3

В.К. Буторин, В. В. Карпов

ПРИКЛАДНОЙ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ:

СЕТЕВОЙ АНАЛИЗ И КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОЕКТОВ,

МЕТОД ПРОГНОЗНОГО ГРАФА

Кемерово 2002

УДК 681.51

ISBN 5-87057-123-1

Рецензенты:

В.К. Буторин, В. В. Карпов

Прикладной системный анализ: сетевой анализ и календарное планирование проектов, метод прогнозного графа: Учеб. пособие. /Под ред. к. т. н. В.К. Буторина. НФИ КемГУ. - Новокузнецк, 2002. 59 с.

ISBN 5-87057-123-1

Рассматриваются постановки задач и практические аспекты использования методов сетевого анализа и календарного планирования проектов с использованием теории графов. Описывается минимизация времени выполнения и общей стоимости проекта. Рассматривается метод прогнозного графа. Алгоритмы принятия решений иллюстрируются на конкретных примерах. Приведены упражнения для выполнения практических работ.

Предназначено для студентов специальностей “Прикладная информатика в экономике”(351400), “Автоматизированные системы обработки информации и управления”(220200).

УДК 681.51

ISBN 5-87057-123-1

Новокузнецкий филиал-институт

Кемеровского государственного

университета, 2002

К.К. Буторин, В. В. Карпов, 2002

Содержание

• 1. Сетевой анализ и календарное управление
• Введение
• 1.1. Сетевые графы
• 1.2. Стрелочные графы
• 1.3. Вершинные графы
• 1.4. Анализ критического пути
• 1.5. Анализ критического пути с применением вершинных графов
• 1.6. Анализ критического пути с применением стрелочных графов
• 1.7. Стоимость проекта
• 1.8. Минимизация общей стоимости проекта
• 1.9. Выполнение проекта с минимальными издержками
• 1.10. Неопределённость времени выполнения проекта
• 1.11. Распределение ресурсов
• 1.12. Графики ресурсов
• Заключение
• Упражнения
• 2. Метод прогнозного графа
• Список литературы
• 1.СЕТЕВОЙ АНАЛИЗ И КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОЕКТОВ

Введение

Сетевой анализ - это метод планирования работ проектного характера, т.е. работ, операции в которых, как правило, не повторяются. Этот метод применим например, при составлении календарного плана выполнения операций, входящих в программу инсталлирования компьютерной системы в некоторой компании, или операций, являющихся составными частями улучшения обстановки офиса. Процессы инсталлирования компьютерных систем или улучшения обстановки офиса в данной компании могут протекать непрерывно, однако, вряд ли два любых проекта окажутся совершенно одинаковыми.

Методы сетевого анализа позволяют осуществить анализ проекта, которых включает в себя большое число взаимосвязанных операций. Мы можем определить вероятную продолжительность выполнения работ, их стоимость, возможные размеры экономии времени или денежных средств, а также то, выполнение каких операций нельзя отсрочить, не задержав при этом срок выполнения проекта в целом. Немаловажной является и проблема обеспечения ресурсами. Методы сетевого анализа могут быть использованы при составлении календарного плана выполнения операций, удовлетворяющего существующим ограничениям на обеспечение ресурсами.

Анализ любого проекта осуществляется в три этапа:

1. Расчленение проекта на ряд отдельных работ (или операций), из которых затем составляется логическая схема. Под операцией понимается деятельность или процесс, выполнение которых требует затрат временных и/или иных ресурсов.

2. Оценка продолжительности выполнения каждой операции; составление календарного плана выполнения проекта и выделение работ, которые определяют завершение выполнения проекта в целом.

3. Оценка потребностей каждой операции в ресурсах; пересмотр плана выполнения операций с учетом обеспечения ресурсами либо перераспределение денежных или других ресурсов, которое улучшит план. Рассмотрим каждый из этих этапов в отдельности.

1.1 Сетевые графы

Первым шагом в анализе любого проекта является составление списка входящих в него операций. Детали такого списка зависят от специфики конкретного проекта. Тем не менее во всех случаях необходимо выделить непосредственно предшествующую операцию или операции. Непосредственно предшествующими называются операции, выполнение которых должно быть закончено прежде, чем может начаться данная операция. Например, при постройке дома крыша не может быть построена до того момента, пока не закончится возведение стен.

После того как составлен список, логическая последовательность выполнения операций может быть проиллюстрирована с помощью графа. Существуют различные типы графов, но наиболее широкое применение получили так называемые вершинные и стрелочные графы. Однако каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, и выбор того или иного графа является вопросом личных предпочтений или же определяется целью создания и использования данного графа.

1.2 Стрелочные графы

В этом типе графов (рис. 1) каждая операция представлена стрелкой. Длина стрелок значения не имеет. Направление стрелки отражает ход времени и обычно указывается слева направо. Начало и окончание каждой операции называются событиями и изображаются на графе кружочками или узлом.

А

Предшествующее Операции Последующее

событие (начало) событие (окончание)

Рис. 1. Изображение операции на стрелочном графе

Операции обозначают буквой или словом, а события - числом. Поскольку любая операция характеризуется парой событий, ее можно также обозначать с помощью чисел, соответствующих этим событиям. Например, на рис. 1 операция А означает то же самое, что и операция (1, 2). Одному узлу может соответствовать (входить или выходить из него) несколько операций. Событие, изображаемое на графе с помощью узла, не считается свершившимся до тех пор, пока не окончены все входящие в него операции. Операция, выходящая из некоторого узла, Не может начаться до тех пор, пока не будет достигнуто начальное событие, т.е. пока не будут завершены все операции, входящие в узловое начальное событие.

Если операция С не может быть начата до момента окончания работ А и В, логическую схему данной ситуации можно представить графически следующим образом (см. рис. 2).

Начальным событием для С является конечное событие для А и В. Существенно, что в стрелочном графе сохраняется логическая зависимость операций. Иногда, чтобы достичь этого, необходимо включить в граф одну или более фиктивных логических операций.

Фиктивная логическая стрелка вводится в граф, если необходимо отразить, что некоторое событие не может появиться раньше другого события, а с помощью обычных стрелок, соответствующих операциям, этого сделать нельзя. Функция фиктивной логической операции состоит в том, чтобы показать последовательность появления событий.

