Оптимальное непроизводственное потребления в односекторной модели экономического роста

(2.5)

Отсюда следует прямая зависимость инвестиций от фондовооруженности и объема выпуска. Как видно, это уравнение включает и производственную функцию, и функцию потребления и увязывает запасы капитала на одного работника (k) с накоплением капитала (и). На Рисунок 2.2 представлена взаимоувязка производственной функции и функции потребления и показано влияние нормы сбережений на распределение продукта на потребление и инвестиции.



Рисунок 2.2 - Зависимость производства, потребления, инвестиций от капиталовооруженности

Такая взаимосвязь элементов производственной функции и функции потребления позволяет перейти к анализу экономического роста в зависимости от накопления капитала. Сама же величина функционирующего капитала зависит от инвестиций, которые увеличивают его, тогда как износ, амортизация уменьшают его величину.

При существующей норме амортизации (А?) величина выбытия будет равна А?·Косн , тогда как изменение запаса капитала на одного работника ( k) зависит от выбытия и от инвестиций: k = И - А. Учитывая, что И = С, данное уравнение приобретает следующий вид: Дk = с f (k) - А. Как уже отмечалось, инвестиции увеличивают запас капитала, амортизация (выбытие) его сокращает. Следовательно, величина капитала и капиталовооруженность не будут изменяться в том случае, если инвестиции и выбытие будут сбалансированы, т.е. инвестиции будут равны амортизации (И = А) [6,c.49].

Рисунок 2.3 - Инвестиции, выбытие и устойчивый уровень капиталовооруженности

Это значит, что на графике (Рисунок 2.3) кривая выбытия (А?*Косн) и кривая инвестиций [сf(k)] должны будут пересечься в точке М, где инвестиции равны выбытию, а капиталовооруженность остается неизменной. Поскольку выбытие капитала идет равномерно, линия имеет постоянный угол наклона. Несмотря на это, норма сбережений (С), объем инвестиций (И) изменяются неравномерно ввиду неравенства значений объема выпуска при различных уровнях капиталовооруженности.

Уровень капиталовооруженности, соответствующий значению КМ, называется устойчивым и соответствует равновесию экономики в долгосрочном периоде. При значении капиталовооруженности меньшие КМ (например, КN) инвестиции превышают выбытие, и запасы капитала увеличиваются. И наоборот, при значениях капиталовооруженности больше уровня КМ (в частности, КР), выбытие превышает инвестиции, и запасы капитала уменьшаются. Независимо от первоначальной величины функционирующего капитала, при которой начинает развиваться экономика, последняя затем достигает устойчивого состояния [7,c.69].

Заслуживает внимания влияние изменения нормы сбережений на экономический рост. Сначала повышение нормы сбережений приведет к повышению уровня инвестиций, тогда как выбытие останется неизменным при данной величине функционирующего капитала и неизменной норме амортизации.

В результате инвестиции превысят выбытие капитала. Дальнейшее наращивание капитала, а вместе с ним и увеличение амортизационных отчислений, будут происходить до тех пор, пока экономика вновь не достигнет устойчивого состояния.

Следовательно, норма сбережений оказывает решающее воздействие на уровень устойчивой капиталовооруженности, ее увеличение сказывается на повышении уровня производства.

Однако, как известно, экономический рост не самоцель, а лишь средство для повышения уровня благосостояния общества. Уровень накопления, который обеспечивает устойчивое состояние экономики с наивысшим уровнем потребления, называется "золотым" уровнем накопления капитала.

2.2 Экономический рост и уровень непроизводственного потребления

Для выяснения наибольшего непроизводственного потребления обратимся к известному нам уравнению у = п + и, откуда п = у - и, что определяет потребление как разность между производством и инвестициями. С целью определения устойчивого потребления подставим в последнее уравнение значения у и и, соответствующие условиям устойчивого уровня капиталовооруженности f(k) и и, соответствующие условиям устойчивого уровня капиталовооруженности f(k) и А?·Косн. Учитывая, что при устойчивом положении инвестиции равны выбытию капитала (и = А?·Косн), получим

(2.6)

Отсюда следует, что устойчивый уровень непроизводственного потребления одного работника представляет собой разность между объемом выпуска и величиной выбытия капитала в устойчивом состоянии. При росте капиталовооруженности увеличивается выпуск продукта. Однако это требует все большего количества продукта для возмещения выбытия капитала. Поэтому выполнение "золотого" правила:

(2.7)

где ППК -- предельный продукт капитала, по достижении максимума душевого потребления связано с равенством предельного продукта капитала и нормы амортизации (выбытия). Это значит, что необходимо найти такие точки производственной функции f (k) и функции выбытия капитала А?·Косн, в которых тангенсы их углов наклона совпали бы, т.е. касательная к кривой производственной функции и линия выбытия капитала были бы параллельны (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Экономический рост при устойчивом уровне непроизводственного потребления

Из рисунку 2.4, можно сделать вывод, что капиталовооруженность, которая меньше уровня, соответствующего "золотому" правилу, вызовет увеличение запасов капитала и рост производства, превышающий наращивание выбытия капитала, а это означает рост непроизводственного потребления. При этом угол наклона производственной функции f (k) больше, чем угол наклона линии А?·Косн, и расстояние между ними увеличивается по мере возрастания капиталовооруженности. Напротив, при объеме капитала, превышающем его величину, соответствующую "золотому" правилу, дальнейший рост капиталовооруженности уменьшает потребление, так как рост выпуска продукта окажется меньше прироста выбытия капитала [3, c. 155].

В заключение следует заметить, что рост экономики может осуществляться за рамками "золотого" правила. В одном случае он будет сопровождаться ростом потребления в обществе до момента достижения "золотого" уровня накопления капитала, в другом -- будет сопровождаться сокращением потребления (при превышении "золотого" уровня накопления капитала). При этом надо давать себе отчет в том, что "золотое" правило -- это оптимум с точки зрения более полного удовлетворения потребностей общества.

Однако у государства могут быть масштабные и более ответственные задачи (например, срочное укрепление обороноспособности страны или ускоренное обеспечение ее национальной и экономической безопасности).

Наконец, в модель экономического роста можно включить население и НТП.

