуатационное унитарное предприятие "Сельмашевец";

10. Республиканское унитарное предприятие общественного питания "Звездочка";

11. Республиканское производственное унитарное предприятие "Топаз".

Описание предприятия

1	Отрасль, в которой функционирует предприятие	АПК
2	Наимеиование п/п	Производственное объединение “Гомсельмаш”
3	Юридический адрес п/п	г. Гомель, ул. Шоссейная, 41
4	Форма собственности	Государственная
5	Дата регистрации п/п	10.12.96
6	Описание продукции	Сельскохозяйственная техника
7	Телефон	+375232547094
8	Факс	+375232541852
9	Учредители п/п	МинПром РБ
10	Директор п/п	Жмайлик Валерий Алексеевич
11	Дата составления паспорта п/п	17.09.02

Целью деятельности производственного объединения является хозяйственная деятельность, направленная на получение прибыли для удовлетворения социальных и экономических интересов членов трудового коллектива и интересов собственника имущества предприятия.

Предметом деятельности объединения является производство и сбыт кормоуборочных и зерноуборочных комбайнов, прицепных специализированных емкостей и других сельскохозяйственных машин, запасных частей, товаров народного потребления; выполнение конструкторских и проектно-технологических работ в соответствии с контрольными цифрами, государственными заказами, а также принятыми обязательствами, по договорам; выполнение строительных работ; осуществление внешнеэкономической, торгово-закупочной деятельности, оказание платных услуг.

Основной продукцией завода являются самоходные кормоуборочные и зерноуборочные машины КСК-100А-2, КСК-100А1-2, универсальные энергетические средства УЭС “Полесье-250”, УЭС “Полесье-2-250”,УЭС “Полесье-2-250А” и КЗР-10, КЗС-7, которые всегда составляют большой удельный вес в общем объеме производства.

ПО “Гомсельмаш” является основным поставщиком кормоуборочных машин и прицепных емкостей, рынком сбыта которых являются страны СНГ. Основными потребителями ПО “Гомсельмаш” являются сельхозпредприятия России, Украины, Беларуси.

Всего в отрасли имеется около 120 предприятий производящих сельскохозяйственное оборудование. В производстве кормоуборочных и зерноуборочных комбайнов ПО “Гомсельмаш” занимает ведущее место, в РБ основным конкурентом является лишь “Лидаагропроммаш”, выпускающее комбайны "Лида". ПО “Гомсельмаш” является самым большим предприятием по размерам и производственным мощностям.

Особенность производственно-хозяйственной деятельности: сезонный характер сбыта продукции: основной объем реализации приходится на лето- время кампании, в остальное же время наблюдается снижение объемов сбыта;

Сильные стороны:

- ПО “Гомсельмаш” обладает достаточно высоким потенциалом, имеет сложное оборудование и квалифицированные кадры.

- Технический уровень кормоуборочной и зерноуборочной техники, выпускаемой заводом, соответствует основным характеристикам зарубежных аналогов и является конкурентоспособным на внутреннем и внешнем рынках.

- На предприятии освоена прогрессивная технология изготовления кормоуборочной и зерноуборочной техники по всем видам производств: заготовительно-прессовому, механообрабатывающему, сварочному, сборочному, термическому, окрасочному.

- Все технологические переделы функционируют на достаточно высоком техническом уровне и обеспечивают гибкость технологии при переходе на новые перспективные модели кормоуборочной и зерноуборочной техники.

Слабые стороны:

- высокая степень зависимости одних подразделений ПО “Гомсельмаш” от других, а, следовательно, отсутствие возможности выбора поставщиков, предлагающих более выгодные для условия поставки покупных комплектующих и полуфабрикатов;

- большая часть работников работает по повременно-премиальной системе оплаты труда.

В соответствии с Уставом предприятия управление осуществляется генеральным директором. Оперативно-исполнительскую деятельность осуществляет аппарат дирекции.