А С

В

Рис. 2. Логические взаимосвязи в стрелочном графе

Фиктивным логическим операциям ставится в соответствие нулевая продолжительность выполнения, а изображаются они обычно пунктиром. Например, если работу С нельзя начать прежде, чем завершится операция А, а работу О нельзя начать до тех пор, пока не завершатся работы А и В, соответствующий стрелочный граф будет выглядеть следующим образом:

Кроме того, в стрелочных графах для избежания неоднозначности используются фиктивные операции идентификации. В некоторых пакетах прикладных программ, используемых в сетевом анализе, операции обозначаются не с помощью букв или слов, а числами, обозначающими соответствующие им события. Если же две или более операций выполняются одновременно и имеют одни и те же начальное и конечное события, то компьютер не сможет отличить их друг от друга и не воспримет вводимую исходную информацию. Как показано на рис. 4, включение фиктивной операции идентификации позволяет решить данную проблему. На практике принято нумеровать события таким образом, чтобы номер конечного события был больше, чем номер начального события.

А С

Фиктивная логическая

операция

В D

Рис. 3. Использование в стрелочном графе

фиктивной логической операции

Первый шаг после составления списка операций, входящих в проект, состоит в том, чтобы создать таблицу операций, в которой отражаются все операции, а также операции, непосредственно им предшествующие.

В данный список не включаются фиктивные логические операции или операции идентификации. На основе полученного списка строится стрелочный сетевой граф, включающий действительные и фиктивные операции и отражающий установленные взаимосвязи между ними. После того, как закончено построение исходного графа, можно выявить и исключить из рассмотрения ненужные фиктивные операции. Затем для улучшения логической схемы исходный граф можно модифицировать и перекомпоновать.

Фиктивная операция

идентификации

А

Заменяется на

Рис. 4. Использование в стрелочном графе фиктивной операции идентификации

Ненужные фиктивные логические операции можно выявить с помощью простого практического правила. Если единственной операцией, выходящей из некоторого узла, является фиктивная логическая операция, то по всей вероятности без нее можно обойтись.

Пример 1. Компания "Эвриком" - это промышленная фирма, которая заключила контракт о производстве партии станков, предназначенных к использованию крупным предприятием обувной промышленности для массового производства обуви. Ниже перечислены операции, которые необходимо выполнить в процессе разработки и производства этих станков (табл. 1).

Нужно изобразить операции с помощью стрелочного графа.

Решение.

Сетевой граф должен начинаться с единственного начального события, которое показано на рис. 5 кружочком, и заканчиваться единственным конечным событием. Построение графа мы начали с первого события. С этого события начинаются все операции, которым не предшествуют никакие виды работ. Начинать построение полезно с примерного эскиза будущего графа:

F G

5 9 10 12

А B C E K L

1 2 3 4 7 13 14

D H I

6 8 11

J

Рис. 5. Примерный эскиз графа для примера 1

Таблица 1. Таблица операций для задачи из примера 1

ОПЕРАЦИИ	Непосредственно предшествующая операция
А Составление сметы затрат В Согласованные оценки С Покупка собственного оборудования D Подготовка конструкторских проектов E Строительство основного цеха F Монтаж оборудования G Испытания оборудования H Определение типа модели I Проектирование внешнего корпуса J Создание внешнего корпуса K Конечная сборка L Контрольная проверка	- A B B D C,E F D D H,I G,J K

В соответствии с приведенной выше таблицей необходимо тщательно, переходя от одной операции к другой, проверить построенный в первом приближении граф.

A B C F G K L

1 2 3 5 8 9 10 11

D E J

4 7 Фиктивная операция

H I идентификации

6

Рис.6. Новый чертеж стрелочного графа для примера 1

Пример 2. Компания "Эвриком" является участником другого проекта, детали которого приведены ниже. Изобразим данный проект при помощи стрелочного графа.

Решение

Построение начинаем с начального события, обозначенного кружком 1. Из таблицы следует, что существуют три операции - А, В и С, которым не предшествует ни одна из операций. Поэтому из начального события выходят три стрелки. На первый взгляд таблица операций выглядит чрезвычайно простой, однако отразить присущую ей логику с помощью сетевого графа достаточно трудно, вследствие чего мы вынуждены использовать три фиктивные логические операции (см. рис. 7).

Таблица 2. Таблица операций для примера 2

Операция	Непосредственно Предшествующая операция	Операция	Непосредственно предшествующая операция
A B C D	- - - A,B	E F G H	B,C C D,E F,G

4

2

1 5 6 7 8

3

Рис. 7. Стрелочный граф для примера 2

1.2 Вершинные графы

В этом типе сетевых графов операции представлены узлами графа, а стрелками изображаются их взаимосвязи. В таких графах не возникает необходимости вводить фиктивные операции. Как и в предыдущем случае, течение времени следует изображать в направлении слева направо.

Пример 3. Обратившись к данным из примера 2, модифицируем полученную в этом примере схему, поставив в соответствие операциям узлы графа. A

D

Начальный B G

узел E H

C F

Рис. 8. Вершинный граф

Каждый из описанных типов графов имеет свои преимущества и недостатки. Обычно не имеет принципиального значения, какая из систем используется. Если в стрелочные графы приходится вводить достаточно большое число фиктивных операций, то гораздо более предпочтительным является выбор вершинного графа. Ниже приведено сравнение двух видов изображения операций и их основных особенностей (см. рис. 9).

Ситуация Строчный граф Вершинный граф

Операция Q P Q

зависит 1 2 3 P Q

от операций P,Q

Операция Х 1 Р X Р

зависит 3 4 X

от операций P,Q 2 Q Q

Операция Х,Y 1 Р X 4 Р X

зависит 3

от операций P,Q 2 Q Y 5 Q Y

Операция Х 1 Р 2 X 5 Р X

зависит

от операции P; 3 Q 4 Y 6 Q Y

oперация Y зависит от

операций Р и Q

Рис. 9. Сравнение сетевых стрелочного и вершинного графов

1.3 Анализ критического пути

После того как проведена идентификация операций, можно оценить их продолжительность. На основе продолжительности выполнения каждой операции и руководствуясь логической схемой, можно найти время выполнения проекта в целом. На данном этапе предполагается, что продолжительность выполнения каждой операции является фиксированной величиной, не испытывающей влияний неопределенности. В последнем разделе главы мы рассмотрим вопрос о том, какие поправки следует внести в этот анализ, чтобы учесть неопределенность времени выполнения операций. В каждом графе существует несколько возможных путей. Общее время, необходимое для того, чтобы пройти какой-либо путь, есть сумма времени выполнения всех операций, принадлежащих данному пути. Продолжительность выполнения всего проекта занимает наибольшее время. Более длительные операции называются критическими. Любая задержка срока начала или окончания выполнения этих работ повлечет за собой задержку срока выполнения проекта в целом. Критические операции образуют непрерывную цепь, проходящую через весь граф. Эта цепь критических операций называется критическим путем. В каждом графе найдется, по крайней мере, один критический путь.

