Лінійна регресія

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМІСТ

• Задача 1. Парна лінійна регресія
• Задача 2. Нелінійна регресія для функції з однією змінною
• Задача 3. Багатофакторна лінійна регресія
• Література

Задача 1. Парна лінійна регресія

На фірмі ТОВ «Зірка Кривбасу», яка має достатньо велику кількість торгових точок, розглядається можливість збільшення торгівельної площі, за рахунок чого фірма розраховує збільшити товарооборот.

Для вирішення цього питання, менеджерам фірми необхідно виконати економетричне дослідження, метою якого є визначення кількісного зв'язку між торгівельною площею і товарооборотом.

Дані вибіркових статистичних спостережень за означеними показниками наведені у таблиці 1.1.

Таблиця 1.1

Вихідні дані

№ торгівельного підприємства	Торгова площа (м2)	Товарооборот (тис. грн.),
	х	y
1	268,40	580,50
2	351,00	700,00
3	369,50	832,00
4	423,50	859,10
5	452,00	1 078,00
6	531,60	1 095,30
7	583,20	1 141,30
8	630,50	1 374,00
9	676,20	1 390,60
10	755,00	1 441,30

Необхідно:

1. Виконати специфікацію економетричної моделі, яка описує залежність обсягів продажу (товарообороту) під торгової площі (побудувати діаграму розсіювання, обґрунтувати можливість використання лінійної функції для економетричної моделі і ввести умовні позначення). Записати загальну лінійну (теоретичну) модель, вибіркову і рівняння регресії.

2. Визначити оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів і дати їм економічну інтерпретацію.

3. Визначити товарооборот для прогнозного значення торгової площі х_пр.=770 м².

4. Перевірити загальну адекватність моделі та значимість параметрів моделі і вибіркового коефіцієнта парної кореляції побудованої економічної моделі статистичним даними для рівня значимості .

5. Побудувати інтервали довіри та визначити середній коефіцієнт еластичності, дати їм економічну інтерпретацію.

6. Зробити відповідні висновки.

Рішення

Спочатку за фактичними даними таблиці встановимо належність змінних до груп незалежних та залежних: очевидно, що за незалежні змінні х приймається торгова площа, а за залежну (результативну) y - товарооборот.

Виконаємо специфікацію економетричної моделі, яка описує залежність товарообороту Y від торгової площі Х, для чого побудуємо діаграму розсіювання, показавши точками на рисунку дані таблиці.

Рис. 1.1 Діаграма розсіювання

Як видно з рисунку 1.1, розміщення точок відповідає лінійній залежності для парної (зв'язок із залежною змінною y здійснюється з одним видом незалежних х) регресії.

Запишемо загальну (теоретичну) модель:

(1.1)

де , - параметри функції;

- стохастична складова.

Але для того, щоб визначити теоретичні значення параметрів ?_і, необхідно знати всі значення змінних генеральної сукупності, а це практично неможливо, тому запишемо емпіричну (вибіркову) модель:

(1.2)

де b₀, b₁ - оцінки параметрів , ;

е - оцінка стохастичної складової.

Тобто рівняння регресії матиме вигляд:

(1.3)

Для визначення оцінок параметрів моделі методом найменших квадратів побудуємо розрахункову таблицю 1.1

Таблиця 1.1

Розрахункові дані для визначення оцінок моделі лінійної регресії

№	хі	yi	хі2	хіyi	yі2	yі	еі2=(yi-yі)2	(yі-уср.)2
1	268,40	580,50	72 038,56	155 806,20	336 980,25	609,729	854,3489	193 143,3322
2	351,00	700,00	123 201,00	245 700,00	490 000,00	763,750	4 064,0403	81 487,5111
3	369,50	832,00	136 530,25	307 424,00	692 224,00	798,246	1 139,3352	62 982,9493
4	423,50	859,10	179 352,25	363 828,85	738 052,81	898,937	1 587,0168	22 581,8604
5	452,00	1 078,00	204 304,00	487 256,00	1 162 084,00	952,080	15 855,8279	9 434,2227
6	531,60	1 095,30	282 598,56	582 261,48	1 199 682,09	1 100,507	27,1096	2 631,3498
7	583,20	1 141,30	340 122,24	665 606,16	1 302 565,69	1 196,723	3 071,7011	21 760,0644
8	630,50	1 374,00	397 530,25	866 307,00	1 887 876,00	1 284,921	7 935,0407	55 559,7483
9	676,20	1 390,60	457 246,44	940 323,72	1 933 768,36	1 370,136	418,7782	102 993,4524
10	755,00	1 441,30	570 025,00	1 088 181,50	2 077 345,69	1 517,071	5 741,2166	218 893,7432
Всього	5 040,90	10492,10	2 762 948,55	5 702 694,91	11 820 578,89	10 492,10	40 694,4153	771 468,2337
Середнє	504,09	1 049,21	276 294,86	570 269,49	1 182 057,89	1 049,21	4 069,4415	77 146,8234

Побудуємо рівняння лінійної регресії , розрахувавши коефіцієнти b₀, b₁ методом найменших квадратів (1МНК). Значення оцінок при цьому визначаються за наступною залежністю:

,(1.4)

або

(1.5)(1.6)

Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд: .

