Экономико-математические методы и модели

Построение математических моделей по определению плана выпуска изделий, обеспечивающего максимальную прибыль, с помощью графического и симплексного метода. Построение моделей по решению транспортных задач при применении метода минимальной стоимости.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид задача
Язык русский
Дата добавления 06.01.2012
Размер файла 169,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Экономико-математические методы и модели

Содержание

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Список использованной литературы

решение модель выпуск прибыль транспорт

Задача №1

Предприятие выпускает два вида продукции используя три вида ресурсов. Приняты обозначения:

А - матрица норм затрат сырья;

В - запасы ресурсов;

С - прибыль на единицу продукции

С помощью следующих данных составить математическую модель. Определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль с помощью графического метода.

Решение задачи.

Обозначим через х1 количество единиц продукции первого вида, а через x2 - количество единиц продукции второго. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему ограничений:

1*x1+3*x2<=90

4*x1+2*x2<=120

1*x1+1*x2<=40

x1,x2 >=0; - условие неотрицательности переменных.

Конечную цель решаемой задачи - получение максимальной прибыли при реализации продукции - выразим как функцию двух переменных х1 и x2. Реализация х1 единиц продукции первого вида и x2 единиц продукции второго дает соответственно 5х1 и 2x2 ден. ед. прибыли, суммарная прибыль С = 5х1 + 2x2. Условиями не оговорена неделимость единицы продукции, поэтому х1 и x2 (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами. Требуется найти такие х1 и x2, при которых функция С достигает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции С = 5х1 + 2x2 при ограничениях.

Математическая модель задачи:

Сmax = 5х1 + 2x2

Система ограничений:

1*x1+3*x2<=90

4*x1+2*x2<=120

1*x1+1*x2<=40

x1,x2 >=0; - условие неотрицательности переменных.

Решение задачи с использованием графического симплекс-метода.

Построим систему координат и проведем прямые ограничивающие область допустимых решений (ОДР), построив их, соответственно, по неравенствам системы ограничений. Чтобы построить прямую нужно знать координаты двух точек. Координаты точек прямых соответствующих неравенствам:

Неравенство

x11

x21

x12

x22

1*x1+3*x2<=90

90

0

0

30

4*x1+2*x2<=120

30

0

0

60

1*x1+1*x2<=40

40

0

0

40

Построим вектор целевой функции C(5;2). Система координат с областью допустимых решений OABCD и вектором целевой функции C приведена на рис.

Рис. График области допустимых решений.

Построим линию уровня 5x1+2x2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору C (5;2). Будем передвигать ее в направлении вектора С, в результате чего находим точку, в которой функция принимает максимальное значение - точку D. При дальнейшем перемещении она уже не будет иметь общих точек с областью допустимых решений OABCD. Точка D имеет координаты (30;0). Сmax = 5*30+2*0=150

Ответ: Для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 150 ден. ед., необходимо запланировать производство 30 ед. продукции первого вида, а продукцию второго вида не выпускать совсем.

Задача №2

Используя данные предыдущей задачи, определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль с помощью симплексного метода.

Решение задачи.

Математическая модель задачи:

Сmax = 5х1 + 2x2

Система ограничений:

1*x1+3*x2<=90

4*x1+2*x2<=120

1*x1+1*x2<=40

x1,x2 >=0; - условие неотрицательности переменных.

Решение задачи с использованием метода симплекс-таблиц.

Приведем математическую модель задачи к каноническому виду, избавившись от неравенств посредством ввода дополнительных переменных:

Целевая функция:

С max = 5*x1+2*x2+0*x3+0*x4+0*x5

Система ограничений:

1*x1+3*x2+x3=90

4*x1+2*x2+x4=120

1*x1+1*x2+x5=40

Проведем векторный анализ системы ограничений. Выберем единичные вектора, позволяющие получить систему координат и указать в ней координаты одной из вершин симплекса.

