Автокорреляция - это корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени или в пространстве.

Данная работа посвящена построению эконометрической модели и исследованию проблемы автокорреляции случайных отклонений с помощью тестов Бреуша-Годфри, Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона.

Для анализа будет использоваться регрессионная модель зависимости номинального обменного курса белорусского рубля от изменений реального обменного курса белорусского рубля, изменения уровня цен в Беларуси и США. Эта модель построена на основе макроэкономического уравнения обменного курса. В качестве данных используется динамика индексов потребительских цен и тарифов на товары и платные услуги населению в Беларуси и США, динамика индексов номинального и реального курсов белорусского рубля с января 2000 года по сентябрь 2009 года поквартально. Соответствующие статистические данные представлены в приложении.

Обменный курс двух стран - это сравнительная цена валюты одного государства, выраженная в единице валюты другой страны. Обменный курс - это цена, по которой между двумя странами происходит обмен. Различают номинальный и реальный обменные курсы.

Номинальный обменный курс показывает обменный курс валют, действующий в настоящий момент времени на валютном рынке страны. Реальный обменный курс определяется как отношение цен товаров двух стран, взятых в соответствующей валюте на конкретную дату.

Связь между реальным и номинальным обменными курсами в макроэкономике выражается следующим образом:

номинальный реальный соотношение

обменный = обменный уровней

курс курс цен

e = (P* / P )

Таким образом, номинальный обменный курс между двумя странами рассчитывается на основе показателей реального обменного курса и уровня цен в этих двух странах.

При анализе изменения обменного курса в течение времени уравнение обменного курса можно записать так:

изменение изменение изменение изменение

В первую очередь для того, чтобы узнать, можно ли оценивать зависимости между переменными, определим, являются ли временные ряды переменных NOM_OK, REAL_OK, INFL_USA, INFL_BEL стационарными одного порядка. Для этого используется расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест). Для выбора лага при проведении ADF-теста сначала построим для ряда NOM_OK коррелограмму:

Автокорреляционная функция для NOM_OK

Лаг ACF PACF Q-стат. [p-значение]

1 0,6465 *** 0,6465 *** 17,5877 [0,000]

2 0,3630 ** - 0,0944 23,2834 [0,000]

3 0,1739 - 0,0381 24,6261 [0,000]

4 0,1253 0,0903 25,3435 [0,000]

5 0,1056 0,0107 25,8675 [0,000]

6 0,0998 0,0235 26,3502 [0,000]

7 0,0826 0,0058 26,6908 [0,000]

На графике PACF резко выделяется первое значение, значит для ADF-теста берем лаг 0 (так как 1 - 1 = 0).

Результат ADF-теста для переменной NOM_OK следующий:

Тест Дики-Фуллера (DF-тест) для NOM_OK

объем выборки 38

нулевая гипотеза единичного корня: a = 1

тест без константы

модель: (1-L) y = (a-1) *y (-1) + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: - 0,149

оценка для (a - 1): - 0,301568

тестовая статистика: tau_nc (1) = - 2,90471

P-значение 0,004806

Так как коэффициент автокорреляции 1-го порядка по модулю меньше единицы () и Р-значение равняется 0,48%, что меньше 5%, то исходя из этого можно сделать вывод о стационарности временного ряда NOM_OK.

Построим для ряда REAL_OK коррелограмму:

Автокорреляционная функция для REAL_OK

Лаг ACF PACF Q-стат. [p-значение]

1 0,3086 * 0,3086 * 4,0080 [0,045]

2 - 0,0050 - 0,1109 4,0091 [0,135]

3 0,0381 0,0828 4,0735 [0,254]

4 0,1227 0,0935 4,7613 [0,313]

5 - 0,1068 - 0, 1964 5,2973 [0,381]

6 - 0,1185 - 0,0059 5,9779 [0,426]

7 0,0085 0,0362 5,9815 [0,542]

На графике PACF за границу доверительного интервала выходит первое значение, значит для ADF-теста берем лаг 0 (так как 1 - 1 = 0).