Для того чтобы найти общую продолжительность выполнения проекта, нужно определить продолжительность критического пути. В большинстве графов идентифицировать все идущие сквозь граф пути, чтобы выявить среди них тот, который занимает наибольшее время, достаточно трудно. Существуют два возможных метода, позволяющих отследить движение времени в графе:

1. Определение для каждой операции наиболее ранних сроков начала и окончания ее выполнения.

2. Определение для каждого события наиболее раннего срока его наступления. Следует отметить, что второй метод может использоваться только в стрелочных графах.

1.4 Анализ критического пути с применением вершинных графов

Пример 4. В табл. 3 указана продолжительность выполнения каждой операции проекта, о котором шла речь в примерах 2 и 3 Определим общую продолжительность выполнения проекта. Вершинный граф, соответствующий данному проекту, был построен в примере 3.

Таблица 3. Операции и их продолжительность для примера 4

Операция	Непосредственно Предшествующая Операция	Время, дней
A B C D T F G H	- - - A,B B,C C D,E F,G	8 10 6 8 9 14 14 6

Решение

Предположим, что каждая из исходных операций А, В и С начинается в нулевой момент времени. Это наиболее ранний срок начала этих Е5 операций. Наиболее ранний срок, к которому их выполнение может быть завершено, определяется следующим образом:

Наиболее ранний срок окончания ЕР=ЕS+Продолжительность операции.

Обычно найденные значения этих сроков наносятся непосредственно на граф, однако, мы занесем их сначала в таблицу, чтобы продемонстрировать методику проведения расчетов.

Таблица 4. Расчет наиболее ранних сроков начала окончания операций для примера 4

Операция	Продолжи-тельность, дней	Наиболее ранний срок начала	Наиболее ранний срок окончания	Комментарии
A B C D E F G H	8 10 6 8 9 14 14 6	0 0 0 10 10 6 19 33	0+8=8 0+10=10 0+6=6 10+8=18 10+9=19 6+14=20 19+14=33 33+6=39	Нельзя начать, пока не завершены А и В Нельзя начать, пока не завершены В и С Нельзя начать, пока не завершена С Нельзя начать, пока не завершены D и E Нельзя начать, пока не завершены F и G

Ключ

0 8 обозначение ЕS EF

A 8 операции продолжительность

3 11 10 16 LS LF

D 8

0 10 11 19 19 33

Начальный B 10 G 14

Узел 0 10 10 19 19 33 33 39

E 9 H 6

0 6 10 19 6 20 33 39

C 6 F 14

4 10 19 33

Рис. 10 Вершинный граф для примера 4

Наиболее ранние сроки начала и окончания операций занесены в вершинный граф, изображенный на рис. Нетрудно заметить, что операция Н завершится на 39-й день, следовательно, это значение дает нам искомую продолжительность выполнения проекта в целом.

Таблица 5. Расчет наиболее поздних сроков начала и окончания

операций для примера 4

Операция	Продолжительность, дней	Наиболее Поздний срок окончания	Наиболее Поздний Срок Начала	Комментарии
H G F E D C B A	6 14 14 9 8 6 10 8	39 33 33 19 19 10 10 11	39-6=33 33-14=19 33-14=19 19-9=10 19-8=11 10-6=4 10-10=0 11-8=3	G нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала H F нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала H E нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала G D нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала G C нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала Е и F. В нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала D и E. Нужно использовать наименьший из этих сроков, равным 10 дням. А нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала D

На данном этапе мы еще не можем определить критические операции. Чтобы это осуществить, необходимо для каждой операции рассчитать два срока, ей соответствующие, а именно наиболее поздний срок начала LS и наиболее поздний срок окончания LF операции. В данном случае процедуру расчетов мы начнем с последней операции в графе и предположим, что наиболее поздний и наиболее ранний сроки ее окончания совпадают. Затем вычитанием из этой величины продолжительности выполнения операций находим наиболее поздний срок ее начала. Ход выполнения расчетов показан в табл. 5.

Критической является операция, для которой справедливы следующие соотношения:

ЕS = LS и ЕF = LF,

т. е. операция, для которой не существует резерва времени между наиболее ранним сроком ее начала и наиболее поздним сроком ее окончания. Нетрудно, заметить, что в нашем примере критическими являются операции В, Е, G и Н. Путь в вершинном графе, соединяющий эти операции, называется критическим путем. В нашем примере критическим является путь В-Е-G-Н.

1.5 Анализ критического пути с применением стрелочных графов

Приведенная выше методика анализа аналогичным образом может использоваться. и для стрелочных графов. Значения сроков ЕS, ЕF, LS и LF записываются в графе вдоль стрелок, соответствующих операциям:

[ES,EF] A

1 2

[LS,EF]

Рис. 11. Нанесение на стрелочный граф сроков, соответствующих операциям

Можно провести подобный анализ в терминах сроков наступления каждой события. Производится расчет наиболее раннего срока, к которому может завершиться каждое событие. Этот срок называется наиболее ранним сроком события (earliest event time - ЕЕТ). Общая продолжительность выполнения проекта определяется ЕЕТ конечного узла графа. ЕЕТ исходного события равен нулю.

Для того чтобы выявить критические операции, необходимо, начиная с конца графа, вычислить наиболее поздние сроки событий (1аtest еvent time - LЕТ), к которым события могут закончиться. События, для которых выполняются соотношения

LEТ начала- ЕЕTокончания + продолжительность = О или

ЕЕТначала - LETокончания + продолжительность = О,

являются критическими.