P0 - вектор свободных коэффициентов

Pi - вектор коэффициентов при переменной хi

Расширенная целевая функция:

С max = 5*x1+2*x2+0*x3+0*x4+0*x5

Вектора:

P0

P1(x1)

P2(x2)

P3(x3)

P4(x4)

P5(x5)

90

1

3

1

0

0

120

4

2

0

1

0

40

1

1

0

0

1

Базисными могут быть только единичные вектора. Базис:

Базисный вектор №1: P3(x3)

Базисный вектор №2: P4(x4)

Базисный вектор №3: P5(x5)

Заполним первую таблицу:

Базис

Коэффициенты при базисе

P0

5

2

0

0

0

P1

P2

P3

P4

P5

1

P3

0

90

1

3

1

0

0

2

P4

0

120

4

2

0

1

0

3

P5

0

40

1

1

0

0

1

С max =

0

-5

-2

0

0

0

При просмотре последней (индексной) строки среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов) находим наименьшее отрицательное число: -5 (первый столбец - ключевой).

Просматривая первый столбец таблицы (ключевой) выбираем среди положительных коэффициентов столбца тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна - 4. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка, в которой он находится ключевой;

Замещаемый базисный вектор: P4 (2-я строка)

Новый базисный вектор: P1 (1-й столбец)

Заменяем базисный вектор P4 на P1.

Строим новую таблицу, содержащую новые названия базисных переменных, для этого:

- разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.

- строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.

- в новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1.

- столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.

- строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.

- в остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы:

В результате получили новую симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному решению:

Базис

Коэффициенты при базисе

P0

5

2

0

0

0

P1

P2

P3

P4

P5

1

P3

0

60

0

2.5

1

-0.25

0

2

P1

5

30

1

0.5

0

0.25

0

3

P5

0

10

0

0.5

0

-0.25

1

С max =

150

0

0.5

0

1.25

0


Просматривая строку целевой функции (индексную), видим, что в ней нет отрицательных значений, значит, оптимальное решение получено.

Из таблицы получим значения переменных целевой функции:

x1

x2

x3

x4

x5

30

0

60

0

10

Целевая функция:

C max = 5*30+2*0

И в результате: Ответ: Для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 150 ден. ед., необходимо запланировать производство 30 ед. продукции первого вида, а продукцию второго вида не выпускать совсем (ответ совпадает с ответом, полученным графическим методом).

Задача №3

Транспортная задача открытого типа.

В регионе расположено несколько НГДУ, обеспечивающих определённые объёмы добычи нефти, которая поступает в НПЗ, расположенные в различных регионах страны и имеющие различные производственные мощности. В силу разноудалённости потребителей от НГДУ затраты на транспортировку нефти различаются.

В задаче необходимо составить план закрепления поставщиков за потребителями, который учитывает, по возможности, наиболее полное удовлетворение потребителей НПЗ и при этом обеспечивает минимальные затраты на транспортировку нефти.

Введены условные обозначения:

i - индекс НГДУ, i=1,m

m - общее число НГДУ в регионе

j - индекс НПЗ, j=1,n

n - общее число НПЗ.

Известно:

- объёмы добычи нефти в i-ом НГДУ, тыс.т.;

- потребность j-го НПЗ в нефти, тыс.т.;

- издержки на транспортировку 1000 т. нефти, тыс. руб.

180

190

110

210

200

120

490

5

7

8

4

6

9

270

7

2

5

8

6

7

380

5

4

7

6

9

8

Модель задачи. В качестве неизвестных задачи принимаются переменные , означающие объём перевозок нефти i-го НГДУ к j-му НПЗ. В качестве коэффициентов целевой функции выступают издержки на перевозку 1000 т. нефти. Целевая функция минимизируется. Модель задачи записывается в общем виде, при этом необходимо учесть, что по исходным данным задача является открытой.

