Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows

1

Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторной работы №2

”Проверка статистических гипотез при помощи системы MINITAB для WINDOWS “

по учебной дисциплине

«Прикладная статистика»

для студентов экономических специальностей

всех форм обучения

Севастополь

2008

УДК 658.

Проверка статистических гипотез при помощи системы "MINITAB" для WINDOWS. Методические указания по выполнению лабораторной работы №2 по дисциплине "Прикладная статистика" / Сост. И. А. Гребешкова, Д.В. Филатова, Б.А. Букач, М.В. Погорелова, А.Д.Горобец, А Загорулько - Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2008. - 10 с.

Целью методических указаний является применение теоретических знаний по теме "Проверка статистических гипотез" при решении ситуаций с помощью системы MINITAB. Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры менеджмента и экономико-математических методов, (протокол № 6 от "20" __февраля 2008 г.)

Допущено учебно-методическим центром СевГТУ в качестве методических указаний

Рецензенты:

Цуканов А.В, д.т.н., заведующий кафедры "Менеджмент и экономико-математические методы"

Персидсков Г.М. - нормоконтроль

Содержание

Общие понятия статистической проверки гипотез.

Проверка статистических гипотез в системе MINITAB

Пример проверки статистической гипотезы

Задание по выполнению лабораторной работы

Порядок выполнения работы

Контрольные вопросы

Библиография

1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза обычно представляет собой некоторое предположение об одном или нескольких параметрах функции распределения случайной величины.

Пример статистической гипотезы: «генеральная совокупность распределена по нормальному закону», «различие между дисперсиями двух выборок незначимо» и т.д.

В теории статистического вывода обычно проверяются гипотезы на основе выборочной информации. В практике статистической работы чаще всего имеют дело с двумя конкурирующими гипотезами: нулевой гипотезой, обозначаемой H₀; и альтернативной гипотезой, обозначаемой H₁. Нулевая гипотеза используется при статистической проверке гипотез об отсутствии существующих различий между несколькими выборочными совокупностями, для суждения о близости фактического распределения к теоретическому (нормальному), об отсутствии зависимости между признаками. Суть нулевой гипотезы состоит в признании того, что выборки взяты из одной совокупности, фактическое распределение укладывается в теоретическое, зависимость между признаками отсутствует и т. д. Следовательно, нулевая гипотеза - это гипотеза, подлежащая проверке. И если отвергается нулевая гипотеза как неподходящая в каком-то статистическом смысле, то принимается альтернативная гипотеза.

Так как мы имеем дело с неизвестной генеральной совокупностью и выносим суждения о ней на основе выборочной информации, то мы можем и не прийти к правильному выводу. Мы сделаем неправильный вывод, если отвергнем нулевую гипотезу, когда она справедлива (ошибка I рода), или примем нулевую гипотезу, когда она ошибочна (ошибка II рода).

В большинстве случаев при проведении проверки гипотез в экономике задается некоторый допустимый уровень вероятности совершения ошибки I рода () и осуществляется проверка на основе выборочной информации. В классическом статистическом выводе существует два общих правила для определения величины :

чем больше степень уверенности в нулевой гипотезе, тем меньше должно быть значение .

чем больше цена отбрасывания справедливой нулевой гипотезы, тем меньше значение должно иметь .

Сформулируем общий алгоритм проверки статистических гипотез. Процедуру проверки можно описать следующими шагами:

1) формулировка гипотезы. Гипотеза формулируется в терминах различия величин. Например, есть случайная величина х и константа a. Они не равны (арифметически), но нужно установить, значимо ли статистически между ними различие. Существует два типа критериев:

а) двухсторонний критерий вида: х a;

б) односторонний критерий вида: х< a или х< a.

Необходимо отметить, что знаки >, <, = здесь используются не в арифметическом, а в «статистическом» смысле. Их необходимо читать «значимо больше», «значимо меньше», «различие незначимо».

2) Установка закона распределения. Далее необходимо установить или постулировать закон распределения. Существуют также критерии, которые не зависят от вида распределения - так называемые непараметрические критерии.

3) Вычисление тестовой статистики. Тестовая статистика - некоторая функция от рассматриваемых величин, закон распределения которой точно известен и ее можно сравнить с табличным значением.

4) Сравнение с табличным значением. Затем тестовая статистика сравнивается с табличным значением. Тестовая статистика всегда зависит от доверительной вероятности, и, в некоторых случаях, от дополнительных параметров. Так, в приведенном выше примере сравнения двух дисперсий тестовая статистика сравнивается с табличным значением критерия Фишера («критическим» значением), которое зависит от доверительной вероятности и числа степеней свободы дисперсий.

5) Вывод. На основании сравнения делается вывод о том, выполняется ли гипотеза (например, значимо ли различие и т.д.).