Пример 5. Применив ЕЕТ и LЕТ, повторим задачу из примера 4 при условии, что продолжительность выполнения фиктивных операций равна нулю. Решение

В первую очередь для каждого события вычислим значение наиболее раннего срока. Если некоторому событию соответствует более одной операции, появляется проблема выбора соответствующего значения. Поскольку событие считается незавершенным до тех пор, пока не будет завершено выполнение всех составляющих его операций, следует выбрать наибольшее из значений.

Таблица 6. Расчет значений ЕЕТ для примера 5

Узел	ЕЕТ, дней	Комментарии
1 2 3 4 5 6 7 8	0 0+10=10 0+6=6 0+8=8 или 10+0=10* 10+0=10* или 6+0=6 10+8=18 или 10+9=19* 19+14=33* или 6+14=20 33+6=39	Начальное событие ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции В ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции С ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции А. ЕЕТ узла 2 + продолжительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок, т. е. 10 дней ЕЕТ узла 2 + продолжительность фиктивной операции. ЕЕТ узла 3 + продолжительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок, т. е. 10 дней ЕЕТ узла 4 + продолжительность операции D ЕЕТ узла 5 + продолжительность операции Е. Выбирается максимальный срок, т. е. 19 дней ЕЕТ узла б + продолжительность операции С ЕЕТ узла 3 + продолжительность операции Р. Выбирается максимальный срок, т. е. 33 дня ЕЕТ узла 7 + продолжительность операции Н

*Выбранное значение ЕЕТ

Полученные значения сроков наносятся на стрелочный граф, как это показано на рис. 12.

ЕЕТ последнего события равно 39 дням, которые также определяют общую продолжительность выполнения проекта.

Чтобы определить критические операции, будем двигаться по графу начиная с конечного узла и вычисляя LЕТ каждого события. Предположим, что для конечного события ЕЕТ = LЕТ. Если в некоторый узел входит более одной стрелки, то возникает проблема выбора значения LЕТ. Так как событие должно завершиться к сроку, удовлетворяющему всем наиболее поздним срокам начала событий, которые выходят из данного узла для LЕТ, следует выбрать наименьшее значение.

Найденные значения сроков наносятся на стрелочный граф, изображенный на рис. 12.

4 - наиболее ранний - наиболее поздний срок события, срок события

(стандартный срок, дней)

2

1 5 6 7 8

3

Рис. 12. Стрелочный граф для примера 5 с указанием ЕЕТ и событий

Операция является критической, если для нее справедливы следующие соотношения:

ЕЕТначала = LETначала и ЕЕТокончания = LЕТокончания

LEТокончания - EETначала - Продолжительность = 0.

Из рисунка 12 видно, что критическими, как и ранее, являются операции В, Е, G и Н. Любые замедления на критическом пути приведут к задержке срока выполнения, всего проекта. Между тем для некритических путей можно допустить некоторые задержки при выполнении составляющих их операций или пересмотреть график их выполнения. Запас времени, который существует в схеме проекта, называется резервом времени.

Различают несколько видов резерва времени, возникающих под влиянием различных воздействий, которые оказывает запас времени на схему выполнения проекта.

Общим резервом называется количество времени, на которое можно увеличить продолжительность операции в результате продления срока ее выполнения или пересмотра плана, не влияющего на продолжительность выполнения проекта в целом. Свободным резервом называется количество времени, на которое можно увеличить продолжительность операции в результате продления срока ее выполнения или пересмотра плана, не оказывающего воздействия на наиболее ранний срок выполнения любой последующей операции. Иногда используют третий вид, так называемый независимый резерв времени. Он не оказывает никакого влияния на предшествующие или последующие операции. Для любой операции

Общий резерв времени = LЕTокончания - ЕЕТначала - Продолжительность, также

Свободный резерв времени = ЕЕТокончания - ЕЕТначала - Продолжительность

Независимый резерв = ЕЕТокончания-LETначала - Продолжительность.

Иногда бывает полезно изобразить на графе имеющийся в наличии резерв времени, особенно если план выполнения операций необходимо пересмотреть. В этом случае одним из возможных методов является график Ганта.

Таблица 7. Расчет значений ЕЕТ для примера 5

Узел	LET,дней	Комментарий
8 7 6 5 4 3 2 1	39 39-6=33 33-14=19 19-9=10 19-8=11 10-0=0* или 33-14=19 10-0=10* или 11-0=11 11-8=3 или 10-10=0* или 10-6=4	Конечный узел LЕТ = ЕЕТ LЕТ узла 8 - продолжительность операции Н LЕТ узла 7 - продолжительность операции G LЕТ узла б - продолжительность операции Е LЕТ узла 6 - продолжительность операции D LЕТ узла 5 - продолжительность фиктивной операции или LЕТ узла 7 - продолжительность операции F. Выбирается минимальный срок, т.е. 10 дней LЕТ узла 5 - продолжительность фиктивной операции или LЕТ узла 4 - продолжительность фиктивной операции Выбирается минимальный срок, т.е. 10 дней LЕТ узла 4 - продолжительность операции А или LЕТ узла 2 продолжительность операции В или LЕТ узла 3 - продолжительность операции С Выбирается минимальный срок, т.е. О дней

*Выбранное значение LЕТ.

Пример 6. По данным примера 5 для каждой операции найдем общий резерв времени.

Операции, общий резерв времени которых равен нулю, являются критическими. На рис. 13 построен график Ганта, и отмечены, возможно наиболее ранние сроки начала операций.

Таблица 8. Расчет резерва времени операций для примера 5 (дней)

операция	LET окончания	LET начала	продолжительность	Общий резерв времени
A B C D E F G H	11 10 10 19 19 33 33 39	0 0 0 10 10 6 19 33	8 10 6 8 9 14 14 6	3 0 4 1 0 13 0 0

Стандартные сроки

Стандартные сроки

Операции

Дни

Рис. 13. График Ганта для примера 5

1.6 Стоимость проекта

Общая стоимость проекта зависит от стоимости выполнения каждой операция, а также от любых дополнительных переменных или постоянных расходов. Так как необходимо завершить все операции, независимо от того, являются они критическими или нет, общая стоимость выполнения операций представляет собой арифметическую сумму отдельных значений стоимости каждой операции.

Можно снижать продолжительность выполнения некоторых операций с помощью дополнительных ресурсов. Косвенным последствием такой меры является увеличение стоимости данных операций. Однако если операция критическая, то экономия времени ее выполнения может привести к общей экономии времени выполнения проекта в целом, а следовательно, и к снижению общей стоимости проекта.

