Існують наступні методи рішення транспортних задач:

- метод північно-західного кута

- метод мінімального елементу

- метод Фогеля;

- дельта-метод

- метод потенціалів

- сітьовий метод

Розглянемо кожний з методів більш детально.

Опорний план є допустимим рішенням ТЗ і використовується як початкове базисне рішення при знаходженні оптимального рішення методом потенціалів.

Всі існуючі методи знаходження опорних планів окрім останнього методу відрізняються тільки способом вибору клітки для заповнення. Саме заповнення відбувається однаково незалежно від методу, що використовується. Слід пам'ятати, що перед знаходженням опорного плану транспортна задача повинна бути збалансованою.

Метод північно-західного кута.

На кожному кроці методу північно-західного кута зі всіх не викреслених кліток вибирається найлівіша і верхня (північно-західна) клітка. Іншими словами, на кожному кроці вибирається перший з не викреслених рядків, що залишилися, і перший з не викреслених стовпців, що залишилися.

Для того, щоб заповнити клітку (i, j), необхідно порівняти поточний запас товару в даному i-й рядку з поточною потребою в даному j-м стовпці .

Якщо існуючий запас дозволяє перевезти всю потребу, то

- в клітку (i, j) як перевезення вписується значення потреби ;

- j-й стовпець викреслюється, оскільки його потреба вже вичерпана;

- від існуючого запасу в i-й рядку віднімається величина зробленого перевезення, колишній запас закреслюється, а замість нього записується залишок, тобто .

Якщо існуючий запас не дозволяє перевезти всю потребу, то - в клітку (i, j) як перевезення вписується значення запасу ;

- i-ий рядок викреслюється, оскільки його запас вже вичерпаний;

- від існуючої потреби в j-й рядку віднімається величина зробленого перевезення, колишня потреба закреслюється, а замість неї записується залишок, тобто.

Знаходження опорного плану продовжується до тих пір, поки не будуть викреслені всі рядки і стовпці.

Метод мінімального елемента.

На кожному кроці методу мінімального елемента зі всіх не викреслених кліток транспортної матриці вибирається клітка з мінімальною вартістю перевезення . Заповнення вибраної клітки проводиться за правилами, описаними вище.

Метод Фотеля.

На кожному кроці методу Фогеля для кожного i-й рядка обчислюються штрафи як різниця між двома найменшими тарифами рядка. Таким же чином обчислюються штрафи для кожного j-го стовпця. Після чого вибирається максимальний штраф зі всіх штрафів рядків і стовпців. В рядку або стовпці, відповідному вибраному штрафу, для заповнення вибирається не викреслена клітка з мінімальним тарифом .

Якщо існує декілька однакових по величині максимальних штрафів в матриці, то у відповідних рядках або стовпцях вибирається одна не викреслена клітка з мінімальним тарифом .

Якщо кліток з мінімальним тарифом також дещо, то з них вибирається клітка (i, j) з максимальним сумарним штрафом, тобто сумою штрафів по i-й рядку і j-му стовпцю.

Формально і реальні і фіктивні стовпці і рядки в транспортній матриці абсолютно рівноправні. Тому при знаходженні опорних планів фіктивні рядки, стовпці і тарифи необхідно аналізувати і використовувати так само як і реальні. Але при обчисленні значення ЦФ фіктивні перевезення не враховуються, оскільки вони реально не були виконані і сплачені.

Якщо величина фіктивних тарифів перевищує максимальний з реальних тарифів задачі [], то методи мінімального елемента і Фогеля дозволяють отримати більш дешеві плани перевезень, ніж у випадку з нульовими фіктивними тарифами

Дельта-метод.

Нехай існує наступна постановка задачі.

Деякий однорідний продукт, зосереджений у m постачальників A_i в кількості ai (i=1,2,3…, m) одиниць відповідно, необхідно доставити n споживачам Bj в кількості bj (j=1,2,3…, n) одиниць. Відома вартість Cij перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника до j-му споживача.

Необхідно скласти план перевезень, що дозволяє вивезти всі вантажі, повністю задовольнити Cij xij потреби і має мінімальну вартість.

Позначимо через xij кількість одиниць вантажу, запланованих до перевезення від i-го постачальника до j-му споживача; тоді умови задачі можна записати у вигляді таблиці, яку надалі називатимемо матрицею планування.

Складемо математичну модель задачі. Оскільки від i-го постачальника до j-го споживача заплановано до перевезення xij одиниць вантажу, то вартість перевезення складе C_ijx_ij.

Таблиця 2.4 - План перевезень

Вартість всього плану виразиться подвійною сумою:

Z = .

Систему обмежень одержуємо з наступних умов задачі:

а) всі вантажі повинні бути вивезений, тобто (i = 1,2,3…, m) (ці рівняння виходять з рядків таблиці);

б) всі потреби повинні бути задоволені, тобто (j = 1,2,3…, n) (рівняння виходять із стовпців таблиці).

Таким чином, математична модель транспортної задачі має наступний вигляд.