Коефіцієнт b₁ при незалежній змінній х показує, на скільки зміниться в середньому величина y при зміні фактора х на 1 одиницю виміру; в даному випадку товарооборот зросте на 1,8647 тис. грн. (1 864,7 грн.), якщо торгова площа магазину збільшиться на 1 м².

Вільний член b₀ рівняння регресії визначає прогнозоване значення y при величині торгової площі х, що дорівнює нулю (тобто, наприклад, торгівля зі складу тощо.). В даному разі ця величина дорівнює 109,256 тис. грн. Цей факт можна пояснити тим, що фірма ТОВ «Зірка Кривбасу» може вести торгівлю, навіть не маючи власних торгових точок, тобто займатися постачанням товару торговим точкам, які їй не належать (оптова торгівля).

Розрахуємо вибірковий коефіцієнт парної кореляції r_yх, який розраховується за формулою:

(1.7)

де - вибіркові дисперсії для кожної змінної, які розраховуються за формулами:

(1.8)

(1.9)

- вибіркова коваріація, яка розраховується за формулою:

(1.10)

або 97,46%

Коефіцієнт кореляції показує, наскільки значним є вплив змінної х_і на y_i, чим ближчий коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніше зв'язок між незалежною та залежною змінними. В нашому випадку обсяг товарообороту (залежна змінна у) на 97,46% залежить від площі торгової точки (незалежної змінної х), при цьому ця залежність є прямою, тобто при зростанні площі торгової точки збільшується і обсяг товарообороту.

Також обчислимо коефіцієнт детермінації R² за формулою:

(1.11)

Отримане значення коефіцієнту детермінації вказує на те, що величина площі торгових точок фірми „Зірка Кривбасу” на 94,99% визначає варіацію (мінливість) його обсягу товарообороту.

Для перевірки статистичної адекватності моделі розрахуємо критерій Фішера через відоме значення коефіцієнта детермінації R² для рівня значимості за формулою:

(1.12)

де m - кількість незалежних змінних економетричної моделі.



Порівняємо отримане значення F-критерію Фішера з табличним з V₁=m=1 та V₂=n-k=n-m-1=10-2=8 ступенями свободи (де k - кількість параметрів економетричної моделі) та рівнем значимості , яке дорівнює 5,318

Тобто на підставі того, що F_расч.>F_крит. (151,6608>5,318), робимо висновок про адекватність моделі, тобто гіпотеза про випадкову природу оцінюваних характеристик відхиляється і можливо визнати її статистичну значимість та надійність.

Тепер оцінимо статистичну значимість коефіцієнтів b₁ та b₀ знайденого рівняння регресії за критерієм Стьюдента для рівня значимості :

(1.13)(1.14)

де та - оцінки середніх квадратичних відхилень параметрів b₀ та b₁.

Для чого спочатку побудуємо дисперсійно-коваріаційну матрицю:

(1.15)

де

- оцінка дисперсії випадкової складової моделі

де k=m+1 - кількість параметрів моделі (m - кількість незалежних змінних (факторів) моделі).

Знайдемо розрахункові значення показника за рівнянням регресії і занесемо до таблиці (табл. 1.1).

Розрахуємо оцінку дисперсії випадкової складової моделі

,

тобто , а .

Звідки маємо:

.

Знайдемо t_крит. для рівня значимості та df=10-k=10-2=8 за таблицею: t_крит.=t_?/2=.

Так як (1,3728<2,306), то цей параметр моделі двофакторної лінійної регресії є незначущим, тобто цей параметр лінійної регресії не впливає суттєво на змінювання регресанда у (обсяг товарообороту фірми).

Так як (12,3151>2,306), то незалежна змінна х (площа торгових точок) моделі парної лінійної регресії є значимою, тобто вона сформувалася під впливом систематично діючого фактору і суттєво впливає на змінювання регресанда у (обсяг товарообороту фірми)

Виконаємо t-тестування вибіркового коефіцієнта парної кореляції r_yx.

Розрахункове значення t-статистики визначимо за формулою:

(1.16)

Отримане (12,315>2,306), тобто знайдений вибірковий коефіцієнт кореляції моделі парної лінійної достовірний (значущий), а зв'язок між залежною змінною у (обсяг товарообороту) та незалежним фактором х (площа торговельних точок) суттєвий.

Для парної лінійної моделі обидва способи перевірки значимості з використанням F- і t-кpитepіїв рівнозначні, тому що ці критерії пов'язані співвідношенням:

(1.17)

Таким чином, розрахунки виконано вірно.

Визначимо товарооборот для прогнозного значення торгової площі х_пр.=770 м².

Отже, обсяг товарообороту для прогнозного значення торгової площі, яке дорівнює 770 м², становить 1 545,041 тис. грн.

Побудуємо інтервали довіри для індивідуального значення обсягу товарообороту та визначимо середній коефіцієнт еластичності.