Уровень значимости - это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существующего расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки.

Допустим, рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область. Тогда при условии верности проверяемой гипотезы H₀ вероятность этого события будет не больше уровня значимости . Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным, и, следовательно, проверяемая гипотеза может быть отвергнута. Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области, и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза H₀ не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы H₀ равна . Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна, то есть меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки II рода.

Если альтернативная гипотеза , то гипотеза называется двухсторонней. Если гипотеза имеет вид и , то такую гипотезу называют односторонней. При проверке двухсторонней гипотезы с уровнем значимости критическое значение будет определено с уровнем значимости /2 и с соответствующим числом степеней свободы. При проверке односторонней гипотезы критическое значение будет определено с соответствующим числом степеней свободы и уровнем значимости .

Для принятия решения о принятии или отвержении гипотезы необходимо рассчитать расчетное значение критерия, выбрать критическую область, и сравнить расчетное значении критерия с табличным. Критическая область будет зависеть от выбранной альтернативной гипотезы, как показано на рисунках 1-3.

1

Рисунок 1.1.- Двухсторонняя критическая область.

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости /2 и соответствующего числа степеней свободы. Если TRрасчетное попадает в интервал (;), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная:

1

Рисунок 1.2.- Критическая область при альтернативной гипотезе «больше чем».

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если T расчетное попадает в интервал (;), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

1

Рисунок 1.3.- Критическая область при альтернативной гипотезе «меньшечем».

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если T расчетное попадает в интервал (), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

1.1 Проверка гипотезы при наличии одной выборки

Данная процедура помогает определить, насколько сильно разброс данных оказывает влияние на истинное значение среднего в генеральной совокупности. Например, имеются данные о заработной плате, полученные в ходе опроса: 450,680,850,1500,3500,1200,1000,700. Необходимо определить, является средняя заработная плата в регионе равной 1500 гривен.

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезу.

H₀: - средняя заработная плата равна 1500 гривен.

H₁: - средняя заработная плата не равна 1500 гривен

Выбор уровня значимости (вероятности ошибки).

.

Выбор теста.

t критерий Стьюдента:

, где

 - среднее значение выборки, - среднее значение нулевой гипотезы, - среднеквадратическое отклонение, n - количество данных в выборке.

Определение критической области.

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H₁: , то необходимо применять двусторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (7, 0.005)=4.029 [t(n-1, /2)].

Правило принятия (отвержения) гипотезы: если TR<-4.029 и TR>4.029, то отвергается H₀ и принимается H₁.

Выполнение необходимых вычислений.

Вычислим t расчетное (TR) :

Таблица 3.1 Вспомогательные расчеты

450	-785	616225
680	-555	308025
850	-385	148225
1500	265	70225
3500	2265	5130225
1200	-35	1225
1000	-235	55225
700	-535	286225
		6615600

Таким образом имеем:

==972,15

==-0,77

Принятие статистического решения.

Так как -4.029<TR<4.029, тогда с =0.01 гипотеза Н₀ о равенстве среднего значения заработной платы в размере 1500 грн. принимается при =0.01. Следовательно, средняя заработная плата составляет 1500 гривен.

Если мы хотим узнать, является ли заработная плата выше чем 1500 гривен, то необходимо сформулировать новые гипотезы:

H₀: - средняя заработная плата равна 1500 гривен.

H₁: - средняя заработная плата не равна 1500 гривен

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H₁: , то необходимо применять односторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (7, 0.01)=3.499 [t(n-1, )].

, то гипотеза H₀ о равенстве среднего значения заработной платы 1500 грн. принимается при =0.01. Следовательно, нельзя говорить о том, что средняя заработная плата выше 1500 гривен.

1.2 Проверка гипотез по двум выборкам

Пусть, после проведения экономических реформ снова был произведен опрос о заработной плате. Получены новые данные: 600,600,1300,1100,3700,1600,1100,800.

Необходимо выяснить, привели ли реформы к росту благосостояния населения.

Сформулируем гипотезы:

H₀: - средняя заработная плата до реформ равна средней зарплате после реформ.

H₁: - средняя заработная после реформ больше, чем средняя зарплата до реформ

Выбор уровня значимости (вероятности ошибки).

.

Выбор теста.

t критерий Стьюдента для двух выборок:

Число степеней свободы:

- среднее значение выборки, - среднеквадратическое отклонение, n - количество данных в выборке.

Выполнение необходимых вычислений.

Вычислим t расчетное (TR) :

Число степеней свободы:

Определение критической области.

Для определения критической области рассчитаем число степеней совбодt (14, 0.01)=2.977 [t(n-1, /2)].

Правило принятия (отвержения) гипотезы: если TR<-2.977, то отвергается H₀ и принимается H₁.