Знайти найменше значення лінійної функції:

Z = (2.32)

при обмеженнях

, i = 1, 2…, m (2.33)

, j = 1,2,3…, n (2.34)

xij 0 (j = 1,2,3…, m; i = 1,2,3…, n).

В розглянутій моделі передбачається, що сумарні запаси рівні сумарним потребам, тобто

(2.35)

Така модель називається закритою.

Для вирішення транспортної задачі за допомогою дельта-методу використовується наступний алгоритм.

Алгоритм дельта-методу.

1. Перетворимо таблицю С_ij в таблицю приростів , вибираючи в кожному стовпці найменшу вартість і віднімаючи її зі всіх вартостей стовпця. Значення записуємо під відповідними значеннями _.

2. Таблицю перетворюємо в таблицю _ij, вибираючи в кожному рядку найменший приріст і віднімаючи його зі всіх приростів рядка; результати записуємо під значеннями _ij. Якщо в якому-небудь рядку вже є нульовий приріст після першого перетворення, то в цьому рядку приросту залишаємо без зміни і перетворимо прирости рядків, що не містять нульових приростів.

2. Проглядаємо стовпці, що містять один нульовий приріст, і в клітки, що містять його, записуємо потреби b_j, не звертаючи уваги на величину запасів постачальників.

Потім проглядаємо стовпці, що містять два нульові прирости, і в клітки, що містять їх, заповнюємо, враховуючи раніше проведене закріплення і запаси постачальників. Потім переходимо до стовпців, що містять три, чотири і т.д. нульових прирости.

Процес закріплення споживачів за постачальниками продовжуємо до тих пір, поки всі об'єми потреб не будуть закріплені за постачальниками.

Підраховуємо для рядків , i=1,2…, m. Якщо все _i = 0, та побудова плану закінчена. Він же є оптимальним, оскільки всі вантажі перевозяться з найменшими приростами вартостей. В загальному випадку одержуємо:

а) для одних рядків _i= 0 (такі рядки називаються нульовими);

б) для інших _i < 0 (такі рядки називаються надлишковим і наголошуються знаком «-»);

в) для третіх _i > 0 (такі рядки називаються недостатніми і наголошуються знаком «+»).

4. Відзначаємо знаком «V «стовпці, що мають зайняті клітки в надмірних рядках.

5. Для кожного недостатнього і нульового рядка порівнюємо _ij, що стоять у відзначених стовпцях, вибираємо найменше і проставляємо в останню графу таблиці.

6. В останній графі таблиці проглядаємо _ij, недостатніх рядків вибираємо найменше і порівнюємо його з _i0j для нульових рядків. При цьому можуть бути два випадки:

а) для кожного нульового рядка min_iji0j;

б) для деяких нульових рядків min_ij > _i0j.

7. Якщо виконується умова а), то проводиться безпосередній перерозподіл потреби з надлишкового рядка в недостатню клітку відзначеного стовпця, якій відповідає min(x_ij; a_in), де x_ij - величина перевезення, що стоїть у відзначеному стовпці надлишкового рядка; _in - величина різниць, що стоять в надлишковому і недостатньому рядках.

8. Якщо для деякого нульового рядка виконується умова б), то перерозподіл перевіряємо по ланцюжках, що йдуть через цей нульовий рядок з надлишкового рядка в недостатній. Для побудови ланцюжка в нульовому рядку у відзначеному стовпці знаходимо клітку, для якої _i0j < min_ij, і відзначаємо її знаком «+», в цьому ж стовпці знаходимо зайняту клітку, що стоїть в надлишковому рядку, і відзначаємо її знаком «- «- початок ланцюжка.

Починаючи рух по побудованій ланці ланцюжка від «- «до «+», потрапляємо до зайнятої клітки і відзначаємо її знаком» - «, далі по стовпцю переходимо в клітку недостатнього рядка і відзначаємо її знаком «+». Ланцюжок побудований.

Якщо матриця містить велике число нульових рядків, то ланцюжки перерозподілу можуть проходити через дещо нульових рядків і їх кількість значно зростає, тому керуємося наступним правилом. При переході з одного нульового рядка в інший визначаємо отриману суму приростів і порівнюємо її з мінімумом приростів у виділених стовпцях даного рядка. Якщо отримана сума перевищує цей мінімум, то продовження ланцюжка по даному рядку не розглядаємо. Очевидно також, що якщо сума приростів, отримана при переході в недостатній рядок, менше ніж при переході в будь-який інший нульовий рядок, то не слід розглядати продовження ланцюжка переходом в нульовий рядок.

9. Складаємо для кожного ланцюжка суму алгебри приростів ij, беремо їх негативними, якщо ж вони стоять в клітці, відзначеній знаком «- «, і позитивними, якщо клітка відзначена знаком «+». Отриману суму порівнюємо з min_ij:

а) якщо _ijmin_ij всіх побудованих ланцюжків, то відкидаємо їх і проводимо безпосередній перерозподіл;

б) якщо _ij < min_ij, то перерозподіл проводимо по ланцюжку, для якого ця сума найменша.