Визначимо мінімальні та максимальні значення товарообороту за допомогою інтервалу довіри для індивідуальних значень незалежної змінної х_і, для вихідних статистичних даних та прогнозного значення товарообороту:

,(1.18)

де - табличне значення t-критерію Ст'юдента для рівня значимості /2=0,025;

S - середня залишкова сума квадратів з урахування ступенів свободи:

,(1.19)

де m - кількість факторів (незалежних змінних) регресії;

D - виправлена дисперсія (незміщена оцінка генеральної дисперсії) для змінної х (використовується при n<30):

,(1.20)

Отже, при отримуємо:



Таблиця 1.2

Розрахункові дані для визначення інтервалу довіри лінійної регресії

№	хі	yi	yі	еі2=(yi-yі)2	(хі-хср.)2		yі-min	yі+max
1	268,40	580,50	609,729	854,3489	55 549,7761	93,808	515,921	703,537
2	351,00	700,00	763,750	4 064,0403	23 436,5481	72,639	691,111	836,389
3	369,50	832,00	798,246	1 139,3352	18 114,4681	68,502	729,744	866,748
4	423,50	859,10	898,937	1 587,0168	6 494,7481	58,460	840,477	957,398
5	452,00	1 078,00	952,080	15 855,8279	2 713,3681	54,797	897,283	1 006,877
6	531,60	1 095,30	1 100,507	27,1096	756,8001	52,802	1 047,705	1 153,308
7	583,20	1 141,30	1 196,723	3 071,7011	6 258,3921	58,238	1 138,485	1 254,961
8	630,50	1 374,00	1 284,921	7 935,0407	15 979,4881	66,770	1 218,151	1 351,691
9	676,20	1 390,60	1 370,136	418,7782	29 621,8521	77,169	1 292,967	1 447,305
10	755,00	1 441,30	1 517,071	5 741,2166	62 955,8281	98,044	1 419,027	1 615,114
Всього	5 040,90	10 492,10	10 492,10	40 694,4153	221 881,2690	-	-	-
Середнє	504,09	1 049,21	1 049,21	4 069,4415	22 188,1269	-	-	-
Прогноз	770,00	-	1 545,041	-	-	102,289	1 442,751	1 647,330

Побудуємо графік, на який нанесемо точки вибірки (x_i,y_i) та пряму регресії і точку (x_n+1; y_n+1), а також лінії інтервалу довіри .

На основі отриманої моделі визначимо середній коефіцієнт еластичності за наступною формулою:

(1.21)

Отримане значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг товарообороту (у) зміниться на 0,898% при зміні величини торгової площі (х) на 1%.

Рис. 1.2 Лінія лінійної регресії та інтервал довіри для індивідуальних значень обсягу товарообороту

В даному випадку, так як , то зміни відбуватимуться в одному напрямку, тобто при збільшенні величини торгової площі на 1% обсяг товарообороту зросте на 0,896%; при зменшенні торгової площі на 1% товарооборот знизиться на 0,896%.

Розглянувши можливість збільшення торгівельної площі, за рахунок якої фірма «Зірка Кривбасу» розраховує збільшити товарооборот, було проведено специфікацію економетричної моделі, внаслідок чого було отримано рівняння лінійної регресії з вибірковим коефіцієнтом парної кореляції

Вибірковий коефіцієнт парної кореляції вказує, що обсяг товарообороту (залежна змінна у) на 97,46% залежить від площі торгової точки (незалежної змінної х).

Виконавши t-тестування вибіркового коефіцієнта парної кореляції r_yx, було визначено, що знайдений вибірковий коефіцієнт кореляції моделі парної лінійної регресії достовірний (значущий), а зв'язок між залежною змінною у (обсяг товарообороту) та незалежним фактором х (площа торговельних точок) є суттєвим.

Отримане значення коефіцієнту детермінації вказує на те, що величина площі торгових точок ТОВ „Зірка Кривбасу” на 94,99% визначає варіацію його обсягу товарообороту.

Обсяг товарообороту для прогнозного значення торгової площі, яке дорівнює 770 м², становить 1 545,041 тис. грн.

Отримане значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг товарообороту (у) зміниться на 0,896% при зміні величини торгової площі (х) на 1%.

В результаті порівняння стандартних помилок оцінок параметрів моделі з величиною цих оцінок можемо зробити висновок, що стандартна помилка оцінки параметру b₀ (79,5882) становить 72,8% абсолютного значення цієї оцінки (109,2556), що свідчить про істотну зміщеність даної оцінки параметру моделі. Стандартна помилка оцінки параметру b₁ (0,1514) становить 8,11% (трохи більше за 5%) абсолютного значення цієї оцінки (1,8647), а це означає, що даний параметр має незначне зміщення, яке зумовлюється невеликою сукупністю спостережень (n=10).

Задача 2. Нелінійна регресія для функції з однією змінною

На фірмі ТОВ «Зірка Кривбасу», яка має достатньо велику кількість торгових точок, розглядається можливість збільшення торгівельної площі, за рахунок чого фірма розраховує збільшити товарооборот. Для вирішення цього питання, менеджер висунув гіпотезу нелінійного зв'язку між торгівельною площею і товарооборотом. Дані вибіркових статистичних спостережень приймаються з першої задачі.