Имеем транспортную задачу с избытком запасов:

аi > bj ( где i=1..m ; j=1..n ).

490+270+380>180+190+110+210+200+120

1140>1010

C max = 150;

Требуется найти такой план перевозок (X), при котором все заявки будут выполнены, а общая стоимость перевозок минимальна. Очевидно, при этой постановке задачи некоторые условия-равенства транспортной задачи превращаются в условия-неравенства, а некоторые -- остаются равенствами.

n

Xi,j ai (i=1, ... , m);

j=1

m

Xi,j = bj (j=1, ... , n).

i=1

Мы получаем следующую задачу:

х111213141516 490

х212223242526 270

х313233343536 380

х112131 = 180

х132333 = 190

х142434 = 110

х122232 = 210

х152535 = 200

х162636 = 120

хij 0 для i = 1,2,3; j = 1,2,3,4,5,6;

Кmin=5х11+7х12+8х13+4х14+6х15+9х16+7х21+2х22+5х23+8х24+6х25+7х26+5х31+4х32+7х33+ +6х34+9х35+8х36;

Решение задачи.

Данную транспортную задачу необходимо решить методом потенциалов. Поскольку по исходным данным имеем открытую задачу, то до начала её решения следует получить закрытую модель.

Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения В1, B2, ... , Bn, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения Bn+1, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками

ит+1 = аш - и ( где ш=1бюююбь ж о=1бюююбт ) б

b7 = 1140 - 1010= 130,

а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения b7 будем считать равным нулю. Введением фиктивного пункта

назначения Bn+1 с его заявкой bn+1 мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь его можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Первоначальный опорный план поставок построим на основе метода северо-западного угла:

bjai

180

190

110

210

200

120

130

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

180

190

110

10

 

 

 

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

 

 

 

200

70

 

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

 

 

 

 

130

120

130

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 7300 тыс. руб.

Решим задачу с применением метода потенциалов.

Для этого плана можно определить платежи (i и j ), так, чтобы в каждой базисной клетке выполнялось условие :

i + j = сi,j (*)

Уравнений (*) всего m + n - 1, а число неизвестных равно m + n. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно (например, равной нулю). После этого из m + n - 1 уравнений (*) можно найти остальные платежи i , j , а по ним вычислить псевдостоимости: ui,j= i + j для каждой свободной клетки.

Если оказалось, что все эти псевдостоимости не превосходят стоимостей ui,j ? сi,j ,

то план потенциален и, значит, оптимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость больше стоимости (как в нашем примере), то план не является оптимальным и может быть улучшен переносом перевозок по циклу, соответствующему данной свободной клетке. Цена этого цикла ровна разности между стоимостью и псевдостоимостью в этой свободной клетке.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

0

5

180

7

190

8

110

4

10

2

 

1

 

-7

 

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

4

9

 

11

 

12

 

8

200

6

70

5

 

-3

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

7

12

 

14

 

15

 

11

 

9

130

8

120

0

130

?i

5

7

8

4

2

1

-7

 

Мы получили в семи клетках i,j ? сi,j , теперь можно построить цикл в любой из этих клеток. Выгоднее всего строить цикл в той клетке, в которой разность i,j ? сi,j максимальна. В нашем случае для построения цикла берем клетку (3,2):

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

-130

8

 

4

+130

6

 

9

 

0

 

0

5

180

7

190

8

110

4

10

2

 

1

 

-7

 

270

7

 

2

 

5

 

8

-130

6

+130

7

 

0

 

4

9

 

11

 

12

 

8

200

6

70

5

 

-3

 

380

5

 

4

+130

7

 

6

 

9

-130

8

 

0

 

7

12

 

14

 

15

 

11

 

9

130

8

120

0

130

?i

5

7

8

4

2

1

-7

 

Теперь будем перемещать по циклу число 130, так как оно является минимальным из чисел, стоящих в клетках, помеченных знаком -. При перемещении мы будем вычитать 130 из клеток со знаком - и прибавлять к клеткам со знаком + .