Результат ADF-теста для переменной REAL_OK следующий:

Тест Дики-Фуллера (DF-тест) для REAL_OK

объем выборки 38

нулевая гипотеза единичного корня: a = 1

тест без константы

модель: (1-L) y = (a-1) *y (-1) + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: 0,002

оценка для (a - 1): - 0,69039

тестовая статистика: tau_nc (1) = - 4,42788

P - значение 4,954e-005

Р - значение меньше, чем величина 0,00001=0,001%.

Так как коэффициент автокорреляции 1-го порядка по модулю меньше единицы () и Р - значение меньше 5%, то исходя из этого можно сделать вывод о стационарности временного ряда REAL_OK.

Построим для ряда INFL_USA коррелограмму:

Автокорреляционная функция для INFL_USA

Лаг ACF PACF Q-стат. [p-значение]

1 - 0,0492 - 0,0492 0,1018 [0,750]

2 - 0,3154 ** - 0,3186 ** 4,4008 [0,111]

3 - 0,1799 - 0,2410 5,8388 [0,120]

4 0,1608 0,0214 7,0204 [0,135]

5 0,0387 - 0,0855 7,0910 [0,214]

6 - 0,1157 - 0,1237 7,7402 [0,258]

7 - 0,1489 - 0,1801 8,8480 [0,264]

На графике PACF за границу доверительного интервала выходит второе значение, значит для ADF-теста берем лаг 1 (так как 2 - 1 = 1).

Результат ADF-теста для переменной REAL_OK следующий:

Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для d_INFL_USA

включая один лаг для (1-L) d_INFL_USA

объем выборки 36

нулевая гипотеза единичного корня: a = 1

тест без константы

модель: (1-L) y = (a-1) *y (-1) +. + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: - 0,176

оценка для (a - 1): - 1,90306

тестовая статистика: tau_nc (1) = - 7,26352

асимпт. р-значение 3,82e-012

Р-значение меньше, чем величина 0,00001=0,001%.

Так как коэффициент автокорреляции 1-го порядка по модулю меньше единицы () и Р-значение меньше 5%, то исходя из этого можно сделать вывод о стационарности временного ряда INFL_USA.

Построим для ряда INFL_BEL коррелограмму:

Автокорреляционная функция для INFL_BEL

Лаг ACF PACF Q-стат. [p-значение]

1 0,7124 *** 0,7124 *** 21,3541 [0,000]

2 0,5089 *** 0,0029 32,5460 [0,000]

3 0,3108 * - 0,1070 36,8377 [0,000]

4 0,2304 0,0936 39,2623 [0,000]

5 0,1684 0,0037 40,5956 [0,000]

6 0,1624 0,0613 41,8730 [0,000]

7 0, 2003 0,1244 43,8778 [0,000]

На графике PACF за границу доверительного интервала выходит первое значение, значит для ADF-теста берем лаг 0 (так как 1 - 1 = 0).

Результат ADF-теста для переменной INFL_BEL следующий:

Тест Дики-Фуллера (DF-тест) для INFL_BEL

объем выборки 38

нулевая гипотеза единичного корня: a = 1

тест без константы

модель:

(1-L) y = (a-1) *y (-1) + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: - 0,130

оценка для (a - 1): - 0, 206896

тестовая статистика: tau_nc (1) = - 4,39587

P - значение 5,51e-005

Р - значение меньше, чем величина 0,00001=0,001%.

Так как коэффициент автокорреляции 1-го порядка по модулю меньше единицы () и Р - значение меньше 5%, то исходя из этого можно сделать вывод о стационарности временного ряда INFL_BEL.

Так как ряды переменных NOM_OK, REAL_OK, INFL_USA, INFL_BEL являются стационарными, то теперь можно оценивать модель зависимости между переменными.

Проанализируем регрессионную модель зависимости номинального обменного курса белорусского рубля (NOM_OK) от реального обменного курса белорусского рубля (REAL_OK), темпа инфляции в США (INFL_USA) и темпа инфляции в Беларуси (INFL_BEL).

Модель: МНК, использованы наблюдения 2000: 1-2009: 3 (T = 39)

Зависимая переменная: NOM_OK

Уравнение модели выглядит так:

NOM_OK = 0,709948 - 1,13274 REAL_OK - 0,854613 INFL _USA +

+ 0,838273 INFL _BEL

В модели коэффициент детерминации R² высокий, R² = 0,972521.

