Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Гетероскедастичность

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Гетероскедастичность



Содержание

1. Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена

2.Суть гетероскедастичности

3. Обнаружение гетероскедастичности

4. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности

Литература



1. Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена

Рассмотрим линейную модель множественной регрессии:

1)

2) , , , ,

Значения признака Матрица объясняющих Вектор Вектор Вектор переменных, столбцами регрессора j случайных коэфф-тов которой являются X_j ошибок регрессии

3),

В классической модели компоненты вектора возмущений некоррелированы М() = 0 при , а дисперсии компонент постоянны , ковариационная матрица возмущений

Суть обобщения регрессионной модели состоит в том, что ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными (т.о. обобщенная модель множественной регрессии отличается от классической только видом ковариационной матрицы). - положительно определенная матрица (А^Т = А и х^ТАх > 0). В классической модели множественной регрессии обычным МНК был получен вектор оценок параметров, он является несмещенной и состоятельной оценкой для . Рассмотрим ковариационную матрицу

В классической модели и К = . В качестве выборочной оценки ковариационной матрицы К была взята матрица

,

где , причем M(S²) = и = К, т.е. - несмещенная оценка К.

В обобщенной модели и К = . Если в качестве оценки матрицы К взять ту же матрицу, то , т.е. - смещенная оценка для К. Т.о., обычный МНК в обобщенной линейной регрессионной модели дает смещенную оценку ковариационной матрицы К вектора оценок параметров. Следовательно, оценка не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова. Для получения наиболее эффективной оценки ковариационной матрицы К нужно использовать оценку, получаемую так называемым обобщенным МНК.

Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора для обобщенной регрессионной модели оценка

имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Для применения обобщенного МНК надо знать ковариационную матрицу вектора возмущений , что встречается крайне редко в практике эконометрического моделирования. Если считать все n(n+1)/2 элементов матрицы неизвестными параметрами обобщенной модели (в дополнение к (р+1) параметрам регрессии), то общее число параметров превысит число наблюдений n, что сделает оценку этих параметров неразрешимой задачей.

Для практической реализации обобщенного МНК вводятся дополнительные условия на структуру матрицы .

2. Суть гетероскедастичности

В случаях, когда выполняются все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова, оценки, полученные по МНК, являются несмещенными, состоятельными и эффективными. Если распределение случайных остатков не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

Прежде всего, необходимо проверить случайный характер остатков . Для этого можно построить график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака (рис.1).

Рис. 1. Зависимость случайных остатков от теоретических значений

Если на графике нет направленности в расположении точек , то остатки представляют собой случайные величины и использование МНК оправдано.

Возможны следующие случаи (рис. 2.):

Рис. 2. Зависимость от

а) остатки не случайны;

б) остатки носят систематический характер;

в) остатки не имеют постоянной дисперсии.

В этих случаях необходимо использовать другую функцию, либо вводить дополнительную информацию.

Другой предпосылкой регрессионного анализа является предположение о постоянстве дисперсии случайного члена для всех наблюдений (гомоскедастичность).

Это значит, что для каждого значения объясняющей переменной случайные члены имеют одинаковые дисперсии.

D() = M(²) - M²() = M(²) = ² = Const для всех наблюдений

Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность (рис. 3).

Рис. 3. Примеры гетероскедастичности

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков одинакова для каждого значения х (рис. 4, рис. 5).

Рис. 4. Гомоскедастичность остатков

Рис. 5. Гетероскедастичность остатков

Наличие гетероскедастичности может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, хотя несмещенность оценок в основном зависит от соблюдения предположения о независимости остатков и величин факторов (т.е. cov(х,) = 0). Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров. В частности, невозможно использовать формулу стандартной ошибки коэффициентов S_b, предполагающей единую дисперсию остатков. При нарушении гомоскедастичности имеет место неравенство

Поэтому все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F- статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы будут неверны.

Возможные причины:

Значения переменных значительно различаются для разных наблюдений. Например, строя зависимость между государственными расходами на образование и ВВП в различных странах используем и Сингапур, и США, где 3% ВВП соответственно: 0,0096 и 5,439 (для 1980 г.) и изменения в 1% сильно отличаются.

Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов.

3. Обнаружение гетероскедастичности

Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. При этом разработано большое число различных тестов и критериев. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Тест ранговой корреляции Спирмена. Выдвигается. Ho об отсутствии гетероскедастичности случайного члена. Предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения Х, и поэтому в регрессии по МНК абсолютные величины остатков и значения Х будут коррелированны. Схема теста:

данные по Х и остатки ранжируются по Х и определяются их ранги;

коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется по формуле

,

где Di - разность между рангами Х и ;

Статистический критерий имеет распределение Стьюдента, т.к.

Если , H₀ об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена. Если в модели регрессии имеется более одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы может выполняться с использованием любой из них.

Пример: Исследуется зависимость между доходом (Х) домохозяйства и его расходом (Y) на продукты питания. Выборочные данные по 40 домохозяйствам даны в таблице.

x	25,5	26,5	27,2	29,6	35,7	38,6	39	39,3	40	41,9
y	14,5	11,3	14,7	10,2	13,5	9,9	12,4	8,6	10,3	13,9

x	42,5	44,2	44,8	45,5	45,5	48,3	49,5	52,3	55,7	59
y	14,9	11,6	21,5	10,8	13,8	16	18,2	19,1	16,3	17,5

x	61	61,7	62,5	64,7	69,7	71,2	73,8	74,7	75,8	76,9
y	10,9	16,1	10,5	10,6	29	8,2	14,3	21,8	26,1	20

x	79,2	81,5	82,4	82,8	83	85,9	86,4	86,9	88,3	89
y	19,8	21,2	29	17,3	23,5	22	18,3	13,7	14,5	27,3

Решение

1. Строим уравнение регрессии и определяем остатки

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,564649
R-квадрат	0,318828
Нормированный R-квадрат	0,300903
Стандартная ошибка	4,672041
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	388,2371	388,2371	17,786	0,0001
Остаток	38	829,4627	21,82796
Итого	39	1217,7
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	7,040019	2,322793	3,030842	0,0044	2,3378	11,742	2,3378	11,74
х	0,156883	0,037199	4,217372	0,0001	0,0816	0,2322	0,0816	0,232

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное у	Остатки
1	11,04054	3,459461
2	11,19742	0,102578
3	11,30724	3,39276
4	11,68376	-1,48376
5	12,64075	0,859253
6	13,09571	-3,19571
7	13,15846	-0,75846
8	13,20553	-4,60553
9	13,31534	-3,01534
10	13,61342	0,286578
11	13,70755	1,192448
12	13,97425	-2,37425
13	14,06838	7,431617
14	14,1782	-3,3782
15	14,1782	-0,3782
16	14,61747	1,382526
17	14,80573	3,394266
18	15,24501	3,854994
19	15,77841	0,521591
20	16,29612	1,203877
21	16,60989	-5,70989
22	16,71971	-0,61971
23	16,84521	-6,34521
24	17,19036	-6,59036
25	17,97477	11,02523
26	18,2101	-10,0101
27	18,61799	-4,31799
28	18,75919	3,040812
29	18,93176	7,16824
30	19,10433	0,895669
31	19,46516	0,334838
32	19,82599	1,374006
33	19,96719	9,032812
35	20,06132	3,438682
36	20,51628	1,483721
37	20,59472	-2,29472
38	20,67316	-6,97316
39	20,8928	-6,3928
40	21,00262	6,297383

2. Значения х_i уже упорядочены по возрастанию, поэтому определяем ранги х_i и ранги соответствующих остатков.

х	ABS(e)	ранг х	ранг е	D
25,5	3,459461	1	26	-25
26,5	0,102578	2	1	1
27,2	3,39276	3	23	-20
29,6	1,48376	4	15	-11
35,7	0,859253	5	8	-3
38,6	3,195708	6	21	-15
39	0,758461	7	7	0
39,3	4,605526	8	29	-21
40	3,015344	9	19	-10
41,9	0,286578	10	2	8
42,5	1,192448	11	10	1
44,2	2,374253	12	17	-5
44,8	7,431617	13	37	-24
45,5	3,378201	14	22	-8
45,5	0,378201	15	4	11
48,3	1,382526	16	13	3
49,5	3,394266	17	24	-7
52,3	3,854994	18	27	-9
55,7	0,521591	19	5	14
59	1,203877	20	11	9
61	5,70989	21	30	-9
61,7	0,619708	22	6	16
62,5	6,345214	23	32	-9
64,7	6,590357	24	34	-10
69,7	11,02523	25	40	-15
71,2	10,0101	26	39	-13
73,8	4,317994	27	28	-1
74,7	3,040812	28	20	8
75,8	7,16824	29	36	-7
76,9	0,895669	30	9	21
79,2	0,334838	31	3	28
81,5	1,374006	32	12	20
82,4	9,032812	33	38	-5
82,8	2,729942	34	18	16
83	3,438682	35	25	10
85,9	1,483721	36	14	22
86,4	2,294721	37	16	21
86,9	6,973162	38	35	3
88,3	6,392799	39	33	6
89	6,297383	40	31	9

3. Определяем коэффициент корреляции Спирмена и t-статистику

4. Т.к. t_кр(0,05;38)=2,021 < , то гетероскедастичность доказана.

Метод Голдфелда-Квандта. При проведении проверки по этому тесту предполагается, что стандартное отклонение случайного члена пропорционально значению независимой переменной Х. Схема теста:

все n наблюдений упорядочиваются по возрастанию переменной Х;

оцениваются отдельные регрессии для первых m и для последних m наблюдений. Средние (n-2m) наблюдений отбрасываются ();

составляется статистика , где S₁, S₂ - суммы квадратов остатков для первых и последних наблюдений;

Если , Ho об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (если обратно пропорционально Х, то ).

Пример. Воспользуемся условием предыдущего примера и определим наличие гетероскедастичности остатков с помощью теста Голдфелда-Квандта.

Решение.

1) Упорядоченные по возрастанию х данные х_i и у_i разбиваются на три приблизительно равные части. Для первой и последней строятся уравнения регрессии и рассчитывается F-статистика.

1-я часть 2-я часть

х	у		x	y
25,5	14,5		73,8	14,3
26,5	11,3		74,7	21,8
27,2	14,7		75,8	26,1
29,6	10,2		76,9	20
35,7	13,5		79,2	19,8
38,6	9,9		81,5	21,2
39	12,4		82,4	29
39,3	8,6		82,8	17,3
40	10,3		83	23,5
41,9	13,9		85,9	22
42,5	14,9		86,4	18,3
44,2	11,6		86,9	13,7
44,8	21,5		88,3	14,5
45,5	10,8		89	27,3

линейный множественный регрессия гетероскедастичность

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,11
R-квадрат	0,012
Нормированный R-квадрат	-0,07
Стандартная ошибка	3,335
Наблюдения	14
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,6285	1,628	0,146	0,7087
Остаток	12	133,5	11,12
Итого	13	135,12
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	10,87	4,926	2,206	0,048	0,1351	21,6	0,135078	21,60065
х	0,05	0,1304	0,383	0,709	-0,234	0,334	-0,23415	0,3339

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,039
R-квадрат	0,002
Нормированный R-квадрат	-0,082
Стандартная ошибка	4,992
Наблюдения	14
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	0,4598	0,46	0,018	0,8942
Остаток	12	299,09	24,92
Итого	13	299,55
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	23,63	22,15	1,067	0,307	-24,63	71,89	-24,6287	71,89183
x	-0,037	0,27	-0,136	0,894	-0,625	0,552	-0,62485	0,551522

2) Т.к. , то нет оснований отвергать Н₀ об отсутствии гетероскедастичности.

Тест Глейзера

Тест Глейзера основывается на более общих представлениях о зависимости стандартной ошибки случайного члена от значений объясняющей переменной. Предположение о пропорциональности и Х снимаем и хотим проверить, может ли быть более подходящей какая-либо другая функциональная форма, например, . Чтобы использовать этот метод:

оценивают регрессию Y по Х и вычисляют - абсолютные значения остатков;

оценивают регрессию по для нескольких значений :

;

если Н₀: b = 0 отклоняется (т.е. b значим), то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена.

Если при оценивании более чем одной функции получается значимая оценка b, то ориентиром при определении характера гетероскедастичности может служить лучшая из них.

Пример. Воспользуемся расчетами предыдущего примера и проверим наличие гетероскедастичности с помощью теста Глейзера.

Решение

1) Рассчитаем уравнения регрессии е_i от при



х	ABS(e)	x^(-1)	x^(-0,5)	x^0,5	x^1,5
25,5	3,459461	0,039216	0,19803	5,049752	128,7687
26,5	0,102578	0,037736	0,194257	5,147815	136,4171
27,2	3,39276	0,036765	0,191741	5,215362	141,8578
29,6	1,48376	0,033784	0,183804	5,440588	161,0414
35,7	0,859253	0,028011	0,167365	5,974948	213,3056
38,6	3,195708	0,025907	0,160956	6,21289	239,8175
39	0,758461	0,025641	0,160128	6,244998	243,5549
39,3	4,605526	0,025445	0,159516	6,268971	246,3706
40	3,015344	0,025	0,158114	6,324555	252,9822
41,9	0,286578	0,023866	0,154487	6,473021	271,2196
42,5	1,192448	0,023529	0,153393	6,519202	277,0661
44,2	2,374253	0,022624	0,150414	6,648308	293,8552
44,8	7,431617	0,022321	0,149404	6,69328	299,859
45,5	3,378201	0,021978	0,14825	6,745369	306,9143
45,5	0,378201	0,021978	0,14825	6,745369	306,9143
48,3	1,382526	0,020704	0,143889	6,94982	335,6763
49,5	3,394266	0,020202	0,142134	7,035624	348,2634
52,3	3,854994	0,01912	0,138277	7,231874	378,227
55,7	0,521591	0,017953	0,13399	7,463243	415,7026
59	1,203877	0,016949	0,130189	7,681146	453,1876
61	5,70989	0,016393	0,128037	7,81025	476,4252
61,7	0,619708	0,016207	0,127309	7,854935	484,6495
62,5	6,345214	0,016	0,126491	7,905694	494,1059
64,7	6,590357	0,015456	0,124322	8,043631	520,4229
69,7	11,02523	0,014347	0,11978	8,348653	581,9011
71,2	10,0101	0,014045	0,118511	8,438009	600,7863
73,8	4,317994	0,01355	0,116405	8,590693	633,9931
74,7	3,040812	0,013387	0,115702	8,642916	645,6258
75,8	7,16824	0,013193	0,114859	8,70632	659,939
76,9	0,895669	0,013004	0,114035	8,769265	674,3564
79,2	0,334838	0,012626	0,112367	8,899438	704,8355
81,5	1,374006	0,01227	0,11077	9,027735	735,7604
82,4	9,032812	0,012136	0,110163	9,077445	747,9814
82,8	2,729942	0,012077	0,109897	9,099451	753,4345
83	3,438682	0,012048	0,109764	9,110434	756,166
85,9	1,483721	0,011641	0,107896	9,268225	796,1406
86,4	2,294721	0,011574	0,107583	9,29516	803,1018
86,9	6,973162	0,011507	0,107273	9,322017	810,0833
88,3	6,392799	0,011325	0,106419	9,396808	829,7381
89	6,297383	0,011236	0,106	9,433981	839,6243
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,347879
R-квадрат	0,12102
Нормированный R-квадрат	0,097889
Стандартная ошибка	2,732943
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	39,07716	39,07716	5,23193	0,027833
Остаток	38	283,8211	7,468976
Итого	39	322,8983
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	8,7119	2,294002	3,797686	0,000512	4,067936	13,35586
x^(-0,5)	-37,7515	16,50452	-2,28734	0,027833	-71,1631	-4,33981
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,35414
R-квадрат	0,125415
Нормированный R-квадрат	0,1024
Стандартная ошибка	2,726101
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	40,49641	40,49641	5,449198	0,024963
Остаток	38	282,4019	7,431628
Итого	39	322,8983
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-2,15816	2,486641	-0,8679	0,390897	-7,1921	2,875785
x^0,5	0,754429	0,323186	2,334352	0,024963	0,100174	1,408685



ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,351385
R-квадрат	0,123472
Нормированный R-квадрат	0,100405
Стандартная ошибка	2,729129
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	39,8688	39,8688	5,35285	0,026194
Остаток	38	283,0295	7,448144
Итого	39	322,8983
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	0,58244	1,356838	0,429263	0,670156	-2,16433	3,329215
х	0,050274	0,02173	2,313623	0,026194	0,006285	0,094263
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,345728
R-квадрат	0,119528
Нормированный R-квадрат	0,096358
Стандартная ошибка	2,735261
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	38,59537	38,59537	5,158668	0,02888
Остаток	38	284,3029	7,481655
Итого	39	322,8983
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	1,504832	1,002367	1,501278	0,141548	-0,52435	3,534019
x^1,5	0,004324	0,001904	2,27127	0,02888	0,00047	0,008178



ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,338157
R-квадрат	0,11435
Нормированный R-квадрат	0,091044
Стандартная ошибка	2,743292
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	36,92349	36,92349	4,906351	0,032827
Остаток	38	285,9748	7,525652
Итого	39	322,8983
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	5,973455	1,173304	5,091141	9,98E-06	3,598226	8,348684
x^(-1)	-124,996	56,43102	-2,21503	0,032827	-239,235	-10,7577

2) Т.к. коэффициент b статистически значим во всех уравнениях, то гетероскедастичность доказана. Наилучший коэффициент детерминации (R² = 0,1254) при , поэтому примем зависимость:

(см. далее).

Тест Парка

Тест относится к формализованным тестам гетероскедастичности. Предполагается, что дисперсия остатков связана со значениями факторов функцией

Данная регрессия строится для каждого фактора в условиях многофакторной модели. Проверяется значимость коэффициента регрессии b по t-критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии окажется статистически значимым, то, следовательно, имеет место гетероскедастичность.

Пример. По данным предыдущего примера построим регрессию

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,343033
R-квадрат	0,117672
Нормированный R-квадрат	0,094453
Стандартная ошибка	2,097694
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	22,30024	22,30024	5,067869	0,030238
Остаток	38	167,2121	4,400319
Итого	39	189,5124
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-6,49359	3,634358	-1,78672	0,081962	-13,851	0,863782
lnx	2,027965	0,90084	2,251193	0,030238	0,204309	3,851621

Так как коэффициент регрессии статистически значим, то гетероскедастичность доказана.

Тест Уайта. Предполагается, что дисперсия ошибок регрессии представляет собой квадратичную функцию от значений факторов, т.е. при наличии одного фактора , или при р факторах

.

О наличии или отсутствии гетероскедастичности остатков судят по величине F-критерия Фишера. Если фактическое значение критерия выше табличного, то, следовательно, существует корреляционная связь дисперсии ошибок от значений факторов, и имеет место гетероскедастичность остатков.

Пример. Определим квадратичную функцию для нашего примера

Пусть х₁ = х, х₂ = х², построим уравнение множественной регрессии

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,353257
R-квадрат	0,12479
Нормированный R-квадрат	0,077482
Стандартная ошибка	27,61916
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	4024,315	2012,157	2,637794	0,084932
Остаток	37	28224,27	762,8181
Итого	39	32248,59
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-38,76	44,00045	-0,8809	0,384058	-127,913	50,39338
х	1,674985	1,618236	1,035069	0,307355	-1,60387	4,953843
х^2	-0,01017	0,013621	-0,74683	0,459886	-0,03777	0,017426

Так как уравнение статистически не значимо по F-критерию, то гетероскедастичность остатков отсутствует.

4. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности

При наличии гетероскедастичности и величина K_i может меняться от одного значения фактора к другому. При наличии гетороскедастичности вместо обычного МНК используют обобщенный МНК (взвешенный). Суть метода заключается в уменьшении вклада данных наблюдений, имеющих большую дисперсию в результате расчета.

1 случай. Если дисперсии возмущений известны , то гетероскедастичность легко устраняется. Вводят новые переменные:

; ; ,

Регрессионная модель в векторной форме

(*) /:

, .

При этом

,

т.е. модель гомоскедастична.

2 случай. Если дисперсии возмущений неизвестны, то делают реалистические предположения о значениях .



Например:

а) дисперсии пропорциональны x_i: . Уравнение регрессии (*) делят

- на - в случае одной переменной; - на - в случае множественной регрессии.

б) дисперсии пропорциональны , т.е.

,

Уравнение регрессии (*) делят на х_i.

Пример. Воспользовавшись характером зависимости, полученным при использовании теста Глейзера

, разделим обе части уравнения на

Уравнение регрессии примет вид

.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,964
R-квадрат	0,929
Нормированный R-квадрат	0,927
Стандартная ошибка	5,502
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	15105	15105	498,9	2E-23
Остаток	38	1150,5	30,28
Итого	39	16255
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-1,408	1,0935	-1,288	0,206	-3,622	0,806
x/e	0,337	0,0151	22,34	2E-23	0,3064	0,367

Получены новые оценки параметров линейного уравнения, в котором смягчена гетероскедастичность.



Литература

1. Айвазян С.А., Иванова С.С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С.А. Айвазян, С.С. Иванова. - М.: Маркет ДС, 2007. - 104 с.

2. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. - Мн.: БГУ, 2009. - 354 с.

3. Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 480 с.

4. Доугерти Кристофер. Введение в эконометрику: Учебник для экон. спец. вузов / Пер. с англ. Е.Н. Лукаш и др. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 402 с.

5. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 352 с.

6. Дуброва Т.А. Прогнозирование социально-экономических процессов. Статистические методы и модели: учеб. пособие / Т.А. Дуброва. - М.: Маркет ДС, 2007. - 192 с.

Размещено на Allbest.ru