Возможный наименьший срок, к которому можно завершить операцию, получил название критического срока. В некоторых случаях завершить операцию можно только либо к стандартному, либо к критическому сроку их выполнения, но не между ними. Иногда, напротив, существует возможность постепенно уменьшать время выполнения операции до того момента, пока не будет достигнут критический срок ее выполнения. Рассмотрим, как действует уменьшение времени выполнения операций на календарный план, и стоимость выполнения проекта, принимая во внимание две различные цели:

1. Минимизацию общего времени выполнения проекта;

2. Минимизацию общей стоимости проекта.

1.7 Минимизация общей продолжительности проекта с минимальными дополнительными расходами

Для этой цели необходимо обладать информацией о стоимости каждой операции, любом возможном уменьшении времени ее выполнения и о дополнительных издержках, связанных со снижением времени выполнения операции.

Пример 7. Обратимся к данным примера 2. Ниже приводится дополнительная информация о стоимости операций и возможном уменьшении времени их выполнения.

Показатели критических значений отражают минимальное время, за которое можно выполнить операцию, и общую стоимость выполнения операции в течение этого времени. Необходимо сделать выбор между стандартными значениями времени и издержек и их критическими значениями. Практически невозможно получить экономию времени выполнения операции в один день при пропорциональном возрастании ее стоимости. Помимо стоимости каждой операции необходимо учесть стоимость строительной площадки, составляющую 1000 руб. в день.

1. Каково минимальное время, в течение которого можно завершить проект?

2. Какова соответствующая минимальная дополнительная стоимость?

Решение

Минимальное время можно найти, рассчитав для всех, как критических, так и некритических операций, критическое время их выполнения. Ниже изображен стрелочный граф, построенный в примере 2. На граф нанесены значения ЕЕТ и LЕТ, найденные на основе критических значений времени выполнения операций.

Нетрудно заметить, что ЕЕТ узла 8 равно 28 дням, поэтому минимальное время выполнения проекта также составляет 28 дней. Критический путь остается неизменным: В-Е-G-Н.

Общую стоимость можно найти из следующего уравнения:

Общая стоимость = Критическая стоимость операций + 28 х

х Стоимость строительной площадки в день = 102 750 руб. +

+ 28 х 1000 руб. = 130750 руб.

Таблица 9. Значения стандартных и критических сроков и соответствующих издержек выполнения операций для примера 7

ОПЕРА-ЦИЯ	НЕПОСРЕДСТ-ВЕННО ПРЕДШЕ-СТВУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ	СТАНДАРТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ	Критическое значение
		ВРЕМЕ-НИ, ДНЕЙ	СТОИМО-СТИ, РУБ.	Времени, дней	Стоимости, руб.
A B C D E F G H	- - - A,B B,C C D,E F,G	8 10 6 8 9 14 14 6	7500 8500 6000 13000 14000 14500 13500 5500	4 8 5 5 6 11 10 4	9000 11000 7000 16000 16500 18000 18750 6500
ОБЩИЕ ИЗДЕРЖКИ ВЫ-ПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ		82500		102750

4 - наиболее ранний - наиболее поздний срок события, дней срок события, дней

2

1 5 6 7 8

3

Рис. 14. Стрелочный граф для примера 7 с указанием критического времени

Между тем найденное значение стоимости выполнения проекта в указанное время не является минимальным, поскольку необходимости использовать критические значения для некритических операций нет. Некритическими являются операции А, С, D и F. Поэтому необходимо найти эффект от использования соответствующих этим операциям некритических значений показателей. В случае, если существует возможность восстановить их стандартную продолжительность, не увеличивая при этом общую продолжительность выполнения проекта, можно будет одновременно достичь и экономию стоимости в результате использования ее некритических значений.

Критические значения для операции А можно не использовать, поскольку увеличение продолжительности ее выполнения до 8 дней не меняет ЕЕТ узла 4, и, следовательно, не оказывает воздействия на выполнение остальных операций календарного плана. Использование некритических значений для операции А позволяет достичь экономии, составляющей 1500 руб.

Увеличение продолжительности операции С с 5 до 6 дней приведет к увеличению значения ЕЕТ узла 3 до 6, однако не окажет воздействия на ЕЕТ узлов 5 и 7. Вследствие этого продолжительность выполнения проекта останется неизменной. Использование некритических значений, соответствующих операции С, позволит получить экономию 1000 руб.

Если использовать некритические значения показателей операции D, то ЕЕТ узла 6 возрастет до 16 дней. Узел 6 принадлежит критическому пути, поэтому для того, чтобы достичь минимального общего времени выполнения проекта, составляющего 28 дней, необходимо применять критические значения времени и стоимости операции D.

Использование некритических значений для операции F не изменит ЕЕТ узла 7 и не приведет к увеличению продолжительности проекта в целом. Используя для F некритические значения, мы сможем достичь экономии, составляющей 3500 руб.

Минимальная стоимость выполнения проекта за 28 дней составит:

130750 - 1500 (А) - 1000 (С) - 3500 (Р) = 124750 руб.

Стоимость выполнения проекта в стандартные сроки равна:

82500 (стоимость операций) + 39000 (стоимость строительной площадки)= = 121500 руб

Следовательно, дополнительная стоимость, связанная с завершением выполнения проекта на 11 дней раньше, будет равна:

124750 - 121500 = 3250 руб.

Пример 8. Обратимся к данным примера 1. В табл. 10 приводится дополнительная информация о стоимости операций и возможном сокращении времени их выполнения.

Переменные накладные расходы составляют 300 руб. в неделю в течение всего времени выполнения проекта.

1. Определить стандартные значения общего времени выполнения и общей стоимости проекта.

2. Найти минимальное время, за которое можно выполнить данный проект, и соответствующее ему минимальное значение стоимости.