При цьому можливий об'єм перерозподілу по ланцюжку рівний min (x_ik j_p; _in), де x_ik j_p - числа, вказуючі на перевезення, які стоять в клітках, відзначених знаком «- «, 1 k m, 1 p n; _in - різності, що стоять в надлишковому і недостатньому рядках, в яких починається і закінчується ланцюжок, 1rm. Слідуючи по ланцюжку, віднімаємо величину перерозподілів з чисел, поміщених в клітках, відзначених знаком «- «, і додаємо до чисел, які стоять в клітках, відзначених знаком «+», на цю ж величину змінюємо _in. В результаті одержуємо нове закріплення споживачів за постачальниками

10. Після перерозподілу перевіряємо можливість виключення відзначених стовпців. Стовпці виключаємо з відзначених в тому випадку, якщо зайнята клітка надлишкового рядка перетворилася на незайняту або надмірний рядок перетворився на нульову. В цьому випадку наступну ітерацію слід починати з п. 6 алгоритму. Якщо кількість відзначених стовпців залишилася без зміни, то наступна ітерація починається з п. 7 алгоритму.

Процес перезакріплення продовжується до тих пір, поки всі рядки не перетворяться на нульові. При рішенні задачі дельта-методом кількість ітерацій залежить в основному від числа рядків, тому при m<n споживачів закріплюють за постачальниками, при m>n - постачальників за споживачами. Дельта-метод дозволяє вирішувати відкриту модель, не приводячи її до закритої, проте це можливо тільки в тому випадку, якщо обчислення абсолютно правильні і всі перерозподіли проведені по найкращих ланцюжках.

Метод потенціалів.

Цей метод дозволяє автоматично виділяти цикли з негативною ціною і визначати їх ціни.

Нехай є транспортна задача з балансовими умовами

x_i,j = a_i (i=1..m; j=1..n);

x_i,j =b_j (j=1..n; 1..m),

причому a_i = b_j - умова закритої задачі.

Вартість перевезення одиниці вантажу з A_i в B_j рівна C_i,j; таблиця вартостей задана. Вимагається знайти план перевезень (x_i,j), який задовольняв би балансовим умовам і при цьому вартість всіх перевезень бала мінімальна.

Ідея методу потенціалів для вирішення транспортної задачі зводитися до наступного. Уявимо собі, що кожний з пунктів відправлення A_i вносить за перевезення одиниці вантажу (все рівно куди) якусь суму _i; у свою чергу кожний з пунктів призначення B_j також вносить за перевезення вантажу (куди завгодно) суму _j. Ці платежі передаються деякій третій особі («перевізнику»). Позначимо _i + _j = _i,j (i=1..m; j=1..n) і називатимемо величину _{i,j «}псевдовартістю» перевезення одиниці вантажу з A_i в B_j. Зазначимо, що платежі _i і _j не обов'язково повинні бути позитивними; не виключено, що «перевізник» сам платить тому або іншому пункту якусь премію за перевезення. Також треба відзначити, що сумарна псевдовартість будь-якого допустимого плану перевезень при заданих платежах (_i і _j) одна і та ж і від плану до плану не міняється.

Дотепер ми ніяк не зв'язували платежі (_i і _j) і псевдовартості _i,j з істинними вартостями перевезень С_i,j. Тепер встановимо між ними зв'язок. Припустимо, що план (xi, j) невироджений (число базисних кліток в таблиці перевезень рівно (m + n -1). Для всіх цих кліток x_{i,j >0.} Визначимо платежі (_i і _j) так, щоб у всіх базисних клітках псевдовартості були рівні вартостям:

_i,j = _i + _j = с_i,j, при x_i,j >0.