Таблиця 2.1

Вихідні дані

№ торгівельного підприємства	Торгова площа (м2)	Товарооборот (тис. грн.)
	х	y
1	268,40	580,50
2	351,00	700,00
3	369,50	832,00
4	423,50	859,10
5	452,00	1 078,00
6	531,60	1 095,30
7	583,20	1 141,30
8	630,50	1 374,00
9	676,20	1 390,60
10	755,00	1 441,30

Необхідно:

1. Виконати специфікацію економетричної моделі, яка описує залежність обсягів продажу (товарооборот) від торгової площі (побудувати діаграму розсіювання, обґрунтувати можливість використання нелінійної функції для економетричної моделі і ввести умовні позначення). Записати нелінійну (теоретичну) модель, вибіркову і рівняння регресії .

2. Визначити оцінки параметрів за допомогою матриці.

3. Визначити товарооборот для прогнозного значення торгової площі х_пр.=770 м².

4. Побудувати інтервали довіри та визначити середній коефіцієнт еластичності, дати їм економічну інтерпретацію.

5. Зробити відповідні висновки.

Рішення

Виконаємо специфікацію економетричної моделі, яка описує залежність обсягу товарообороту від розміру торгової площі, для чого побудуємо діаграму розсіювання, показавши точками на рисунку дані таблиці.

Як видно з рисунку 2.1, розміщення точок може відповідати і нелінійній залежності для парної (зв'язок із залежною змінною y здійснюється з одним видом незалежних х) регресії.

Рисунок 2.1 Діаграма розсіювання та лінія тренду

Запишемо загальну (теоретичну) модель:

(2.1)

де , - параметри функції;

- стохастична складова.

Але для того, щоб визначити теоретичні значення параметрів , необхідно знати всі значення змінних генеральної сукупності, а це практично неможливо, тому запишемо емпіричну (вибіркову) модель:

(2.2)



де b₀, b₁ - оцінки параметрів , ;

е - оцінка стохастичної складової.

Тобто рівняння регресії матиме вигляд:

(2.3)

Методом найменших квадратів виконаємо оцінювання невідомих параметрів b₀ і b₁ квадратичної моделі, замінюючи х_і=х₁, х_і²=х₂

Для визначення оцінок параметрів моделі методом найменших квадратів побудуємо розрахункову таблицю 2.1.

Для розрахунку параметрів нелінійної моделі складемо основну матрицю А та вектор (метод Гауса):

(2.4)(2.5)

Допоміжні матриці складемо по наступній схемі:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Розрахуємо детермінант (визначник) основної матриці А та допоміжних матриць D₀, D₁, D₂ за допомогою вбудованої функції МОПРЕД програми Excel пакету Microsoft Office.

Визначимо параметри моделі за формулами:

(2.9)(2.10)(2.11)

Отже, рівняння нелінійної (квадратичної) моделі регресії має вигляд:

економетричний модель товарооборот площа



Таблиця 2.2

Розрахункові дані для визначення оцінок моделі нелінійної регресії

№	x1=хі	yi	x2=хі2	x1x2=хі3	х22=хі4	х1yi=хіyi	х2yi=хі2yi	yі	(yi-yі)2	(yi-уср.)2
1	268,40	580,50	72 038,560	19 335 149,504	5 189 554 126,8736	155 806,200	41 818 384,0800	560,434	402,6605	219689,0641
2	351,00	700,00	123 201,000	43 243 551,000	15 178 486 401,0000	245 700,000	86 240 700,0000	758,766	3 453,4029	121947,6241
3	369,50	832,00	136 530,250	50 447 927,375	18 640 509 165,0625	307 424,000	113 593 168,0000	800,710	979,0538	47 180,1841
4	423,50	859,10	179 352,250	75 955 677,875	32 167 229 580,0625	363 828,850	154 081 517,9750	917,960	3 464,4741	36 141,8121
5	452,00	1 078,00	204 304,000	92 345 408,000	41 740 124 416,0000	487 256,000	220 239 712,0000	976,729	10255,8648	828,8641
6	531,60	1 095,30	282 598,560	150 229 394,496	79 861 946 114,0736	582 261,480	309 530 202,7680	1129,478	1 168,1227	2 124,2881
7	583,20	1 141,30	340 122,240	198 359 290,368	115 683 138 142,6180	665 606,160	388 181 512,5120	1219,533	6 120,4784	8 480,5681
8	630,50	1 374,00	397 530,250	250 642 822,625	158 030 299 665,0620	866 307,000	546 206 563,5000	1295,891	6 100,9441	105488,5441
9	676,20	1 390,60	457 246,440	309 190 042,728	209 074 306 892,6740	940 323,720	635 846 899,4640	1364,040	705,4399	116547,1321
10	755,00	1 441,30	570 025,000	430 368 875,000	324 928 500 625,0000	1088 181,500	821 577 032,5000	1468,559	743,0749	153734,5681
?	5040,90	10 492,10	2762948,550	1620118 138,971	1000 494 095 128,430	5702 694,910	3317315 692,7990	10492,100	33393,5162	812162,6490
Середнє	504,09	1 049,21	276294,8550	162011 813,8971	100 049 409 512,843	570 269,4910	331 731 569,2799	1 049,210	3 339,3516	81 216,2649

Коефіцієнт b₁ при незалежній змінній х_і означає, що за інших незмінних умов якщо змінна х₁ (торгова площа) збільшиться (зменшиться) на 1 кв. м, то залежна (результативна) змінна у (обсяг товарообороту) зросте (зменшиться) на 3,22113 тис. грн. (або на 3 221,13 грн.)