Таблица 10. Стандартные и критические значения сроков выполнения и стоимости операций для примера 8

Операция	Стандартное значение	Возможное сокращение времени, недель	Критичес-кое время, недель	Дополнительные издержки сокращения времени на неделю, руб.
	Времени, недели	Стои-мость, руб.
A B C D E F G H I J K L	2 1 4 6 3 3 4 2 3 8 2 2	400 0 200 450 700 200 600 0 250 600 450 200	1 0 2 4 2 2 3 0 1 4 1 1	1 1 2 2 1 1 1 2 2 4 1 1	400 0 125 175 250 200 125 0 200 100 250 150
Стоимость операций 4050



1 2 3 5 8 9 10 11

4 7

6

Рис. 15. Стрелочный граф для примера 8 с указанием стандартных сроков

- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (стандартный срок, дней)

Решение

На рис. 15 воспроизведен стрелочный граф, построенный в примере 1. Для каждой операции на графе указаны значения ЕЕТ и LЕТ. Стандартный срок выполнения проекта составляет 24 недели, а соответствующий ему критический путь имеет следующий вид:

А-B-D-1-]-К-L.

Общая стоимость проекта составляет:

4050 (стоимость операций) + 24х300 (переменные накладные расходы) = 11250руб.

Чтобы определить минимальное время, требующееся для выполнения проекта в целом, каждой операции поставим в соответствие минимальный срок ее завершения. На рис. 16 показаны значения этих сроков и итоговые значения ЕЕТ и LЕТ.

Минимальная продолжительность проекта составляет 12 недель. В данном случае критическими оказываются следующие пути:

А-B-D-1-]-К-L и А-B-D-Н-]-К-L.

Проверим, можно ли, используя некритические значения для некоторых некритических операций, получить экономию денежных средств.

Таблица 11. Использование некритических значений показателей для некритических операций из примера 8

Опера-ция	Изменение продолжитель-ности	Эффект
Е F G С	Увеличение на 2 недели Увеличение на1 неделю Увеличение невозможно Увеличение на 2 недели	ЕЕТ узла 5 становится равным 7 неделям; ЕЕТ узла 8 становится равным 8 неделям, не влияя при этом на ЕЕТ узла 9, принадлежащего критическому пути; других воздействий нет. Е выполняется в стандартный срок ЕЕТ узла 8 становится равным 9 неделям. Операции Е, F и G становится критическими. На узел 5 не оказывается никакого воздействия. С выполняется в стандартный срок.

Некритическими являются операции С, Е, F и G. Продолжительность операций в данном примере можно изменять по интервалам в одну неделю, так как единицей измерения продолжительности является неделя. В первую очередь рассмотрим операции, которые, если использовать их некритические значения, |могут принести наибольшую экономию денежных средств. Операции будем рассматривать в следующем порядке: Е (250 руб.), F (200 руб.), и С (125 руб.) или G (125 руб.).

Минимальная стоимость выполнения проекта за 12 недель составила:

(4050 (стандартная стоимость операций) + 1 * 400 (А) + 4 * 175 (В) + 1 * 200 (F) + 3 * 125 (G) + 1 * 200 (I) + 4 * 100 (J) + 1 * 250 (К) + 1 * 150 (L) (предельные издержки) + 12 * 300 ( переменные накладные расходы) = 4050 + 2675 + 3600 = 10325 руб.

1 2 3 5 8 9 10 11

4 7

6

Рис. 16. Стрелочный граф для примера 8 с указанием критических сроков

- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (стандартный срок, дней)

1.8 Выполнение проекта с минимальными издержками

Если выполнение проекта требует оплаты переменных накладных расходов, таких, например, как расходы, связанные с оборудованием строительной площадки, то может оказаться выгодным снижение продолжительности выполнения проекта. Поскольку сами эти сокращения влекут за собой определенные издержки, необходимо подвести баланс. Экономия времени может быть достигнута только в том случае, если сократить продолжительность критических операций. Критические значения должны использоваться только по тем критическим операциям, по которым величина экономии накладных расходов превышает стоимость выполнения операции за критическое время.

Пример 9. Обратившись к данным примера 7, определим минимальную стоимость проекта и соответствующее время его выполнения. Предполагается, что операции можно выполнять либо в стандартные, либо в критические сроки, но не в промежутке между ними.

Решение

Используя граф, построенный в примере 5 для стандартных сроков выполнения операций, перечислим все критические операции и соответствующие им показатели максимально возможной экономии времени и чистой экономии стоимости.

Таблица 12. Расчет минимальной стоимости проекта для примера 9

Опера-ция	Число дней экономии для критиче-ского времени	Дополни-тельная стоимость критичес-кого времени, руб.	Экономия, руб.	Чистая экономия, руб.	Комментарии
В Либо Е Либо Е и D G Н	2 1* 3 4 2	2500 2500 5500 5250 1000	21000 11000 31000 41000 21000	-500 -1500 -2500 -1250 +1000	Критические значения не используются Критические значения не используются Критические значения не используются Критические значения не используются Используются критические значения. Снижение продолжительности проекта с 39 до 37 дней

*Достичь экономии, равной 3 дням, нельзя, поскольку в этом случае путь А-D-G-Н становится критическим. Поэтому общая продолжительность снижается только на один день. Если же использовать критические значения одновременно для Е и О, достигается экономия времени, равная 3 дням. Однако соответствующая стоимость становится равной: 2500 руб. + 3000 руб., т.е. такая экономия времени не целесообразна.

Минимальная стоимость проекта равна: 121500 - 1000 = 120500 руб. Соответствующее время его выполнения составляет 37 дней.

1.9 Неопределённость времени выполнения операций

В приведенных выше методах анализа предполагалось, что время выполнении операций точно известно. Однако на практике сроки выполнения операций обычней являются довольно неопределенными. Управляющий производством может выдвинуть некоторые предположения о том, сколько времени потребуется для выполнения каждой работы, но не может предусмотреть возможные трудности или задержки выполнения. Неопределенность сроков выполнения операций означает, что общая продолжительность проекта также подвержена неопределенности.

Выбор метода, позволяющего учесть эту неопределенность, зависит от типа проекта и природы неопределенности. Если можно определить минимальную и максимальную продолжительности каждой операции, то их рассчитывают с помощью показателей ожидаемой (средней) продолжительности и ожидаемого времени выполнения проекта. Алгоритм, получивший наиболее широкое применение, называется методом оценки и пересмотра проектов (Project Еvа1uation and Reiew Technique -- PERT). При вычислении ожидаемого времени выполнения проекта методом РЕRТ используются показатели ожидаемого времени выполнения операций. Оставшаяся часть алгоритма аналогична описанным выше алгоритмам, применяемым в случаях, когда время выполнения операций является фиксированной величиной.

