Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

· выявления закономерностей, которым подчиняются экономические явления, и тенденций развития динамических процессов.

На стыке экономической практики и математической статистики в начале 30-х годов зародилась новая самостоятельная дисциплина, получившая название "Эконометрика".

Эконометрика - это наука, которая изучает статистические закономерности в экономике.

Методологическая особенность эконометрики заключается в применении достаточно общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержанию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная задача эконометрики - создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы подгонки формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонения модельных значений параметров от их реально наблюдаемых случайны и вероятностные характеристики их известны.

Математическая статистика является тем универсальным аппаратом, который удачно вписывается в содержание различных эконометрических исследований. Такие ее разделы, как корреляционный и регрессионный анализы, метод наименьших квадратов и прогнозирование, как нельзя лучше подходят для выявления статистических закономерностей в экономике.

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить связи между большим числом взаимодействующих экономических явлений как между случайными величинами. Его применение делает возможным проверку различных экономических гипотез о наличии и силе связи между двумя величинами или группой величин. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом, задача которого состоит в экспериментальном определении параметров корреляционных зависимостей (см. §2.5 ) между экономическими показателями путем наблюдения за характером их изменения. Одним из основных методов регрессионного анализа является метод наименьших квадратов, краткое содержание которого было изложено в §2.5. Модели, полученные с помощью регрессионного анализа, позволяют прогнозировать варианты развития экономических процессов и явлений, изучить тенденции изменения экономических показателей, т.е. служат инструментом научно-обоснованных предсказаний. Результаты прогноза являются исходным материалом для постановки реальных экономических целей и задач, для выявления и принятия наилучших управленческих решений, для разработки хозяйственной и финансовой стратегий в будущем.

Как составная часть математической экономики, эконометрика вполне естественно вписывается в общий алгоритм экономико-математических исследований. Эконометрические исследования начинаются после того, как

· определен общий вид математической модели с неизвестными параметрами;

· собраны все необходимые статистические данные, имеющие отношение к оцениваемым параметрам;

· поставлена задача отыскания значений неизвестных параметров, обеспечивающих наилучшее приближение модельных значений к их значениям, наблюдавшимся в действительности.

Эконометрика как раз и занимается методами получения лучших оценок параметров эконометрических моделей, конструируемых в прикладных целях.

Эконометрические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют грубых допущений и упрощений, позволяют учесть большое число факторов. Основные их недостатки - громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени при их построении и анализе и крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать "на ощупь", путем догадок и проб (в отличие от более приспособленных к оптимизационным задачам аналитических моделей). Наиболее эффективная методика экономико-математических исследований - это совместное применение аналитических и эконометрических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контуры основных закономерностей. Уточнение же этих закономерностей - прерогатива эконометрических моделей. С этой точки зрения важная задача эконометрики - проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов математической статистики.

В общем случае эконометрическая модель может содержать несколько уравнений, а в каждом уравнении - несколько переменных. Задача оценивания параметров такой разветвленной модели решается с помощью сложных и причудливых методов. Однако все они имеют одну и ту же теоретическую основу. Поэтому для получения начального представления о содержании эконометрических методов мы ограничимся в последующих параграфах рассмотрением простой линейной регрессии. Термин "регрессия" используется для описания природы связи между переменными, а термин "корреляция" - для измерения тесноты связи.

По мере возрастания сложности после статистического анализа, который касается поведения отдельных переменных, идет линейная регрессия с двумя переменными (парная регрессия). Простая линейная регрессия связана с тем, что называется двумерным распределением случайных величин, т.е. распределением двух переменных. Понятно, что использование двух переменных дает большую информацию, нежели одной. Например, доход от продажи товара можно анализировать, используя только данные о доходе на прошлых периодах времени вне связи с другими факторами (статистический анализ). Но мы получим гораздо более богатую информацию, если примем во внимание другие факторы, которые влияют на объем продаж: спрос, цена товара, цена товара-конкурента, период времени, затраты на рекламу и др. Если при этом расходы на рекламу явились бы главным фактором, определяющим объем продаж, то знание вида связи объема продаж и расходов на рекламу было бы весьма полезным для планирования финансовой политики компании. Точно так же нас могут интересовать двумерные распределения объема продаж и цены товара, дохода от продаж и уровня спроса и т.д. Другими примерами линейной регрессии с двумя переменными могли бы быть соотношения между издержками производства и квалификацией рабочих, между качеством продукции и продолжительностью рабочего дня, между весом и возрастом кур и т.д.