F-статистика для коэффициента детерминации очень высока и равняется 412,9021, а вероятность Р-значение (F) = (2,29e-27), т.е. она меньше величины 0,001%. Следовательно, при любом уровне значимости принимается гипотеза H₁: R² ? 0, т.е. модель адекватна.

Для критического уровня значимости б = 0,05 коэффициенты в1, в2 и в3 при экзогенных переменных соответственно REAL_OK, INFL_USA, INFL_BEL являются статистически значимыми, так как для них все Р-значения меньше 0,05.

Проанализируем модель с точки зрения экономической теории. Модель построена на основе уравнения обменного курса:

е = + Р* - Р

Но если посмотреть на уравнение полученной регрессионной модели, то можно увидеть, что знаки всех коэффициентов экзогенных переменных противоположны тем, которые должны были бы получиться по экономическому обоснованию. Причина заключается в том, что в уравнении обменного курса номинальный обменный курс показывает, сколько иностранной валюты можно купить за единицу валюты своей страны. Но в Беларуси, наоборот, номинальный обменный курс показывает стоимость единицы иностранной валюты. Именно поэтому знаки коэффициентов экзогенных переменных противоположны.

В целом модель качественная, но ее недостатком является очень завышенная F-статистика (412,9021).

Проверим наличие гетероскедастичности с помощью теста Уайта.

Тест Вайта (White) на гетероскедастичность

МНК, использованы наблюдения 2000: 1-2009: 3 (T = 39)

Зависимая переменная: uhat^2

Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение

const - 3,40994 4, 20372 - 0,8112 0,4239

REAL_OK 0,998461 1,00332 0,9952 0,3279

INFL_USA 0,782542 2,75161 0,2844 0,7781

INFL_BEL 2,10481 0,734163 2,867 0,0076

sq_REAL_OK - 0,0708310 0,0437903 - 1,618 0,1166

X2_X3 - 1,57500 1,10056 - 1,431 0,1631

X2_X4 - 0,0799389 0,0479501 - 1,667 0,1063

sq_INFL_USA - 0,873501 0,564912 - 1,546 0,1329

X3_X4 0,565365 0,372436 1,518 0,1398

sq_INFL_BEL - 0,0899812 0,0357231 - 2,519 0,0175

Неисправленный R-квадрат = 0,273374

Тестовая статистика: TR^2 = 10,661576,р-значение = P (Хи-квадрат (9) > 10,661576) = 0,299621

Так как Хи-квадрат (0,05; 10-1) больше, чем TR^2, а р-значение превышает 5% (равняется 29,9%), то принимается нулевая гипотеза об отсутствии в модели гетероскедастичности. Модель гомоскедастична.

Проверим модель на наличие мультиколлинеарности. Коэффициент детерминации R² очень высокий, а коэффициенты регрессионной модели статистически значимы, что не указывает на возможную мультиколлинеарность.

Рассмотрим коэффициенты парной корреляции для независимых переменных:

Коэффициенты корреляции, наблюдения 2000: 1 - 2009: 3

Максимальное из значений достигает 51,2%, что также не указывает на однозначное наличие в модели мультиколлинеарности.

Построим вспомогательную регрессию переменной REAL_OK на переменные INFL_USA, INFL_BEL, а затем вычислим показатель VIF - “фактор инфляции вариации”. Вспомогательная регрессия будет такой:

Модель: МНК, использованы наблюдения 2000: 1-2009: 3 (T = 39)

Зависимая переменная: REAL_OK

R² для вспомогательной регрессии равен 0,291158. Вычислим VIF:

VIF = 1/ (1 - R²⁾ = 1/ (1 - 0,291158) = 1,4107516

Так как VIF < 10, то объясняющие переменные не являются мультиколлинеарными в этом случае.

Для исходной модели проведем тест на мультиколлинеарность:

Метод инфляционных факторов

Минимальное возможное значение = 1.0

Значения > 10.0 могут указывать на наличие мультиколлинеарности

REAL_OK 1,411

INFL_USA 1,045

INFL_BEL 1,358

VIF (j) = 1/ (1 - R (j) ^2), где R (j) - это коэффициент множественной корреляции между переменной j и другими независимыми переменными.

Какую бы из переменных мы не брали за зависимую во вспомогательной модели, ни одна из них не будет указывать на наличие мультиколлинеарности (так как нет значений больше 10).

Проверим модель на наличие автокорреляции, построим коррелограмму ряда остатков:

Значения не выходят за границы доверительного интервала. Значит, в модели будет отсутствовать автокорреляция.

Проведем ADF-тест для ряда остатков. Согласно приведенной выше коррелограмме ряда остатков берем лаг 0.

Тест Дики-Фуллера (DF-тест) для uhat4

объем выборки 38

нулевая гипотеза единичного корня: a = 1

тест без константы

модель: (1-L) y = (a-1) *y (-1) + e

коэф. автокорреляции 1-го порядка для e: - 0,014

оценка для (a - 1): - 1,02418

тестовая статистика: tau_nc (1) = - 6,31568

P - значение 1,867e-008

Р - значение меньше, чем величина 0,00001=0,001%.

Так как коэффициент автокорреляции 1-го порядка по модулю меньше единицы () и Р - значение меньше 5%, то исходя из этого можно сделать вывод о стационарности ряда остатков.

Проверим нормальность ряда остатков. Согласно статистике Жака-Бера, остатки имеют нормальное распределение, так как р - значение превышает 5% (равняется 12,929 %).

Проведем для модели тест Бреуша-Годфри.

Тест Бриша-Годфри (Breusch-Godfrey) на автокорреляцию вплоть до порядка 4

МНК, использованы наблюдения 2000: 1-2009: 3 (T = 39)

Зависимая переменная: uhat

Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение

const - 0,0707259 0,539378 - 0,1311 0,8965

REAL_OK - 0,00432719 0,0594493 - 0,07279 0,9424

INFL_USA 0,0451355 0,249460 0,1809 0,8576

INFL_BEL 0,00388304 0,0529179 0,07338 0,9420

uhat_1 0,0436464 0,173056 0,2522 0,8025

uhat_2 - 0,00742827 0,171128 - 0,04341 0,9657

uhat_3 - 0,238083 0,169031 - 1,409 0,1689

uhat_4 0,294778 0,176511 1,670 0,1050

Неисправленный R-квадрат = 0,139655

Тестовая статистика: LMF = 1,258012,р-значение = P (F (4,31) > 1,25801) = 0,307

Альтернативная статистика: TR^2 = 5,446538,р-значение = P (Хи-квадрат (4) > 5,44654) = 0,244

Ljung-Box Q' = 6,25659,р-значение = P (Хи-квадрат (4) > 6,25659) = 0,181

Так как F (4,31) > LMF, а р-значение превышает 5% (равняется 30,7%), то принимается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в модели.

Проведем тест Сведа-Эйзенхарта на наличие автокорреляции остатков.

Ряд остатков следующий:

Необходимо определить:

· n - объем выборки;

· n - количество положительных отклонений;

· n - количество отрицательных отклонений;

· к - количество рядов.

Для данного ряда:

1) n = 39

2) n = 19

3) n= 20

4) k =19

В таблицах критических значений Сведа-Эйзенхарта найдем нижнее и верхнее значения к и к:

· к = 13

· к = 27

Так как к < k < к (13 < 19 < 27), то можно говорить об отсутствии автокорреляции.

Значение статистики Дарбина-Уотсона для модели равняется 2,017021, значения критических точек (на уровне значимости 5%, число наблюдений n=39, количество объясняющих переменных m = 3):

1) нижняя граница: 1,328

2) верхняя граница: 1,658.

Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков используем такой отрезок:

На отрезке:

1) (0; 1,328) - область положительной автокорреляции остатков;

2) (1,658; 2,342) - область отсутствия автокорреляции остатков;

3) (2,672;

4) 4) - область отрицательной автокорреляции остатков;

5) (1,328; 1,658) и (2,342; 2,672) - область неопределенности

Точка 2,017021 попадает в интервал от 1,658 до 2,342 - в область отсутствия автокорреляции. Значит, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции остатков.

Заключение

e = + Р* - Р

В итоге после подробного анализа модели между номинальным обменным курсом и определяющими его факторами была установлена такая зависимость: номинальный обменный курс растет с увеличением реального обменного курса и уровня цен за рубежом и уменьшением уровня цен в Беларуси. Ни один из этих факторов нельзя исключить из построенной модели без ухудшения ее качества.

Список использованных источников