2.2 Постановка задачи и ее решение с помощью экономико-математических методов решения транспортных задач

На складах 1,2,3 хранится металлопрокат в количествах 180 тонн, 300 тонн, 210 тонн в год. Эту продукцию следует перевезти в цеха N 136, 77, 144, 166. Потребности которых в данной продукции равны соответственно: 150; 140; 200; 90;110. Стоимость перевозки 1 тонны в цех со склада 1 равна соответственно: 6; 2; 1; 1; 4.

Со склада 2: 4; 1; 3; 2; 3.

Со склада 3: 1; 2; 5; 3; 2.

Нужно определить такой план перевозок, чтобы транспортные расходы были минимальными.

bj ai	150 тонн	140 тонн	200 тонн	90 тонн	110 тонн
180 тонн 300 тонн 210 тонн	6 4 1	2 1 2	1 3 5	1 2 3	4 3 2

Первоначально допустимый план получим методом “северо-западного угла”. А затем решим данную задачу методом потенциалов.

Первоначально допустимый план имеет следующий вид:

bj ai	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 150	2 30	1	1	4	1 = 0
a2 300	4	1 110	3 190	2	3	2 = 1
a3 210	1	2	-5 10	3 90	2 110	3 = -1
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 4	B4 = 2	B5 = 1

Определили первоначально допустимый план перевозок методом северо-западного угла.

Поставим в соответствие каждому пункту a_i некоторую величину _i, а пункту b_j - величину _j и свяжем их следующим образом:

_i + С_ij = _j (1)

_i, _j - потенциалы

Проверим план перевозок на оптимальность. Для этого составим уравнение типа

_i + C_ij b_{j (2)}

для всех свободных клеток и посмотрим выполнение этого неравенства.

0+1=1<4 не выполняется

0+4=4>1 выполняется

1+4=5<6 не выполняется

1+2=3>2 выполн-ся

1+3=4>1 выполн-ся

-1+1=0<6 не выполн-ся

-1+2=1<2 не вып-ся

Следовательно, план не оптимальный. Необходимо перераспределить поставки. В клетки 31 неравенство типа (2) не выполняется больше всего. В эту клетку необходимо произвести поставку. Ставим (+)

Ходом шахматной ладьи обходим базисные клетки таблицы таким образом, чтобы последним ходом вернуться в исходную клетку, причем эти базисные клетки переменно помечали знаками (+) и (-), перераспределяя поставки (в каждой строке или столбце должно быть не более 2-х таких клеток). Получим новый план поставок.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 140	2 30	1 10	1	4	1 = 0
a2 300	4	1 110	3 190	2	3	2 = -2
a3 210	1 10	2	5	3 90	2 110	3 = 5
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 1	B4 = 8	B5 = 7

Проверяем план поставок на оптимальность

0 +1=1<8 не выполняется

0+4=4<7 не выполняется

-2+4=2<6 не выполняется

-2+2=0<8 не выполняется

-2+3=1<7 не выполняется

5+2=7>2 выполн-ся

5+5=10>1 выполн-ся

Уравнение (2) не выполняется для клетки ₂₄, поэтому продолжим решение; получим новый план перевозки.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 140	2 30	1 10	1	4	1 = 0
a2 300	4	1 110	3 100	2 90	3	2 = 1
a3 210	1 10	2	5 90	3	2 110	3 = 5
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 1	B4 = 3	B5 = 7

Проверяем план поставок на оптимальность

0+1=1<3 не выполняется

0+4=4<7 не выполняется

1+4=5<6 не выполняется

1+3=4<7 не выполняется

5+2=7>2 выполн-ся

5+3=8>3 выполн-ся

Уравнение (2) не выполняется для клетки ₂₅, поэтому продолжим решение; получим новый план перевозки.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 140	2 30	1 10	1	4	1 = 0
a2 300	4	1 110	3 100	2	3 90	2 = 1
a3 210	1 10	2	5 90	3 90	2 20	3 = 2
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 1	B4 =5	B5 = 4