Если предположить стабильный прирост населения и рабочей силы (Н?), сохранив удельные показатели, приходящиеся на одного работника, то изменение запаса капитала можно записать в следующем виде: (2.9)

(2.8)

Преобразовав уравнение через производственную функцию (и=сѓ(k)), получим

(2.9)

Увеличение разности нормы выбытия капитала и прироста населения указывает на ускоренное сокращение капиталовооруженности труда, так как капитал распределяется на большее число занятых.

Экономика находится в устойчивом положении, если капиталовооруженность остается неизменной, следовательно, дополнительные инвестиции должны поддерживать на установившемся уровне фондовооруженность вновь вовлеченных в производство работников и компенсировать выбытие капитала.

Для того чтобы экономика находилась в устойчивом положении, инвестиции должны компенсировать выбытие капитала и рост населения.

На Рисунок 2.5 этому условно соответствует точка М пересечения кривой инвестиций сf (k) и линии выбытия капитала и роста населения (А? + Н?) *k.

Рисунок 2.5. Экономический рост с учетом прироста населения

Линия (А? + Н?)·k указывает на более высокий темп прироста населения, что сказывается на сокращении капиталовооруженности труда, снижении его производительности.

Из этого делаются выводы, что рост населения может обеспечить непрерывный выпуск валовой продукции, понизить уровень производительности труда, замедлить увеличение ВВП (ВНП) на душу населения и даже вызвать обнищание страны [7, c. 38].

Однако данные выводы не столь бесспорны, как кажется на первый взгляд. Никто не может вычеркнуть вековую историю колониализма и ограбления народов. Нельзя игнорировать и определенные национальные и религиозные традиции стран, а также не учитывать те политические и военные катаклизмы, которые сотрясали и до сих пор сотрясают многие страны мира. В то же время отдельные страны, вступившие на путь индустриализации, добились успехов не только вследствие сокращения роста населения своих стран. И стоит ли закрывать глаза на "ножницы" цен на сырьевые товары (поставщики -- развивающиеся страны) и готовую промышленную продукцию (экспортеры -- развитые страны), на нерешенность в течение практически всей второй половины XX в. проблемы установления нового экономического порядка, которого добиваются развивающиеся страны.

Проследим теперь за последствиями изменения экзогенных параметров п и s. Увеличение темпа прироста трудовых ресурсов отображено на рисунке 2.6 поворотом луча n1? против часовой стрелки. При заданной норме сбережений не хватает инвестиций для равновесной капиталовооруженности труда. Увеличение предложения труда снижает его цену и предприниматели переходят к менее капиталоемким способам изготовления продукции. Когда капиталовооруженность труда снизится до Ш1 тогда установится новое динамическое равновесие при полном использовании труда и капитала с возросшим темпом роста национального дохода при более низкой производительности труда.

Последствия повышения нормы сбережений представлены на рисунке 2.6. Рост нормы сбережений сдвигает кривую sq вверх. В результате новое динамическое равновесие устанавливается при более высоких значениях капиталовооруженности и производительности труда, но с исходным темпом роста национального дохода, равным темпу роста населения.

Рисунок 2.6 - Последствия увеличения темпа роста населения

В момент повышения нормы сбережений темп роста национального дохода резко увеличивается, так как возрастает не только масштаб производства, но и производительность труда из-за увеличения его капиталовооруженности.

В дальнейшем вместе с замедлением роста производительности труда по мере приближения к новому равновесию темп роста национального дохода снижается до темпа роста населения.

Рисунок 2.7 - Последствия роста нормы сбережения

Динамика показателей результативности производства в переходный период показана на рисунок 2.8.

Рисунок 2.8 - . Изменение результативности производства при повышении нормы сбережений

Поскольку в данной модели устойчивый рост при полном использовании обоих факторов производства достигается при любой норме сбережений и темп прироста национального дохода всегда равен темпу прироста населения, то возникает проблема определения оптимальной нормы сбережения.

Рассмотрим проблему экономического роста с учетом технического прогресса. Обозначим постоянный темп технического прогресса через Т?, который означает, что каждая единица труда увеличивает отдачу на данную величину. Это равносильно тому, как если бы ежегодно на эту величину увеличивалось число занятых при прежней капиталовооруженности. Следовательно, технический прогресс носит трудосберегающий характер. Однако если учесть еще и рост населения (Н?), то темп роста общего количества эффективных единиц труда составляет (Н? + Т?). В таком случае ранее приводимое уравнение прироста капитала принимает следующий вид:

(2.10)

Новый график (рисунок 2.6) отличается от предыдущего только включением дополнительного элемента -- технического прогресса. Под воздействием роста технического прогресса требуется меньший объем капитала (К). При устойчивом состоянии экономики инвестиции [с f (k)] в точности компенсируют уменьшение К вследствие его выбытия, роста населения и технического прогресса.

Отсюда можно сделать вывод о том, что технический прогресс содействует росту общественной производительности труда, повышению уровня жизни населения. В противоположность сбережениям, технический прогресс обеспечивает непрерывный рост выпуска продукции, не ограничиваясь моментом достижения равновесного состояния. Он, а также рост населения, вносят коррективы в ранее сформулированное "золотое" правило для накопления капитала (ППК= А? * Kосн). Теперь

(2.11)



Рисунок 2.6 - Экономический рост с учетом технического прогресса

2.3 Кейнсианская модель экономического роста

В Кейнсианской модели, важное место отводится сбережениям и инвестициям. В связи с этим главная роль в ней отводится инвестированию нового капитала, т.е. накоплению капитала как источника инвестиций для наращивания производственных мощностей. Величины инвестиций и сбережений могут не совпадать, хотя в процессе общественного производства между ними постепенно устанавливается равенство. Функцию выравнивания инвестиций и сбережений берут на себя незапланированные инвестиции, которые возникают из-за несовпадения запланированных и фактических инвестиций. Фактические инвестиции включают в себя запланированные и незапланированные инвестиции. Последние находят свое выражение в товарно-материальных запасах, которые либо увеличиваются, либо сокращаются в зависимости от конкретной экономической ситуации и тем самым поддерживают баланс между сбережениями и инвестициями.

Увеличение инвестиций вызывает мультипликационный эффект роста объема производства, чистого внутреннего продукта (ЧВП). Под инвестициями, которые вызывают мультипликационный эффект, подразумеваются автономные, т.е. независимые инвестиции, причем к ним могут быть приравнены и государственные закупки, и экспорт [7, c. 122].