После этого необходимо подсчитать потенциалы i и j и цикл расчетов повторяется:

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 6000 тыс. руб.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

-60

8

 

4

+60

6

 

9

 

0

 

0

5

180

7

60

8

110

4

140

2

 

11

 

3

 

270

7

 

2

+60

5

 

8

-60

6

 

7

 

0

 

4

9

 

11

 

12

 

8

70

6

200

15

 

7

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

-3

2

 

4

130

5

 

1

 

-1

 

8

120

0

130

?i

5

7

8

4

2

11

3

 

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

 

8

-10

4

+10

6

 

9

 

0

 

0

5

180

-2

 

8

110

4

200

2

 

2

 

-6

 

270

7

 

2

 

5

+10

8

-10

6

 

7

 

0

 

4

9

 

2

60

12

 

8

10

6

200

6

 

-2

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

6

11

 

4

130

14

 

10

 

8

 

8

120

0

130

?i

5

-2

8

4

2

2

-6

 

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 5460 тыс. руб.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

 

8

-100

4

 

6

+100

9

 

0

 

0

5

180

5

 

8

100

4

210

9

 

9

 

1

 

270

7

 

2

 

5

+100

8

 

6

-100

7

 

0

 

-3

2

 

2

60

5

10

1

 

6

200

6

 

-2

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

-1

4

 

4

130

7

 

3

 

8

 

8

120

0

130

?i

5

5

8

4

9

9

1

 

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 5390 тыс. руб.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

-100

7

 

8

 

4

 

6

+100

9

 

0

 

0

5

180

2

 

5

 

4

210

6

100

6

 

-2

 

270

7

 

2

+100

5

 

8

 

6

-100

7

 

0

 

0

5

 

2

60

5

110

4

 

6

100

6

 

-2

 

380

5

+100

4

-100

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

2

7

 

4

130

7

 

6

 

8

 

8

120

0

130

?i

5

2

5

4

6

6

-2

 

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 5090 тыс. руб.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

0

5

80

4

 

7

 

4

210

6

200

8

 

0

 

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

-2

3

 

2

160

5

110

2

 

4

 

6

 

-2

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

0

5

100

4

30

7

 

4

 

6

 

8

120

0

130

?i

5

4

7

4

6

8

0

 

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 4890 тыс. руб. Псевдостоимости ui,j = i + j для всех свободных клеток не превышают стоимостей, план оптимален.

Кmin=4890

Ответ: план закрепления поставщиков за потребителями, который учитывает, по возможности, наиболее полное удовлетворение потребителей НПЗ и при этом обеспечивает минимальные затраты на транспортировку нефти представлен ниже (Стоимость перевозок по данному плану составляет 4890 тыс. руб.):

bjai

180

190

110

210

200

120

130

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

80

 

 

210

200

 

 

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

 

160

110

 

 

 

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

100

30

 

 

 

120

130

Задача №4

Используя данные предыдущей задачи, решить транспортную задачу, построив первоначальный опорный план поставок методом минимальной стоимости.

Решение задачи.

Первоначальный опорный план поставок построим на основе метода минимальной стоимости.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

210

150

130

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

190

80

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

180

30

50

120

 

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 5040 тыс. руб.

Применяем метод потенциалов.

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

+50

9

 

0

-50

0

2

 

1

 

4

 

4

210

6

150

5

 

0

130

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

1

3

 

2

190

5

80

5

 

7

 

6

 

1

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

-50

8

 

0

+50

3

5

180

4

 

7

30

7

 

9

50

8

120

3

 

?i

2

1

4

4

6

5

0

 

bjai

180

190

110

210

200

120

130

i

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

0

5

 

4

 

7

 

4

210

6

200

8

 

0

80

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

-2

3

 

2

190

5

80

2

 

4

 

6

 

-2

 

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

0

5

180

4

 

7

30

4

 

6

 

8

120

0

50

?i

5

4

7

4

6

8

0

 

Стоимость перевозок по данному плану составляет: 4890 тыс. руб. Псевдостоимости

ui,j = i + j для всех свободных клеток не превышают стоимостей, план оптимален (стоимость совпадает с полученной стоимостью задачи №3, но план перевозок альтернативен).