• грузоперевезення транспортний мережений планування
• Що стосується вільних кліток (де x_i,j = 0), то в них співвідношення між псевдовартостями і вартостями може бути яке завгодно.
• Виявляється співвідношення між псевдовартостями і вартостями у вільних клітках показує, чи є план оптимальним або ж він може бути поліпшений. Існує спеціальна теорема: Якщо для всіх базисних кліток плану (x_i,j > 0)
• _i + _j = _i,j= сi, j
• а для всіх вільних кліток (x_i,j =0)
• _i + _j = _i,j сi, j
• то план є оптимальним і ніякими способами поліпшений бути не може. Неважко показати, що це теорема справедлива також для виродженого плану, і деякі з базисних змінних рівні нулю. План, що володіє властивістю:
• _i,j= сi, j (для всіх базисних кліток) (2.36)
• _i,j сi, j (для всіх вільних кліток) (2.37)
• називається потенційним планом, а відповідні йому платежі (_i і _j) - потенціалами пунктів A_i і B_j (i=1…, m; j=1…, n). Користуючись цією термінологією вищезазначену теорему можна сформулювати так: Всякий потенційний план є оптимальним. Отже, для вирішення транспортної задачі нам потрібне одне - побудувати потенційний план. Виявляється його можна побудувати методом послідовних наближень, задаючись спочатку якоюсь довільною системою платежів, що задовольняє умові (2.14). При цьому в кожній базисній клітці вийти сума платежів, рівна вартості перевезень в даній клітці; потім, покращуючи план слід одночасно міняти систему платежів. Так, що вони наближаються до потенціалів. При поліпшенні плану нам допомагає наступна властивість платежів і псевдовартостей: Яка б не була система платежів (_i і _j) задовольняюча умові (2.14), для кожної вільної клітки ціна циклу перерахунку рівна різниці між вартістю і псевдовартістю в даній клітці: _i,j= сi, j - _i,j.
• Таким чином, при користуванні методом потенціалів для вирішення транспортної задачі відпадає самий трудомісткий елемент розподільного методу: пошуки циклів з негативною ціною.
• Процедура побудови потенційного (оптимального) плану полягає в наступному.
• Як перше наближення до оптимального плану береться будь-який допустимий план (наприклад, побудований способом мінімальної вартості по рядку). В цьому плані m + n - 1 базисних кліток, де m - число рядків, n - число стовпців транспортної таблиці. Для цього плану можна визначити платежі (_i і _j), так, щоб в кожній базисній клітці виконувалася _умова:
• _i + _j = с_i,j (2.38)
• Рівнянь (2.15) всього m + n - 1, а число невідомих рівно m + n. Отже, одну з цих невідомих можна задати довільно (наприклад, рівної нулю). Після цього з m + n - 1 рівнянь (2.15) можна знайти решта платежів _{i j}, а по них обчислити псевдовартості: _{i,j= i} + _j для кожної вільної клітки.
• Якщо виявилося, що всі ці псевдовартості не перевершують вартостей
• _i,j <= с_i,j
• то план потенційний і, значить, оптимальний. Якщо ж хоча б в одній вільній клітці псевдовартість більше вартості (як в нашому прикладі), то план не є оптимальним і може бути поліпшений перенесенням перевезень по циклу, відповідному даній вільній клітці. Ціна цього циклу рівна різниці між вартістю і псевдовартістю в цій вільній клітці.
• Отже, приходимо до наступного алгоритму рішення транспортної задачі методом потенціалів.
• 1. Узяти будь-який опорний план перевезень, в якому відзначені m + n - 1 базисних кліток (решта кліток вільна).
• 2. Визначити для цього плану платежі (_i і _j) виходячи з умови, щоб в будь-якій базисній клітці псевдовартості були рівні вартостям. Один з платежів можна призначити довільно, наприклад, покласти рівним нулю.
• 3. Підрахувати псевдовартості _i,j = _i + _j для всіх вільних кліток. Якщо виявиться, що всі вони не перевищують вартостей, то план оптимальний.
• 4. Якщо хоча б в одній вільній клітці псевдовартість перевищує вартість, слід приступити до поліпшення плану шляхом перекидання перевезень по циклу, відповідному будь-якій вільній клітці з негативною ціною (для якої псевдовартість більше вартості).
• 5. Після цього наново підраховуються платежі і псевдовартості, і, якщо план ще не оптимальний, процедура поліпшення продовжується до тих пір, поки не буде знайдений оптимальний план.
• Таким чином, поліпшення господарської діяльності досліджуваного підприємства можливо за рахунок оптимізації перевезень.
• Оптимізація перевезень відноситься до класу задач лінійного програмування, а саме до транспортної задачі. В даному розділі проведений аналіз існуючих моделей лінійного програмування і показано місце транспортних задач в загальній иерерхии лінійного програмування. Існує велика кількість транспортних задач, основною з яких можуть бути задачі по скороченню часу і задачі по скороченню вартості. Для вирішення транспортної задачі використовується ряд методів? до яких відносяться: метод північно-західного кута; метод мінімального елемента; метод Фогеля; симплекс-метод, дельта-метод; метод потенціалів; мережний метод.
• Кожний з перерахованих методів володіє певними достоїнствами і недоліками, вираженими, перш за все, в можливості використовування і трудомісткості обчислень. В даному розділі розглянуті алгоритми кожного з методів. Надалі в дипломній роботі розглядатимемо дві різних методу, які грунтуються на різному використовуванні математичного апарату: симплекс метод (вирішуваний за допомогою MS Excel) і мережний метод.
• 3. Модель транспортних перевезень для АТП 11467
• 3.1 Загальна постановка задачі транспортних перевезень
• Аналіз діяльності АТП 11467 дозволив визначити наступних постачальників і споживачів по цеглині, які забезпечуються АТП: Снежнянській машинобудівний завод, Енергостройінвест, Донецький торговий університет, ТОВ «Промстрой». Відповідно потреба даних споживачів складе: 12 т, 16,5 т., 14,0., 60 т.
• Як постачальники продукції, яку перевозить Торезськоє АТП виступають: фірма «Строймак», фірма «Еліта», фірма «Олімп», фірма «Цеглинка». Тарифи перевозів одиниці продукції від кожного постачальника кожному споживачу задаються матрицею:
• Можливості поставки складають 30 т., 20 т., 40 т., 40 т.
• Складемо математичну модель задач.
• Маємо:
• m (i=1,2., 4) - постачальники продукції.
• A_i - кількість одиниць продукції «i» постачальника.
• n (j=1,2., 4) - споживачі
• B_j - потреби «j» споживача
• C_ij - вартість перевезення 1 умовної одиниці продукції від «i» постачальника до «j» споживача.
• Для даної задачі існують наступні обмеження.
• 1) Балансове обмеження.
• Передбачається, що сума всіх запасів (ai) рівна сумі всіх заявок (bj):
•  (3.1)
• Слід зазначити, що для даної постановки задачі дана умова не виконується, оскільки
• (3.2)
• (3.3)
• Тобто спостерігається перевищення об'єму по постачальниках над об'ємам по споживачах.
• Таким чином, слід ввести додаткового споживача на об'єм перевищення (на 27,7 тонн). Нехай дана фірма носить назву «Фіктів». Даною фірмою необхідно поставити 27, т вугілля. І його необхідно пов'язати зі всіма постачальниками.
• Цього споживача необхідно пов'язати зі всіма постачальниками, причому вартість перевезення повинна бути достатньо великої і однакової для всіх споживачів. Приймемо її рівній 20 грн. Таким чином, матриця вартостей прийме вигляд:
• (3.4)
• 2. Ресурсне обмеження.
• Сумарна кількість вантажу, направленого від кожного постачальника до всіх споживачів, повинна бути рівна запасу вантажу у даного постачальника. Це дасть m - умов рівності:
•  (3.5)
• Тото
• (3.6)
• Для нашої задачі таке обмеження буде рівне
• (3.7)
• 3. Планове обмеження.
• Сумарна кількість вантажу, що доставляється кожному споживачу призначення від всіх постачальників повинне бути рівна заявці (bj), поданої даним споживачем. Це дасть нам n - умов рівності:
•  (3.8)
• Тобто
• (3.9)
• Для нашої задачі таке обмеження буде рівне.
• (3.10)
• 4. Реальність плану перевезень.
• Перевезення не можуть бути негативними числами
• 5. Вимагається скласти такий план перевезень, при якому всі заявки б були виконані і при цьому загальна вартість всіх перевезень би була мінімальна, тому цільова функція або критерій ефективності:
• (3.11)
• Таким чином, дана постановка дозволяє оптимізувати перевезення на АТП 11467.
• 3.2 Використання мереженого планування для рішення транспортної задачі
• Оптимізація за допомогою сіті дозволяє прослідити всі ітерації і перерозподіл поставок від постачальників до споживачів. Представимо початкову задачу у вигляді сіті, в якій всі споживачі матимуть порядкові номери від I до IV, а всі постачальники від V до VIII. Таким чином, сіть має вигляд (рис. 3.1).
• Рисунок 3.1 - Представлення транспортної задачі у вигляді сіті