Формула мультипликатора имеет следующий вид:

 (2.12)

где Ми - мультипликатор инвестиций; ДД - прирост реального дохода; ДИа - прирост автономных инвестиций. Отсюда:

(2.13)

Для определения мультипликатора обратимся к ДД, который распадается на прирост потребления (ДП) и прирост инвестиций (ДИ):

, откуда.

Подставив данное значение ДИ в формулу (2.12), получим

(2.14)

Разделив числитель и знаменатель на ДЧВП=ДД, получим

Ми=1/(1-ДП/ДЧВП).

Но, как известно, ДП/ДЧВП - представляет собой предельную склонность к потреблению (Пп). Поэтому формула (2.14) мультипликатора инвестиций приобретает следующий вид:

(2.15)

В тоже время мы знаем, что предельная склонность к потреблению (Пп) и предельная склонность к сбережению (Сп) в сумме равны единице (). Отсюда следует, что

.

В свою очередь, подставив Пп в формулу (2.15), получим следующее значение мультипликатора:

(2.16)

Таким образом, мультипликатор автономных инвестиций является обратной величиной предельной склонности к сбережению

.

Подставив полученное значение мультипликатора в формулу прироста дохода (), получим

(2.17)

Доход, возросший в соответствии с величиной мультипликатора, вызовет рост спроса на потребительские товары и объема их производства. Рост инвестиций, спровоцированный ростом доходов, называется эффектом акселерации. Инвестиции, вызванные увеличением доходов, называются индуцированными инвестициями.

Эффект акселерации обусловлен в решающей степени двумя факторами: длительностью периода изготовления оборудования, вследствие чего в этот период неудовлетворенный спрос вызывает расширение производства, и длительностью периода эксплуатации оборудования, вследствие чего процентный прирост новых инвестиций к восстановительным инвестициям больше процентного прироста продукции, спрос на которую вызывает новые инвестиции.

Коэффициент акселерации (акселератор) равен отношению прироста инвестиций к вызвавшему их приросту дохода, потребительского спроса или объема готовой продукции в предшествующем периоде. Он рассчитывается по следующей формуле.

(2.18)

где V - акселератор; - прирост индуцированных инвестиций в t-году; , - величины национального дохода (продукта) соответственно в двух предшествовавших инвестициям годах.

Отсюда можно получить величину прироста индуцированных инвестиций:

(2.19)

В данной модели учитываются только производные инвестиции от прироста национального дохода.

Если происходит сокращение доходов, спроса, то следствием этого также будет резкое сокращение инвестиций. Отсюда можно сделать вывод о том, что эффект акселерации наиболее отчетливо проявляется в циклическом характере экономического развития. В связи с этим в моделях экономического цикла акселератор используется во взаимодействии с мультипликатором. Наиболее известная модель представлена уравнением национального дохода:

, (2.20)

где - национальный доход в рассматриваемом году; Аt - автономные инвестиции в том же году; (1-S) - доля потребления в национальном доходе, склонность к потреблению; - величина индуцированных инвестиций

В рамках кейнсианской концепции широко известна и модель экономического роста Харрода--Домара. Это однофакторная модель определения темпов роста, в которой в качестве источника роста учитывается только капитал. При этом капиталоемкость признается относительно неизменной величиной. Ее постоянство связано с тем, что в случае роста производительности труда (сбережения труда) одновременно происходит увеличение отношения капитала к труду и отношения выпуска продукции к затратам труда. Это указывает на то, что коэффициент "капитал-выпуск" остается постоянным.

При использовании данной модели дается ряд весьма важных допущений: полная задействованность всех факторов, равенство спроса и предложения и их приростных величин.

Рассмотрим модель Харрода--Домара на примере упрощенной и одновариантной формулы:

, (2.21)

где - темп прироста национального дохода; - норма накопления капитала в национальном доходе; - капиталоемкость прироста национального дохода.

Числитель и знаменатель этой функции могут быть представлены в следующем виде:

(2.22)

где ФН - фонд накопления; НД - национальный доход; ДНД - прирост национального дохода за счет задействования фонда накопления (сбережений) [7, c. 135].

В данном случае берутся чистые сбережения (фонд накопления), от которых зависит размер инвестиций, а чем значительней прирост инвестиций, тем выше темп роста. Следовательно, между сбережениями и чистыми инвестициями и экономическим ростом существует прямая зависимость.

В отношении капиталоемкости и экономического роста действует обратная зависимость: чем выше капиталоемкость производства, тем ниже темпы экономического роста, и, напротив, снижение уровня капиталоемкости в результате НТП, структурных сдвигов, сокращения неустановленного оборудования приводит к увеличению темпов экономического роста.

Капиталоемкость прироста национального дохода (ДКЕ) может быть выражена через капиталоотдачу (фондоотдачу) прироста национального дохода (ДКО) как обратную ей величину ДКЕ = 1/Д КО.

Подставив в исходную формулу (Тпр = Н?к /ДКЕ) капиталоемкость, выраженную через фондоотдачу (капиталоотдачу), получим:

(2.23)

Отсюда вытекает вывод о зависимости темпа прироста национального дохода от нормы накопления в национальном доходе и капиталоотдачи прироста национального дохода. Сам же темп прироста национального дохода (в процентах) выражается формулой: (2.24)

(2.24)

Обеспечение в долгосрочном периоде постоянного и равномерного экономического роста требует соблюдения следующих условий:

? необходимо достигнуть равенства, т.е. оптимального сочетания текущего прироста сбережений и ожидаемого прироста инвестиций (С = И);

? следует не просто поддерживать уровень чистых инвестиций и государственных капитальных вложений, а увеличивать их в качестве нового импульса к росту;

? необходимо постоянно поддерживать равновесное состояние между спросом, провоцирующим инвестиции, и предложением совокупного продукта, который может быть создан при использовании всех факторов и полной занятости.