Аналогічно коефіцієнт b₂ при незалежній змінній х₂ (х_і²) показує, що за інших незмінних умов якщо змінна х₂ (квадрат величини торгової площі) збільшиться (зменшиться) на 1 одиницю, то залежна (результативна) змінна у (товарооборот) зменшиться (зросте) на 0,00132 тис. грн. (1,32 грн.).

Вільний член b₀ рівняння регресії визначає прогнозоване значення y при величині торгової площі х₁, що дорівнює нулю. В даному випадку ця величина дорівнює (-208,746) тис. грн., тобто фірма отримає збиток.

Розрахуємо коефіцієнт кореляції r_xy і коефіцієнт детермінації R²:

(2.12)

Отже, при побудові нелінійної (квадратичної) регресії обсяг товарообороту (залежна змінна у) на 97,92% залежить від площі торгової точки (незалежної змінної х) (при побудові лінійної моделі - 97,46%).

Величина R² показує, яка частина (частка) варіації залежної змінної обумовлена варіацією пояснюючою змінної. Чим ближче R² до 1, тим краще регресія апроксимує емпіричні дані, тим тісніше спостереження примикають до лінії регресії.

Отримане значення коефіцієнту детермінації вказує на те, що величина площі торгових точок фірми „Зірка Кривбасу” на 95,89% визначає варіацію його обсягу товарообороту при побудові нелінійної (квадратичної) регресії, або варіація обсягу товарообороту на 95,89% пояснюється мінливістю (варіацією) величини площ торгових точок

Визначимо товарооборот для прогнозного значення торгової площі х_пр.=770 м².

Побудуємо інтервали довіри для індивідуальних значень обсягу товарообороту та визначимо середній коефіцієнт еластичності.

Визначимо мінімальні та максимальні значення товарообороту за допомогою інтервалу довіри для індивідуальних значень незалежної змінної х_і для вихідних статистичних даних та прогнозною значення товарообороту за формулою:

,(2.13)

де - табличне значення Ст'юдента для рівня значимості /2;

S - середня залишкова сума квадратів з урахування ступенів свободи:

,(2.14)

де m - кількість факторів (незалежних змінних) регресії;

D - виправлена дисперсія (незміщена оцінка генеральної дисперсії) для змінної х (використовується при n<30):

.(2.15)

Таблиця 2.2

Розрахункові дані для визначення інтервалу довіри лінійної регресії

№	хі	yi	yі	(yi-yі)2	(yi-уср.)2	(хі-хср.)2		yі-min	yі+max
1	268,40	580,50	560,434	402,6605	219 689,0641	55 549,7761	93,154	467,280	653,587
2	351,00	700,00	758,766	3 453,4029	121 947,6241	23 436,5481	72,133	686,633	830,898
3	369,50	832,00	800,710	979,0538	47 180,1841	18 114,4681	68,024	732,686	868,734
4	423,50	859,10	917,960	3 464,4741	36 141,8121	6 494,7481	58,053	859,907	976,012
5	452,00	1 078,00	976,729	10 255,8648	828,8641	2 713,3681	54,415	922,314	1 031,144
6	531,60	1 095,30	1 129,478	1 168,1227	2 124,2881	756,8001	52,434	1 077,044	1 181,911
7	583,20	1 141,30	1 219,533	6 120,4784	8 480,5681	6 258,3921	57,832	1 161,702	1 277,365
8	630,50	1 374,00	1 295,891	6 100,9441	105 488,5441	15 979,4881	66,305	1 229,587	1 362,196
9	676,20	1 390,60	1 364,040	705,4399	116 547,1321	29 621,8521	76,631	1 287,409	1 440,671
10	755,00	1 441,30	1 468,559	743,0749	153 734,5681	62 955,8281	97,360	1 371,200	1 565,919
	5 040,90	10 492,10	10 492,10	33 393,5162	812 162,6490	221 881,2690	-	-	-
Середнє	504,09	1 049,21	1 049,21	3 339,3516	81 216,2649	22 188,1269	-	-	-
Прогноз	770,00	-	1 486,592	-	-	-	101,576	1 385,016	1 588,169

Знайдемо середню залишкову суму квадратів з урахування ступенів свободи (n-k=n-m-1=10-2-1=7):

Визначимо виправлену дисперсію (незміщену оцінку генеральної дисперсії) для змінної х (використовується при n<30) за формулою (2.15):

Отже, при отримуємо:

Побудуємо графік, на який нанесемо точки вибірки (x_i,y_i) та пряму регресії і точку (x_n+1; y_n+1), а також лінії інтервалу довіри .

Рис. 2.2 Графік нелінійної регресії та інтервал довіри для індивідуальних значень обсягу товарообороту

Середні коефіцієнти еластичності для лінійної множинної регресії визначаються за формулою:

та показують, на скільки відсотків у середньому у сукупності зміниться результат y від своєї величини при зміні фактора х на 1% від свого значення при незмінних значеннях інших факторів.