• Рисунок 3.2 - Первинний план перевезень
• Для вирішення даної транспортної задачі побудуємо первинний план. Первинний план і цільова функція прикмет вигляд (рис. 3.2).
• Вартість перевезень на першому кроці складе за вирахуванням фіктивної поставки:
• Розрахуємо потенціали. Їх розрахунок приведений на рис. 3.3
• На основі отриманих потенціалів розрахуємо різниці потенціалів між всіма вершинами, для яких не існує поставок. Різниці потенціалів приведені в табл. 3.1

• Рисунок 3.3 - Розрахунок потенціалів
• Таблиця 3.1 - Різниці потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	0.5
	VII	1.7
	VIII	1.1
II	V	-0,6
	VII	-1
III	V	-1.6
	VIII	-1,2
IV	VI	0
	VIII	1.3
IX	V	-0,6
	VI	-0,1
	VII	-0,1

• Як бачимо, між вершинами III і VI існує найменша негативна різниця потенціалів, следовательно, тобто необхідно ввести поставку, перерахувати нові потенціали (рис. 3.4).

• Рисунок 3.4 - Перерахунок сіті
• Тоді вартість поставки складе
• Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.2
• Таблиця 3.2 - Різниця потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	2.1
	VII	3.3
	VIII	1.1
II	V	1
	VII	0.6
III	VII	1.6
	VIII	-1,2
IV	VI	0
	VIII	1.3
IX	V	1
	VI	-0,1
	VII	1.5

• Як бачимо, рішення не є актуальним, тобто необхідно ввести поставку VIII III (рис. 3.5).
• Рисунок 3.5 - Перерахунок сіті
• Тоді вартість складе
• Як бачимо вартість постійно зменшується, тобто оптимізація проходить правильно.
• Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.3
• Таблиця 3.3 - Різниця потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	2.1
	VII	3.3
	VIII	1.1
II	V	1
	VII	0.6
III	VI	1,2
	VII	1,6
IV	VI	-0,4
	VIII	0,9
IX	V	-0,2
	VI	-0,1
	VII	0,3