Линейную регрессию, как математическую модель, можно использовать для того, чтобы делать какие-то прогнозы или предсказания. Например, любая курица, реальный вес которой значительно отличается от прогнозируемого среднего веса, может быть подвергнута обследованию. В результате последующего анализа могут быть выявлены причины отклонения веса и приняты меры по улучшению рациона питания или изменению режима обслуживания и условий содержания.

Основным недостатком, присущим линейным эконометрическим моделям с двумя переменными, является их неадекватность к реальной действительности. Это вызвано, во-первых, тем, что статистическая (и, в частности, корреляционная) зависимость между экономическими величинами практически никогда не бывает в чистом виде линейной; во-вторых, многие факторы, влияющие на эти две переменные, остаются за пределами модели, т.е. оказываются неучтенными.

Основы системного анализа. Формулировка проблемы. Определение целей. Формирование критериев. Генерирование альтернатив. Выбор. Интерпретации и анализ ожидаемых результатов.

Системный анализ - методология исследования сложных объектов как систем. Эта методология есть эффективным способом решения сложных, не совсем четко сформулированных проблем. В задачах системного анализа любой объект рассматривается не как единое целое, а как система взаимосвязанных частей (объектов), их взаимосвязей и характеристик. Системный анализ можно свести к уточнению сложной проблемы, её структурированности относительно совокупности задач, которые решаются путем детализации целей, построение методов достижения этих целей с помощью экономико-математических и других методов..

Системный анализ, зародившись в недрах общественных и биологических наук, перешел к "освоению" технических наук. Однако системы общественные и социальные, биологические и экологические, технические системы, информационные системы и системы научных знаний - это все же системы с совершенно различными характеристиками и даже с различной терминологией. Вследствие этого формулировки основных положений системного анализа применительно к конкретным классам систем иногда воспринимаются как слишком общие и даже иносказательные; с другой стороны, слишком специальная терминология конкретизирует, но одновременно и сильно сужает область применения выработанных формулировок. По-видимому, все же единственно разумным путем представляется "перевод" основных положений системного анализа с "общего" языка на язык конкретной области знаний, к которой относится исследуемый объект.

Первый шаг системного анализа - представление объекта в виде системы. Следующий шаг - системное исследование объекта в трех аспектах. В табл.2 отражены направления системного исследования и последовательность осуществления его этапов.

Наиболее успешно системный анализ применяют при изучении комплексных систем сложной структуры. Интуиции, квалификации одного человека, независимо от способностей и опыта, теперь уже недостаточно для управления сложными производственными системами. В дальнейшем руководителю придется решать проблемы не только в масштабе предприятия, но и в масштабе отрасли. Для принятия решений руководителю необходимо опираться на эмпирическую и фактическую информацию. Вместо экстраполяции прошлого опыта, как главного пути для принятия решений, теперь рекомендуется применять математические модели, информационные системы, составляющие основу системного анализа.

Системный анализ имеет сугубо практическую ориентацию. Однако, несмотря на множество различных примеров его удачного применения, пока не полностью разработана его методология. При решении каждой задачи выбирается своя методика, которая базируется на основах наук, законах логики и некоторых специфических процедурах. При этом можно выделить следующие основные особенности системного анализа:

· необходимость составления моделей исследуемой задачи (необязательно математической, можно физической или графической);

· успешное применение его для изучения многофакторных, комплексных систем, когда решения трудно достичь с помощью одного какого-либо раздела науки или простого соединения методов разных дисциплин;

· необходимость точной формулировки задачи: следует точно описать, какого результата, какой цели и при каких ограничениях стремятся достичь при решении задачи;

· постановка и решение проблемы для достижения желаемых результатов должны подчиняться целостному подходу: при решении частей проблемы все время необходимо иметь в виду цель решения всей системы.

Обоснование процесса решения проводится с помощью общей цели системы. Только при этом будет учтено явление синергизма- достижение более высокого результата действия системы по сравнению с аддитивным эффектом, т.е. по сравнению с суммой результатов действия отдельных элементов системы.

Задачи системного анализа можно разделить на две группы: математику и логику.

Математику системного анализа применяют при решении оптимизационных задач уже четко сформулированных, для чего составляются уравнения, описывающие связи множества переменных ограничений системы. При этом определяются количественные результаты функционирования системы с точки зрения выбранного критерия оптимальности.

Логика имеет компоненты, связанные с процессом принятия решений, выявлением таких проблем, как определение целей системы, путей их достижения, анализ внешних условий и ограничений.

Цель в системном анализе понимается как антипод проблемы: это то, что надо сделать для снятия проблемы (а решение - то, как это сделать).