Ответ: план закрепления поставщиков за потребителями, который учитывает, по возможности, наиболее полное удовлетворение потребителей НПЗ и при этом обеспечивает минимальные затраты на транспортировку нефти представлен ниже (Стоимость перевозок по данному плану составляет 4890 тыс. руб.):

bjai

180

190

110

210

200

120

130

490

5

 

7

 

8

 

4

 

6

 

9

 

0

 

210

200

80

270

7

 

2

 

5

 

8

 

6

 

7

 

0

 

190

80

380

5

 

4

 

7

 

6

 

9

 

8

 

0

 

180

 

30

120

50

Список использованной литературы

1. Ашманов С.А. Линейное программирование. - М.: Наука, 1981.

2. Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. Л.: СЗПИ, 2006

3. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. - М.: Высшая школа, 1967.

4. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1980.

5. Нит И.В. Линейное программирование. - М.: Изд-во МГУ, 1978.

6. Тарасенко Н.В. Математика-2. Линейное программирование: курс лекций. - Иркутск: изд-во БГУЭП, 2003.

7. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. - М.: Физматиз, 1963.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Типовые модели менеджмента: примеры экономико-математических моделей и их практического использования. Процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции. Определение оптимального плана производства продуктов каждого вида.

    контрольная работа [536,2 K], добавлен 14.01.2015

  • Решение задач линейного программирования с применением алгоритма графического определения показателей и значений, с использованием симплекс-метода. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП.

    контрольная работа [94,6 K], добавлен 23.04.2013

  • Определение оптимального выпуска товаров, обеспечивающего максимум прибыли. Построение модели, описывающей зависимость между факторами и объемом продажи. Нахождение нового объема продаж при измененных факторах. Вычисление неизвестных параметров модели.

    контрольная работа [279,8 K], добавлен 16.04.2013

  • Математические и программные средства моделирования при решении конкретной производственной задачи. Метод реализации задачи планирования производства и нахождение оптимального плана с помощью симплексного метода. Программа на языке программирования С.

    курсовая работа [603,8 K], добавлен 06.06.2011

  • Теоретические основы экономико-математических задач о смесях. Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей. Организационно-экономическая характеристика и технико-экономические показатели работы СПК "Родина".

    курсовая работа [66,6 K], добавлен 01.04.2011

  • Построение асимптотических логарифмических амплитудно- и фазочастотных характеристик. Расчет оптимального плана и экстремального значения функции цели с помощью симплекс-метода. Нахождение экстремума заданной функции с учетом системы ограничений.

    курсовая работа [3,2 M], добавлен 25.05.2015

  • Определение первичного опорного плана разными способами: методом северо-западного угла, методом минимальной стоимости, методом Фогеля. Перепланировка поставок с помощью метода потенциалов для каждого плана. Анализ эффективности их использования.

    контрольная работа [67,2 K], добавлен 06.11.2012

  • Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.

    реферат [91,1 K], добавлен 16.05.2012

  • Построение математической модели, максимизирующей прибыль фирмы от реализации всех сделок в виде задачи линейного программирования. Сущность применения алгоритма венгерского метода. Составление матрицы эффективности, коэффициентов затрат и ресурсов.

    контрольная работа [168,7 K], добавлен 08.10.2009

  • Сущность метода наименьших квадратов. Экономический смысл параметров кривой роста (линейная модель). Оценка погрешности и проверка адекватности модели. Построение точечного и интервального прогноза. Суть графического построения области допустимых решений.

    контрольная работа [32,3 K], добавлен 23.04.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.