2.4 Построение математической модели в абсолютных показателях

Сформулированная в середине прошлого века концепция экономического роста имела целью заменить кейнсианскую модель динамического развития экономики Харрода-Домара неоклассической теорией роста. При этом в исходной модели экономическая система рассматривается как единое целое, в которой производится один универсальный продукт. Этот продукт может потребляться и инвестироваться. Экспорт-импорт в явном виде не учитывается. Состояние экономической системы задается следующими эндогенными переменными:

? X(t) - выпуск товаров и услуг;

? C(t) - фонд непроизводственного потребления;

? I(t) - валовые инвестиции в производственный капитал;

? L(t) - число занятых в производственной деятельности;

? K(t) - основные производственные фонды.

Время t измеряется в годах и считается непрерывным. Кроме того, состояние экономической системы определяется экзогенными (заданными извне) показателями:

а) g - годовой темп прироста числа занятых в производственной деятельности;

б) m - доля основных производственных фондов, выбывших за один год;

в) а - доля промежуточного продукта в выпуске товаров и услуг;

г) ц - доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте (норма накопления).

Данные экзогенные показатели могут изменяться в следующих пределах: -1 < g < 1; 0 < m< 1; 0 < а < 1; 0 < ц < 1.

Годовой выпуск товаров и услуг X(t) в каждый момент времени t связан с ресурсами K(t) и L(t) посредством линейно- однородной неоклассической производственной функции:

 (2.25)

Сами ресурсные показатели, являясь эндогенными показателями, изменяются за небольшой промежуток времени ?t следующим образом:

1. В соответствии с определением темп прироста числа занятых в производственной деятельности будет равен:

(2.26)

Разделив уравнение (2.26) на ?t и умножив его на L(t), при dt не равном нулю, получим:

(2.27)

или, при записи в стандартном виде:

(2.28)

Решение данного однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид:

(2.29)

Используя начальное условие L(0) = L0, получим:

(2.30)

2. Прирост основных производственных фондов за промежуток времени ?t с учетом инвестиций и выбытия фондов за счет износа со ставит:

(2.31)

Если разделить уравнение (2.31) на ?t, при At -> 0, получим дифференциальное уравнение вида:

, при K(0)=K0 (2.32)

3. Функцию изменения валовых инвестиций во времени можно получить следующи

(2.33)

где Y(t) - текущее значение валового внутреннего продукта, а Z(t) = a * X(t) - величина промежуточного продукта.

4. Величина фонда непроизводственного потребления, исходя из (10.9), находится по формуле:

. (2.34)

Таким образом, получаем модель Солоу в абсолютных величинах в виде системы уравнений:

(2.35)

Схема функционирования экономики для этого случая представлена на рисунке 10.1.

Рисунок 2.7 - Схема функционирования экономики

Данная схема наглядно представляет взаимосвязь абсолютных показателей в экономической системе согласно модели экономического роста.

2.5 Построение математической модели в относительных показателях

При выполнении определенных условий экономическая система, поведение которой описывается моделью Солоу, может иметь так называемую стационарную траекторию. При этом стационарной траекторией называют такое поведение экономической системы, когда ее относительные показатели не изменяются во времени.

Определим условия, выполнение которых приводит к неизменности относительных показателей экономической системы, описываемой моделью Солоу. В качестве относительных показателей примем

С учетом введенных относительных показателей можно записать:

Пункт 1.

(2.36)

Пункт 2.

(2.37)

или, используя третье уравнение из системы (2.35), получим:

(2.38)

Разделим данное уравнение на L(t) и разрешим его относительно

В этом случае будем иметь:

(2.39)

Пункт 3.

(2.40)

Пункт 4.

(2.41)

С учетом выведенных в пунктах 1-4 уравнений модель экономического роста в относительных показателях можно записать в виде следующей системы уравнений:

(2.42)

Если установить неизменными во времени показатели: k(t) = k0 = const, x(t) = x0 = const, i(t) = i0 = const, c(t) = c0 = const, то экономическая система будет находиться на стационарной траектории.

Как видно из системы уравнений (2.42), выход на стационарную траекторию можно обеспечить путем установления фондовооруженности труда на постоянном уровне, т.е. при соблюдении условия, что k(t) = k0 = const. В этом случае

(2.43)

и, следовательно

(2.44)

Выражение (2.44) можно переписать в следующем виде:

(2.45)

Учитывая, что X(t) = F [K(t), L(t)] является неоклассической функцией, то f(0) = 0, f/ >0, f// <0. Если дополнительно задать условие,

 (2.45)

то уравнение (2.45) будет иметь единственное ненулевое решение k0. Данное положение показано на рисунке 2.10.

Рисунок 2.8 - Графики функций h(k)

Одинаковая скорость роста функций h1(k) и h2(k), как показано на рис. 2.46, достигается при k = k~ и, следовательно, значение k~ является корнем уравнения:

(2.46)

Таким образом, решив уравнение (2.46), можно найти численное значение k~. Соотношение между величиной k~ и k0 оказывает существенное влияние на вид переходных процессов в модели Солоу. Если в начальный момент времени t=0 экономическая система имеет фондовооруженность k(0) = k0 = k0, то она уже находится на стационарной траектории. В этом случае данную систему перевести в другое состояние можно только путем изменения значения одного из экзогенных показателей, например доли валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте или, изменив производственную функцию, X(t) = F [K(t), L(t)].

В случае если k0 k0, то в экономической системе происходит переходный процесс с выходом на стационарную траекторию, т.е. k(t) > k0. При этом наблюдаются три типа переходных процессов. Рассмотрим их применительно к изменению фондовооруженности труда во времени:

? если k0 < k~ , то сначала происходит ускоренный рост фондовооруженности труда k(t), а затем, после достижения равенства k(t) = k~ , сменяется замедленным ростом данного показателя, с постепенным приближением к величине k0;

? если k~ < k0 < k0, то наблюдается замедленный рост фондовооруженности труда k(t) к величине k0;

? если k0 > k0, то происходит замедленное снижение фондовооруженности труда к величине k0.

Аналогичным образом изменяются и остальные относительные показатели в модели Солоу, т.к. они связаны с фондовооруженностью труда.

Развитие экономической системы во многом определяется выбором величины нормы накопления. Естественно, что увеличение нормы накопления ведет к более быстрому развитию системы, но при этом снижается доля непроизводственного потребления и его объем растет недостаточно быстрыми темпами. Существенное уменьшение нормы накопления ведет к увеличению первоначального объема потребления, но и к замедлению развития экономической системы, что в конечном итоге также приводит к медленному росту объема потребления. Очевидно, имеется такая величина нормы накопления, которая позволяет максимизировать через определенное время объем непроизводственного потребления.