Под критерием в системном анализе подразумевается способ сравнения альтернатив, т.е. любой их признак, значение которого можно зафиксировать количественно или качественно. В идеале построение критериев требует создания четкой иерархии целей с определением всех соотношений между ними; реально же может использоваться несколько критериев, описывающих одну цель по-разному и дополняющих друг друга.

При интеграции знаний наиболее существенны, на наш взгляд, 2 критерия "хорошей" ("правильной") интеграции:

· интегрировать любую информацию;

· исключать внутренние противоречия.

При моделировании помимо этих критериев следует использовать специфические критерии "хорошей" модели:

· универсальность - возможность описывать любое знание от отдельного факта до философского обобщения;

· связность - наличие закономерных причинных связей между событиями, процессами, явлениями;

· активность - возможность порождения нового знания, например, по схеме: факт - обобщенный факт - эмпирический закон - теоретический закон - новые факты.

Общий алгоритм:

· Определение конфигуратора.

· Постановка проблемы - отправной момент исследования. В исследовании сложной системы ему предшествует работа по структурированию проблемы.

· Расширение проблемы до проблематики, т.е. нахождение системы проблем, существенно связанных с исследуемой проблемой, без учета которых она не может быть решена.

· Выявление целей: цели указывают направление, в котором надо двигаться, чтобы поэтапно решить проблему.

· Формирование критериев. Критерий - это количественное отражение степени достижения системой поставленных перед ней целей. Критерий -это правило выбора предпочтительного варианта решения из ряда альтернативных. Критериев может быть несколько. Многокритериальность является способом повышения адекватности описания цели. Критерии должны описать по возможности все важные аспекты цели, но при этом необходимо минимизировать число необходимых критериев.

· Агрегирование критериев. Выявленные критерии могут быть объединены либо в группы, либо заменены обобщающим критерием.

· Генерирование альтернатив и выбор с использованием критериев наилучшей из них. Формирование множества альтернатив является творческим этапом системного анализа.

· Исследование ресурсных возможностей, включая информационные потоки и ресурсы.

· Выбор формализации (построение и использование моделей и ограничений) для решения проблемы.

· Оптимизация (для простых систем).

· Декомпозиция.

· Наблюдение и эксперименты над исследуемой системой.

· Построение системы.

· Использование результатов проведенного системного исследования.

Основные положения теории систем. Определение системы. Свойства системы. Классификация систем. Модели экономических систем.

Под системой понимают множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определенную целостность, единство. Понятие "система" предполагает рассмотрение объекта как целого, состоящего из совокупности элементов. Представление о системе всегда связывается с такими понятиями, как элемент, целостность, структура, связь, подсистема.

Любую систему можно расчленить (не обязательно единственным способом) на конечное число частей, называемых подсистемами, каждую из которых в свою очередь, можно разделить на конечное число подсистем более низкого уровня вплоть до получения подсистем первого уровня-элементов системы.

Обычно под элементом системы понимают объект или процесс, не подлежащий при исследовании дальнейшему расчленению на части.

Под структурой системы понимают относительно устойчивый порядок внутренних пространственных связей между ее отдельными элементами, определяющий функциональное назначение системы и ее взаимодействие с внешней средой.

Под целостностью системы понимают принципиальную несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов.

Связь- это взаимообусловленность существования явлений, разделенных в пространстве и во времени. Связи могут быть существенными и несущественными. По типу процесса, который определяет связь, они разделяются на связи управления, функционирования и др., а по направлению действия- на прямые и обратные.

В сложных системах часто обратные связи рассматривают как передачу информации о протекании процесса, на основании которой вырабатываются управляющие воздействия. В этом случае обратные связи называются информационными. Понятие обратной связи как формы взаимодействия играет большую роль в анализе функционирования сложных систем.

Два основных свойства систем:

· целостность системы означает, что комплекс элементов, рассматриваемый в качестве системы, обладает характерными свойствами и поведением, причем свойства системы несводимы к сумме свойств ее элементов;

· делимость системы отражает тот факт, что любой объект можно представить состоящим из элементов. Это значит, что любой объект можно рассматривать как минимум в трех аспектах: как нечто целостное (систему), как часть более общей системы (надсистемы) и как совокупность более мелких частей (элементов, подсистем).

Системы подразделяют на три группы: простые, сложные и очень сложные. Система обувного производства относится к третьей группе- очень сложной. Основными отличительными признаками сложной системы являются:

· наличие большого количества взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов;

· сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение заданной цели функционирования;

· возможность разбиения системы на подсистемы, цели функционирования которых, подчинены общей цели функционирования всей системы;

· наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру), разветвленной информационной сети и интенсивных потоков информации;

· наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях взаимодействия случайных факторов.

Структура системы - это закономерные устойчивые связи между элементами системы, отражающие пространственное и временное расположение элементов и характер их взаимодействия (или причинно-следственные отношения). При этом заметим, что связи в системе бывают полезные, бесполезные и вредные.

Функция системы - это внешнее проявление свойств системы, определенный способ взаимодействия с окружающей средой. У любой системы много функций; однако почти всегда среди этого множества можно выделить одну, самую существенную в данной системе отношений. Эта функция называется главной полезной функцией (ГПФ) системы.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ

Существует много различных подходов к классификации систем. Например, классификация может основываться на сложности системы. В классификации, приведенной ниже, целый ряд более сложных систем опущен, так как не представляет для нас интереса.

1. Морфологические системы. Это системы, которые описываются при помощи сети структурных взаимосвязей (например, типичная организационная схема).

2. Каскадные системы. Они показывают пути про­хождения вещества и энергии в системе (например, схема информационных потоков в организации).

3. Системы типа действие - реакция объединяют указанные выше и показывают способ, которым структура привязана к процессу жизнедеятельности (например, наложение информационных потоков на организационную схему).

4. Управляющие системы (transducers)-системы типа 3, в которых основные компоненты контролируются человеком. Мы можем считать некоторую организацию управляющей, или кибернетической, системой, если контроль посредством обратной связи приводит к саморегулированию.

Другой способ классификации основывается на взаимодействии с внешней средой.

1. Изолированная система. Границы такой системы закрыты для экспорта и импорта вещества и энергии (или информации).

2. Закрытая система. Границы ее препятствуют экс­порту и импорту вещества, но открыты для энергии (или информации).

3. Открытая система. Такая система обменивается и веществом, и энергией (информацией) с внешней средой. Все управленческие системы являются открытыми, хотя при анализе мы иногда рассматриваем их как закрытые, игнорируя всякое взаимодействие с внешней средой.

Кроме того, мы рассматриваем системы или их окружение как статичное или динамичное в зависимости от скорости изменения их характеристик во времени. Адаптивная система может реагировать на изменения среды способом, соответствующим ее обычным действиям. Конечно, это относится к тем изменениям, которые происходят во внешней среде и не касаются внутренних проблем фирмы. Таким образом, мы говорим о релевантной среде, т. е. о событиях или объектах, не связанных с тем, что происходит внутри системы. Иногда употребляют термин «проблемное окружение». Этот термин уже, чем релевантная окружающая среда, так как охватывает только деятельность покупателей, поставщиков, конкурентов и регламентирующих групп, например правительства.

Экономисты говорят об экономических системах, находящихся в состоянии равновесия, т. е. в состоянии покоя, или отсутствия деятельности. Возможно, к «живым» системам, где переменные скорее остаются в рамках заранее установленных ограничений, чем превращаются в постоянные, больше подходит термин «устойчивые». О системе, которая функционирует в условиях высокой устойчивости, говорят, что она находится в стационарном состоянии (steady state condition).

Экономическая система есть совокупность взаимосвязанных и определенным образом упорядоченных элементов экономики. Вне системного характера экономики не могли бы воспроизводиться (постоянно возобновляться) экономические отношения и институты, не могли бы существовать экономические закономерности, не могло бы сложиться теоретического осмысления экономических явлений и процессов, не могло бы быть скоординированной и эффективной экономической политики.

· Современная рыночная экономика (современный капитализм). По сравнению со всеми рыночная система оказалась наиболее гибкой: она способна перестраиваться, приспосабливаться к изменяющимся внутренним и внешним условиям.

· Традиционная система. В экономически слаборазвитых странах существует традиционная экономическая система. Этот тип экономической системы базируется на отсталой технологии, широком распространении ручного труда, многоукладности экономики.

· Административно-командная система (централизованно-плановая, коммунистическая). Эта система господствовала ранее в СССР, странах Восточной Европы и ряде азиатских государств. В последние годы многие отечественные и зарубежные экономисты в своих работах попытались дать ее обобщенную характеристику. Характерными чертами административно-командной системы являются общественная (а в реальности государственная) собственность практически на все экономические ресурсы, монополизация и бюрократизация экономики в специфических формах, централизованное экономическое планирование как основа хозяйственного механизма.

В случае соединения и переплетения различных форм хозяйства, различных формационных образований, различных цивилизационных систем, а также более сложных сочетаний различных элементов системы можно говорить о смешанных экономических системах (смешанной экономике). Их отличительная особенность -- гетерогенность (разнородность) входящих в них элементов.

Шведская модель. Термин “шведская модель” возник в связи со становлением Швеции как одного из самых развитых в социально-экономическом отношении государств. Он появился в конце 60х годов, когда иностранные наблюдатели стали отмечать успешное сочетание в Швеции быстрого экономического роста с обширной политикой реформ на фоне относительной социальной бесконфликтности в обществе. Этот образ успешной и безмятежной Швеции особенно сильно контрастировали тогда с ростом социальных и политических конфликтов в окружающем мире.

Сейчас этот термин используется в различных значениях и имеет разный смысл в зависимости от того, что в него вкладывается. Некоторые отмечают смешанный характер шведской экономики, сочетающей рыночные отношения и государственное регулирование, преобладающую частную собственность в сфере производства и обобществление потребления.

Другая характерная черта послевоенной Швеции специфика отношений между трудом и капиталом на рынке труда. На протяжении многих десятилетий важной частью шведской действительности была централизованная система переговоров о заключении коллективных договоров в области заработной платы с участием мощных организаций профсоюзов и предпринимателей в качестве главных действующих лиц, причем политика профсоюзов основывалась на принципах солидарности между различными группами трудящихся.

Еще один способ определения шведской модели исходит из того, что в шведской политике явно выделяются две доминирующие цели : полная занятость и выравнивание доходов, что и определяет методы экономической политики. Активная политика на высокоразвитом рынке труда и исключительно большой государственный сектор (при этом имеется в виду прежде всего сфера перераспределения, а не государственная собственность) рассматриваются как результаты этой политики.

Наконец, в самом широком смысле шведская модель это весь комплекс социально-экономических и политических реалий в стране с ее высоким уровнем жизни и широким масштабом социальной политики. Таким образом, понятие “шведская модель” не имеет однозначного толкования.

Шведская модель исходит из положения, что децентрализованная рыночная система производства эффективна, государство не вмешивается в производственную деятельность предприятия, а активная политика на рынке труда должна свести к минимуму социальные издержки рыночной экономики. Смысл состоит в максимальном росте производства частного сектора и как можно большем перераспределении государством части прибыли через налоговую систему и государственный сектор для повышения жизненного уровня населения, но без воздействия на основы производства. При этом упор делается на инфраструктурные элементы и коллективные денежные фонды.

Это привело к очень большой роли государства в Швеции в распределении, потреблении и перераспределении национального дохода через налоги и государственные расходы, достигшие рекордных уровней. В реформистской идеологии такая деятельность получила название “функциональный социализм”.

Американская модель. Американская модель -- это либеральная рыночно-капиталистическая модель, предполагающая приоритетную роль частной собственности, рыночно-конкурентного механизма, капиталистических мотиваций, высокий уровень социальной дифференциации.

Соединенные Штаты Америки - ведущая держава капиталистического мира, обладающая крупнейшим экономическим и научно-техническим потенциалом. Ни в одной другой стране противоречия капитализма не выступают так обнажено и остро, как в США.

Становление и развитие американской модели проходило в идеальных условиях. Это объясняется многими причинами, среди которых можно выделить минимум две: во-первых, США возникли на территории относительно свободной от предшествующих традиций и различных наслоений социального характера. Во-вторых, европейские переселенцы привнесли предпринимательскую активность и инициативу, основанные на укреплявшихся товарно-денежных отношениях в Европе.

Таким образом, американская модель построена на системе всемерного поощрения предпринимательской активности, обогащения наиболее активной части населения. Малообеспеченным группам создается приемлемый уровень жизни за счет частичных льгот и пособий. Задача социального равенства здесь вообще не ставится. Эта модель основана на высоком уровне производительности труда и массовой ориентации на достижение личного успеха

Германская модель. Германская модель -- это модель социального рыночного хозяйства, которая расширение конкурентных начал увязывает с созданием особой социальной инфраструктуры, смягчающей недостатки рынка и капитала, с формированием многослойной институциональной структуры субъектов социальной политики.

В германской экономической модели государство не устанавливает экономические цели - это лежит в плоскости индивидуальных рыночных решений, - а создаст надежные правовые и социальные рамочные условия для реализации экономической инициативы. Такие рамочные условия воплощаются в гражданском обществе и социальном равенстве индивидов (равенстве прав, стартовых возможностей и правовой защите). Они фактически состоят из двух основных частей: гражданского и хозяйственного права, с одной стороны, и системы мер по поддержанию конкурентной среды, с другой. Важнейшая задача государства - обеспечивать баланс между рыночной эффективностью и социальной справедливостью. Трактовка государства как источника и защитника правовых норм, регулирующих хозяйственную деятельность, и конкурентных условий не выходит за пределы западной экономической традиции. Но понимание государства в германской модели и, в целом, в концепции социальной рыночной экономики отличается от понимания государства в других рыночных моделях представлением о более активном вмешательстве государства в экономику.

Германская модель характеризуется следующими чертами:

· индивидуальная свобода как условие функционирования рыночных механизмов и децентрализованного принятия решений. В свою очередь, это условие обеспечивается активной государственной политикой поддержания конкуренции;

· социальное равенство - рыночное распределение доходов обусловлено объемом вложенного капитала или количеством индивидуальных усилий, в то время как достижение относительного равенства требует энергичной социальной политики. Социальная политика опирается на поиск компромиссов между группами, имеющими противоположные интересы, а также на прямое участие государства в предоставлении социальных благ, например, в жилищном строительстве;

· антициклическое регулирование;

· стимулирование технологических и организационных инноваций;

· проведение структурной политики;

· защита и поощрение конкуренции. Перечисленные особенности германской модели есть производные от основополагающих принципов социальной рыночной экономики, первым из которых является органическое единство рынка и государства.

Японская модель. Сегодня достижениями Японии никого не удивишь. Гораздо важнее понять и объяснить причины «японского экономического чуда», или, вернее, феноменального послевоенного рывка Японии, выведшего ее в разряд «экономической сверхдержавы». И хотя в японском рывке немаловажную роль сыграл американский фактор, все же главными оказались собственные усилия нации.

Таким образом, японская модель характеризуется определенным отставанием уровня жизни населения (в том числе уровня заработной платы) от роста производительности труда. За счет этого достигается снижение себестоимости продукции и резкое повышение ее конкурентоспособности на мировом рынке. Препятствий имущественному расслоению не ставится. Такая модель возможна только при исключительно высоком развитии национального самосознания, приоритете интересов нации над интересами конкретного человека, готовности населения идти на определенные материальные жертвы ради процветания страны.

Китайская модель. Утверждается, что китайская экономика растет так быстро потому, что уровень развития в Китае был низким, а темпы роста слаборазвитых стран выше, чем более развитых стран. Однако исследование среднегодовых темпов роста ВВП на душу населения показывает, что такой закономерности не существует. При одних и тех же душевых показателях ВВП возможен и быстрый рост и глубокое падение. Ни одна другая слаборазвитая страна не имела темпов роста, сколько-нибудь близких к китайским. Более того, темпы роста Китая оказались уникальными для всей мировой экономики. Решающий вклад в ускорение экономического роста внесла структура китайской экономики -- низкая доля промышленности и высокая доля сельского хозяйства.

Элементы математической статистики. Выборки и их типы. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Эмпирические моменты, асимметрия и эксцесс. Оценки параметров. Выборочные распределения.

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.

Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений; следовательно, математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями.

Современная математическая статистика подразделяется на две обширные области: описательную и аналитическую статистику.

Описательная статистика охватывает методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.

Эти данные могут быть либо количественными (например, измерение роста и веса), либо качественными (например, пол и тип личности).

Аналитическая статистика называется также теорией статистических выводов. Ее предметом является обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для самых различных областей человеческой деятельности.

Теория статистических выводов тесно связана с другой математической наукой - теорией вероятностей, и базируется на ее математическом аппарате.

Планирование и анализ экспериментов представляет собой третью важную ветвь статистических методов, разработанную для обнаружения и проверки причинных связей между переменными.

Экспериментальные данные - это результаты измерения некоторых признаков объектов, выбранных из большой совокупности объектов.

Часть объектов исследования, определенным образом выбранная из более обширной совокупности, называется выборкой, а исходная совокупность, из которой взята выборка,- генеральной (основной) совокупностью.

Исследования, в которых участвуют все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность, называются сплошными исследованиями. Может использоваться выборочный метод. Суть его в том, что для обследования привлекается лишь выборка из генеральной совокупности, но по результатам этого обследования судят о свойствах всей генеральной совокупности.

Важнейшая характеристика выборки - объем выборки, т. е. число элементов в ней; его принято обозначать символом n.

Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся (варьирующиеся) признаки, которые иногда называются статистическими. Они делятся на качественные и количественные.

Качественными признаками объект обладает либо не обладает. Они не поддаются непосредственному измерению (например, спортивная специализация, квалификация, национальность, территориальная принадлежность и т. п.).

Количественные признаки представляют собой результаты подсчета или измерения. В соответствии с этим они делятся на дискретные и непрерывные.

Эмпирические распределения представляют собой распределения элементов выборки по значениям изучаемого признака. Построение эмпирических распределений - необходимый этап применения статистических методов.

Можно использовать следующий эвристический принцип - будем считать, что исследуемая нами генеральная совокупность близка к гипотетической генеральной совокупности, состоящей только из значений х₁,...,x_n, содержащихся в ней в равной пропорции, т.е. случайная величина  близка к случайной величине , принимающей п значений х₁,...,x_n с вероятностями 1/n (это, действительно, максимум информации о значениях случайной величины и их вероятностях, которую можно извлечь из выборки). Распределение случайной величины  называется эмпирическим распределением случайной величины , а ее функция распределения  - эмпирической функцией распределения. Очевидно, что каждой выборке соответствует своя эмпирическая функция распределения, т.е. можно сказать, что  - случайная функция.  представляет собой ступенчатую функцию, возрастающую от 0 до 1 со скачками высотой 1/n в точках х₁,...,x_n (очевидно, если некоторое значение повторяется k раз, то ему будет соответствовать один скачок величиной k/n). Можно определить эмпирическую функцию формулой , где n_x - число значений выборки, не превосходящих х.

Поскольку эмпирическая функция распределения  является оценкой для F(x) (можно доказать, что при  вероятность того, что максимальное расхождение между  и F(x) не превзойдет заданного малого числа , стремится к единице), можно взять характеристики  в качестве оценок характеристик генерального распределения.

Ниже мы приводим полученные таким образом формулы для некоторых выборочных характеристик.

Название характеристики	Формула
Выборочный момент порядка k
Выборочный центральный момент Порядка k
Выборочное среднее - первый нецентральный момент
Выборочная дисперсия - (см. в главе 2 обоснование деления на n-1 вместо деления на n)
Выборочный коэффициент асимметрии
Выборочный коэффициент эксцесса

выборочное среднее = (x₁ + x₂ +...+ x_n) / n  оценка математического ожидания

медиана = X_k+1 , при n = 2k+1
= (X_k +X_k+1) / 2 , при n = 2k

мода  такое значение x_m, которое встречается в выборке чаще всего

размах R = X _max - X _min

выборочная дисперсия   - оценка дисперсии

среднее квадратичное отклонение S = - оценка б

Статистической оценкой теоретического распределения называют функцию f(X1,X2,…,Xn) от наблюдаемых С.В. X1,X2,…,Xn. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом *=f(x1,x2,…,xn), где х1,х2,…,xn - результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка). Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (мат. ожидания) служит выборочная средняя: Хв=(сумма по i от 1 до k nixi)/n, где xi - варианта выборки, ni - частота варианты xi, n=сумма по i от 1 до k ni - объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: Dв=(сумма по i от 1 до k ni(Хi-Xв)*2)/n. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия: s*2=n/n-1*Dв=сумма ni(xj - Xв)*2/n-1. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: v1=M1. Учитывая, что v1=M(X) и М1=Хв, получим М(Х)=Хв. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X),M1=Хв,мю=D(X),m2=Dв, имеем систему: М(Х)=Хв, D(X)=Dв.

Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х - Д.С.В., которая в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр , которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку *= (x1,x2,…,xn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через р(xi;). Функцией правдоподобия Д.С.В. Х называют функцию аргумента : L (x1,x2,…,xn;)=p(x1;)*p(x2;)…p(xn;). Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называют такое его значение *, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х - Н.С.В., которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид плотности распределения - функции f(x) - задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н.С.В. Х называют функцию аргумента : L(x1,x2,…,xn;)=f(x1;)*f(x2;)…f(xn;).

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал - это интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупности служит доверительный интервал: Хв - t(сигма/корень из n)<a<Хв+t(сигма/корень из n), где t(сигма/корень из n)=дельта - точность оценки, n - объем выборки, t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=гамма/2; при неизвестном сигма (и объеме выборки n<30) Хв - t гамма (s/корень из n)<a<Хв+t гамма (s/корень из n), где s-исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. 2. Интервальной оценкой (с надежностью гамма) среднего квадратического отклонения сигма нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s(1-q)<сигма<s(1+q), при q<1; 0<сигма<s(1+q), при q>1. 3. Интервальной оценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2).

ряд наблюдений над случайной (будем далее полагать - всегда дискретной) величиной. По этим наблюдениям можно строить таблицы или гистограммы, используя значения соответствующих частот (вместо вероятностей). Такие распределения принято называть выборочными, а сам набор данных наблюдений - выборкой.

Пусть мы имеем такое выборочное распределение некоторой случайной величины X - т.е. для ряда ее значений (вполне возможно неполного, с “пропусками" некоторых допустимых) у нас есть рассчитанные нами же частоты f i .

В большинстве случаев нам неизвестен закон распределения СВ или о его природе у нас имеются догадки, предположения, гипотезы, но значения параметров и моментов (а это неслучайные величины!) нам неизвестны.

Разумеется, частоты fi суть непрерывные СВ и, кроме первой проблемы - оценки распределения X, мы имеем ещё одну - проблему оценки распределения частот.

Существование закона больших чисел, доказанность центральной предельной теоремы поможет нам мало:

· во-первых, надо иметь достаточно много наблюдений (чтобы частоты “совпали” с вероятностями), а это всегда дорого;

· во-вторых, чаще всего у нас нет никаких гарантий в том, что условия наблюдения остаются неизменными, т.е. мы наблюдаем за независимой случайной величиной.

Теория статистики дает ключ к решению подобных проблем, предлагает методы “работы” со случайными величинами. Большинство этих методов появилось на свет как раз благодаря теоретическим исследованиям распределений непрерывных величин.

Проверка статистических гипотез. Уровень значимости. Правило Неймана-Пирсона отбора критериев для простых гипотез. Критерии значимости. Доверительная область. Нормальное распределение. Критерий согласия Пирсона.

Определение 19.1. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Определение 19.2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

Определение 19.3. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной - гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы ( такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математической статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, заключающаяся в том, что будет принята неверная гипотеза.

Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной.

Определение 19.4. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости б.

Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения.

Определение 19.5. Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы.

Определение 19.6. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы - область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов:

· выбирается статистический критерий К;

· вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке;

· поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости б) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = б, то справа от kкр располагается критическая область, а слева - область принятия гипотезы);

· если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область - нулевая гипотеза отвергается.

Различают разные виды критических областей:

· правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > kкр ( kкр > 0);

· левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр ( kкр < 0);

· двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k1, K > k2 (k2 > k1).

Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза. Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) в, то мощность критерия равна 1 - в. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

В ряде случаев оказывается достаточно трудно, а иногда и невозможно определить даже хотя бы приблизительно не только априорные вероятности гипотез, но и цены решений. Классическим примером такой ситуации является обнаружение сигналов в радиолокации. То же самое имеет место и в системах передачи дискретных сообщений при обнаружении начала информационной последовательности (радиограммы, команды и т.п.).

В этих условиях обычно приходится задаваться некоторым значением вероятности ошибочного решения при справедливости одной из гипотез (например, ) и выбирать стратегию, обеспечивающую минимальное значение вероятности ошибочного решения при справедливости другой гипотезы . Такой критерий оптимизации стратегии называется критерием Неймана-Пирсона. Применительно к случаю радиолокационного обнаружения задаются вероятностью  ошибочной регистрации сигнала при наличии на входе только шума, называемой вероятностью ложной тревоги . Минимизируемая вероятность  при этом носит название вероятности пропуска цели .

Можно показать, что стратегия, оптимальная по Нейману-Пирсону, по-прежнему сводится к сравнению величины отношения правдоподобия  с некоторым пороговым значением , определяемым в данном случае требуемым значением вероятности ложной тревоги .

Значимости уровень статистического критерия, вероятность ошибочно отвергнуть основную проверяемую гипотезу, когда она верна. В теории статистической проверки гипотез З. у. называется вероятностью ошибки первого рода. Понятие "З. у." возникло в связи с задачей проверки согласованности теории с опытными данными. Если, например, в результате наблюдений регистрируются значения n случайных величин X₁,..., X_n и если требуется по этим данным проверить гипотезу Н, согласно которой совместное распределение величин X₁,..., X_n обладает некоторым определённым свойством, то соответствующий статистический критерий конструируется с помощью подходящим образом подобранной функции Y = f (X₁,..., X_n); эта функция обычно принимает малые значения, когда гипотеза Н верна, и большие значения, когда Н ложна. В частности, если X₁,..., X_n - результаты независимых измерений некоторой известной постоянной а и гипотеза Н представляет собой предположение об отсутствии в результатах измерений систематических ошибок, то для проверки Н разумно в качестве Y выбрать (2m - n)², где m - количество тех результатов измерений X₁, которые превышают истинное значение а. Наблюдаемое в опыте большое значение Y можно рассматривать как значимое статистическое опровержение гипотетического согласия между результатами наблюдений и проверяемой гипотезой. Соответствующий критерий значимости представляет собой правило, согласно которому значимыми считаются значения Y, превосходящие заданное критическое значение у. В свою очередь выбор величины у определяется заданным З. у., который в случае справедливости гипотезы Н совпадает с вероятностью события {Y>y}.

Мы рассматриваем независимую выборку , обозначая неизвестную функцию распределения . Нас интересует вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений с простой гипотезой