• Рисунок 3.6 - Перерахунок мережі
• Аналіз табл. 3.3 показав необхідність ввести поставку VI IV. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.6)
• Тоді вартість складе
• Нова різниця потенціалу приведена а табл. 3.4
• Таблиця 3.4 - Різниця потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	0,5
	VII	1,7
	VIII	1.1
II	V	-0,6
	VII	-1
III	VI	1,2
	VII	1,6
	VIII	0,4
IV	VI	1,3
IX	V	-0,6
	VI	-0,1
	VII	-0,1

• Аналіз табл. 3.4 показав необхідність ввести поставку VII II. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.7)
• Рисунок 3.7 - Перерахунок сіті
• Нова вартість складе
• Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.5
• Таблиця 3.5 - Різниця потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	0,5
	VII	1,7
	VIII	0,1
II	V	0,4
	VI	1
III	VI	1,6
	VII	1,6
	VIII	-0,6
IV	VI	0,3
IX	V	0,4
	VI	0,9
	VII	0,4

• Аналіз табл. 3.5 показав необхідність ввести поставку VIII III. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.7)
• Нова вартість складає
• Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.6
• Таблиця 3.6 - Різниця потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	0,5
	VII	1,7
	VIII	0,7
II	V	0,4
	VI	1
	VIII	0.6
III	VI	1,6
	VII	1,6
IV	VI	0,3
IX	V	-0.2
	VI	0.3
	VII	0.3


• Рисунок 3.7 - Перерахунок сіті
• Аналіз табл. 3.6 показав необхідність ввести поставку V IX. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.8)
• Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.7
• Таблиця 3.7 - Різниця потенціалів

Вершина, i	Вершина, j
I	V	0,5
	VII	1,7
	VIII	0,5
II	V	0,4
	VI	1
	VIII	0.4
III	V	0.2
	VI	1.8
	VII	1,8
IV	VI	0,7
IX	VI	0.5
	VII	0.5


• Рисунок 3.8 - Перерахунок сіті
• Таким чином, опорний план є оптимальним і загальна вартість перевезень складає 547.7 тис. грн.
• Проведемо аналіз оптимального плану перевезень і плану, який існувал на підприємстві. Існуючий план представлений на рис. 3.9.
• Рисунок 3.9 - Існуючий план
• Вартість перевезень складає:
• Таким чином, економія при оптимізації складає 71,35 тис. грн. на рік, яка може бути використана на оновлення парку автомобілів.
• Також проведений аналіз показав, що деякі маршрути є оптимальними. Однак кількість перевезень не оптимальна.
• 3.3 Вирішення транспортної задачі з використанням симплекс-методу
• Для оптимізації вантажоперевезень скористаємося пакетом MS Excel і запрограмуємо симплекс метод в даному пакеті. Для цього скористаємося методом «Пошук рішень».
• Для вирішення в пакті MS Excel скористаємося наступним алгоритмом
• 1) Введення початкових даних:
• - введення вартості перевезень (в рядки B3:F6). Введення даних представлено на рис. 3.10
• - введення об'єму запасів на складах постачальників (в рядки G3:G6) (рис 3.11);
• - введення об'єму споживання (в рядки B7:F7) (рис. 3.12).
• Таким чином, початкові дані мають вигляд (рис. 3.13).
• Рисунок 3.10 - Введення вартості перевезень

• Рисунок 3.11 - Запаси постачальників
• Рисунок 3.12 - Об'єми споживання
• Рисунок 3.13 - Початкові дані
• 2) Введення обмежень:
• Виберемо як змінні рядки, рядок B11:F14 (рис. 3.14)
• Тоді можна ввести системи обмежень (3.7) і (3.10). Для введення систем обмежень необхідно порахувати наступні суми:
• Рисунок 3.14 - Змінні ряд
• - в рядку G11: сума рядків B11:F11
• - в рядку G12: сума рядку B12:F12
• - в рядку G13: сума рядку B13:F13
• - в рядку G14: сума рядку B14:F14
• - в рядку В15: сума рядку B11:В14
• - в рядку С15: сума рядку С11:С14
• - в рядку D15: сума рядку D11:D14
• - в рядку E15: сума рядку E11:E14
• Дані суми представлені на рим. 3.15
• Рисунок 3.15 - Введення обмежень
• 3) Встановлення цільової функції
• Скористаємося формулою 3.11 і встановимо цільову функцію в рядку Н3 (Н3=СУММПРОИЗВ (B3:F6; B11:F14)) (рис. 3.16).
• Рисунок 3.16 - Цільова функція
• Початкове значення цільової функції рівно 0, оскільки ще жодна одиниця товару не перевезена
• 4) Використання пошуку рішень.
• Вікно пошуку рішень має вигляд (рис. 3.17):
• Рисунок 3.17 - Чисте вікно пошуку рішень
• Встановимо цільову функцію рівної мінімальному значенню.
• Як змінні рядки виберемо наступні: B11:F14
• Як обмеження виберемо наступні обмеження:
• - обмеження по постачальниках: G11:G14=G3:G6
• - обмеження по споживачах: B7:F7=B15:F15
• - обмеження позитивності B11:F14>=0
• Таким чином, пошук рішень прийме вигляд (рис. 3.18).
• Рисунок 3.18 - Пошук рішень при введенні всіх даних
• Проведемо прогін рішення за допомогою методу Ньютона і проаналізуємо всі ітерації.
• Ітерація 1. Ітерація представлена на рис. 3.19.
• Рисунок 3.19 - Ітерація 1
• Цільова функція рівна 504 тис. грн
• Ітерація 2. Ітерація представлена на рис. 3.20.
• Рисунок 3.20 - Ітерація 2
• Цільова функція рівна 658 тис. грн
• Ітерація 3. Ітерація представлена на рис. 3.21.
• Рисунок 3.21 - Ітерація 3
• Цільова функція рівна 876 тис. грн
• Ітерація 4. Ітерація представлена на рис. 3.22.
• Рисунок 3.22 - Ітерація 4
• Цільова функція рівна 962 тис. грн.
• Ітерація 5. Ітерація представлена на рис. 3.23.
• Рисунок 3.23 - Ітерація 5
• Цільова функція рівна 1103 тис. грн
• Ітерація 6. Ітерація представлена на рис. 3.24.
• Рисунок 3.24 - Ітерація 6
• Цільова функція рівна 1130 тис. грн
• Ітерація 7. Ітерація представлена на рис. 3.25.