Рассмотрим возможность нахождения нормы накопления, которая максимизирует среднедушевое потребление при нахождении экономической системы на стационарной траектории. В общем случае можно записать:

(2.47)

Для производственной функции вида:

 (2.49) будем иметь:

Следовательно, можно записать:

(2.50)

или для стационарной траектории:

(2.51)

С другой стороны, для стационарной траектории справедливо уравнение (2.46), которое можно записать, с учетом уравнения (2.51), в следующем виде:

и (2.52)

(2.53)

(2.54)

Подставляя выражение (2.53) в (2.51), получим:

(2.55)

где (2.56)

(2.57)

Таким образом, значение среднедушевого потребления в зависимости от нормы накопления определяется функцией W(ц).

Следовательно, для нахождения максимума среднедушевого потребления на стационарных траекториях необходимо определить максимум функции W(ц).

Для этого возьмем производную от функции W(ц) и приравняем ее к нулю:

(2.58)

Выражение (2.58) равно нулю при ц = б, значит c0(ц) принимает максимальное значение в случае, когда норма накопления равна эластичности выпуска по основным производственным фондам. Из выражений (2.55) и (2.54) следует, что ,при ц>б и , при ц<б. При заданных значениях a = 0,6; a = 0,5; A = 1,1, l = 0,06 график изменения функции c0(ц) будет иметь вид кривой , представленной на рисунок 2.9.

Рисунок 2.9 - Норма непроизводственного накопления

Из рисунка видно, что при норме накопления (ц) меньше a, равного в данном случае 0,6, имеет место недонакопление, а при ц больше a = 0,6 - перенакопление. Максимальное среднедушевое потребление (c0) достигается в данном случае, когда норма накопления = 0,6, т.е. равна коэффициенту эластичности по производственным фондам (a). В результате получим, что норма накопления меньше своего оптимального значения.

2.6 Построение модели в абсолютных показателях с учётом запаздывания при вводе фондов

Модель экономического роста в абсолютных показателях (2.35) может быть записана для условия, когда в качестве выходного показателя производственной системы принимается не выпуск товаров и услуг , а валовой внутренний продукт . В этом случае во всех уравнениях системы параметр а равен нулю и система уравнений примет следующий вид:

(2.59)

Однако в данной модели, как и во всех предыдущих записях модели экономического роста, не учитывается запаздывание при превращении инвестиций в основные производственные фонды и их дальнейшее освоение. Для учёта инвестиционного лага имеются два подхода:

1. Запаздывание учитывается в виде фиксированного лага t. В этом случае, пренебрегая лагом освоения, ввод фондов в сущности есть инвестиции, сделанные в момент времени :

(2.60)

2. Другим подходом является использование распределенного ла га. В этом случае инвестиции, осуществленные в момент времени t в объеме , осваиваются постепенно долями, в соответствии с некоторым распределением . Причем справедливо условие: объеме , осваиваются постепенно долями, в соответствии с некоторым распределением . Причем справедливо условие:

 (2.61)

В связи с тем, что инвестиции осуществляются не только в какой-то один фиксированный момент времени, но и в другие моменты времени, то ко времени t накопится следующий объём вводимых (и освоенных) фондов:

(2.62)

Если процесс инвестирования и ввода фондов (с освоением) имеет стационарный характер, то ,и выражение (2.62) можно записать в следующем виде:

(2.63)

Принимая, что распределение является показательным:

(10.33)

(2.64)

будем иметь:

(2.64)

Произведя дифференцирование выражения (2.64), получим:

(2.65)

Используя уравнение (2.65), как уравнение, учитывающее запаздывание при вводе основных производственных фондов, получаем на основе системы уравнений (2.58) односекторную модель экономики с учетом запаздывания во вводе фондов:

(2.66)

Данная система уравнений отражает: баланс распределения валового внутреннего продукта на инвестиции и непроизводственное потребление;

величину валового внутреннего продукта в зависимости от ресурсов;

изменение трудовых ресурсов во времени;

динамику основных производственных фондов во времени;

динамику ввода основных производственных фондов в зависимости от инвестиций и запаздывания во вводе фондов;

изменение инвестиций во времени;

изменение непроизводственного потребления во времени.

Для данной системы уравнений можно вывести систему уравнений в относительных показателях. На основе системы уравнений в относительных показателях можно получить оптимальную норму накопления, которая, как и для системы уравнений (2.42), равна коэффициенту эластичности по основным производственным фондам.

3. Оптимизация непроизводственных потребностей в модели экономического роста

3.1 Построение имитационной модели потребления в односекторной модели экономического роста

Имитационное моделирование один из наиболее продуктивных методов по разработке программных моделей реальных или гипотетических систем, а также реализации этих программ на компьютере. На основе получаемых систем проводится анализ результатов компьютерных экспериментов по исследованию поведения моделей. Имитация является численным методом проведения на цифровых вычислительных машинах экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительного времени. Методы имитационного моделирования экономических систем динамично меняются, не только в плане толкования смысла этого понятия, но, особенно, в отношении используемого программного обеспечения и возможностей вычислительной техники. Реализуем модель экономического роста в Excel и построим имитационную схему для модели экономического роста в Matlab для сравнения результатов. Проследим ее динамику на протяжении 30 лет для следующих значений параметров:

н=0,1 м=0,3 с=0,4 Х=3

Начальные значения переменных:

K=800000 L=1000000

v - темп прироста населения;

µ - темп потерь фондов;

p - норма накопления;

K - объем основных производственных фондов;

L - трудовые ресурсы;

I - инвестиции;

С - непроизводственное потребление;

с - норма потребления.