Отримане значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг товарообороту (у) зміниться на 1,548% при зміні величини торгової площі (х) на 1%, такі дії суттєво вплинуть на ефективність діяльності підприємства.

В даному випадку, так як , то зміни відбуватимуться в одному напрямку, тобто при збільшенні величини торгової площі на 1% обсяг товарообороту зросте на 1,548%; при зменшенні торгової площі на 1% товарооборот знизиться на 1,548%.

Значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг товарообороту (у) зміниться на 0,349% при зміні квадрату 1 м² торгової площі (х²) на 1%. В цьому разі, так як , то зміни відбуватимуться в різних напрямках, тобто при збільшенні величини квадрату 1 м² торгової площі на 1% обсяг товарообороту зменшиться на 0,349%; при зменшенні цього показника на 1% товарооборот, навпаки, зросте на 0,349%, тобто такі дії не здійснять істотного впливу на ефективність діяльності підприємства.

Отже, розглянувши гіпотезу нелінійного зв'язку між торгівельною площею і товарооборотом, яку висунув менеджер фірми, було проведено специфікацію економетричної моделі, внаслідок чого було отримано рівняння нелінійної регресії з вибірковим коефіцієнтом множинної кореляції . Вибірковий коефіцієнт множинної кореляції вказує, що обсяг товарообороту (залежна змінна у) на 97,92% залежить від площі торгової точки (незалежної змінної х).

Таким чином, при гіпотеза про нелінійний зв'язок між торгівельною площею і товарооборотом є більш прийнятною для аналізу, так в цьому разі коефіцієнт кореляції більший (0,9792>0,9746), ніж при лінійному зв'язку, а сума квадратів залишків, навпаки, менша (, 33 393,516 < 40 694,415), тобто нелінійна залежність має більш тісніший зв'язок і розраховані по ній результати будуть більш достовірними.

Задача 3. Багатофакторна лінійна регресія

Торговельне підприємство «Зірка Кривбасу» має велику кількість філіалів і менеджери цього підприємства для подальшого проведення ефективної економічної політики по просуванню товарів на ринку хотіли б знати, як денний товарообіг (в середньому) одного філіалу (у) функціонально залежить від торгової площі (х₁) і середньоденної інтенсивності потоку покупців (х₂). Припускають, що відповідна економетрична модель має наступний вигляд:

,

де: у - денний товарообіг;

х₁ - торгова площа;

х₂ - середньоденна інтенсивність потоку покупців дохід; b₀, b₁, b₂ - невідомі параметри.

Дані вибіркових статистичних спостережень по дванадцяти філіалам наведені нижче у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1

Вихідні дані

№ філіалу	Денний товарообіг (тис. грн.), yі	Торгова площа (тис. м2), х1	Середньоденна інтенсивність потоку покупців (тис. чол. / день), х2
1	8,00	10,90	0,90
2	10,75	13,50	1,80
3	11,66	16,00	3,70
4	13,49	15,80	3,00
5	17,44	16,30	2,80
6	18,30	14,90	4,73
7	21,42	16,00	8,30
8	22,60	17,90	7,17
9	24,40	17,70	10,16
10	31,20	17,80	11,72
11	32,90	21,20	15,07
12	36,40	22,50	19,10

Необхідно:

1. Визначити оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів і дати їм економічну інтерпретацію.

2. Побудувати інтервали довіри для параметрів моделі для рівня надійності р=0,95 і дати їм економічну інтерпретацію.

3. Для прогнозного значення торгівельної площі х₁=34,5 і середньоденної інтенсивності потоку покупців х₂=43 визначити точкове, а також інтервальні прогнозні значення денного товарообігу для рівня надійності р=0,95.

4. Виконати аналіз еластичності денного товарообігу відносно розміру торгової площі і інтенсивності потоку покупців.

Рішення

Визначимо оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів і дати їм економічну інтерпретацію, для чого побудуємо таблицю 3.2, де виконаємо допоміжні розрахунки. Побудуємо систему рівнянь:

(3.1)

Параметр b₀ визначимо за формулою:

(3.2)

Розрахуємо коефіцієнти b₁, b₂ методом найменших квадратів (1МНК). Значення оцінок при цьому визначаються за наступною залежністю:

де ,

, звідки маємо.

Отже, рівняння багатофакторної лінійної регресії має вигляд:

.

Коефіцієнт b₁ при незалежній змінній х_і (торгова площа) означає, що за інших незмінних умов якщо змінна х₁ (торгова площа) збільшиться (зменшиться) на 1 тис. кв. м, то залежна (результативна) змінна у (денний товарооборот) зросте (зменшиться) на 0,5309 тис. грн. (530,9 грн.)