Если время выполнения операций подвержено влиянию неопределенности, то большое значение приобретают некритические пути в графе, когда могут изменяться сроки выполнения всех операций. На практике может оказаться, что путь, который на основе ожидаемых значений сроков считался некритическим, становится критическим в соответствии с результатами метода определения критического пути.

В основу метода РЕRТ положена предпосылка о проведении продолжительности операции. Предполагается, что время выполнения каждой отдельно взятой операции аппроксимируется p-распределением. Если это верно, то распределение времени выполнения проекта в целом является нормальным. Метод РЕRТ может применяться при анализе конкретного проекта только в случае выполнения данной предпосылки. График р-распределения изображен на рис. 17. Возможное наименьшее время выполнения операции называют оптимистическим сроком (а), а возможное наибольшее время ее выполнения - пессимистическим сроком (b).

Пику распределения соответствует наиболее вероятное время выполнения операции (m). Необходимо произвести оценку каждого из этих трех сроков для всех операций, входящих в граф.

Исходя из этих трех значений можно найти ожидаемую продолжительность операции (t) и ее дисперсию. Ожидаемая продолжительность операции определяется следующим образом:

Соответствующая дисперсия ожидаемой продолжительности определяется по формуле:

Плотность

вероятности

Срок выполнения

а m b

Оптимистический Пессимистический

Наиболее вероятный

Рис. 17. Стандартное -распределение для времени выполнения операций

Время выполнения проекта можно найти непосредственно из графа, используя для этого ожидаемые значения продолжительности операций. Предполагается, что время выполнения проекта в целом распределено по нормальному закону.

В предположении, что сроки выполнения операций не зависят друг от друга, среднее значение нормального распределения определяется как сумма математических ожиданий продолжительности критических операций, а дисперсия - как сумма их дисперсий. Полученное нормальное распределение можно использовать для оценки вероятности завершения проекта к заранее установленной дате.

Алгоритм метода РЕRТ аналогичен анализу сетевого графа с фиксированными значениями продолжительности операций.

1.Составить список всех операций, входящих в проект, с указанием непосредственно предшествующих операций, а также оптимистического, наиболее вероятного и пессимистического сроков их выполнения.

2. Построить сетевой граф.

3.В предположении, что время выполнения любой операции аппроксимируется р-распределением, оценить для каждой операции ожидаемое время ее выполнения и его дисперсию.

4. Используя ожидаемые значения сроков выполнения операций, найти продолжительность проекта в целом.

5. Определить критические операции и критический путь.

6. С помощью значений дисперсии для критических операций оценить дисперсию ожидаемой продолжительности всего проекта.

Пример: Процесс создания и серийного производства нового вида продукта компаний "НЕВА" включает в себя следующие операции (см. табл. 13).

1. Определим ожидаемое число недель, необходимое для выполнения проекта.

Какие операции являются критическими?

2. Какова вероятность того, что выполнение проекта займет более 16 недель?

Таблица 13. Таблица операций и сроков их выполнения для примера 10

Опера-ция	Непосред-ственно, предшест-вующие операции	Сроки выполнения операций, недель
		Оптимисти-ческий, a	Наиболее вероятный, m	Пессимисти-ческий,b
A B C D E F G H I	- A - C B,D E B,D G F,H	1,5 2 1 1,5 0,5 1 3 3 1,5	2 2,5 2 2 1 2 3,5 4 2	2,5 6 3 2,5 1,5 3 7 5 2,5

Решение

Ожидаемые сроки выполнения операций и соответствующие дисперсии приведены в таблице 14.

Ниже приведен сетевой граф с указанием ожидаемой продолжительности каждой операции (см. рис. 18).

Расчет ожидаемого срока выполнения проекта в целом производится обычным способом. Как показано на рис. 18, выполнение проекта предполагается осуществить за 15 недель. Критическими являются операции А, В, G, Н и I. Приведем для сравнения другие возможные пути в графе:

2 5

1 4 7 8

3 6

Рис. 18. Стрелочный граф с указанием ожидаемых сроков выполнения операций для примера 10

- наиболее ранний - наиболее поздний

срок события, срок события (ожидаемый срок, дней)

А, В, Е, F, I - занимает 10 недель,

С, D, Е, F, I - занимает 9 недель,

С, D, G, H, I - занимает 14 недель.

Следует отметить, что путь - С,D,G,Н, I - занимает время, которое меньше выполнения критического пути всего на одну неделю. Поэтому небольшие изменения времени выполнения некоторых операций могут привести к изменению критического пути.

Дисперсия ожидаемого времени выполнения всего проекта определяется как сумма дисперсий критических операций:

²=²_A+²_B+²_G+²_H+²_I

следовательно,

²= 1/36 + 16/36 + 6/36 +4/36 + 1/36 = 38/36 =1,11 недель²

Стандартное отклонение времени выполнения проекта составит:

=1,03 недель

Вероятность того, что выполнение проекта займет более 16 недель, можно найти следующим образом: Шестнадцать недель составляют z стандартных отклонений от среднего, где:

По таблице стандартного нормального распределения находим:

Р (z > 0,97) =0,166.

Следовательно, вероятность того, что выполнение проекта займет более 16 недель, равна 16,6%.

Таблица 14. Расчет ожидаемых сроков выполнения операций и их дисперсий по данным примера 10

Операция	Ожидаемый срок выполнения	Дисперсия, недель2
A B С D E F G H I	2 1 2 4 4 2	=1/36 =1/36 =4/36 =16/36 =4/36 =1/36

f(T)

15 16 T,недель

Рис. 19. Распределение времени выполнения проекта для примера 10

1.10 Распределение ресурсов

Сетевой граф отражает логическую последовательность выполнения операций, входящих в проект. Ни в одном из видов анализа, рассмотренных нами выше, не принимались во внимание какие-либо ограничения на обеспечение ресурсами. Исходный календарный план выполнения операций составлялся при условии, что все необходимые ресурсы имеются в достаточном количестве. Однако такая ситуация имеет место далеко не всегда, а если это так, то использование ресурсов в соответствии с потребностями, указанными в исходном календарном плане, может оказаться неэкономичным.