Поскольку -0.23>-2.977, то нулевая гипотеза не отвергается, по вероятности ошибки 0.01. Следовательно, средняя заработная плата до проведения реформ равна средней заработной плате после проведения реформ. Таким образом, проведенные реформы не привели к существенному росту благосостояния населения.

2 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ В СИСТЕМЕ MINITAB

Для проведения проверки статистической гипотезы необходимо:

1) ввести данные.

2) из меню Stat > Basic Statistics выбрать тест, необходимый для проверки статистической гипотезы:

1-Sample z - тест используется при проверке статистической гипотезы о равенстве средней определенному значению в случае, когда известен закон распределения (известно среднеквадратическое отклонение).

1-Sample t - тест используется при проверке статистической гипотезы о равенстве средней определенному значению.

Согласно рисунку 2.1 заполняются окна ввода, где

Variables - переменные;

Confidence interval > level - 1-;

Test mean - тестируемое среднее;

Alternative - альтернативная гипотеза;

Grafs > Dotplot of data - точечный график.

Интерпретация полученных результатов.

Результаты вычислений приведены на рисунке 2.2, где

Varieble - переменная

Sigma - среднеквадратическое отклонение

N - число значений переменной в выборке

Mean - среднее значение,

StDev - стандартное отклонение.

SE Mean - средняя стандартизированная ошибка

T - расчетное значение нормированного нормального распределения

P - вероятность того, что случайная величина, имеющая t распределение, будет больше (по модулю в случае двустороннего теста), чем табличное значение t критерия. Если величина p меньше уровня значимости , то расчетное значение t

критерия по модулю будет больше, чем табличное значение. Следовательно, отвергается нулевая гипотеза и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

Таким образом, в случае машинной обработки для принятия решения используем следующее правило:

Если P < , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

Если P > , то альтернативная гипотеза отвергается и принимается нулевая при соответствующем уровне значимости .

2-Sample t - тест используется при проверке статистической гипотезы о равенстве средних двух выборок.

Согласно рисунку 2.1 заполняются окна ввода, где

Samples in different column - переменные введены в разные колонки;

First - указывается первая колонка;

Second - указывается вторая колонка;

Confidence interval > level - 1-;

Alternative - альтернативная гипотеза;

Grafs > Dotplot of data - точечный график.

Интерпретация полученных результатов.

Результаты вычислений приведены на рисунке 2.2, где

С1 и С2 - переменные

N - число значений переменной в выборке

Mean - среднее значение,

StDev - стандартное отклонение.

SE Mean - средняя стандартизированная ошибка

T - расчетное значение нормированного нормального распределения

P - вероятность того, что случайная величина, имеющая t распределение, будет больше (по модулю в случае двустороннего теста), чем табличное значение t критерия. Если величина p меньше уровня значимости , то расчетное значение t

критерия по модулю будет больше, чем табличное значение. Следовательно, отвергается нулевая гипотеза и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ В MS Excel

Для выполнения проверки статистических гипотез в Excel необходимо произвести расчеты и вычислить значение критерия Стьюдента.

Решение.

На первом этапе выдвигаются нулевая и альтернативная гипотезы:

H₀:

H₁: .

После чего необходимо определить табличное значение критерия Стьюдента. Для этого в меню «Вставка» выбирается команда «Функция». Устанавливается категория «Статистические» и выбирается функция «СТЬЮДРАСПРОБР». Пример заполнения окна для определения табличного значения критерия Стьюдента представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Пример заполнения окна для определения табличного значения критерия Стьюдента

В поле «Вероятность» вводится заданный уровень значимости (), а так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H₁: , то необходимо применять двусторонний тест. При использовании двустороннего теста вместо значения берется значение /2 (для рассматриваемого примера /2=0,025).

В поле «Степени свободы» вводится значение, равное n-1, где n- число элементов в выборке.

Далее необходимо выполнить вычисления соответсвующего критерия (по формулам, приведенным выше)

После расчета критерия TR необходимо сравнить его значение с табличным, в соответствии с правилами, описанными выше и принять решение о принятии или отвержении нулевой гипотезы.

ЗАДАНИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. С целью изучения спроса на продукцию отделу маркетинга было поручено определить реализует ли предприятие в среднем за день продукцию на сумму 1,4 тыс. грн. Наблюдения велись 31 день. Результаты наблюдений представлены в форме таблицы 2. Полагая, что уровень значимости , определите: какой вывод сделает отдел маркетинга на основе статистической информации. Какой вывод сделал бы отдел маркетинга, если бы необходимо было проверить предположение, что ежедневно фирма реализует продукцию на сумму свыше 1 тыс. грн.

Таблица 4.1 - Исходные данные к заданию 1(данные представлены в грн.).