Таблиця 3.2

Розрахункові дані для визначення оцінок параметрів багатофакторної лінійної регресії

№ філіалу	Денний товарообіг (тис. грн.)	Торгова площа (тис. м2)	Середньоденна інтенсивність покупців (тис. чол./день)	yі-yср.	x1-x1ср.	x2-x2ср.	(yі-yср.)2	(x1-x1ср.)2	(x2-x2ср.)2	(x1-x1ср.)**(yі-yср.)	(x2-x2ср.)**(yі-yср.)	(x1-x1ср.)**(х2-х2ср.)	yі	(yi-yі)2
	y	х1	х2
1	8,00	10,90	0,90	-12,713	-5,808	-6,471	161,6288	33,7367	41,8717	73,8433	82,2659	37,5848	9,247	1,55539
2	10,75	13,50	1,80	-9,963	-3,208	-5,571	99,2680	10,2934	31,0342	31,9657	55,5041	17,8731	11,793	1,08873
3	11,66	16,00	3,70	-9,053	-0,708	-3,671	81,9628	0,5017	13,4750	6,4128	33,2333	2,6002	15,582	15,38220
4	13,49	15,80	3,00	-7,223	-0,908	-4,371	52,1765	0,8251	19,1042	6,5612	31,5720	3,9702	14,569	1,16433
5	17,44	16,30	2,80	-3,273	-0,408	-4,571	10,7147	0,1667	20,8925	1,3366	14,9619	1,8664	14,575	8,20582
6	18,30	14,90	4,73	-2,413	-1,808	-2,641	5,8242	3,2701	6,9740	4,3641	6,3732	4,7755	16,332	3,87194
7	21,42	16,00	8,30	0,707	-0,708	0,929	0,4994	0,5017	0,8634	-0,5006	0,6566	-0,6582	21,541	0,01462
8	22,60	17,90	7,17	1,887	1,192	-0,201	3,5595	1,4201	0,0403	2,2483	-0,3789	-0,2393	21,086	2,29264
9	24,40	17,70	10,16	3,687	0,992	2,789	13,5915	0,9834	7,7795	3,6559	10,2827	2,7659	24,853	0,20517
10	31,20	17,80	11,72	10,487	1,092	4,349	109,9702	1,1917	18,9153	11,4479	45,6083	4,7478	26,927	18,25943
11	32,90	21,20	15,07	12,187	4,492	7,699	148,5148	20,1751	59,2772	54,7384	93,8272	34,5821	33,072	0,02947
12	36,40	22,50	19,10	15,687	5,792	11,729	246,0715	33,5434	137,5734	90,8519	183,9915	67,9314	38,982	6,66871
?	248,56	200,50	88,45	0,00	0,00	0,00	933,7821	106,6092	357,8005	286,9257	557,8977	177,7999	248,56	58,73845
Avg	20,7133	16,7083	7,3708	-	-	-	77,8152	8,8841	29,8167	23,9105	46,4915	14,8167	20,7133	4,89487

Аналогічно коефіцієнт b₂ при незалежній змінній х₂ (середньоденна інтенсивність потоку покупців) показує, що за інших незмінних умов якщо змінна х₂ (середньоденна інтенсивність потоку покупців) збільшиться (зменшиться) на 1 одиницю (тис. чол./день) , то залежна (результативна) змінна у (денний товарооборот) зросте (зменшиться) на 1,2954 тис. грн. (1295,4 грн.).

Вільний член b₀ рівняння регресії визначає прогнозоване значення y при величині торгової площі х₁ та середньоденній інтенсивності потоку покупців, що дорівнюють нулю. В даному випадку ця величина становить (2,29423 тис. грн. (2 294,23 грн.).

Розрахуємо коефіцієнт кореляції r_xy і коефіцієнт детермінації R² :

(3.3)

Отже, при побудові множинної лінійної регресії обсяг товарообороту (залежна змінна у) на 96,8% залежить від площі торгової точки (незалежної змінної х₁) та інтенсивності потоку покупців (незалежної змінної х₂).

Отримане значення коефіцієнту детермінації вказує на те, що величина площі торгових точок та інтенсивності потоку покупців фірми „Зірка Кривбасу” на 93,71% визначає варіацію його обсягу товарообороту при побудові множинної лінійної регресії.

Визначимо інтервали довіри для параметрів моделі за формулами:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

де , та - оцінки середніх квадратичних відхилень параметрів b₀, b₁ та b₂;

- табличне значення Ст'юдента для рівня значимості ?/2=0,025 (для рівня надійності р=0,95).

Для чого спочатку побудуємо дисперсійно-коваріаційну матрицю:

(3.7)

(3.8)

Таблиця 3.3

Дані для розрахунку дисперсійно-коваріаційної матриці

№ з/п	y	х1	х2	х12	х22	х1х2	yі	еі2=(уі-yі)2
1	8,00	10,90	0,90	118,8100	0,8100	9,8100	9,247	1,55539
2	10,75	13,50	1,80	182,2500	3,2400	24,3000	11,793	1,08873
3	11,66	16,00	3,70	256,0000	13,6900	59,2000	15,582	15,38220
4	13,49	15,80	3,00	249,6400	9,0000	47,4000	14,569	1,16433
5	17,44	16,30	2,80	265,6900	7,8400	45,6400	14,575	8,20582
6	18,30	14,90	4,73	222,0100	22,3729	70,4770	16,332	3,87194
7	21,42	16,00	8,30	256,0000	68,8900	132,8000	21,541	0,01462
8	22,60	17,90	7,17	320,4100	51,4089	128,3430	21,086	2,29264
9	24,40	17,70	10,16	313,2900	103,2256	179,8320	24,853	0,20517
10	31,20	17,80	11,72	316,8400	137,3584	208,6160	26,927	18,25943
11	32,90	21,20	15,07	449,4400	227,1049	319,4840	33,072	0,02947
12	36,40	22,50	19,10	506,2500	364,8100	429,7500	38,982	6,66871
	248,56	200,50	88,45	3 456,6300	1 009,7507	1 655,6520	248,56	58,73845
Avg	20,7133	16,7083	7,3708	288,0525	84,1459	137,9710	20,7133	4,89487

Розрахуємо оцінку дисперсії випадкової складової моделі :

,(3.9)

де k=m-1 (m - кількість факторів моделі) кількість параметрів моделі.