• Рисунок 3.25 - Ітерація 7
• Цільова функція рівна 1126 тис. грн
• Ітерація 8. Ітерація представлена на рис. 3.26.
• Рисунок 3.26 - Ітерація 8
• Цільова функція рівна 1122 тис. грн
• Ітерація 9. Ітерація представлена на рис. 3.27.
• Рисунок 3.27 - Итерация 9
• Як видно з ітерацій вже на шостій ітерації почали виконуватися всі умови.
• Проаналізуємо межі стійкості (рис. 3.28 і рис. 3.29 відповідно)

• Рисунок 3.28 - Анализ межі
• Аналіз меж показує, що межі і знайдені рішення співпадають. Аналіз стійкості також свідчить про наявність стійких рішень.
• Таким чином, можна зробити ряд висновків:
• 1) аналізованому підприємству необхідно здійснювати перевезення по наступному маршруту:
• - фірма «Еліта» Снежнянський машинобудівний завод (12 тонн);
• - фірма «Олімп» Енергобудінвест (16,5 тонн);

• Рисунок 3.29 - Аналіз стійкості
• - фірма «Цеглинка» Донецький торговий університет (14 тонн)
• - фірма «строймак» ТОВ «Промстрой» (28,5 тонн)
• - фірма «Еліта» ТОВ «Промстрой» (8 тонн)
• - фірма «Олімп» ТОВ «Промстрой» (23,5 тонн)
• - фірма «строймак» фіктивній фірмі (1,5 тонни)
• - фірма «Цеглинка» фіктивній фірмі (26 тонн)
• Представимо у вигляді графа, дані перевезення (рис. 3.30):
• Значення цільової функції складе з урахуванням фіктивних перевезень 1097,7 тис. грн., без урахування фіктивних перевезень 547,7 тис. грн.

• Рисунок 3.30 - Граф перевезень
• Таким чином, при запланованому обсязі перевезень прибуток АТП складає
• 1869,6-547,7=1321,9 тис. грн
• В даному розділі була проведена оптимізація вантажоперевезень Торезського АТП 11467. Перш ніж проводити дану оптимізацію, нам необхідно було коректно поставити задачу. Внаслідок чого була здійснена математична і економічна постановка задачі.
• На основі даних постановок було реалізовано два методи рішення транспортних задач: симплекс метод за допомогою пакету MS Excel і мережний метод. Гідністю першого методу є простота в розрахунках, гідністю другого - їх візуалізація. Ці методи показали однакові результати при дослідженні. В результаті дослідження було показано, що при оптимізації вантажоперевезень загальна їх вартість складе 547,7 тис. грн, а прибуток підприємства 1321,9 тис. грн. Слід зазначити, що при здійсненні оптимізації економія складе 71,35 тис. грн. в рік.

Висновки

Оптимізація перевезень автотранспортного підприємства є в сучасних умовах господарювання актуальною темою, що пов'язано з необхідністю підприємствам самостійно ухвалювати рішення про вантажоперевезення і як наслідок зазнавати збитки в результаті некомпетентного ухвалення рішень.

Аналіз діяльності Торезського АТП 11467 свідчить, що на підприємстві відбувається погіршення його виробничо-господарських показників, що обумовлено як зростанням конкуренції на ринку автоперевозок, так і за рахунок неефективного менеджменту в області перевезень.

Ліквідація даних проблем можлива при застосуванні економіко-математичного підходу до планування перевезень. Даний підхід дозволяє оптимізувати перевезення здійснювані АТП, що може привести до скорочення вартості перевезень, або до зменшення часу затрачуваного на перевезення

Таким чином, поліпшення господарської діяльності досліджуваного підприємства можливо за рахунок оптимізації перевезень.

Оптимізація перевезень відноситься до класу задач лінійного програмування, а саме до транспортної задачі. В даному розділі проведений аналіз існуючих моделей лінійного програмування і показано місце транспортних задач в загальній иерерхии лінійного програмування. Існує велика кількість транспортних задач, основною з яких можуть бути задачі по скороченню часу і задачі по скороченню вартості. Для вирішення транспортної задачі використовується ряд методів? до яких відносяться: метод північно-західного кута; метод мінімального елемента; метод Фогеля; симплекс-метод, дельта-метод; метод потенціалів; мережний метод.

Кожний з перерахованих методів володіє певними достоїнствами і недоліками, вираженими, перш за все, в можливості використовування і трудомісткості обчислень. В даному розділі розглянуті алгоритми кожного з методів. Надалі в дипломній роботі розглядатимемо дві різних методу, які грунтуються на різному використовуванні математичного апарату: симплекс метод (вирішуваний за допомогою MS Excel) і мережний метод.

В третьому розділі була проведена оптимізація вантажоперевезень Торезського АТП 11467. В результаті дослідження було показано, що при оптимізації вантажоперевезень загальна їх вартість складе 547,7 тис. грн, а прибуток підприємства 1321,9 тис. грн. Слід зазначити, що при здійсненні оптимізації економія складе 71,35 тис. грн. в рік.

Список джерел інформації

1. Бурков В.Н., Донев Б., Енакеев А.Н. и др. Большие системы: моделирование организационных механизмов. - М.: Наука, 1989. - 246 с.

2. Бурков В.Н., Черепов В.А. Модели и методы управления организационными системами. - М.: Наука, 1994. - 270 с.

3. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. - М.: Наука, 1981. - 384 с.

4. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных систем. - М.: ИПУ РАН, 1996. - 125 с.

5. Голубков Е.П. Использование системного анализа в принятии плановых решений. - М.: Экономика, 1982. - с.

6. Денисов А.А. Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. Л.: Энергоиздат, 1982. - с.

7. Одрин В.М., Картавов С.С. Морфологический анализ систем. - Киев: Наукова думка. 1977. - с.

8. Клебанова Т.С., Забродский В.А. и др. Методы исследования операций. - Х.: ХГЭУ, 1999. - 158 с.

9. Давыдов В.Г. Исследование операций. - М.: Высш.шк., 1990. - 384 с.

10. Кузнецов Ю.П., Кузубова В.И. и др. Математическое программирование. - М.: Высш.шк., 1976. - 352 с.

11. Дубрев А.М., Мхиторян В.С. Многомерные статистические методы. - М.: Финансы и статистика. 1998. - 350 с.

12. Рейльян Я.Р. Аналитическая основа принятия управленческих решений. - М.: ФиС, - 1989. - 208 С.

13. Теория систем и методы системного анализа в управлении и связи / В.Н. Волкова, В.А. Воронов, А.А. Денисов. - М.: Радио и связь. 1983.

14. Тян Д.Б., Холод Б.І. Управління проектами. - Дніпропетровськ: ДАУ, 2000. - 224 с.

15. Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой. - М.: Экономика, 1975. - с.

16. Дадаян В.С. Моделирование народнохозяйственных процессов. - М.: экономика. 1973. - 479 с.

17. Ю.Н. Кузнецов В.И. Кузубов А.Б. Волощенко «Математическое программирование»

18. Е.Г. Гольштейн Д.Б. Юдин «Задачи линейного программирования транспортного типа»

19. В.С. Немчинолова «Методы и алгоритмы решения транспортной задачи»

20. Ю.Н. Кузнецов «Линейного программирования «

21. Закон України «Про охорону праці», листопад 2002 р.

22. ГОСТ 12.0.003 - 74 ССБТ. Опасные и вредные производственные факторы. Классификация. - Введ. 01.01.76.

23. ГОСТ 12.1.005-88 ССБТ. Общие санитарно-гигиенические требования к воздуху рабочей зоны. - Введ. 01.01.89.

24. СНиП 2.04.05-91 Нормы проектирования. Отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха. - М.: Стройиздат, 1991

25. ДБН В.2.5-28-2006 Природне і штучне освітлення. К.: Мінбуд. Укр., 2006. - 74 с.

26. ГОСТ 12.1.003-83* ССБТ. Шум. Общие требования безопасности.

27. ГОСТ 12.1.002-84 ССБТ. Электрические поля промышленной частоты. Допустимые уровни напряжённости на рабочих местах.

28. ГОСТ 12.1.045-84 ССБТ. Электростатические поля. Допустимые уровни на рабочих местах и требования к проведению контроля.

29. ГОСТ 17.1.3.03-77*. Правила выбора и оценка качества источников централизованного хозяйственно-питьевого водоснабжения. - Введ. 01.07.78.

30. НПАОП 0.00 - 1.31 - 99 Правила охорони праці під час експлуатації ЕОМ.

31. Державні санітарні правила і норми роботи з візуальними дисплейними терміналами електронно-обчислювальних машин ДСанПіН 3.3.2.007, Київ 1998.