Проверяем план поставок на оптимальность:

0+1=1<5 не выполняется

0+4=4=4 выполняется

4+1=5<6 не выполняется

2+1=3<5 не выполняется

2+2=4>2 выполн-ся

Продолжаем решение.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 140	2	1 10	1 30	4	1 = 0
a2 300	4	1 110	3 100	2	3 90	2 = -2
a3 210	1 10	2 30	5 90	3 60	2 20	3 = -2
	b1 = 6	b2 = -1	b3 = 1	B4 =1	B5 = 0

Проверяем:

0+2=2>-1 выполн-ся

0+4=4>0 выполн-ся

-2+4=2<6 не выполняется

-2+2=0<1 не выполняется

Продолжаем решение.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 140	2	1 10	1 30	4	1 = 0
a2 300	4 10	1 110	3 100	2	3 90	2 = 3
a3 210	1	2 40	5 90	3 60	2 20	3 = -2
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 1	B4 =1	B5 = 0

Проверяем:

0+2=2=2 выполняется

0+4=4>0 выполн-ся

3+2=5>1 выполняется

-2+1=-1<6 не выполняется

Продолжаем.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 100	2 40	1 10	1 30	4	1 = 0
a2 300	4 10	1 110	3 100	2	3 90	2 = 2
a3 210	1 40	2	5 90	3 60	2 20	3 = -2
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 1	B4 =1	B5 = 0

Проверяем.

0+4=4>0 выполн-ся

2+2=4>1 выполняется

-2+2=0<2 не выполняется

Продолжаем.

	1 150	2 140	3 200	4 90	5 110
a1 180	6 100	2 40	1 10	1 30	4	1 = 0
a2 300	4 10	1 40	3 100	2 60	3 90	2 = -1
a3 210	1 40	2 60	5 90	3	2 20	3 = 0
	b1 = 6	b2 = 2	b3 = 1	B4 =1	B5 = 2

Проверяем.

0+4=4>2 выполняется

0+3=3>1 выполняется

План оптимальный или

Z=6*100+4*10+1*40+2*40+60*2+10*1+100*3+90*5+30*1+60*2+90*3+2*20=600+40+40+80+120+10+300+450+30+120+270+40=2100

В результате расчета плана перевозок продукции методом потенциалов, получили план, при котором продукция в течение кварталов поставляется неравномерно.

Заключение

В данной курсовой работе на тему «Экономико-математические модели задач транспортного типа» я рассмотрела задачи линейного программирования, относящиеся к классу задач транспортного типа.

Транспортные задачи имеют экономический смысл для многих промышленных фирм, располагающих несколькими предприятиями и хранящих запасы продукции на складах, размещенных в различных пунктах. Уже в течение довольно длительного периода эта задача стала типовой для промышленных фирм, имеющих несколько предприятий, складов, рынков сбыта или оптовых баз. В этом случае решения сводятся к выбору транспортных маршрутов, по которым продукция различных предприятий доставляется на несколько складов или в различные конечные пункты назначения.

В курсовой работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

Алгоритм и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических задач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов cij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи.

В первой главе я научилась формулировать задачи транспортного типа, узнала, какие бывают методы и модели этих задач.

Во второй главе я знакомилась с решением задач линейного программирования на примере ПО ”Гомсельмаш”.

Список использованной литературы

1. Применение математики в экономике. Оптимизация территориально-отраслевого планирования и управления производством. /Под ред. Г.В. Шалабина. - Ленинград, 1976. - 144 с.

2. Применение математики и электронной техники в планировании./Под ред. А.Г. Аганбегяна, В.Д. Белкина. - М., 1961. - 292 с.

3. Математика и кибернетика в экономике. - Словарь-справочник. - М.: Экономика, 1971. - 223 с.

Размещено на Allbest.ru