Эконометрические задачи

Размещено на http://www.allbest.ru

Задача 1

Исследуется зависимость производительности труда () от уровня механизации работ (%) по данным 14 промышленных предприятий (- порядковый номер предприятия). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки параметров линейной регрессии на . Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне значимости проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

регрессия производительность статистика эконометрический

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	64	59	65	71	73	80	36	34	40	44	45	51	60	58
	42	44	45	47	49	52	24	28	32	34	35	37	38	41

Решение:

1) Для уравнения прямой регрессии по статистическим данным найдем оценки и ее параметров методом наименьших квадратов. Применим формулы:

, , где , ;

, , , , n =14

Вычисления организуем в форме следующей расчетной таблицы:

1	64	42	4096	1764	2688
2	59	44	3481	1936	2596
3	65	45	4225	2025	2925
4	71	47	5041	2209	3337
5	73	49	5329	2401	3577
6	80	52	6400	2704	4160
7	36	24	1296	576	864
8	34	28	1156	784	952
9	40	32	1600	1024	1280
10	44	34	1936	1156	1496
11	45	35	2025	1225	1575
12	51	37	2601	1369	1887
13	60	38	3600	1444	2280
14	58	41	3364	1681	2378
	780	548	46150	22298	31995
/ n	55,7	39,1	3296,4	1592,7	2285,3

Далее вычисляем ковариации

;

;

;

и по указанным выше формулам находим



;

.

В результате получаем уравнение прямой регрессии

.

2) Проверим согласованность выбранной линейной регрессии с результатами наблюдений. Это выполняется как решение следующей задачи проверки статистической гипотезы.

На заданном уровне значимости выдвигается гипотеза об отсутствии линейной статистической связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F.

В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату выборочного коэффициента корреляции Пирсона, т.е.



.

Статистика F выражается формулой

.

и при условии справедливости гипотезы имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации и наблюдаемое значение статистики Фишера:

;

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера ([4]), исходя из равенства

,

где (порядок квантили), . В данном случае .

Сравниваем между собой наблюдаемое и критическое значения статистики Фишера. Так как , то выдвинутая гипотеза решительно отвергается, что свидетельствует о согласии линейной регрессионной связи с результатами наблюдений.

3) Так как линейная регрессия согласуется со статистическими данными, найдем (с надежностью ) доверительные интервалы для параметров и линейной регрессии.

Применим известные формулы для доверительных интервалов:

; где

,

- квантиль распределения Стьюдента порядка

с степенями свободы,

;

, где

.

В данном случае ;

;

;

.



Применив приведенные выше формулы для доверительных интервалов, окончательно получим

;

;

следовательно,

;

.

Задача 2

Исследуется зависимость производительности труда y (условные единицы) от уровня механизации работ х1 (%) и среднего возраста работников х2 (лет) по данным 14 промышленных предприятий ( - порядковый номер предприятия). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Вычислить ковариации и составить ковариационную матрицу.

2) Найти оценки параметров множественной линейной регрессии и составить уравнение плоскости регрессии .

3) На уровне значимости проверить гипотезу о согласии линейной множественной регрессии с результатом наблюдений.

4) С надежностью найти доверительные интервалы для параметров множественной линейной регрессии.



	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
	33	31	41	39	46	43	34	38	42	35	39	44	40	41
	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

Решение:

1)Для вычисления ковариаций применим формулы

.

2)Вычисления средних величин, входящих в эти формулы, организуем в форме следующей расчетной таблицы:

i	X1	X2	y	X12	X22	y2	X1 * X2	X1 * y	X2 * y
1	32	33	20	1024	1089	400	1056	640	660
2	30	31	24	900	961	576	930	720	744
3	36	41	28	1296	1681	784	1476	1008	1148
4	40	39	30	1600	1521	900	1560	1200	1170
5	41	46	31	1681	2116	961	1886	1271	1426
6	47	43	33	2209	1849	1089	2021	1551	1419
7	56	34	34	3136	1156	1156	1904	1904	1156
8	54	38	37	2916	1444	1369	2052	1998	1406
9	60	42	38	3600	1764	1444	2520	2280	1596
10	65	35	40	4225	1225	1600	2275	2600	1400
11	61	39	41	3721	1521	1681	2379	2501	1599
12	67	44	43	4489	1936	1849	2948	2881	1892
13	69	40	45	4761	1600	2025	2760	3105	1800
14	76	41	48	5776	1681	2304	3116	3648	1968
У	734	546	492	41334	21544	18138	28883	27307	19384
У/n	52,43	39	35,143	2952,4	1538,9	1295,6	2063,1	1950,5	1384,6

Затем последовательно вычисляем ковариации:

, ,

,

,

,

.

Далее составим ковариантную матрицу объясняющих переменных и вектор-столбец .

, .

2)Уравнение плоскости регрессии имеет вид . По статистическим данным найдем оценки параметров множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов. Применим известную матричную формулу

,

где ; при этом .

Развернутые формулы принимают вид

, ,

.

По этим формулам находим

;

;

.

Таким образом, уравнение плоскости регрессии имеет вид

.

3)На уровне значимости проверим согласованность линейной трехмерной регрессионной модели со статистическими данными. Это выполняется как решение следующей задачи проверки статистической гипотезы. Выдвигается гипотеза об отсутствии линейной регрессионной связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F .

В случае трехмерной линейной регрессии коэффициент детерминации и статистика Фишера выражается формулами

, .

При условии справедливости гипотезы случайная величина F имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации и наблюдаемое значение статистики Фишера :

;

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера , исходя из равенства

, где .

В рассматриваемом случае .

Так как, , то выдвинутая гипотеза решительно отвергается, что свидетельствует о согласии линейной трехмерной регрессии с результатами наблюдений.

4)Поскольку линейная множественная регрессия согласуется со статистическими данными, найдем (с надежностью ) доверительные интервалы для параметров и плоскости регрессию

Применим известные формулы для доверительных интервалов:

, ,

где , ,

- квантиль распределения Стьюдента порядка с степенями свободы,

; - соответствующий диагональный элемент матрицы , т.е.

; .

В данном случае

;

;

; .

Следовательно,

; .

Таким образом,

,

.

или окончательно

Задача 3

Исследуется зависимость себестоимости единицы продукции ( тыс. р.) от объема произведенной продукции ( тыс. шт.) по данным 15 предприятий ( - порядковый номер предприятия). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Построить диаграмму рассеяния. Убедиться, что между себестоимостью и объемом произведенной продукции существует нелинейная связь.

2) Считая, что регрессия по представляется многочленом второй степени, найти оценки параметров параболической регрессии и составить уравнение линии регрессии.

3) Построить кривую регрессии и нанести ее на диаграмму рассеяния.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2	3	4	4	5	6	6	6	7	8	9	10	12	13	14
	8	10	7	6	5	5	4	3	4	5	3	2	1	1	2

Решение:

Строим диаграмму рассеяния, нанося на систему координат экспериментальные точки

По характеру расположения экспериментальных точек имеются все основания считать, что между переменными X и Y существует нелинейная статистическая связь.

1)Пусть уравнение линейной регрессии Y по X имеет вид :

По статистическим данным задачи найдем MHK - оценки параметров параболической регрессии. Применение метода наименьших квадратов приводит к следующей системе нормальных уравнений :

Разделим все уравнения на и введем обозначения:

, , , ,

, , .

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Из первого уравнения системы выразим

и подставим во 2-е и 3-е уравнения:

В результате для определения параметров и получим следующую систему 2-х линейных уравнений:

1	2	4	8	16	8	64	16	32
2	3	9	27	81	10	100	30	90
3	4	16	64	256	7	49	28	112
4	4	16	64	256	6	36	24	96
5	5	25	125	625	5	25	25	125
6	6	36	216	1296	5	25	30	180
7	6	36	216	1296	4	16	24	144
8	6	36	216	1296	3	9	18	108
9	7	49	343	2401	4	16	28	196
10	8	64	512	4096	5	25	40	320
67	9	81	729	6561	3	9	27	243
69	10	100	1000	10000	2	4	20	200
76	12	144	1728	20736	1	1	12	144
14	13	169	2197	28561	1	1	13	169
15	14	196	2744	38416	2	4	28	392
?	109	981	10189	115893	66	384	363	2551
?/n	7,27	65,4	679,2667	7726,2	4,4	25,6	24,2	170,0667

Для вычисления коэффициентов этой системы составим расчетную таблицу

Отсюда находим

65.4-7.272 =12.55

679.27-7.27*65.4=203.812

24.2-7.27*4.4= -7.788

7726.2-65.42=3449

170.0667-65.4*4.4= -117.69

Таким образом, система линейных уравнений имеет вид:

Разделим первое уравнение на 12,55, второе уравнение на 203,18 и вычтем из второго уравнения первое. Получим:

0,68b2=0,433, откуда b2= 0,063

b1=-0,621-16,24*0,063=-1,64,

b0 = 4.4-7.27*(-1,64)-6.4*0,063=15,92

Решая полученную систему, нашли статистические оценки параметров параболической регрессии:

-1,64 0,063, .

Следовательно, уравнение линии регрессии Y по Х принимает вид:

.

Задача 4

Поквартальная динамика объема реализованной продукции ( млн. р.) объединения представлена в таблице.

Требуется:

1) Оценить параметры линейного тренда методом наименьших квадратов.

2) На основании линейной модели определить прогноз экономического показателя в 4-ом квартале 2013 года.

	1 кв. 2012 г.	2 кв. 2012 г.	3 кв. 2012 г.	4 кв. 2012 г.	1 кв. 2013 г.	2 кв. 2013 г.	3 кв. 2013 г.
	25	29	34	40	44	48	53

Решение:

По статистическим данным найдем статистические оценки и параметров и линейного тренда методом наименьших квадратов. Для этого применим известные формулы:

, ,

где ,;

, , , .

Вычисления средних значений организуем в форме расчетной таблицы.

	1	25	1	625	25
	2	29	4	841	58
	3	34	9	1156	102
	4	40	16	1600	160
	5	44	25	1936	220
	6	48	36	2304	288
	7	53	49	2809	371
	28	273	140	11271	1224
	4	39,0	20,0	1610,1	174,9

;

Таким образом, искомые оценки параметров линейного тренда

равны , .

Уравнение линейного тренда имеет вид

Проверка согласованности линейной трендовой модели со статистическими данными выполняется как решение задачи проверки статистической гипотезы об отсутствии линейной статистической связи на заданном уровне значимости . Для проверки гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера с и степени свободы.

В рассматриваемом случае 1610.1-392=89.1

Критическое значение статистики Фишера равно

.

Так как , то выдвинутая гипотеза отвергается, что свидетельствует о согласии линейной трендовой модели с результатами наблюдений.

По полученному уравнению линейного тренда

найдем точечный прогноз показателя Y на один шаг вперед ( - период упреждения). Для этого подставим в уравнение тренда значение времени

(здесь n - длина данного временного ряда). Таким образом,

Размещено на Allbest.ru