Построим имитационную схему для модели экономического роста и проследим ее динамику на протяжении 50 лет:

Найдем значения K и L, воспользовавшись следующими соотношениями:

(3.1)

(3.2)

Система уравнений модели выглядит следующим образом:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Найдем решение с использованием электронных таблиц Microsoft Excel:

Таблица 1 - Расчетные показатели для построения имитационной модели

t	K	L	X	I	C	k
0	800000	1000000	2624069	1049628	1574441	0,8
1	1609628	1100000	4146805	1658722	2488083	1,463298
2	2785461	1210000	5986509	2394604	3591906	2,302034
3	4344427	1331000	8119924	3247970	4871954	3,264032
4	6289068	1464100	10531769	4212708	6319061	4,295518
5	8615055	1610510	13214827	5285931	7928896	5,349272
6	11316469	1771561	16169265	6467706	9701559	6,387852
7	14389234	1948717	19401861	7760744	11641117	7,383952
8	17833208	2143589	22925327	9170131	13755196	8,319323
9	21653377	2357948	26757794	10703117	16054676	9,183145
10	25860481	2593742	30922454	12368982	18553473	9,970335
11	30471319	2853117	35447354	14178941	21268412	10,68001
12	35508864	3138428	40365303	16146121	24219182	11,31422
13	41002326	3452271	45713904	18285562	27428343	11,87691
14	46987190	3797498	51535676	20614270	30921406	12,3732
15	53505303	4177248	57878260	23151304	34726956	12,80874
16	60605016	4594973	64794715	25917886	38876829	13,18942
17	68341397	5054470	72343885	28937554	43406331	13,52098
18	76776532	5559917	80590840	32236336	48354504	13,80893
19	85979908	6115909	89607394	35842958	53764437	14,0584
20	96028894	6727500	99472697	39789079	59683618	14,27408
21	1,07E+08	7400250	1,1E+08	44109560	66164340	14,46023
22	1,19E+08	8140275	1,22E+08	48842765	73264148	14,62065
23	1,32E+08	8954302	1,35E+08	54030896	81046344	14,75872
24	1,47E+08	9849733	1,49E+08	59720363	89580544	14,87743
25	1,62E+08	10834706	1,65E+08	65962199	98943299	14,97941
26	1,8E+08	11918177	1,82E+08	72812518	1,09E+08	15,06694
27	1,99E+08	13109994	2,01E+08	80333013	1,2E+08	15,14202
28	2,19E+08	14420994	2,21E+08	88591517	1,33E+08	15,20639
29	2,42E+08	15863093	2,44E+08	97662611	1,46E+08	15,26155
30	2,67E+08	17449402	2,69E+08	1,08E+08	1,61E+08	15,3088

Как видно из расчетов при увеличении объемов инвестиций и потребления в динамике за 30 лет фондовооруженность увеличивается, что соответствует первому режиму изменения фондовооруженности.



Рисунок 3.1 - График изменения фондовооруженности k

Вычислим стационарное значение фондовооруженности.

Найдем значение стационарной фондовооруженности по формуле:

(3.8)

В нашем случае k*= 15,58846.

Вычислим теоретические значения критической фондовооруженности по формуле:

(3.9)

Получим: = 4,346916

Подберем начальные значения K, L таким образом, чтобы смоделировать два режима изменения фодовооруженности.

Зададим начальные параметры K=13570000 и L=1425000, остальные параметры оставим без изменения.

Таблица 2 - Расчет параметров модели для начальных значений К и L

t	K1	L1	k1*	X1	I1
0	13570000	1425000	9,522807	16527041	6610816
1	16109816	1567500	10,27739	19030869	7612348
2	18889219	1724250	10,95504	21751527	8700611
3	21923064	1896675	11,55868	24709228	9883691
4	25229836	2086343	12,09285	27926992	11170797
5	28831682	2294977	12,56295	31430737	12572295
6	32754472	2524474	12,97477	35249423	14099769
7	37027900	2776922	13,33415	39415239	15766096
8	41685625	3054614	13,64677	43963837	17585535
9	46765472	3360075	13,91798	48934602	19573841
10	52309672	3696083	14,15273	54370977	21748391
11	58365161	4065691	14,35553	60320819	24128327
12	64983940	4472260	14,53045	66836810	26734724
13	72223482	4919486	14,6811	73976915	29590766
14	80147203	5411435	14,81071	81804889	32721956
15	88824998	5952579	14,9221	90390843	36156337
16	98333836	6547837	15,01776	99811866	39924746
17	1,09E+08	7202620	15,09984	1,1E+08	44061087
18	1,2E+08	7922882	15,17024	1,22E+08	48602638
19	1,33E+08	8715170	15,23057	1,34E+08	53590383
20	1,47E+08	9586687	15,28227	1,48E+08	59069386
21	1,62E+08	10545356	15,32654	1,63E+08	65089200
22	1,78E+08	11599892	15,36444	1,79E+08	71704308
23	1,96E+08	12759881	15,39688	1,97E+08	78974626
24	2,16E+08	14035869	15,42465	2,17E+08	86966037
Продолжение таблицы 2
25	2,39E+08	15439456	15,4484	2,39E+08	95750997
26	2,63E+08	16983402	15,46871	2,64E+08	1,05E+08
27	2,89E+08	18681742	15,48609	2,9E+08	1,16E+08
28	3,19E+08	20549916	15,50095	3,19E+08	1,28E+08
29	3,51E+08	22604907	15,51366	3,51E+08	1,41E+08
30	3,86E+08	24865398	15,52452	3,87E+08	1,55E+08

Эти данные соответствуют второму режиму фондовооруженности.



Рисунок 3.3 - График фондоворуженности k1*

Вычислим K2, L2 и k2* аналогично, взяв за начальные параметры K=13000000 и L=670000. Результаты расчетов приведены в приложении А.

Из таблицы видно, что эти данные соответствую третьему режиму фондовооруженности.

Рисунок 3.3 - График фондоворуженности k2*

Фондовооруженность асимптотически стремится к значению

(3.10)

Фондовооруженность убывает при большем начальном значении и возрастая при меньшем.

Возрастание является ускоренным при малых значениях фондовооруженности и замедленным при больших.

Покажем данное свойство графически:

Рисунок 3.3 - "Золотое правило" накопления

Проверим полученную модель на соответствие «золотому правилу накопления»

Данная имитационная схема позволяет менять параметры исходной модели, рассматриваемые там как постоянные величины. Так, регулируя норму накопления, можно добиться увеличения в перспективе нормы потребления. «Золотое правило накопления», выводимое на основе аналитического решения, дает для нормы накопления наилучшее значение .

