Для установления вида и параметров уравнения связывающего миграцию населения и количество сделок с недвижимостью применим регрессионный анализ. Для этого проверим наиболее часто применимые регрессионные модели, в первую очередь логарифмическую, являющуюся линеаризация степенной функции, которая широко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса [15].

Проверка полинома второй степени.

Оценка уравнения регрессии.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (X^TX)^-1X^TY (24)

Матрица X представлена в таблице 7.

Таблица 7 - Матрица значений X

Матрица Y представлена в таблице 8.

Таблица 8 - Матрица значений Y

Матрица X^T представлена в таблице 9.

Таблица 9 - Транспонированная матрица значений X

Умножаем матрицы, (X^TX),результат представлен в таблице 10.

Таблица 10 - Умножение транспонированной матрицы значений X на матрицу значений X

В матрице, (X^TX) число 14, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (X^TY),результат представлен в таблице 11.

Таблица 11 - Умножение транспонированной матрицы значений X на матрицу значений Y

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1 результат представлен в таблице 12.

Таблица 12 - Значения транспонированной матрицы (X^TX)^-1

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен (25).Результат данной операции представлен в таблице 13.

Y(X) = (X^TX)^-1X^TY = (25)

Таблица 13 - Значения матрицы Y(X)

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -695.09-1668.76X₁ + 1774.46X₂-378.76X₃-606.67X₄ + 1013.4X₅ (26)

Матрица парных коэффициентов корреляции.Число наблюдений n = 14. Число независимых переменных в модели равно 5, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 7. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (14 х 7).

Матрица, составленная из Y и X, представлена в таблице 14.

Таблица 14 - Таблица значений Y и X

Транспонированная матрица представлена в таблице 15.

Таблица 15- Транспонированная матрица значений Y и X

Матрица A^TA представлена в таблице 16.

Таблица 16 - Умножение транспонированной матрицы значений A^Tна матрицу значений A

Полученная матрица имеет следующее соответствие представленные в таблице 17.

Таблица 17 - Соответствие смысловых значений таблицы 16

Вычисление парных коэффициентов корреляции представлены в таблице 18 и 19.

Таблица 18 - Вспомогательные значения необходимые для вычисления коэффициентов корреляции Y и X

Таблица 19 - Вспомогательные значения необходимые для вычисления коэффициентов корреляции Y и X

Матрица парных коэффициентов корреляции представлена в таблице 20.

Таблица 20 - Значение парных коэффициентов корреляции

Для отбора наиболее значимых факторов x_i учитываются следующие условия:

- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;

- связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции r_xjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.;

- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.

В нашем случае r_{x1 x2,} r_{x1 x3,} r_{x1 x4,} r_{x1 x5,} r_{x2 x3,} r_{x2 x4,} r_{x2 x5,} r_{x3 x4,} r_{x3 x5,} r_{x4 x5} имеют |r|>0.7, что говорит о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа.

Модель регрессии в стандартном масштабе.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

(27)

где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении.

(28)

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

t_y = ?в_jt_xj (29)

Для оценки в-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

r_x1y=в₁+r_x1x2*в₂ +... + r_x1xm*в_m

r_x2y=r_x2x1*в₁ + в₂ +... + r_x2xm*в_m (30)

r_xmy=r_xmx1*в₁ + r_xmx2*в₂ +... + в_m

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

0.823 = в₁ + 0.944в₂ + 0.998в₃ + 0.945в₄ + 0.991в₅

0.699 = 0.944в₁ + в₂ + 0.942в₃ + 0.999в₄ + 0.977в₅

0.826 = 0.998в₁ + 0.942в₂ + в₃ + 0.945в₄ + 0.992в₅ (31)

0.704 = 0.945в₁ + 0.999в₂ + 0.945в₃ + в₄ + 0.979в₅

0.789 = 0.991в₁ + 0.977в₂ + 0.992в₃ + 0.979в₄ + в₅

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: в₁ = -3.721; в₂ = 2.953; в₃ = -9.603; в₄ = -13.135; в₅ = 23.975;

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y⁰ = -3.721x₁ + 2.953x₂ -9.603x₃ -13.135x₄ + 23.975x₅ (32)

Найденные из данной системы в-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

(33)

(34)

Анализ параметров уравнения регрессии.Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации.

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Несмещенная ошибка е = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации).Результаты данной операции представлены в таблице 21.