Тобто

, , а

Знайдемо t_крит. для рівня значимості=5% та df=12-3=9 (n-k) за таблицею: t_крит.= t_a/2=2,2622.

Отже, при отримуємо:

Тобто маємо:

Для прогнозного значення торгівельної площі х₁=34,5 і середньоденної інтенсивності потоку покупців х₂=43 визначимо точкове, а також інтервальні прогнозні значення денного товарообігу для рівня надійності р=0,95.

Обчислимо інтервал довіри для середнього значення денного товарообігу (тобто інтервальний прогноз для математичного сподівання) при значенні торгівельної площі х₁=34,5 і середньоденної інтенсивності потоку покупців х₂=43 для рівня надійності р=0,95:

,(3.10)

де - вектор прогнозних значень

Знайдемо середню залишкову суму квадратів з урахування ступенів свободи (n-k=n-m-1=12-2-1=9) за формулою (2.14):



Таким чином, при отримуємо:

Отже, середнє значення денного товарообороту при прогнозному значенні торгівельної площі х₁=34,5 і середньоденної інтенсивності потоку покупців х₂=43, знаходиться в межах (65,301; 87,327), або:

Виконаємо аналіз еластичності денного товарообігу відносно розміру торгової площі і інтенсивності потоку покупців.

Середні коефіцієнти еластичності для лінійної множинної регресії визначаються за формулою:

(3.11)

та показують, на скільки відсотків у середньому у сукупності зміниться результат y від своєї величини при зміні фактора х на 1% від свого значення при незмінних значеннях інших факторів.

Отримане значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг денного товарообороту (у) зміниться на 0,428% при зміні величини торгової площі (х) на 1%.

Значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг денного товарообороту (у) зміниться на 0,461% при зміні середньоденної інтенсивності потоку покупців (х₂) на 1%.

В даному випадку, так як та , то зміни відбуватимуться в одному напрямку, тобто:

– при збільшенні величини торгової площі на 1% обсяг денного товарообороту зросте на 0,428%; при зменшенні торгової площі на 1% товарооборот знизиться на 0,428%;

– при зростанні середньоденної інтенсивності потоку покупців на 1% обсяг денного товарообороту підвищиться на 0,461%; при зниженні середньоденної інтенсивності потоку покупців на 1% товарооборот зменшиться на 0,461%.

Отже, розглянувши питання, як денний товарообіг (в середньому) одного філіалу (у) функціонально залежить від торгової площі (х₁) і середньоденної інтенсивності потоку покупців (х₂), було проведено специфікацію економетричної моделі, внаслідок чого було отримано рівняння множинної лінійної регресії з множинним коефіцієнтом кореляції 96,8%, тобто обсяг товарообороту фірми „Зірка Кривбасу” на 96,8% залежить від площі торгової точки та інтенсивності потоку покупців.

Середнє значення денного товарообігу для рівня надійності р=0,95 при розмірі торгівельної площі 34,5 тис. м² і середньоденній інтенсивності потоку покупців 43 тис. осіб за день склало 76,314 тис. грн., інтервальні межі довіри якого дорівнюють (65,301; 87,327), тобто середнє значення денного товарообігу при заданих умовах знаходиться в межах:

Отримане значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг денного товарообороту зміниться на 0,428% при зміні величини торгової площі на 1%. Значення середнього коефіцієнту еластичності показує, що обсяг денного товарообороту зміниться на 0,461% при зміні середньоденної інтенсивності потоку покупців на 1%. В даному випадку, так як та , то зміни відбуватимуться в одному напрямку.

Література

1. Грубер Й. Эконометрия: Введение во множественную регрессию и эконометрию. К: 1996.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.

3. Лещинський О.Л. Економетрія: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / О.Л. Лещинський, В.В. Рязанцева, О.О. Юнькова. - К.: МАУП, 2003. - 208 с.: іл. - Бібліогр. с. 203-205.

4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. М.: Дело, 1997.

5. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Водзянова Н.К., Роскач О.С. Економетрія. - К.: 2007.

6. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Водзянова Н.К., Роскач О.С. Практикум з економетрії: Навч. посібник. - К.: КНЕУ, 1998. - 176 c.

7. Толбатов Ю.А. Економетрика. - К.: 1997.

8. Шанченко Н.И. Эконометрика: лабораторный практикум / Н.И. Шанченко - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - 79 с.

9. Эконометрика: Учебник / Под. ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 344 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru