Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание:

1. Регрессионный анализ: понятие, задачи, основные цели

2. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

3.Задача№1

4.Задача№2

5.Список используемой литературы



1.Регрессионный анализ: понятие, задачи, основные цели

Регрессиомнный (линейный) анализ -- статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X1,X2,...,Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные -- критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения. Цели регрессионного анализа

Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)

Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых)

Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

Регрессионным анализом называется определение аналитического выражения связи между исследуемыми переменными, в котором изменение результативной переменной происходит под влиянием факторной переменной.

Модель регрессии или уравнение регрессии позволяет количественно оценить взаимосвязь между исследуемыми переменными.

Предположим, что имеется набор значений двух переменных: yi (результативная переменная) и xi (факторная переменная). Между этими переменными существует зависимость вида: y = f (x).

Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы по данным наблюдений определить такую функцию ? = f (x), которая наилучшим образом описывала исследуемую зависимость между переменными.

Для определения аналитической формы зависимости между исследуемыми переменными применяются следующие методы:

1) графический метод или визуальная оценка характера связи. В этом случае на линейном графике по оси абсцисс откладываются значения факторной переменной х, а по оси ординат - значения результативной переменной у. Затем на пересечении соответствующих значений отмечаются точки. Полученный точечный график в системе координат (х, у) называется корреляционным полем. Линия, которая соединяет точки на графике, называется эмпирической линией. По её виду можно судить не только о наличии, но и о форме зависимости между изучаемыми переменными;

2) на основе теоретического и логического анализа природы изучаемых явлений, их социально-экономической сущности;

3) определение аналитической формы зависимости между переменными экспериментальным путём.

При исследовании зависимости между двумя переменными чаще всего используется линейная форма связи. Это связано с двумя обстоятельствами:

1) чёткая экономическая интерпретация параметров линейной модели регрессии;

2) в большинстве случаев нелинейные модели регрессии преобразуются к линейному виду.

Общий вид модели парной регрессии зависимости переменной у от переменной х:

yi=?0+?1xi+?i,

где yi- результативные переменные,

xi- факторные переменные,

?0, ?1 - параметры модели регрессии, подлежащие оцениванию;

?i - случайная ошибка модели регрессии. Данная величина является случайной, она характеризует отклонения реальных значений результативных переменных от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Присутствие случайной ошибки в модели регрессии порождено следующими источниками:

1) нерепрезентативность выборки. Модель парной регрессии в большинстве случаев является большим упрощением истинной зависимости между переменными, потому что в модель входит только одна факторная переменная, не способная полностью объяснить вариацию результативной переменной. При этом результативная переменная может быть подвержена влиянию множества других факторных переменных в гораздо большей степени;

2) ошибки, возникающие при измерении данных;

3) неправильная функциональная спецификация модели.

Коэффициент ?1, входящий в модельпарной регрессии, называется коэффициентом регрессии. Он характеризует, на сколько в среднем изменится результативная переменная у при условии изменения факторной переменной х на единицу своего измерения. Знак коэффициента регрессии указывает на направление связи между переменными:

1) если ?1›0, то связь между изучаемыми переменными (с уменьшением факторной переменной х уменьшается и результативная переменная у, и наоборот);

2) если ?1‹0, то связь между изучаемыми переменными (с увеличением факторной переменной х результативная переменная у уменьшается, и наоборот).

Коэффициент ?0, входящий в модель парной регрессии, трактуется как среднее значение результативной переменной у при условии, что факторная переменная х равна нулю. Но если факторная переменная не имеет и не может иметь нулевого значения, то подобная трактовка коэффициента ?0 не имеет смысла.

Общий вид модели парной регрессии в матричном виде:

Y= X* ?+ ?, Где

- случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности n x 1;

- матрица значений факторной переменной размерности n x 2. Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент ?0 умножается на единицу;



- вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности 2 x 1

- случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности n x 1.

2. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.

В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.

Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.

Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:

x(t) = a0 + ?(t),

где a0 - неизвестный параметр, не зависящий от времени, ?(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.

В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+?) для неизвестного значения x(t+?) по известной до момента времени t траектории ряда x(t) строится по формуле:

x*(t; ?) = S(t),

где значение экспоненциально взвешенной скользящей средней S(t) определяется по рекуррентной формуле:

S(t)= ?x(t) + (1-?) S(t-1).

Коэффициент сглаживания ? можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы следует, что экспоненциально взвешенная скользящая средняя является взвешенной суммой всех уровней ряда x(t), причем веса уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое.

В качестве S(0) берется, как правило, среднее значение ряда динамики или среднее значение нескольких начальных уровней ряда.

Случай линейного тренда:



x(t) = a0 + a1t + ?(t).

В этом случае прогноз x*(t; ?) будущего значения определяется соотношением:

x*(t; ?) = ,

а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:

Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.

Модель Хольта.

В модели Хольта введено два параметра сглаживания ?1 и ? 2 (0< ? 1, ? 2 <1). Прогноз x*(t;l) на l шагов по времени определяется формулой:

x*(t; ?) = ,

а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:

Модель Хольта-Уинтерса.

Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз x*(t;?) на ? шагов по времени определяется формулой:

x*(t;?) = ,

где f(t) - коэффициент сезонности, а T - число временных тактов (фаз), содержащихся в полном сезонном цикле.

Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно. Формулы обновления коэффициентов имеют вид:

Модель Тейла-Вейджа.

Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мульти-пликативной сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.

Имеется модель:

x(t) = a0(t) + g(t) + ?(t),

a0(t) = a0(t-1) + a1(t).

Здесь a0(t) - уровень процесса после устранения сезонных колебаний, a1(t) - аддитивный коэффициент роста, ?(t) - аддитивный коэффициент сезонности и ?(t) - белый шум.

Прогноз x*(t;?) на ? шагов по времени определяется формулой:

x*(t;?) = .

Коэффициенты вычисляются рекуррентным способом по формулам:

Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные наборы их значений и сравнивают получающиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов.

Задача 1.

В табл. 1 приведены данные о личных потребительских расходах и располагаемом личном доходе населения США (млрд. дол., в ценах 1972 г.) за период с 1959 г. по 1983 г.

а) Постройте уравнение для функции спроса (Y) на данный товар или вид услуг в зависимости от располагаемого личного дохода (X). Постройте таблицу дисперсионного анализа. Вычислите коэффициент детерминации R2.

Проверьте регрессию на значимость с помощью F-теста (? = 0,05 - критерий значимости). Вычислите 95% доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов в этом уравнении. Изобразите диаграмму рассеяния и прямую регрессии.

б) Постройте линейный временной тренд для функции спроса.

в) Рассмотрите функцию спроса (Y) как функцию двух переменных: располагаемого дохода (X) и реальной цены на товар или вид услуг (P). (Реальная цена вычисляется по формуле

P = (Z / L) • 100%). (Z, L см. табл. 1).

Постройте уравнение множественной регрессии Y на X и P. С помощью МНК оцените коэффициенты в этом уравнении (замените Y, X и P на их логарифмы).

Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов в уравнении. Вычислите коэффициенты эластичности функции спроса. Интерпретируйте эти коэффициенты.

Таблица 1

Исходные данные о личных потребительских расходах и располагаемом личном доходе

Год	Личный располагаемый доход, млрд. $	Текущие расходы на бензин	Дефляторы цен для личных потребительских расходов	Цены
T	X	Y	Z	L
1959	440,4	13,7	82,2	70,6
1960	452,0	14,2	84,5	71,9
1961	461,4	14,3	83,9	72,6
1962	482,0	14,9	84,5	73,7
1963	500,5	15,3	84,5	74,8
1964	528,0	16,0	84,4	75,9
1965	557,5	16,8	87,5	77,2
1966	646,8	17,8	89,5	79,4
1967	673,5	18,4	92,4	81,4
1968	701,3	19,9	93,8	84,6
1969	722,5	21,4	97,0	88,4
1970	751,6	22,9	97,9	92,5
1971	779,2	24,2	98,7	96,3
1972	810,3	25,4	109,0	100,0
1973	865,3	26,2	109,4	105,7
1974	858,4	24,8	147,7	116,3
1975	875,8	25,6	157,7	125,2
1976	906,8	26,8	164,3	131,7
1977	942,9	27,7	173,7	139,3
1978	988,8	28,3	181,3	149,1
1979	1015,5	27,4	243,2	162,5
1980	1021,6	25,1	337,9	179,0
1981	1049,3	25,1	376,4	194,3
1982	1058,3	25,3	356,6	206,0
1983	1095,4	26,1	344,9	213,6



Решение

а) Постройте уравнение для функции спроса (Y) на данный товар или вид услуг в зависимости от располагаемого личного дохода (X). Постройте таблицу дисперсионного анализа. Вычислите коэффициент детерминации R2.

Проверьте регрессию на значимость с помощью F-теста (? = 0,05 - критерий значимости). Вычислите 95% доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов в этом уравнении. Изобразите диаграмму рассеяния и прямую регрессии.

Идентифицируем переменные: x - независимая переменная (фактор) y - зависимая переменная (показатель).

Пусть эконометрическая модель специфицирована в линейной форме:

y = ax + b + u

где a, b - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29].
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестной переменной - переменную x:

где n - количество наблюдений.

Построим вспомогательную таблицу 1.

Табл. 1.

№	x	y	x2	xy
1	440,4	13,7	193952,16	6033,48
2	452,0	14,2	204304,00	6418,40
3	461,4	14,3	212889,96	6598,02
4	482,0	14,9	232324,00	7181,80
5	500,5	15,3	250500,25	7657,65
6	528,0	16,0	278784,00	8448,00
7	557,5	16,8	310806,25	9366,00
8	646,8	17,8	418350,24	11513,04
9	673,5	18,4	453602,25	12392,40
10	701,3	19,9	491821,69	13955,87
11	722,5	21,4	522006,25	15461,50
12	751,6	22,9	564902,56	17211,64
13	779,2	24,2	607152,64	18856,64
14	810,3	25,4	656586,09	20581,62
15	865,3	26,2	748744,09	22670,86
16	858,4	24,8	736850,56	21288,32
17	875,8	25,6	767025,64	22420,48
18	906,8	26,8	822286,24	24302,24
19	942,9	27,7	889060,41	26118,33
20	988,8	28,3	977725,44	27983,04
21	1015,5	27,4	1031240,25	27824,70
22	1021,6	25,1	1043666,56	25642,16
23	1049,3	25,1	1101030,49	26337,43
24	1058,3	25,3	1119998,89	26774,99
25	1095,4	26,1	1199901,16	28589,94
?	19185,1	543,6	15835512,07	441628,55

Получим систему уравнений:

Решение системы найдем по формулам Крамера [ГЕТ, с.30]:

где ? - главный определитель системы.

Следовательно, уравнение линейной модели имеет вид:

y = 4,8705 + 0,0220x.

Это значит, что при увеличении или уменьшении значения фактора на 1 у.е. показатель увеличивается или уменьшается на 0,022 у.е., то есть между эконометрическими параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 4,8705 указывает значение показателя при нулевом значении фактора. Он имеет лишь расчетное значение, поскольку такой случай невозможен в реальной экономической ситуации.

Для проведения исследования модели построим вспомогательную таблицу 2.

Табл. 2.

№	x	y	yx					u2 = (y - yx)2
1	440,4	13,7	14,5539	64,7059	106931,6160	2630,4202	51,6973	0,7292
2	452,0	14,2	14,8090	56,9119	99479,6832	2379,4078	48,0945	0,3709
3	461,4	14,3	15,0157	55,4131	93638,4480	2277,8938	45,2705	0,5122
4	482,0	14,9	15,4686	46,8403	81455,4432	1953,3050	39,3805	0,3233
5	500,5	15,3	15,8754	41,5251	71237,7452	1719,9294	34,4407	0,3311
6	528,0	16,0	16,4800	32,9935	57314,2752	1375,1366	27,7092	0,2304
7	557,5	16,8	17,1287	24,4431	44059,6892	1037,7654	21,3011	0,1080
8	646,8	17,8	19,0922	15,5551	14545,3248	475,6622	7,0321	1,6698
9	673,5	18,4	19,6793	11,1823	8817,9612	314,0150	4,2631	1,6365
10	701,3	19,9	20,2905	3,4003	4369,7388	121,8958	2,1126	0,1525
11	722,5	21,4	20,7567	0,1183	2016,3692	15,4470	0,9748	0,4139
12	751,6	22,9	21,3965	1,3363	249,7664	-18,2694	0,1208	2,2605
13	779,2	24,2	22,0034	6,0319	139,1456	28,9710	0,0673	4,8252
14	810,3	25,4	22,6872	13,3663	1840,0668	156,8278	0,8896	7,3594
15	865,3	26,2	23,8965	19,8559	9583,6268	436,2246	4,6333	5,3061
16	858,4	24,8	23,7448	9,3391	8280,2720	278,0838	4,0032	1,1135
17	875,8	25,6	24,1274	14,8687	11749,6928	417,9750	5,6805	2,1686
18	906,8	26,8	24,8090	25,5631	19431,2448	704,7862	9,3942	3,9641
19	942,9	27,7	25,6028	35,4739	30798,8460	1045,2542	14,8900	4,3984
20	988,8	28,3	26,6120	42,9811	49016,1888	1451,4722	23,6974	2,8493
21	1015,5	27,4	27,1991	31,9903	61551,6252	1403,2310	29,7578	0,0404
22	1021,6	25,1	27,3332	11,2627	64615,6064	853,0818	31,2391	4,9872
23	1049,3	25,1	27,9423	11,2627	79465,3548	946,0430	38,4184	8,0784
24	1058,3	25,3	28,1401	12,6451	84620,4828	1034,4262	40,9107	8,0664
25	1095,4	26,1	28,9559	18,9747	107581,3760	1428,7506	52,0114	8,1561
?	19185,1	543,6	-	608,0416	1112789,5896	24467,7356	537,9904	70,0512
?/n	767,404	21,744	-	24,3217	44511,5836	978,7094	21,5196	2,8020

Оценим параметры модели альтернативным способом:

Линейное уравнение регрессии аналогично: yx = 0,022x + 4,8705.

Вычислим для зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:

Суммы квадратов связанные с определенным источником вариации, а также со степенями свободы и средними квадратами. Сведем их всех в таблице, которая называется базовой таблицей дисперсионного анализа - ANOVA-таблицей [ЛУК, с. 61].

Построим ANOVA-таблицу о зависимости между показателем и фактором:

Источник вариации	Количество степеней свободы	Сумма квадратов	Средние квадраты
Предопределено регрессией (модель)	1
Необъяснимо с помощью регрессии (ошибки)	n - 2 = 23
Общее	n - 1 = 24		-

Определим коэффициенты детерминации R2 и корреляции r [ЛУК, c. 57]:



Этот результат значит, что 88,48% вариации результативного признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 11,52% приходится на другие факторы.

Поскольку 0,7 < r < 1, то между факторным и результативным признаком корреляционная связь сильная.

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, который вычисляется по формуле:

Поскольку табличное значение F(0,05; 1; 23) = 4,28 и |F| > Fтаб, то делаем вывод об адекватности эконометрической модели.

Оценим статистическую значимость параметров регрессии.

Табличное значение t-критерия Стьюдента при заданном уровне значимости 0,95 и n - 2 = 23 степенях свободы равно 2,07.

Найдем матрицу погрешностей C-1, обратную к матрице системы уравнений:

? = |C| = 27819739,74,



Определим стандартные погрешности оценок параметров модели, учитывая дисперсию остатков:

где

Рассчитаем t-критерий Стьюдента для каждого из коэффициентов

Поскольку tm = 2,07 и это значение больше t-критериев для каждого из коэффициентов, то делаем вывод об их статистической значимости.

Определим интервалы доверия для параметров регрессии [ЕЛИ, с. 57].

Для расчета доверительного интервала определяем предельную погрешность для каждого коэффициента:

?a = tтаб.ma = 2,0690 · 0,0017 = 0,0034,

?b = tтаб.mb = 2,0690 · 1,3167 = 2,7242,

Следовательно, экстремальные значения для каждого коэффициента следующие:

min a = a - ?a = 0,0220 - 0,0034 = 0,0186, max a = a + ?a = 0,0220 + 0,0034 = 0,0254,

min b = b - ?b = 4,8705 - 2,7242 = 2,1463, max b = b + ?b = 4,8705 + 2,7242 = 7,5947.

Таким образом, доверительные интервалы для коэффициентов регрессии следующие:

a (0,0186; 0,0254),

b (2,1463; 7,5947).

Изобразим диаграмму рассеяния и прямую регрессии.

б) Постройте линейный временной тренд для функции спроса.

Идентифицируем переменные: t - независимая временная переменная (фактор), y - зависимая переменная (показатель). Пусть модель специфицирована в линейной форме:

y = at + b + u,



где a, b - параметры модели, u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29].
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестную переменную - переменную t:

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало счета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе уровней (например, 25), значения t = 0 - условного обозначения времени будет отвечать среднему 1971 году:

t	-12	-11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
Y	13,7	14,2	14,3	14,9	15,3	16	16,8	17,8	18,4	19,9	21,4	22,9	24,2
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Y	25,4	26,2	24,8	25,6	26,8	27,7	28,3	27,4	25,1	25,1	25,3	26,1

Поскольку ?t = 0, поэтому система нормальных уравнений принимает вид:

Построим вспомогательную таблицу:

№	t	y	t2	ty
1	-12	13,7	144	-164,4
2	-11	14,2	121	-156,2
3	-10	14,3	100	-143,0
4	-9	14,9	81	-134,1
5	-8	15,3	64	-122,4
6	-7	16,0	49	-112,0
7	-6	16,8	36	-100,8
8	-5	17,8	25	-89,0
9	-4	18,4	16	-73,6
10	-3	19,9	9	-59,7
11	-2	21,4	4	-42,8
12	-1	22,9	1	-22,9
13	0	24,2	0	0,0
14	1	25,4	1	25,4
15	2	26,2	4	52,4
16	3	24,8	9	74,4
17	4	25,6	16	102,4
18	5	26,8	25	134,0
19	6	27,7	36	166,2
20	7	28,3	49	198,1
21	8	27,4	64	219,2
22	9	25,1	81	225,9
23	10	25,1	100	251,0
24	11	25,3	121	278,3
25	12	26,1	144	313,2
?	-	543,6	1300	819,6

Получим систему уравнений:

Находим решение:



a = 819,6 / 1300 = 0,6305,

b = 543,6 / 25 = 21,744.

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

y = 21,7440 + 0,6305t.

Это значит, что при увеличении или уменьшении значения временного фактора на 1 ед., показатель увеличивается или уменьшается на 0,6305 у.е., то есть между параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 21,744 указывает значение показателя при нулевом значении условного времени.

в) Рассмотрите функцию спроса (Y) как функцию двух переменных: располагаемого дохода (X) и реальной цены на товар или вид услуг (P). (Реальная цена вычисляется по формуле

P = (Z / L) • 100%). (Z, L см. табл. 1).

Постройте уравнение множественной регрессии Y на X и P. С помощью МНК оцените коэффициенты в этом уравнении (замените Y, X и P на их логарифмы).

Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов в уравнении. Вычислите коэффициенты эластичности функции спроса. Интерпретируйте эти коэффициенты.

Искомое уравнение множественной регрессии выражается производственной функцией или функцией Кобба-Дугласа [НАК, c.140]:

Y = c Xa Pb,

где c - коэффициент, что отображает уровень технологической производительности, показатели a и b - коэффициенты элластичности объема производства Y по фактору производства, то есть по капиталу X и реальной цене P соответственно.

Для оценки параметров производственной регрессии сведем ее к линейной форме. После логарифмирования и замены величин получим приведенную линейную регрессию:

lgY = lg(c Xa Pb),

lgY = lgc + a lgX + b lgP.

Обозначим:

lgY = y, lgc = a0, a = a1, b = a2, lgX = x1, lgP = x2,

где X - количество фактора 1, P - количество фактора 2, Y - показатель.

Получили эконометрическую модель, которая специфицирована в линейной форме:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + u,

где a0, a1, a2 - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).

Запишем исходные данные в такой форме.

№	Y	X	P
1	13,7	440,4	116,43
2	14,2	452	117,52
3	14,3	461,4	115,56
4	14,9	482	114,65
5	15,3	500,5	112,97
6	16,0	528	111,2
7	16,8	557,5	113,34
8	17,8	646,8	112,72
9	18,4	673,5	113,51
10	19,9	701,3	110,87
11	21,4	722,5	109,73
12	22,9	751,6	105,84
13	24,2	779,2	102,49
14	25,4	810,3	109
15	26,2	865,3	103,5
16	24,8	858,4	127
17	25,6	875,8	125,96
18	26,8	906,8	124,75
19	27,7	942,9	124,69
20	28,3	988,8	1215,96
21	27,4	1015,5	149,66
22	25,1	1021,6	188,77
23	25,1	1049,3	193,72
24	25,3	1058,3	173,11
25	26,1	1095,4	161,47

После логарифмирования получим исходные данные для расчетов.

№	y	x1	x2		№	y	x1	x2
1	1,1367	2,6438	2,0661		14	1,4048	2,9086	2,0374
2	1,1523	2,6551	2,0701		15	1,4183	2,9372	2,0149
3	1,1553	2,6641	2,0628		16	1,3945	2,9337	2,1038
4	1,1732	2,6830	2,0594		17	1,4082	2,9424	2,1002
5	1,1847	2,6994	2,0530		18	1,4281	2,9575	2,0960
6	1,2041	2,7226	2,0461		19	1,4425	2,9745	2,0958
7	1,2253	2,7462	2,0544		20	1,4518	2,9951	3,0849
8	1,2504	2,8108	2,0520		21	1,4378	3,0067	2,1751
9	1,2648	2,8283	2,0550		22	1,3997	3,0093	2,2759
10	1,2989	2,8459	2,0448		23	1,3997	3,0209	2,2872
11	1,3304	2,8588	2,0403		24	1,4031	3,0246	2,2383
12	1,3598	2,8760	2,0246		25	1,4166	3,0396	2,2081
13	1,3838	2,8916	2,0107

Построим модель множественной линейной регрессии.

Пусть эконометрическая модель специфицирована в линейной форме [ЛЕЩ, c. 58]:

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + u,

где a0, a1, a2 - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки), X1, X2 - факторы Y - показатель. Оценим параметры модели методом МНК:

A = (X 'X)-1X 'Y,

где матрица X характеризует все независимые переменные модели. Поскольку модель имеет свободный член a0, для которого все xi = 1, то матрицу нужно дополнить первым столбцом, в котором все члены являются единицами, X ' - транспонированная матрица к данной, а вектор Y - вектор зависимой переменной.

Транспонируем данную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и данной:

Вычислим обратную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и вектора Y:

Умножив обратную матрицу на предыдущую, получим искомые коэффициенты:

Таким образом, a0 = -0,9638, a1 = 0,8074, a2 = -0,0122.

Следовательно, линейная эконометрическая модель имеет вид:

Y = -0,9638 + 0,8074X1 - 0,0122X2.



Проверку правильности решения можно выполнить, использовав стандартную функцию Excel ЛИНЕЙН() [ЛАВ, c. 249]. Задав первым ее параметром значения диапазона Y, а вторым - диапазона X, получим аналогичный результат.

С экономической точки зрения вычисленные коэффициенты регрессии значат следующее:

- если значение фактора x1 () изменится на 1, то показатель увеличится или уменьшится на 0,8074 ед.;

- если значение фактора x2 () изменится на 1, то показатель увеличится или уменьшится на 0,0122 ед.;

Свободный член регрессии a0 = -0,9638 указывает значение результативного признака при нулевых значениях всех факторов. Он имеет лишь расчетное значение, поскольку такой случай невозможный в реальной экономической ситуации.

Коэффициент c функции Кобба-Дугласа определяем потенцированием:

c = eao = e-0,9638 = 0,1087

a = a1 = 0,8074

b = a2 = -0,0122

Следовательно, функция Кобба-Дугласа следующая:

Y = 0,1087·X0,8074·P-0,0122.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью коэффициентов частной эластичности, которые в случае данной двуфакторной модели они равны вычисленным коэффициентам a = 0,8074 и b = -0,0122.

Коэффициенты частной эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одной из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

Задача 2

Объем продаж рекламного времени частной радиостанции за 21 неделю представлен в табл. 2. Проанализировать кривую объемов продаж рекламного времени и сделать вывод о возможности повышения прибыльности этого вида деятельности.

При решении этой задачи необходимо выполнить следующие операции:

1) проанализировать ряд количества проданного рекламного времени и построить его график;

2) выбрать общую статистическую модель;

3) оценить трендовую составляющую Ui;

4) оценить адекватность построенных моделей тренда и оценить их точность;

5) осуществить прогноз объемов продаж рекламного времени на следующие 4 недели.

В задаче необходимо применить три аппроксимирующих, полинома (линейный, параболический и гиперболический), провести их сравнение и выбор наилучшего.

Таблица 2

Исходные данные об объеме продаж рекламного времени

Число недель	Количество проданного времени, мин.
1	195
2	144
3	195
4	371
5	412
6	128
7	84
8	287
9	275
10	181
11	295
12	178
13	237
14	240
15	410
16	236
17	231
18	225
19	231
20	200
21	187

Решение

Проанализируем ряд количества проданного рекламного времени и построим для наглядности диаграмму рассеивания или график ряда.

Проанализировав размещение точек, приходим к выводу о хаотичности их размещения в первой половине рассмативаемых недель. Во второй половине точки находятся уже ближе к некоторой прямой линии, свидетельствующей об уменьшении количества проданного рекламного времени.

Для возможности построения адекватных економико-математических моделей и определения тенденции продаж увеличим интервал от одной недели до трех и вычислим скользящие средние, то есть выполним сглаживание ряда с помощью трехчленной скользящей:

Число недель	Количество проданного, времени, мин.
	Одна неделя	Сумма 3 недель	Среднее 3 недель
1	195	-	-
2	144	534	178,00
3	195	710	236,67
4	371	978	326,00
5	412	911	303,67
6	128	624	208,00
7	84	499	166,33
8	287	646	215,33
9	275	743	247,67
10	181	751	250,33
11	295	654	218,00
12	178	710	236,67
13	237	655	218,33
14	240	887	295,67
15	410	886	295,33
16	236	877	292,33
17	231	692	230,67
18	225	687	229,00
19	231	656	218,67
20	200	618	206,00
21	187	-	-

Построим диаграмму сглаженного ряда.



Как и предполагалось, разброс точек значительно уменьшился.

Таким образом, получен рабочий набор данных для проведения анализа продаж рекламного времени.

Построим линейный, параболический и гиперболический тренд и в дальнейшем определим лучший из них.

1. Линейная модель

Пусть модель специфицирована в линейной форме:

y = at + b + u,

где a, b - параметры модели, u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод наименьших квадратов.

Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестную переменную - переменную t:



Расчет параметров значительно упрощается, если за начало счета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе уровней (например, 19), значения t = 0 - условного обозначения времени будет отвечать средней 11 неделе:

t	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
Y	178,00	236,67	326,00	303,67	208,00	166,33	215,33	247,67	250,33	218,00

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	236,67	218,33	295,67	295,33	292,33	230,67	229,00	218,67	206,00

Поскольку ?t = 0, поэтому система нормальных уравнений принимает вид:

регрессионный анализ данное прогнозирование

Построим вспомогательную таблицу:

№	t	y	t2	ty
1	-9	178,00	81	-1602,00
2	-8	236,67	64	-1893,36
3	-7	326,00	49	-2282,00
4	-6	303,67	36	-1822,02
5	-5	208,00	25	-1040,00
6	-4	166,33	16	-665,32
7	-3	215,33	9	-645,99
8	-2	247,67	4	-495,34
9	-1	250,33	1	-250,33
10	0	218,00	0	0,00
11	1	236,67	1	236,67
12	2	218,33	4	436,66
13	3	295,67	9	887,01
14	4	295,33	16	1181,32
15	5	292,33	25	1461,65
16	6	230,67	36	1384,02
17	7	229,00	49	1603,00
18	8	218,67	64	1749,36
19	9	206,00	81	1854,00
?	-	4572,67	570	97,33

Получим систему уравнений:

Находим решение:

a = 97,33 / 570 = 0,1708,

b = 4572,67 / 19 = 240,6668.

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

y = 240,6668 + 0,1708t.

Это значит, что при увеличении или уменьшении значения фактора на 1 у.е., показатель увеличивается или уменьшается на 0,1708 у.е., то есть между параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 240,6668 указывает значение показателя при нулевом значении условного времени.

Вычислим теоретические значения уровней ряда динамики по аналитической формуле и трендовую составляющую Ui.

№	t	T	y	p	Ui
1	-9	2	178,00	239,1301	-61,1301
2	-8	3	236,67	239,3008	-2,6308
3	-7	4	326,00	239,4716	86,5284
4	-6	5	303,67	239,6423	64,0277
5	-5	6	208,00	239,8131	-31,8131
6	-4	7	166,33	239,9838	-73,6538
7	-3	8	215,33	240,1546	-24,8246
8	-2	9	247,67	240,3253	7,3447
9	-1	10	250,33	240,4961	9,8339
10	0	11	218,00	240,6668	-22,6668
11	1	12	236,67	240,8376	-4,1676
12	2	13	218,33	241,0084	-22,6784
13	3	14	295,67	241,1791	54,4909
14	4	15	295,33	241,3499	53,9801
15	5	16	292,33	241,5206	50,8094
16	6	17	230,67	241,6914	-11,0214
17	7	18	229,00	241,8621	-12,8621
18	8	19	218,67	242,0329	-23,3629
19	9	20	206,00	242,2036	-36,2036

Выполним построение корреляционного поля с изображением на нем тренда.



Вычислим для зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:

Определим коэффициенты детерминации R2 и корреляции r [ЛУК, c. 57]:

Этот результат значит, что 0,05% вариации результативного признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 99,95% приходится на другие факторы.



Поскольку |r| < 0,4, то между факторным и результативным признаком корреляционной связи нет.

Оценим точность модели или среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую по формуле [ЕЛИ, с. 87]:

Получим:

Поскольку A > 7%, то делаем вывод о плохом подборе модели для исходных данных.

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, который вычисляется по формуле:

Поскольку табличное значение F(0,05; 1; 17) = 4,45 и |F| < Fтаб, то делаем вывод об неадекватности эконометрической модели.

Методом математической экстраполяции составим прогноз показателя на следующие 4 недели.

Y(22) = 240,6668 + 0,1708 · 11 = 242,5451,

Y(23) = 240,6668 + 0,1708 · 12 = 242,7159,

Y(24) = 240,6668 + 0,1708 · 13 = 242,8866,

Y(25) = 240,6668 + 0,1708 · 14 = 243,0574.

2. Гиперболическая модель

Пусть эконометрическая модель специфицирована в нелинейной, гиперболической форме:

y = a0 + a1 / x + u.

где a, b - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).

Для оценки параметров нелинейной регрессии сведем ее к линейной форме, то есть линеаризуем ее [ЕЛИ, с. 62]. Преобразуем начальное уравнение, записав его следующим образом:

y = a0 + a1 / x.

Произведя замену X = 1 / x, b = a0, a = a1, получим линейную эконометрическую модель:

y = b + aX.

Запишем исходные данные в форме, учитывая на замену.

№	x	y	1/x
1	2	178,00	0,5000
2	3	236,67	0,3333
3	4	326,00	0,2500
4	5	303,67	0,2000
5	6	208,00	0,1667
6	7	166,33	0,1429
7	8	215,33	0,1250
8	9	247,67	0,1111
9	10	250,33	0,1000
10	11	218,00	0,0909
11	12	236,67	0,0833
12	13	218,33	0,0769
13	14	295,67	0,0714
14	15	295,33	0,0667
15	16	292,33	0,0625
16	17	230,67	0,0588
17	18	229,00	0,0556
18	19	218,67	0,0526
19	20	206,00	0,0500

Используем метод наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29].
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестной переменной - переменную x:

где n - количество наблюдений.

Построим вспомогательную таблицу.

№	x	y	x2	xy
1	0,5000	178,00	0,25000000	89,000000
2	0,3333	236,67	0,11111111	78,890000
3	0,2500	326,00	0,06250000	81,500000
4	0,2000	303,67	0,04000000	60,734000
5	0,1667	208,00	0,02777778	34,666667
6	0,1429	166,33	0,02040816	23,761429
7	0,1250	215,33	0,01562500	26,916250
8	0,1111	247,67	0,01234568	27,518889
9	0,1000	250,33	0,01000000	25,033000
10	0,0909	218,00	0,00826446	19,818182
11	0,0833	236,67	0,00694444	19,722500
12	0,0769	218,33	0,00591716	16,794615
13	0,0714	295,67	0,00510204	21,119286
14	0,0667	295,33	0,00444444	19,688667
15	0,0625	292,33	0,00390625	18,270625
16	0,0588	230,67	0,00346021	13,568824
17	0,0556	229,00	0,00308642	12,722222
18	0,0526	218,67	0,00277008	11,508947
19	0,0500	206,00	0,00250000	10,300000
?	2,5977	4572,67	0,59616324	611,534102

Получим систему уравнений:

Решение системы найдем по формулам Крамера [ГЕТ, с.30]:

где ? - главный определитель системы.

Следовательно, уравнение линейной модели имеет вид:

y = 248,4142 - 56,6645x.



Откуда получим следующее уравнение нелинейной модели:

y = 248,4142 - 56,6645 / x.

Выполним построение корреляционного поля с изображением на нем линии регрессии.

Для проведения исследования модели построим вспомогательную таблицу.

№	x	y	yx					u2 = (y - yx)2
1	2	178,00	220,0819	3927,1331	81,0000	564,0016	423,7382	1770,8897
2	3	236,67	229,5260	15,9747	64,0000	31,9747	124,1178	51,0364
3	4	326,00	234,2481	7281,7478	49,0000	-597,3321	41,2007	8418,4175
4	5	303,67	237,0813	3969,3979	36,0000	-378,0189	12,8562	4434,0562
5	6	208,00	238,9701	1067,1226	25,0000	163,3342	2,8789	959,1475
6	7	166,33	240,3193	5525,9661	16,0000	297,3474	0,1208	5474,4109
7	8	215,33	241,3311	641,9556	9,0000	76,0105	0,4413	676,0587
8	9	247,67	242,1181	49,0442	4,0000	-14,0063	2,1063	30,8232
9	10	250,33	242,7477	93,3766	1,0000	-9,6632	4,3301	57,4907
10	11	218,00	243,2629	513,7857	0,0000	0,0000	6,7394	638,2127
11	12	236,67	243,6921	15,9747	1,0000	-3,9968	9,1525	49,3106
12	13	218,33	244,0554	498,9345	4,0000	-44,6737	11,4822	661,7953
13	14	295,67	244,3667	3025,3474	9,0000	165,0095	13,6891	2632,0259
14	15	295,33	244,6366	2988,0608	16,0000	218,6526	15,7586	2569,8252
15	16	292,33	244,8727	2669,0819	25,0000	258,3158	17,6889	2252,1992
16	17	230,67	245,0810	99,9369	36,0000	-59,9811	19,4847	207,6765
17	18	229,00	245,2662	136,1152	49,0000	-81,6679	21,1537	264,5880
18	19	218,67	245,4318	483,8611	64,0000	-175,9747	22,7053	716,1965
19	20	206,00	245,5810	1201,7899	81,0000	-312,0016	24,1486	1566,6528
?	209	4572,67	-	34204,6068	570,0000	97,3300	773,7933	33430,8135
?/n	11	240,6668	-	1800,2425	30,0000	5,1226	40,7260	1759,5165

Вычислим для зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:

Определим коэффициенты детерминации R2 и корреляции r [ЛУК, c. 57]:

Этот результат значит, что 2,26% вариации результативного признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 97,74% приходится на другие факторы.



Поскольку |r| < 0,4, то между факторным и результативным признаком корреляционной связи нет.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую по формуле [ЕЛИ, с. 87]:

Получим:

Поскольку A > 7%, то делаем вывод о плохом подборе модели для исходных данных.

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию,
который вычисляется по формуле:

Поскольку табличное значение F(0,05; 1; 17) = 4,45 и |F| < Fтаб, то делаем вывод об неадекватности эконометрической модели.

Методом математической экстраполяции составим прогноз показателя на следующие 4 недели.

Y(22) = 248,4142 - 56,6645 / 22 = 245,8385,

Y(23) = 248,4142 - 56,6645 / 23 = 245,9505,

Y(24) = 248,4142 - 56,6645 / 24 = 246,0532,

Y(25) = 248,4142 - 56,6645 / 25 = 246,1476.

3. Параболическая модель

Пусть эконометрическая модель специфицирована в параболической форме [ЛЕЩ, c. 58]:

Y = a0 + a1X + a2X2 + u,

где a0, a1, a2 - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки), X - фактор, Y - показатель.

Оценим параметры модели методом МНК:

A = (X 'X)-1X 'Y,

где матрица X характеризует все независимые переменные модели. Поскольку модель имеет свободный член a0, для которого все xi = 1, то матрицу нужно дополнить первым столбцом, в котором все члены являются единицами, X ' - транспонированная матрица к данной, а вектор Y - вектор зависимой переменной.



Транспонируем данную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и данной:

Вычислим обратную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и вектора Y:



Умножив обратную матрицу на предыдущую, получим искомые коэффициенты:

Таким образом a0 = 214,2489, a1 = 6,1034, a2 = -0,2697.

Следовательно, параболическая модель имеет вид:

Y = 214,2489 + 6,1034X - 0,2697X2.

Проверку правильности решения можно выполнить, использовав стандартную функцию Excel ЛИНЕЙН() [ЛАВ, c. 249]. Задав первым ее параметром значения диапазона Y, а вторым - диапазона X, получим аналогичный результат.

Выполним построение корреляционного поля с изображением на нем линии регрессии.

Найдем совокупный коэффициент детерминации и коэффициент множественной корреляции и охарактеризуем степень совместимого влияния факторов на показатель.

Для этого построим расчетную таблицу.

№	Y	X1	X2	(X1 - X1c)2	(X2 - X2c)2	Yp	(Y - Yc)2	(Y - Yp)2
1	178	2	4	81	21609	225,3771	3927,1331	2244,5880
2	236,67	3	9	64	20164	230,1322	15,9747	42,7433
3	326	4	16	49	18225	234,3479	7281,7478	8400,1063
4	303,67	5	25	36	15876	238,0243	3969,3979	4309,3554
5	208	6	36	25	13225	241,1614	1067,1226	1099,6785
6	166,33	7	49	16	10404	243,7591	5525,9661	5995,2732
7	215,33	8	64	9	7569	245,8176	641,9556	929,4917
8	247,67	9	81	4	4900	247,3367	49,0442	0,1111
9	250,33	10	100	1	2601	248,3164	93,3766	4,0546
10	218	11	121	0	900	248,7568	513,7857	945,9822
11	236,67	12	144	1	49	248,6579	15,9747	143,7101
12	218,33	13	169	4	324	248,0197	498,9345	881,4764
13	295,67	14	196	9	2025	246,8421	3025,3474	2384,1645
14	295,33	15	225	16	5476	245,1252	2988,0608	2520,5235
15	292,33	16	256	25	11025	242,8689	2669,0819	2446,3960
16	230,67	17	289	36	19044	240,0734	99,9369	88,4234
17	229	18	324	49	29929	236,7385	136,1152	59,8839
18	218,67	19	361	64	44100	232,8642	483,8611	201,4762
19	206	20	400	81	62001	228,4507	1201,7899	504,0322
?	4572,67	209,00	2869,00	570,0000	289446,0000	-	34204,6068	33201,4706

Средние значения переменных соответственно равны:

Вычислим дисперсии независимых переменных, зависимой переменной и остатков:

Коэффициент детерминации R2 показывает, какая часть движения зависимой переменной описывается данным регрессионным уравнением и вычисляется по формуле [ЛЕЩ, c. 48]:

и коэффициент корреляции:

Поскольку |r| < 0,4, то между факторным и результативным признаком корреляционной связи нет.

Коэффициент детерминации равен: R2 = 0,0293. А это значит, что 2,93% вариации результативного признака зависит от вариации уровня факторных признаков, а 97,07% приходится на другие факторы.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую по формуле [ЕЛИ, с. 87]:

Получим:

Поскольку ? > 7%, то делаем вывод о плохом подборе модели для исходных данных.

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, который вычисляется по формуле [ЛЕЩ, c. 53]:

Поскольку F(0,05; 2; 16) = 3,6337 и |F*| > Fтаб, то делаем вывод о неадекватности эконометрической модели.

Методом математической экстраполяции составим прогноз показателя на следующие 4 недели.

Y(22) = 214,2489 + 6,1034 • 22 - 0,2697 • 222 = 217,9889,

Y(23) = 214,2489 + 6,1034 • 23 - 0,2697 • 232 = 211,9558,

Y(24) = 214,2489 + 6,1034 • 24 - 0,2697 • 242 = 205,3833,

Y(25) = 214,2489 + 6,1034 • 25 - 0,2697 • 252 = 198,2714.

Таким образом, делаем вывод о несостоятельности исходных данних для построения адекватной модели. Об этом свидетельствует непредсказуемость объемов продаж рекламного времени.

Для возможности повышения прибыльности этого вида деятельности нужно кардинально менять подход в работе персонала, вид рекламируемых продуктов и качество их подачи.

Нужно делать ставку на долгосрочные контракты с новыми заказчиками рекламы и находить компромисс с прежними клиентами. Для этого нужно усовершенствовать тарифные планы рекламных пакетов.

Список используемых источников

1. Гетманцев В. Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування: Навчальний посібник. - К.: Либідь. 2001. - 256 с. [ГЕТ]

2. Елисеева И. И. Практикум по эконометрике. М.: ФиС. - 2002, 192 ст. [ЕЛП]

3. Елисеева И. И. Эконометрика. М.: ФиС. - 2004, 344 ст. [ЕЛИ]

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 311 с. [КРЕ]

5. Лавренов С.М. Excel: Сборник примеров и задач. - М.: ФиС, 2003. - 336 с. [ЛАВ]

6. Лещинський О. Л. Економетрія. - К.:МАУП 2003. - 208 с. [ЛЕЩ]

7. Лук'яненко І. Г., Краснікова Л. П. - Економетрика. - К.:Знання 1998. - 494 с. [ЛУК]

8. Наконечний C. І., Терещенко Т. О. Економетрія. - К.:КНЕУ, 2006. - 528 с. [НАК]

9. Толбатов Ю. А. Економетрика: Підручник для студентів. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2008. - 288 с. [ТОЛ]

Размещено на Allbest.ru