Таблица 21 - Несмещенная ошибка е

Средняя ошибка аппроксимации

(35)

Оценка дисперсии равна:

s_e² = (Y - X*Y(X))^T(Y - X*Y(X)) = 427904.26 (36)

Несмещенная оценка дисперсии равна:

(37)

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

(36)

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S * (X^TX)^-1.. Результаты данной операции представлены в таблице 22.

Таблица 22 -Матрица ковариационных значений

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S²_i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

(38)

Связь между признаком Y факторами X сильная

Коэффициент детерминации.

R²= 0.87² = 0.75 (39)

Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии.

Проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии.

Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.

1) t-статистика

T_табл (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306 (40)

(41)

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₀:

(42)

(43)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₀ не подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₁:

(44)

(45)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₁ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₂:

(46)

(47)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₃:

(48)

(49)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₃ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₄:

(50)

(51)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₄ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₅:

(52)

(53)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₅ подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b_i - t_i S_bi; b_i + t_i S_bi) (54)

b₀: (-695.09 -2.306*1133.56;-695.09 + 2.306 * 1133.56) = (-3309.08;1918.89)

b₁: (-1668.76 - 2.306 *338.84; -1668.76+2.306 * 338.84) = (-2450.13;-887.39)

b₂: (1774.46 - 2.306 * 611.67; 1774.46 + 2.306 * 611.67) = (363.94;3184.98)

b₃: (-378.76 - 2.306 * 48.32; -378.76 + 2.306 * 48.32) = (-490.19;-267.33)

b₄: (-606.67 - 2.306 * 96.67; -606.67 + 2.306 * 96.67) = (-829.59;-383.75)

b₅: (1013.4 - 2.306 * 126.98; 1013.4 + 2.306 * 126.98) = (720.57;1306.23)

Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R² или b₁ = b₂ =... = b_m = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R², рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости б (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1.

2) F-статистика. Критерий Фишера

(55)

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

(56)

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: в₁ = в₂ =... = в_m = 0. (57)

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.

Если F < F_kp = F_{б; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.

 (58)

Табличное значение при степенях свободы k₁ = 5 и k₂ = n-m-1 = 14 - 5 - 1 = 8, Fkp(5;8) = 3.69

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий).

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами).

Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора х_j, служит частный F-критерий - F_xj:

(58)

где m - число оцениваемых параметров.

В числителе - прирост доли вариации у за счет дополнительно включенного в модель фактора х_j.

Если наблюдаемое значение F_xj больше F_kp, то дополнительное введение фактора x_j в модель статистически оправдано.

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов «чистой» регрессии (b_j). Существует взаимосвязь между частным F-критерием - F_xj и t-критерием, используемым для оценки значимости коэффициента регрессии при j-м факторе:

 (59)

Проверка других полиномов Проведя аналогичные вычисления для полинома первой и третьей степени получили коэффициенты детерминации в переделах от 0.7 до 0.86.Атак же провели проверку по Критерию Фишера.

4. Математическая модель

Для модели депопуляции в которой населении города убывает на всем протяжении времени график представлен на рисунке.

График убывание населения в городе при депопуляции

На всем протяжении периода количество убывающего населения превышает количество прибывающего, тогда при моделировании количество сделок постепенно падает рисунок.

График количества сделок за год при депопуляции города

Этот график объясняется тем что даже миграция населения становится меньше из-за того что некому становится уезжать из города.

Для модели предполагающей резкое увеличения числа иммигрантов, привлеченных извне благодаря большому количеству новых рабочих мест,в частности, за счет строительства крупного производственного многопрофильного кластера через 25 лет после начала моделирования движение населения представлено на рисунке.

График изменения численности населения в городе при строительстве крупного производственного

При таком развитии событий число приезжий после строительства растет, соответственно растет и число сделок с недвижимостью.

График количества сделок за год при строительстве крупного производственного кластера

Для модели предполагающей уменьшение числа эмигрантов благодаря процессу создания предприятий малого и среднего бизнеса население будет вначале убывать, но не так быстро как в других моделях. А потом начинает постепенно расти.

График изменения численности населения в городе при создания предприятий малого и среднего бизнеса

При создании предприятий малого бизнеса поток людей уезжающих из города будет уменьшаться за счет людей, которые останутся в городе на созданных рабочих местах.

График количества сделок при создания предприятий малого и среднего бизнес

Заключение