День				Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1200	1435	658	1332	1520	880	912	753
2	1105	1340	563	1237	1425	785	817	658
3	1200	1435	658	1332	1520	880	912	753
4	1305	1540	763	1437	1625	985	1017	858
5	1206	1441	664	1338	1526	886	918	759
6	1540	1775	998	1672	1860	1220	1252	1093
7	1600	1835	1058	1732	1920	1280	1312	1153
8	900	1135	358	1032	1220	580	612	453
9	1000	1235	458	1132	1320	680	712	553
10	1345	1580	803	1477	1665	1025	1057	898
11	1200	1435	658	1332	1520	880	912	753
12	1400	1635	858	1532	1720	1080	1112	953
13	1450	1685	908	1582	1770	1130	1162	1003
14	1506	1741	964	1638	1826	1186	1218	1059
15	840	1075	298	972	1160	520	552	393
16	750	985	208	882	1070	430	462	303
17	700	935	158	832	1020	380	412	253
18	1100	1335	558	1232	1420	780	812	653
19	1450	1685	908	1582	1770	1130	1162	1003
20	1400	1635	858	1532	1720	1080	1112	953
21	1490	1725	948	1622	1810	1170	1202	1043
22	970	1205	428	1102	1290	650	682	523
23	970	1205	428	1102	1290	650	682	523
24	980	1215	438	1112	1300	660	692	533
25	900	1135	358	1032	1220	580	612	453
26	890	1125	348	1022	1210	570	602	443
27	1000	1235	458	1132	1320	680	712	553
28	1240	1475	698	1372	1560	920	952	793
29	1000	1235	458	1132	1320	680	712	553
30	1250	1485	708	1382	1570	930	962	803
31	1350	1585	808	1482	1670	1030	1062	903

Задание 2.

Руководитель фирмы с целью роста объемов сбыта установил систему премирования сотрудников, полагая, что объемы реализации продукции должны измениться. Проверьте предположение руководителя. Уровень значимости равен 5%.

Таблица 4.2 Исходные данные к заданию 2.

Филиал фирмы	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
1	855	956	546	550	890	640	680	230
2	795	880	500	490	800	640	545	780
3	810	860	482	480	450	700	600	650
4	931	900	490	498	500	450	700	700
5	830	749	530	538	350	470	560	600
6	710	708	600	610	700	540	860	560
7	790	810	650	650	890	900	600	800
8	830	890	620	640	640	800	540	450
9	879	897	593	599	600	740	500	560
10	798	819	562	580	640	700	650	560
11	765	786	589	580	540	760	760	700
12	856	789	562	560	550	500	450	580
13	799	903	570	600	600	650	900	690
14	789	761	590	620	600	700	870	720

Таблица 4.3 Вариант заданий к таблице 2.

Показатель

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Объемы реализации продукции до ввода системы премирования, тыс. грн.

x1

x1

x1

x1

x1

x1

x1

x2

x2

x2

x2

x2

x2

x3

x3

Объемы реализации продукции после ввода системы премирования, тыс. грн.

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x4

x5

Объемы реализации продукции до ввода системы премирования, тыс. грн.

x3

x3

x3

x4

x4

x4

x4

x5

x5

x5

x6

x6

x7

-

-

Объемы реализации продукции после ввода системы премирования, тыс. грн.

x6

x7

x8

x5

x6

x7

x8

x6

x7

x8

x7

x8

x8

-

-

Показатель

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-

-

Вариант

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Изучить методические указания к выполнению работы.

Подготовить заготовку отчета по лабораторной работе: в соответствии с заданием сформулировать цель исследования; сформулировать гипотезы, которые необходимо проверить в ходе лабораторной работы.

Выполнить необходимые вычисления и результаты расчетов занести в отчет.

Интерпретировать полученные результаты.

Ответьте на контрольные вопросы.

6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что такое гипотеза?

Что такое уровень значимости?

Какие критерии используются при проверке гипотез?

Что такое критический уровень?

Сформулируйте правило принятия гипотез при помощи критерия Стьюдента?

От чего зависит табличное значение критерия Стьюдента?

БИБЛИОГРАФИЯ

Болч Б., Хуань К. Дж. Многомерные статистические методы для экономики/ Пер. с англ. А.Д. Плитмана; Под ред. и с предисл. С.А. Айвазяна. - М.: Статистика, 1979. - 317с.

Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. - 2-е изд. -М.: Статистика, 1979. - 447с.

Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИФРА-М, 1996 - 416с.

Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере/ Под ред. В.Э. Фигурнова - М.: ИНФРА-М, 1998 - 528с.

Sanders, Donald H. Statistics: a first course. - McGRAW-HILL, INC. - 5th ed., 1995. - 624p.