Найдем норму потребления с для каждого значения p, принадлежащий промежутку (0,1;0,9) (с шагом 0,1), на пять периодов:

Рисунок 3.3 - Норма непроизводставенного потребления

Выполнение правила "золотого накопления", которое заключается в том, что при полной занятости и полной загрузке производственных мощностей в растущей с постоянным темпом экономике средняя норма потребления достигает максимума при равенстве нормы сбережения и эластичности выпуска по капиталу и выглядит следующим образом (Рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 - Норма непроизводственного потребления

Наибольшее непроизводственное потреблении достигается при ставке процента, равной эластичности выпуска по капиталу.

В результате работы построена однофакторная модель экономического роста и прослежена ее динамика, начислено стационарное значение фондовооруженности, найдены при различных значениях K и L три режима фондовооруженности, проверено "золотое правило накопления".

3.2 Построение имитационной модели средствами пакета MatLab

MatLab является высокопроизводительным языком для технических расчетов. Он может использоваться для:

? математических вычислений,

? создания алгоритмов,

? моделирования,

? анализа, исследования и визуализации данных,

? научной и инженерной графики,

? разработки приложений, включая создание графического интерфейса.

В MatLab важная роль отводится специализированным наборам инструментов Toolboxes, которые позволяют изучать и применять специализированные методы: обработка сигналов, системы управления, идентификация систем, построение и анализ нейронных систем, поиск решений на основе нечеткой логики и т.д. Одной из наиболее важных сопутствующих программ является Simulink, который позволяет моделировать нелинейные динамические системы. Он имеет библиотеку стандартных графических блоков со встроенными математическими функциями, причем создание модели происходит с помощью мыши, то есть блоки соединяются информационными связями, что позволяет наглядно представить структуру модели. Именно поэтому Simulink часто называют средством визуального моделирования.

Рисунок 3.6 - Окно системы MatLab

Основной панелью является Command Window. В ней набираются команды пользователя, подлежащие немедленному выполнению. Здесь же выдаются результаты исполняемых команд.

Сначала создадим М-функцию с описанием правых частей дифференциального уравнения. Для этого в главном меню следует выбрать File>New>M-file, и в окне редактора М-файлов написать следующий текст:

function dkdt = solou (t,k)

global s alfa A n

dkdt=s*A*(k^alfa)-n*k;

Для использования функции необходимо ее сохранить. Команда global делает переменные, перечисленные за ней, глобальными (то есть их значения можно изменить как внутри функции, так и в командном окне).

Воспользуемся решателем ode45. В командном окне следует написать следующие команды, которые решат дифференциальное уравнение с заданными начальными параметрами и построят график полученной траектории (рис. 1.4)

>> global s alfa A n

>> A=0.9;

>>alfa=0.5;

>>s=0.8;

>>n=0.05;

>>[t,k]=ode45(`solou',[0 500],[1]);

>>plot(t,k)

Рисунок 3.7 - Зависимость фондовооруженности от времени

Из рисунка видно, что k стабилизируется на уровне 207 единиц. Убедимся в том, что это значение (k*) является устойчивым. Для этого рассчитаем траекторию для различных начальных условий.

>> hold on

>> for i=0:100:500

[t,k]=ode45('solou',[0 500],[i]);

plot(t,k)

nd

График на рисунке 1.5 иллюстрирует устойчивость состояния равновесия k*.

Рисунок 3.8 - Устойчивость состояния равновесия k*

Далее изложим процесс имитации в программном пакете Simulink . Программа Simulink является приложением к пакету MatLab, которая реализует принципы визуального программирования, т.е. пользователь создает на экране модель с помощью встроенных стандартных блоков. При этом пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и численные методы, а достаточно общих знаний о программе и в той области исследования, в которой он работает. При работе с Simulink пользователь может пользоваться как встроенной библиотекой блоков, так и создавать свои собственные не только блоки, но и целые библиотеки блоков.

Для запуска программы необходимо сначала запустить MatLab. После этого можно либо набрать команду Simulink в окне команд, либо нажать на кнопку на панели инструментов. Чтобы запустить уже готовую модель можно воспользоваться командой Open из меню File и открыть файл модели (mdl). После запуска приложения появится окно обозревателя разделов библиотеки Simulink (рисунок 3.1).

Рисунок 3.9 - Окно обозревателя разделов библиотеки

Для того чтобы построить модель нужно сначала создать новый файл модели (рис. 3.10) с помощью команды File> New> Model или соответствующей кнопки на панели инструментов.

Рисунок 3.10 - Новое окно для разработки модели

Далее нужно расположить блоки в окне модели, т.е. курсором перетащить нужные блоки из библиотеки в окно модели. Чтобы удалить блок, его нужно выбрать и нажать клавишу Delete. Далее, если это требуется, нужно изменить параметры блока, щелкнув два раза мышкой на изображении блока.

После установки на схеме всех блоков их нужно соединить. Для этого нажать мышкой на выход из блока (при этом курсор будет в виде большого креста из тонких линий), и вести стрелку, не отпуская мыши, до нужного входа в блок (курсор примет вид креста из сдвоенных линий). В случае правильного соединения изображение стрелки на входе в блок поменяет цвет. Для создания точки разветвления в соединительной линии нужно подвести курсор к предполагаемому узлу и, нажав правую клавишу "мыши", протянуть линию. Для удаления линии требуется выбрать линию (так же, как это выполняется для блока), а затем нажать клавишу Delete на клавиатуре. После составления схемы необходимо сохранить ее в виде файла на диске

Построим модель Экономического роста, используя встроенные блоки Simulink. Для этого воспользуемся следующими блоками [24]:

Библиотека Sources - источники сигналов и воздействий.Constant - константа, задает постоянный по уровню сигнал. Параметры: Constant value - Постоянная величина.

Interpret vector parameters as 1-D - Интерпретировать вектор параметров какодномерный (при установленном флажке). Данный параметр встречается у большинства блоков библиотеки Simulink. Значение константы может быть действительным или комплексным числом, вычисляемым выражением, вектором или матрицей.

Step - шаг, прирост, ступень. формирует ступенчатый сигнал. Параметры:

? Step time - Время наступления перепада сигнала (с);

? Initial value - Начальное значение сигнала;

? Final value - Конечное значение сигнала. Перепад может быть как в большую сторону (конечное значение больше чем начальное), так и в меньшую (конечное значение меньше чем начальное). Значения начального и конечного уровней могут быть не только положительными, но и отрицательными (например, изменение сигнала с уровня -5 до уровня -3).

Библиотека Sinks - регистрирующие устройства, приемники сигналов. Scope - осциллограф, индикатор, графопостроитель, строит графики исследуемых сигналов в функции времени.

Позволяет наблюдать за изменениями сигналов в процессе моделирования. Открыть окно просмотра можно на любом этапе расчета (как до начала расчета, так и после него, а также во время расчета). В том случае, если на вход блока поступает векторный сигнал, то кривая для каждого элемента вектора строится отдельным цветом.

Sample time - шаг модельного времени. Определяет дискретность отображения данных.

Floating display - перевод блока в "свободный" режим. В данном режиме входной порт блока отсутствует, а выбор сигнала для отображения выполняется щелчком левой клавиши "мыши" на соответствующей линии связи.

Библиотека Continuous - линейные блоки. Integrator - интегратор, выполняет интегрирование входного сигнала.

Параметры: External reset - Внешний сброс. Тип внешнего управляющего сигнала, обеспечивающего сброс интегратора к начальному состоянию. Библиотека Continuous - линейные блоки.

Параметрами являются: External reset - внешний сброс, тип внешнего управляющего сигнала, обеспечивающего сброс интегратора к начальному состоянию, который выбирается из списка:

Таблица 3.2 - Тип внешнего управляющего сигнала

none	нет (сброс не выполняется)
rising	нарастающий сигнал (передний фронт сигнала)
falling	спадающий сигнал (задний фронт сигнала)
either	нарастающий либо спадающий сигнал
level	не нулевой сигнал (сброс выполняется, если сигнал на управляющем входе становится не равным нулю)

В том случае, если выбран какой-либо (но не none), тип управляющего сигнала, то на изображении блока появляется дополнительный управляющий вход. Рядом с дополнительным входом будет показано условное обозначение управляющего сигнала.

Initial condition source - Источник начального значения выходного сигнала. Выбирается из списка: internal - внутренний; external - внешний.

В этом случае на изображении блока появляется дополнительный вход, обозначенный x0, на который необходимо подать сигнал, задающий начальное значение выходного сигнала интегратора.

Initial condition -- Установка начального значения выходного сигнала интегратора. Параметр доступен, если выбран внутренний источник начального значения выходного сигнала.

Limit output (флажок) -- Использование ограничения выходного сигнала. Upper saturation limit -- Верхний уровень ограничения выходного сигнала. Может быть задан как числом, так и символьной последовательностью inf. Lower saturation limit -- Нижний уровень ограничения выходного сигнала. Может быть задан как числом, так и символьной последовательностью inf. Show saturation port -- управляет отображением порта, выводящего сигнал, свидетельствующий о выходе интегратора на ограничение.

Выходной сигнал данного порта может принимать следующие значения: ноль, если интегратор не находится на ограничении; +1, если выходной сигнал интегратора достиг верхнего ограничивающего предела; -1, если выходной сигнал интегратора достиг нижнего ограничивающего предела.

Show state port (флажок) -- Отобразить/скрыть порт состояния блока. Данный порт используется в том случае, если выходной сигнал интегратора требуется подать в качестве сигнала обратной связи этого же интегратора.

Absolute tolerance -- Абсолютная погрешность.

Библиотека Math Operations - блоки математических операций. Gain - пропорциональное звено, выполняют умножение входного сигнала на постоянный коэффициент. Параметры: Gain - коэффициент усиления, Multiplication - способ выполнения операции, может принимать значения (из списка):

Таблица 3.3 - Коэффициент усиления

Element-wise K*u	Поэлементный.
Matrix K*u	Матричный. Коэффициент усиления является левосторонним операндом.
Matrix u*K	Матричный. Коэффициент усиления является правосторонним операндом.

Math Function - математическая функция, выполняет вычисление математической функции. Параметры: Function - вид вычисляемой функции.

Product - произведение, выполняет вычисление произведения текущих значений сигналов. Параметры:

? Number of inputs - Количество входов. Может задаваться как число или как список знаков. В списке знаков можно использовать знаки * (умножить) и / (разделить).

? Multiplication - способ выполнения операции. Может принимать значения: Element-wise - поэлементный или Matrix - матричный.

? Saturate on integer overflow (флажок) - Подавлять переполнение целого. При установленном флажке ограничение сигналов целого типа выполняется корректно.

Если параметр Number of inputs задан списком, включающим кроме знаков умножения также знаки деления, то метки входов будут обозначены символами соответствующих операций. Блок может использоваться для операций умножения или деления скалярных векторных или матричных сигналов. Типы входных сигналов блока должны совпадать. Если в качестве количества входов указать цифру 1 (один вход), то блок можно использовать для определения произведения элементов вектора. При выполнении матричных операций необходимо соблюдать правила их выполнения. Например, при умножении двух матриц необходимо, чтобы количество строк первой матрицы равнялось количеству столбцов второй матрицы.

Sum - сумматор, выполняет вычисление суммы текущих значений сигналов. Параметры:

? Icon shape - Форма блока. Может быть round - круглой или rectangular - прямоугольной.

? List of sign - Список знаков. В списке можно использовать следующие знаки: + (плюс), - (минус) и | (разделитель знаков).

? Saturate on integer overflow (флажок) - Подавлять переполнение целого. При установленном флажке ограничение сигналов целого типа выполняется корректно.

Количество входов и операция (сложение или вычитание) определяется списком знаков параметра List of sign, при этом метки входов обозначаются соответствующими знаками. В параметре List of sign можно также указать число входов блока. В этом случае все входы будут суммирующими. Если количество входов блока превышает 3, то удобнее использовать блок Sum прямоугольной формы. Блок может использоваться для суммирования скалярных, векторных или матричных сигналов. Типы суммируемых сигналов должны совпадать. Нельзя, например, подать на один и тот же суммирующий блок сигналы целого и действительного типов. Если количество входов блока больше, чем один, то блок выполняет поэлементные операции над векторными и матричными сигналами. При этом количество элементов в матрице или векторе должно быть одинаковым. Если в качестве списка знаков указать цифру 1 (один вход), то блок можно использовать для определения суммы элементов вектора.