Метод составления календарного плана с учетом обеспечения ресурсами зависит от конкретных целей лиц, осуществляющих контроль за ходом выполнения проекта. Например, вопросом первостепенной важности может оказаться завершение проекта к определенному сроку безотносительно к затратам ресурсов - такие планы ограничены по времени. И наоборот, в условиях ограниченности в денежных средствах на выполнение проекта отводится определенное количество ресурсов, тогда как срок выполнения не принимается в расчет - такие планы ограничены по ресурсам. В данном контексте к ресурсам можно отнести рабочую силу, оборудование, сырье, денежные средства, производственные площади и т.д.

Перед тем как приступить к выполнение проекта, управляющий производством должен четко сформулировать критерий, в соответствии с которым будет осуществляться распределение ресурсов. В качестве такого критерия можно выбрать:

1. Максимальное использование ресурсов. Оценить использование ресурсов можно через соответствующий коэффициент:

Коэффициент использования = Общее количество используемых ресурсов

Общее количество наличных ресурсов

2. Минимизацию максимальных потребностей в ресурсах.

3. Минимизацию максимальных изменений потребностей в ресурсах.

Кроме названных, существует множество других критериев. Существует также множество возможных методов решения проблемы распределения ресурсов, таких, как, например, эвристические методы, методы линейного и других видов математического программирования. Рассмотрим один из простейших алгоритмов, в котором используются графики ресурсов и "метод проб и ошибок".

1.11 Графики ресурсов

Если общая потребность в некотором ресурсе определяется на основе постоянных интервалов, например, за один день или за одну неделю, то можно построить график ресурса. Ресурсы, требуемые для осуществления каждой работы, складываются по всем работам, выполняемым одновременно, в предположении, что каждая работа начинается в наиболее ранний срок ее выполнения. Необходимо построить отдельные графики по каждому виду ресурса. На рис. 20 схематично изображен график ресурса "рабочая сила". Как следует из приведенного графика, иногда потребности в рабочей силе превышают ее наличие, но в то же время общее число требуемых человеко-часов не превосходит их наличного количества.

Если потребность в ресурсе превысила его лимит, необходимо либо вложить в проект дополнительное количество ресурса, либо пересмотреть календарный план выполнения операций. Иногда в таких ситуациях необходимо задержать срок выполнения проекта. Несмотря на то, что некоторые операции проекта не имеют явной логически последовательной взаимосвязи, одновременное их выполнение часто оказывается невозможным вследствие ограничений на ресурсы. Это ограничение можно отразить на графике ресурса, если провести линию, соответствующую наличному количеству данного ресурса. Такой прием позволит не планировать выполнение определенных операций на один и тот же период.

Потребности

в рабочей силе

20

15

10 Наличие

5

5 10 15 20 Время, недели

Рис. 20. График ресурса "рабочая сила"

Пример 11. Компания с ограниченной ответственностью "ТРАСТ" заключила контракт на проведение работ по асфальтированию стоянки автомобилей. Менеджер проекта установил, что данная работа состоит из восьми основных операций. Приведем детальное описание этих операций:

Таблица 15. Операции для примера 11, с указанием сроков выполнения и потребностей в рабочей силе

Операция	Предшествующие

Подобные документы

• Сетевое планирование. Вероятностные сети

  Исследование системы методов планирования и управления разработкой проектов путем применения сетевых графиков. Правила построения сетевого графа. Расчет параметров и анализ сетей случайной структуры. Определение дисперсии ожидаемого выполнения проекта.
  
  курсовая работа [265,3 K], добавлен 31.05.2013
  

• Нахождение критического пути табличным методом

  Проблема автоматизации расчёта сетевого графика. Вычисление критического пути с помощью ЭВМ. Табличный метод решения проблемы, метод графов. Составление алгоритма, написание программы и решение задачи. графический интерфейс пользователя, ввод данных.
  
  курсовая работа [39,7 K], добавлен 20.11.2008
  

• Метод сетевого планирования

  Анализ комплекса работ и оптимизация сетевой модели по критерию минимума времени при заданных ресурсах. Построение сетевого графика, определение критического пути. Отображение временных параметров событий на графике. Проведение оптимизации по времени.
  
  контрольная работа [192,0 K], добавлен 15.04.2014
  

• Методы сетевого планирования

  Основные параметры сетевой модели системы планирования и управления. Правила построения сетевых графиков. Характеристики элементов сетевой модели. Метод пересмотра планов. Численная реализация задачи сетевого планирования. Метод графической оценки.
  
  реферат [154,4 K], добавлен 19.03.2015
  

• Оптимизация сетевой модели комплекса производственных работ

  Метод сетевого планирования и управления, его цели, задачи и необходимость. Определение минимальной стоимости комплекса производственных работ при заданной продолжительности его выполнения с помощью построения, анализа и оптимизации сетевого графика.
  
  курсовая работа [39,6 K], добавлен 07.12.2010
  

• Сетевое планирование и управление

  Построение сетевой модели. Упорядочивание сетевого графика. Определение критического пути. Временные характеристики сетевого графика. Современное сетевое планирование в условиях неопределенности. Оптимизация сетевого графика по схеме "Время-стоимость".
  
  курсовая работа [537,0 K], добавлен 28.04.2014
  

• Сетевое планирование

  Понятие, правила построения и направления применения сетевого планирования. Особенности методов критического пути, статистических испытаний (способ Монте-Карло), оценки и пересмотр планов и графического анализа. Принципы построения диаграммы Ганта.
  
  курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.10.2010
  

• Математические методы экономических исследований

  Системы, системный подход, системный анализ. Основные термины, определения, технологии. Экономико-математические методы, их состав, структура, направленность, классификация. Метод динамического программирования, теории игр. Сетевые методы планирования.
  
  контрольная работа [334,6 K], добавлен 13.06.2009
  

• Оптимизация сетевой модели комплекса производственных работ

  Понятие сетевого графика, его сущность и особенности, назначение и применение. Правила построения сетевого графика, его порядок и этапы. Способы сокращения длительности выполнения проекта. Критерии и средства осуществления оптимизации сетевого графика.
  
  реферат [37,2 K], добавлен 25.01.2009
  

• Экономико-математические методы сетевого планирования и управления

  Сравнение экономико-математических методов сетевого планирования при решении практических задач управления. Временные характеристики и правила построения сетевых графиков. Оптимизация проекта по времени и стоимости. Особенности метода критического пути.
  
  курсовая работа [1,5 M], добавлен 29.03.2015
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам