Проверка адекватности выбранных моделей

10

Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу ( в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

(1)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (y_t) от выравненных, расчетных (y_t):

(2)

При использовании кривых роста y_t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e_t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе 1, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения авто корреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, Т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

d = (3)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d? 2(1-r₁)

где r₁- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е₁, е₂, ... ,е_n-1 и е₂, е₃,…,e_n).Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная авто корреляция ( r₁?1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r₁?-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r?0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1; 2,5; и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина- Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице. В этой таблице d₁ и d₂ - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина- Уотсона; k¹ - число переменных в модели; n- длина ряда.

Таблица.

Значение критерия Дарбина- Уотсона d₁ и d₂ при 5% уровне значимости

Применение на практике критерия Дарбина- Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (3), с теоретическими значениями d₁ и d₂ , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнеии величины d с d₁ и d₂ возможны следующие варианты:

1) Если d<d_1, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) Если d>d₂ , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

3) Если d₁?d?d₂, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности" .

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e_t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d_j и d₂ сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство

нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

А= (4)

Э= (5)

у_a= (7)

где А- выборочная характеристика асимметрии;

Э- выборочная характеристика экцесса;

у_А- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

у_Э- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики экцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

|А|<1,5у_А; | |<1,5у_Э (8)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|А|?2у_А; |Э+| ?2у (9)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Классификация прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, их компонентный состав

1. Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице:

курс акции (Дол.)

t Yt t Yt t Yt t Yt

1 509 6 515 11 517 16 510

2 507 7 520 12 524 17 516

3 508 8 519 13 526 18 518

4 509 9 512 14 519 19 524

5 518 10 511 15 514 20 521

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами:

а) с помощью метода Фостера - Стюарта;

б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2. Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки.

3. Годовые данные об изменении урожайности зерновых культу; представлены в таблице. С помощью критерия "восходящих и нисходящих" серий проверить утверждение о том, что в изменении урожайности имеется тенденция.

Урожайность зерновых культур (ц/га)

Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение

1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта представлены в таблице 1.

1) Если уровень y_t больше всех предшествующих уровней, то в графе m_t ставим 1, если y_t меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе l_t;

2) Определяем d_t=m_t-1_t для t=2ч20;

3) D = =3;

4) Значение у_d для n=20 берем из таблицы 1.2.

у_d =2,279.

Значение t_кp берем из таблицы t- распределения Стьюдента:

t_кp (а=О,05; К=19)=2,093; t_H ==1,316.

T_H< T_kр нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда.

С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует.

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.4.

Таблица 1

Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 2

1) от исходного ряда y_t переходим к ранжированному y_t^', расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2) Т.к. n=20 (четное)

Медиана

М_е = =516,5;

3) Значение каждого уровня исходного ряда y_t сравнивается со значением медианы. Если y_t >М_е, то д_i принимает значение «+», если меньше, то «-»;

4) v (20)=8- число серий;

_max (20)=4- протяженность самой большой серии.

В соответствии делаем проверку:

_max (20)<[3,3(lg20+1)]

v(20)>[(20+1-1.96)]

4<7

8>6

Оба неравенства выполняются. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера-Стюарта.

Таблица 3

Вспомогательные вычисления в задании

В графе д ставим «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» - если меньше. Определим v (21)=8 - число серий.

_max (21)=6 - протяженность самой большой серии. Табличное значение

₀ (21)=5. В соответствии делаем проверку:

V(21)>[ ]

_max (21)? ₀(21)

8>10

6?5

Т.к. оба неравенства не выполняются, то делаем выводы: во временном ряду урожайности имеется тенденции.