Экономико-математическое моделирование

8

1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Решение:

Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число б_i = min (б_i1, б_i2, б_i3) - это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой б_ij имеет максимальное значение - б = max(б₁, б₂, б₃) - это нижняя цена игры.

Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число в_j = max(б_1j, б_2j, б_3j) - это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В_j. Найдем минимальное из этих чисел в = min (в ₁, в ₂, в ₃) - это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.

Нижняя цена игры б = 8 равна верхней цене игры в = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия - А₁, для игрока В оптимальная стратегия - В₁.

Ответ: б = в = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А₁, В₁).

Таблица 1 - Определение цены игры платежной матрицы

2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей

Решение:

Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В - 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ - на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ - на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.

Если игрок А выбирает стратегию А₁, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q₁, q₂), будет проигрывать, в среднем, q₁?б₁₁+q₂?б₁₂ = q₁•(-3) +q₂•(-4). Отметим на оси ОУ б₁₁ = -3, а на оси ей параллельной б₁₂ = -4 и соединим эти точки прямой линией - она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А₁, а В чередует стратегии В₁ и В₂ с некоторыми вероятностями (q₁, q₂). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси - точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А₂. Точно также для А₃ и А₄.

Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А₃КА₂, выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В - точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А₃ и А₂. Выпишем уравнения этих прямых.

Прямая (А₃ А₃) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:

Уравнение прямой (А₂ А₂), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде:

Рисунок 1 -Графическое решение

Точка К - точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:

Решение системы:

Следовательно, цена игры н = 0, оптимальная стратегия для игрока В:

Для игрока А, стратегии А₁ и А₄ будут не активными, игроку А не выгодно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры н = 0, игрок А будет получать, используя стратегии А₂ и А₃. Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А₁ и А₄ не активные стратегии, то есть р₁ = р₄ = 0:

Ответ: Цена игры н = 0, оптимальные стратегии игроков

3. Решить геометрически следующую задачу линейного программирования:

при ограничениях:

Решение:

Построим область ограничений. Строим прямую (1): x₁ - 4x₂ - 4 = 0 по двум точкам, координаты которых удовлетворяют уравнению: (8; 1), (4; 0), как показано на рисунке 2. Проверяем, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству , для этого подставим значение произвольной точки (0; 0) в это неравенство, получим - выполняется. Аналогичным способом строим прямые (2): и (3): , выделяем «бородой» области значений x₁, x₂, удовлетворяющие условиям и . На рисунке 2 изображена область, удовлетворяющая представленной в условиях задачи системе. Заметим, что и одно из неравенств системы - , тогда, очевидно, функция F принимает значения интервала , но , тогда F_max = .

Ответ: F_max = .

Рисунок 2 - Графическое решение

4. Для выпуска двух видов продукции А и В предприятие использует 4 вида ресурсов, все данные представлены в следующей таблице:

Прибыль от реализации единицы продукции А и В составляет 50 и 70 ДЕ, соответственно. Предприятие может нанять людей на работу, а увольнять людей не разрешается. Составить план выпуска продукции, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Сколько человек придется нанять?

Решение:

Обозначим x₁, x₂ - число единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. По условию для их изготовления потребуется (1• x₁ + 3• x₂) единиц ресурса «Рабочая сила», (6• x₁ + 3• x₂) единиц ресурса «Сырье», (2• x₁ + 5• x₂) единиц ресурса «Оборудование», (2• x₁ + 2• x₂) единиц ресурса «Производственные ресурсы». Так как потребление всех этих видов ресурсов не должно превышать наличие ресурсов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

где а ? 3 и а - целое число (количество работников).

Суммарная прибыль стремиться к максимальному значению:

Все значения x₁ и x₂ лежат в I четверти, а функция F - луч, исходящий из точки (0; 0) под углом б к оси ОX₁, где т.е. - функция прибыли F. Строим графическое решение для неравенств (2): , (3): , (4): , как это показано на рисунке 3.

Максимально возможная прибыль из графического решения в точке К, координаты которой находим из системы:

С учетом, x₁, x₂ - целые числа (только конечный продукт можно продать и получить прибыль), находим: при х₁ = х₂ = 2 возможно получение максимальной прибыли Подставив х₁ = х₂ = 2 в неравенство (1): , получим ,т.е. а = 8. Необходимо дополнительно нанять 8 - 3 = 5 человек.

Ответ: Максимально возможная прибыль 240 ДЕ возможна при производстве изделий А - 2шт. и изделий В - 2 шт., при этом придется дополнительно нанять 5 работников.

Рисунок 3 - Графическое решение

5. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух аппаратов по продаже билетов, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Решение:

Система может находиться в четырех состояниях, так как у каждого аппарата по продаже билетов есть два состояния (быть занятым или свободным). Пусть S₀ - оба аппарата заняты; S₁ - 1-ый занят, 2-ой свободен; S₂ - 1-ый свободен, 2-ой занят; S₃ - оба аппарата свободны. Построим граф состояний, отметив на нем все возможные состояния кругами, а возможные переходы из состояния в состояние обозначим стрелками. Получаем, что переход из S₀ в S₃ возможен либо через S₁, либо через S₂, либо напрямик, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 - Граф состояний аппаратов по продаже билетов

6. Найти предельные вероятности для системы S, граф которой изображен на рисунке.

Решение:

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. Их можно найти из уравнений Колмогорова, составив систему по данному размеченному графу состояний, по следующему правилу:

Слева в уравнении стоит предельная вероятность данного состояния p_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в данное состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти состояния выходят.

Кроме этого надо учитывать, что сумма всех вероятностей данной конечной системы равна единице. Составим уравнения для состояний S₁ и S₂ (уравнение для состояния S₀ - «лишнее»):

Ответ: Система примерно 66,67% времени пребывает в состоянии S₀, 25% - в состоянии S₁ и 8,33% времени находится в состоянии S₂.

7. Найти валовой выпуск для сбалансированной многоотраслевой экономики в модели Леонтьева, если дана матрица прямых затрат А и вектор конечного потребления У:

Решение:

Для сбалансированной многоотраслевой экономики выполняется следующее соотношение:

Выразим валовой выпуск через конечное потребление и матрицу затрат:

Находим матрицу, обратную к (Е - А):

Найдем валовой выпуск:

Х =

Ответ: Валовой выпуск равен (811,3; 660,4).

*При решении задач использовался источник:

Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. - 153 с.