Эконометрика. Корреляционный анализ

Построение уравнения регрессии. Эластичность степенной модели. Уравнение равносторонней гиперболы. Оценка тесноты связи, качества и точности модели. Индекс корреляции и коэффициент детерминации. Оценка статистической значимости регрессионных уравнений.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 25.03.2015
Размер файла 1,3 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Задача 11

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а. Построить график зависимости между двумя признаками, определив какой из них будет результативным, а какой факторным;

б. Установить тип зависимости и МНК, определить параметры уравнений регрессии (линейного степенного, показательного и т. п.);

в. Оценить тесноту связи;

г. Оценить качество и адекватность уравнений регрессии;

д. Оценить статическую зависимость.

Зависимость изучить по следующим парам признаков (не менее 5 предприятий):

число работников предприятия и валовый доход.

регрессия уравнение корреляция детерминация

Дано:

№ п/п

Число работников, сот. чел

Валовый доход, млн. руб

1

12,8

9,1

2

4,3

9,1

3

4,2

5,2

4

4,8

2,7

5

7,8

1,0

6

9,0

7,6

7

3,5

2,9

8

6,2

7,9

9

8,1

3,5

10

1,7

0,6

11

5,7

8,6

12

11,3

18,8

13

3,0

1,7

14

4,0

1,6

15

4,2

9,3

16

4,6

2,8

17

2,4

0,2

18

7,4

3,1

19

3,9

2,8

20

4,4

2,0

Решение.

Предварительный анализ:

Построим поле корреляции - по оси абсцисс откладываем значения фактора Х - числа работников, по оси ординат - валовый доход.

Разброс точек очень большой

Поэтому для рассмотрения возьмем предприятия №№ 1, 4, 6, 8, 10, 13, 19.

№ п/п

Число работников, сот. чел

Валовый доход, млн. руб

1

1

12,8

9,1

2

4

4,8

2,7

3

6

9,0

7,6

4

8

6,2

7,9

5

10

1,7

0,6

6

13

3,0

1,7

7

19

3,9

2,8

1. Построение регрессионных моделей

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Классический подход - применение метода наименьших квадратов (МНК). При этом сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений должна быть минимальной, т. е

.

А. Линейная модель

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

= a + b ? x или y = a + b ? x + е .

Уравнение вида х = a + b ? x позволяет по заданным значениям

фактора x находить теоретические значения результативного признака,

подставляя в него фактические значения фактора x .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров -

a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной

регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК

позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма

квадратов отклонений фактических значений результативного признака

y от теоретических ?yx минимальна:

.

Для оценки параметров необходимо вычислить суммы

.

Составим таблицу:

Вспомогательные расчеты для линейной регрессионной модели

№ п/п

Х

У

Х^2

Y^2

XY

У*

(У-У*)

(У-У*)^2

A

1

12,8

9,1

163,84

82,81

116,48

10,2446

-1,1446

1,31013

12,5781

2

4,8

2,7

23,04

7,29

12,96

3,71975

-1,0198

1,03989

37,7686

3

9

7,6

81

57,76

68,4

7,1453

0,4547

0,20675

5,98288

4

6,2

7,9

38,44

62,41

48,98

4,8616

3,0384

9,23186

38,4607

5

1,7

0,6

2,89

0,36

1,02

1,19137

-0,5914

0,34972

98,5618

6

3

1,7

9

2,89

5,1

2,25166

-0,5517

0,30433

32,4506

7

3,9

2,8

15,21

7,84

10,92

2,98571

-0,1857

0,03449

6,63236

Итого

41,4

32,4

333,42

221,36

263,86

32,4

9,4E-15

12,477

232,435

Среднее

5,91429

4,62857

47,6314

31,6229

37,6943

1,782

38,7392

Уравнение линейной регрессии

ух =

3,55706

уy =

3,19362

b=

0,81561

a=

-0,1952

у = -0,1952 + 0,81561х

Основные формулы:

ух = = = 3,55706

уу = = = 3,19362

b = = = 0.8156

a = - b = 4.62857 - 0.8156*5.91429 = - 0.1952

у = -0,1952 + 0,81561х

Значение коэффициента регрессии b показывает, что увеличение числа работников (х) на 100 человек приводит к росту валовой продукции (у) в среднем 0,81561 млн. руб.

Для характеристики изменчивости результативного признака часто используют относительную скорость изменения, называемой темпом изменения Т (логарифмической производной) или безразмерный показатель - эластичность или среднюю эластичность, которая характеризует изменчивость результативного признака в % при вариации на 1% от среднего уровня:

Т = = (lny)'; Э = '; = (

Для линейной модели:

= (a + bx)' Э = = b

В нашем случае:

Э =

= = 1,042%

Таким образом, при увеличении числа работников на 1% от среднего уровня валовая продукция увеличится на 1,042%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R2 = 0.8252358

Б. Степенная модель

Перед построением степенной модели y = axb произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b*lg x

Y = C + bX

где У = lg y X = lg x C = lg a

Вспомогательные расчеты для степенной регрессионной модели

№ п/п

Х

У

Х^2

Y^2

XY

У*

(У-У*)

(У-У*)^2

A

1

1,10721

0,95904

1,22591

0,91976

1,06186

1,1001

-0,141063042

0,01989878

14,7088

2

0,68124

0,43136

0,46409

0,18607

0,29386

0,50482

-0,073453831

0,00539547

17,0283

3

0,95424

0,88081

0,91058

0,77583

0,84051

0,88633

-0,00552042

3,0475E-05

0,62674

4

0,79239

0,89763

0,62788

0,80573

0,71127

0,66015

0,237477904

0,05639575

26,4562

5

0,23045

-0,2218

0,05311

0,04922

-0,0511

-0,1252

-0,096688807

0,00934873

43,5832

6

0,47712

0,23045

0,22764

0,05311

0,10995

0,21956

0,010886863

0,00011852

4,7242

7

0,59106

0,44716

0,34936

0,19995

0,2643

0,3788

0,068361332

0,00467327

15,288

Итого

4,83372

3,6246

3,85858

2,98968

3,23063

3,6246

4,996E-16

0,095860998

122,415

Среднее

0,69053

0,5178

0,55123

0,49828

0,46152

0,5178

7,13715E-17

17,4879

Уравнение степенной регрессии

уx=

0,27275

уy=

0,47975

b=

1,39749

C =

-0,4472

Лианеризованное уравнение

Y = -0,4472 + 1,39749X

Выполняем потенцирование линеаризованного уравнения и получаем искомую степенную модель:

у = 10-0,4472 * х1,3975 = 0,3571х1,3975

эластичность:

Э = (а = = b = 1,39749 %

Эластичность степенной модели постоянна и совпадает с коэффициентом регрессии b.В нашем случае увеличение числа работников на 1% приводит к увеличению валовой продукции на 1,4%.

В. Показательная модель.

Построение уравнения показательной кривой у = aпредшествует процедурв линеаризации путем логарифмирования обеих частей уравнения

lg y = lg a + x*lg b

Y = C + Bx

где Y = lg y B = lg b C = lg a

Составляем таблицу в Excel:

Вспомогательные вычисления для показательной регрессионной модели

№ п/п

х

У

x^2

Y^2

xY

У*

(У-У*)

(У-У*)^2

A

1

12,8

0,95904

163,84

0,91976

12,2757

1,17552

-0,216482034

0,046864471

22,5728

2

4,8

0,43136

23,04

0,18607

2,07055

0,41136

0,019999664

0,000399987

4,63638

3

9

0,88081

81

0,77583

7,92732

0,81255

0,068265846

0,004660226

7,75032

4

6,2

0,89763

38,44

0,80573

5,56529

0,54509

0,352535109

0,124281003

39,2741

5

1,7

-0,2218

2,89

0,04922

-0,3771

0,11525

-0,337101111

0,113637159

151,951

6

3

0,23045

9

0,05311

0,69135

0,23943

-0,00897933

8,06284E-05

3,89645

7

3,9

0,44716

15,21

0,19995

1,74392

0,3254

0,121761856

0,014825949

27,2302

Итого

41,4

3,6246

333,42

2,98968

29,897

3,6246

6,93889E-16

0,30475

257,311

Среднее

5,91429

0,5178

47,6314

0,4271

4,271

0,5178

9,91271E-17

36,7587

Уравнение показательной регрессии

уx =

3,557057

уy =

0,479752

В =

0,09552

A =

-0,04713

Y = -0,04713 + 0,09552*x

Произведем потенцирование полученного уравнения

у = 10-0,04713 100,09552х = 0,897*1,246х

Эластичность:

Э = (а = = xb

= = 1.3 %.

Г. Гиперболическая модель.

Уравнение равносторонней гиперболы: у = а + b* преобразуем заменой z = к виду: у = а + b*z

Составляем таблицу в Excel:

Вспомогательные расчеты для гиперболичкой регрессионной модели

№ п/п

z

y

z^2

y^2

zy

y*

(y - y*)

( y - y*)^2

A

1

0,07813

9,1

0,0061

82,81

0,71094

7,4739

1,626104738

2,64421662

17,8693

2

0,20833

2,7

0,0434

7,29

0,5625

5,29451

-2,594505902

6,731460877

96,0928

3

0,11111

7,6

0,01235

57,76

0,84444

6,92178

0,678216709

0,459977905

8,9239

4

0,16129

7,9

0,02601

62,41

1,27419

6,0819

1,818101813

3,305494202

23,0139

5

0,58824

0,6

0,34602

0,36

0,35294

-1,0642

1,664183052

2,76950523

277,364

6

0,33333

1,7

0,11111

2,89

0,56667

3,20229

-1,502292117

2,256881606

88,3701

7

0,25641

2,8

0,06575

7,84

0,71795

4,48981

-1,689808293

2,855452066

60,3503

Итого:

1,73684

32,4

0,61074

221,36

5,02963

32,4

1,08802E-14

21,023

571,984

Среднее:

0,24812

4,62857

0,08725

31,6229

0,71852

4,62857

1,55431E-15

81,712

Уравнение гиперболической регрессии

уz =

0,16027

уy =

3,19362

b =

-16,738

a =

8,78153

y = 8,7815 - 16,7377(z)

Получаем гиперболическую модель:

у = 8,7815 - 16,7377

Оценим эластичность:

Э = = = =

= 0.61 %

2. Оценка тесноты связи, качества и точности модели

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy, который можно рассчитать по следующим формулам:

rxy, = = rxy, = b

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: [-1; 1] . Чем ближе абсолютное значение rxy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при rxy = ±1 имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

При нелинейных зависимостях лучше использовать другой показатель - индекс корреляции , тесно связанный с коэффициентом детерминации R2:

=

где = - общая дисперсия результативного признака у;

= - остаточная дисперсия

Величина данного показателя находится в пределах: 0 ? сxy ?1.

Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

О качестве модели можно судить по относительным ошибкам (ошибкам аппроксимации). Нежелательно, чтобы относительные ошибки превышали 8 - 10% от уровня наблюдаемых у.

А. Линейная модель

rxy = b = 0,81561 = 0,908

так как rxy 0,7 и положителен, то связь прямая и очень сильная.

Определим коэффициент детерминации:

R2 = 1 - = rxy2 = 0.8245

Изменение валового выпуска с/х продукции на 90,8% объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 100 - 82,45 = 17,55%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Расчетная в задании: Y(x) = -0.1952 + 0.815617x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R2 = 0.8252358

Б. Степенная модель

Индекс корреляции и коэффициент детерминации:

= = = 0.956

R2 = 0,914

В случае степенной модели вариация валового выпуска на 95.6 % объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 8.6 %.

Коэффициент детерминации степенной модели выше коэффициента детерминации линейной модели, но различия незначительны - менее 10 %. (6,2 %). Значение индекса близко к 1, что свидетельствует об очень сильной взаимосвязи исследуемых факторов.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,3571002*х1,3974895

Расчетная в задании: Y(x) = 0,3571*х1,3975

Стандартное отклонение: 1,9881345;

R2 = 0.9138602

В. Показательная модель

= = 0,852

R2 = 0,726

Связь в этой модели удовлетворительная

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,8971571*2,450054х

Расчетная в задании: Y(x) = 0,897*2,46х

Стандартное отклонение: 3,0569256;

R2 = 0.7261552

Г. Гиперболическая модель

=

R2 = 0,7056

Связь в этой модели удовлетворительная.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 8,7815289 - 16,7377103/х

Расчетная в задании: Y(x) = 8,7815 - 16,7377/х

Стандартное отклонение: 1,8718524

R2 = 0,7055368

Вывод: Расчеты произведены правильно, о чем свидетельствуют данные стандартной расчетной Программы

Расчет относительных ошибок произведён в предыдущих расчетах.

3. Оценка статистической значимости регрессионных уравнений

Статистическую значимость уравнений регрессии оцениваем при помощи критерия Фишера (F - тест).

Пусть основная гипотеза Н0 состоит в предположении, что R2 = 0? А альтернативная Н1 - R2 0. Основная гипотеза Н0 принимается в том случае, если расчетная F-статистика меньше критического значения:

Fфакт = Fкрит (б, df1 = m; df2 = n - m - 1)

в противном случае принимается гипотеза Н1

где df - число степеней свободы;

m - число факторов в модели;

n - число наблюдений.

Для линейной модели:

Fфакт = = 23,49

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05; m = 1; n = 7 равна 5,59. Так как Fфакт Fкрит, то при доверии 95% принимается гипотеза Н1 о неслучайной природе выявленной зависимости и статистической значимости показателей тесноты связи.

Для остальных моделей:

Степенная модель: Fфакт = = 53,14

Показательная модель: Fфакт = = 13,25

Гиперболическая модель: Fфакт = = 11,98

Таким образом, все модели выдержали тест на значимость, т. к. во всех случаях Fфакт Fкрит. Улучшение достоверности уменьшает критическую область: при уровне достоверности б = 0,01 критическое значение увеличивается до 12,25, и тогда в этом случае гиперболическая модель отпадает.

Сравним регрессионные модели по всем показателям и выделим лучшую

Сравнительный анализ характеристик регрессионных моделей

Модель

Линейная

Степенная

Показательная

Гиперболическая

rxy/

0.908

0.956

0.852

0.840

R2/r2

0.8245

0.914

0.726

0.7056

Э

1.042%

1.4%

1.3%

0.61%

А

38.74%

17.49%

36.76%

81.712%

F

23.49

53.14

13.25

11.98

Показатели тесноты связи указывают, что очень сильная связь исследуемых признаков: числа работников х и валовой продукции у у степенной и линейной модели (лучшая степенная); у показательной и гиперболической моделей связь удовлетворительно тесная

Наибольший коэффициент детерминации у степенной модели - 0,914, отличие от линейной меньше 10%. Значительно отстают показательная и гиперболическая модели.

Степенная модель оказалась и более эластичной - 1,4%.

Наилучшим образом экспериментальные и теоретические значения результативного признака согласуются для степенной модели : А = 17,49%. Наихудшее согласование у гиперболической модели.

F-тест на значимость выдержали все модели при уровне значимости 0,05

Таким образом, для степенной модели получены наилучшие показатели тесноты связи.

Графики моделей приведены в предыдущих расчетах.

Программа Advenced Grapher 8/ 0 показывает ещё следующие возможные регрессионные модели:

Логарифмическая модель:

Y(x) = 4.7189419*ln(x) -2.8745813

Стандартное отклонение 1,2853802

R2 = 0.8611484

Экспотенциальная модель:

У(х) = 0,8971571*е0,22х

Стандартное отклонение: 3,0569228

R2 = 0.7261548

Полиноминальна модель

У(х) = -0,0714504х2 + 1,8598х - 2,9675345

Стандартное отклонение: 1,1326346

R2 = 0.8921867

Лучшая

Y(x) = 0,0080221х6 - 0,2899243х5 + 4,0186219х4 - 27,2974512х3 + 95,8786377х2 - 163,8950124х + 106,6035793

R2 = 0.9861976

Стандартное отклонение: 0,040621

4. Составление прогноза

Прогноз валовой продукции выполняем по лучшей модели - степенной.

Вначале рассчитаем прогнозной значение числа работников на уровне 90% от среднего значения:

хр = 0,9 = 0,9

Точечный прогноз:

найдем значение ур подстановкой в уравнение регрессии:

ур = 0,3571*5,3228611,3975 = 3,695

для построения доверительного интервала вычислим предварительно среднюю стандартную ошибку прогноза mp и предельную ошибку .

= tтабл mp

mp = уост

где уост =

для степенной модели остаточная сумма: = 0,09586 в логарифмической форме, в действительной: 1,247, тогда

уост = = 0,4993 = 0,5

вычислим квадратичную сумму отклонений фактора х от среднего значения:

= n = 7 3.55706 = 24.89942

Стандартная ошибка прогноза:

mp = 0,5 = 0,538

при уровне значимости 0,05 и степени свободы df = 7 - 1 - 1 = 5 определим критическое значение критерия Стьюдента tтабл = 2,57, следовательно, предельная ошибка

= tтабл mp = 2,57*0,538 = 1,382

Таким образом, можно определить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала:

ymin = yp - = 3.695 - 1.382 = 2.313

ymax = yp + = 3.695 + 1.382 = 5.077

выполненный прогноз достаточно надежен (95%), но точность невысока, так как диапазон верхней и нижней границы доверительного интервала составляет 5,077/2,313 = 2,2 раза.

Задача 31

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а. Построить матрицу коэффициентов корреляции;

б. Вычислить стандартизированные коэффициенты, ранжировать факторы по силе их влияния;

в. Построить линейное уравнение множественной регрессии в нормальном масштабе;

г. оценить тесноту связи факторов с результативным признаком;

д. оценить качество и адекватность модели;

е. оценить статистическую значимость уравнения в целом и целесообразность включения в модель каждого из факторов.

Число работников на 100 га пашни (х1), затраты на производство продукции на 100 га пашни (х2) и валовая продукция в сопоставимых ценах на 100 га пашни (у).

Дано:

№ п/п

Площадь пашни, га

Число работников, сот. чел

Затраты на производство продукции, млн. руб.

Валовый доход, млн. руб

1

110

12,8

27,5

9,1

2

69

4,3

13,5

9,1

3

44

4,2

20,0

5,2

4

75

4,8

15,8

2,7

5

75

7,8

20,4

1,0

6

85

9,0

29,1

7,6

7

50

3,5

7,5

2,9

8

63

6,2

20,8

7,9

9

67

8,1

17,3

3,5

10

21

1,7

2,5

0,6

11

82

5,7

16,5

8,6

12

102

11,3

34,6

18,8

13

49

3,0

9,1

1,7

14

55

4,0

12,7

1,6

15

55

4,2

15,7

9,3

16

73

4,6

13,9

2,8

17

23

2,4

4,0

0,2

18

83

7,4

32,7

3,1

19

37

3,9

9,1

2,8

20

60

4,4

14,5

2,0

Решение.

Преобразуем таблицу в показателях на 100 га пашни

№№

Число работников, сот. чел

Затраты на производство продукции, млн. руб.

Валовый доход, млн. руб

Х1

Х2

У

1

11,64

25,0

8,273

2

6,23

19,565

13,188

3

9,55

45,455

11,818

4

6,4

21,067

3,6

5

10,4

27,2

1,333

6

10,59

34,235

8,941

7

7,0

15,00

5,8

8

9,84

33,016

12,54

9

12,09

25,821

5,224

10

8,10

11,905

2,857

11

6,95

20,122

10,488

12

11,08

33,922

18,431

13

6,12

18,571

3,469

14

7,27

23,1

2,91

15

7,64

28,545

16,91

16

6,30

19,041

3,836

17

10,43

17,391

0,87

18

8,92

39,40

3,735

19

10,54

24,6

7,568

20

7,33

24,167

3,333

1. вычисляем средние значения факторов Хi и У, несмещенные среднеквадратические отклонения и коэффициенты корреляции, используя стандартные программы Excel:

среднее значение выборочных данных - СРЗНАЧ();

среднеквадратическое отклонение - СТАНДОТКЛОН().

Характеристика положения и разброса факторов

Х1

Х2

У

СРЗНАЧ

8,721

25,3562

7,2562

СТАНДОТКЛОН

2,02527

8,42908

5,15017

Коэффициенты межфакторной и парной корреляции

Х1

Х2

У

Х1

1,00000

Х2

0,46155

1,00000

У

0,13817

0,44012

1,00000

Судя по коэффициентам корреляции умеренное влияние на объем валовой продукции оказывает производство продукции на 100 га пашни rxy 0.4 и довольно слабое - количество человек, занятых в производстве:

rxy 0.4.

Матрица коэффициентов корреляции будет включать коэффициенты корреляции У с Х1 и Х2 и коэффициенты межфакторной корреляции

R = =

detR = 1(1-0.461552) - 0.13817(0.13817 - 0.46155*0.44012) + 0.44012(0.13817*0.46155 - 0.44012) = 0.78697 - (-0.00898) + (-0.16564) =

= 0.63031

2. Проверяем наличие мультиколлинеарности средипеременных. Вычисляем определитель матрицы межфакторных коэффициентов корреляции:

det2R = = 1 - 0.461552 = 0.78697

Определитель ближе к 1, чем к нулю, что говорит о возможном отсутствии мультиколлениарности

Проверим основную гипотезу Н0 о независимости переменных detR = 1/

Гипотеза принимается в случае .

В противном случае следует принять альтернативную гипотезу Н1 о наличии мультиколлениарности detR = 0

Фактическое значение критерия:

= [n - 1 - (2m + 5)lgDetR = 20 - 1 - (2*2 + 5)lg0.78697 = 19.844

меньше критического значения = 43,8 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы df = 0.5*20*14 = 140, То подтверждается гипотеза Н0 о независимости переменных.

Совокупное влияние факторов на результат характеризуется коэффициентами множественной детерминации и корреляции. При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить, зная матрицу парных коэффициентов корреляции и определителя.

Ryx1x2 =

Тогда множественный коэффициент корреляции:

Ryx1x2 = = 0.446 0,5.

Следовательно, тесноту связи исследуемых факторов (численности и затрат на производство на 100 га пашни) с объемом валовой продукции можно оценить как среднюю.

3. Составим уравнения множественной регрессии

Сначала найдем стандартизированные коэффициенты регрессии из системы уравнений:

Уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

ty = -0.08256tx1 + 0.47825tx2 +

так как по модулю, то по силе влияния на объем валовой продукции больше влияют затраты на производство.

Используя формулы перехода, находим коэффициенты регрессии и свободный член линейного уравнения:

b1 = 1 b1 = -0.08256 = - 0.21

b2 = 2 b1 = 0.47823 =0.292

a = - a = 7.2562 - (-0.21) 8.721 - 0.292 25.3562 = 1.6836

Уравнение регрессии в нормальном масштабе:

у = 1,6836 - 0,21х1 + 0,292х2 +

увеличение валового объема продукции достигается путем увеличения численности работающих или снижением издержек на производство.

Снижение затрат на производство на 1 руб/га увеличивает валовый объем на 0,292 процентных пункта и увеличение работающих на 100 чел приводит к увеличению валового объема на 0,21 процентный пункт.

4. Проверим значимость уравнения в целом при помощи критерия Фишера

Коэффициент детерминации R2 = 0,199. Тогда согласно критерию Фишера:

Fфакт = = = 2.125 не превышает

Fкрит = (б - 0,05; df1 = 2; df2 = 17) = 3.59

Это говорит об отсутствии статистической значимости коэффициента детерминации и линейного уравнения множественности регрессии в целом.

Проверим также значимость включенных в уравнение переменных

Вычислим приращение коэффициента детерминации за счет каждого фактора Х.

= 0.08256*0.13817 = 0.0114

= 0.47823*0.44012 = 0.21

Основная гипотеза принимается при условии:

Fфакт = Fкрит = (б - 0,05; df1 = 1; df2 = 17)

Fфакт х1 = = 0,121 Fкрит = (б - 0,05; df1 = 1; df2 = 17) = 4,45

Fфакт х2 = = 2,231 Fкрит = (б - 0,05; df1 = 1; df2 = 17) = 4,45

Во обоих случаях основная гипотеза Н0 принимается, следовательно, для построения модели объема валовой продукции оба фактора не значимы!

5. Проведем оценку качества модели

Для этого вычислим теоретические значения объема валовой продукции для каждого набора факторов, абсолютные и относительные ошибки

Абсолютные и относительные ошибки

множественной регрессивной модели

Утеор

Е=У-Утеор

А,%

Е^2

1

6,5392

1,7338

20,9573

3,00606

2

6,08828

7,09972

53,8347

50,406

3

12,951

-1,133

9,58673

1,2836

4

6,49116

-2,8912

80,3101

8,35883

5

7,442

-6,109

458,29

37,3199

6

9,45632

-0,5153

5,76356

0,26555

7

4,5936

1,2064

20,8

1,4554

8

9,25787

3,28213

26,1733

10,7724

9

6,68443

-1,4604

27,9562

2,13286

10

3,45886

-0,6019

21,0662

0,36224

11

6,09972

4,38828

41,8409

19,257

12

9,26202

9,16898

49,7476

84,0701

13

5,82113

-2,3521

67,8043

5,53252

14

6,9021

-3,9921

137,186

15,9369

15

5,63917

11,2708

66,6519

127,032

16

5,92057

-2,0846

54,3423

4,34544

17

4,57147

-3,7015

425,457

13,7009

18

11,3152

-7,5802

202,95

57,4594

19

6,6534

0,9146

12,0851

0,83649

20

7,20106

-3,8681

116,054

14,9619

Итого

142,349

2,77545

1898,86

458,495

Среднее

7,49203

0,14608

99,9398

Средняя ошибка аппроксимации оказалась за рамками допустимых значений, вследствие чего качество построенной модели плохо

Задача 51

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить идентифицировано ли каждое уравнение модели;

2. Определить метод оценки параметров модели;

3. На основе приведенной формы модели определить все возможные структурные коэффициенты.

Дано:

Структурная форма модели:

Приведенная форма модели:

Решение:

1. Заданная модель имеет три эндогенные (У1, У2, У3) и три экзогенные переменные (Х1, Х2, Х3).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условие идентификации.

Необходимое условие заключается в выполнении счётного правила:

D + 1 - уравнение неиндентифицировано;

D + 1 = Н - уравнение точно идентифицировано;

D + 1 - уравнение сверхидентифицировано

Где Н - число эндогенных переменных в уравнении; D - число отсутствующих экзогенных переменных в уравнении, но присутствующих в системе.

Проверяем это правило для всех исследуемых уравнений:

Первое уравнение

Второе уравнение

Третье уравнение

Присутствуют Y1 Y2

Отсутствует Х2

Присутствуют Y1 Y2

Отсутствует Х1

Присутствуют Y1 Y2 Y3

Отсутствует Х1 X2 X3

Н = 2

D = 1

Н = 2

D = 1

Н = 3

D = 3

D + 1 = Н

D + 1 = Н

D + 1 Н

Уравнение точно идентифицировано

Уравнение точно идентифицировано

Уравнение сверхидентифицировано

Достаточное условие идентификации заключается в том, что определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0, и ранг этой матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных в системе без единицы.

Построим матрицу коэффициентов системы

Уравнение

Х1

Х2

Х3

Y1

Y2

Y3

Первое

b11

0

b13

-1

c12

0

Второе

0

b22

b23

c21

-1

0

Третье

0

0

0

1

1

-1

Так как в первом уравнении отсутствуют две переменные Х2 и Y3, из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается квадратная матрица второго порядка:

Уравнение

Х2

Y3

Второе

b22

0

Третье

0

-1

Определитель данной матрицы не равен нулю:

DetA = -1 b22 rangA = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие для первого уравнения выполняется и оно точно идентифицировано.

Во втором уравнении отсутствуют две переменные Х1 и Y3, из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается квадратная матрица второго порядка:

Уравнение

Х1

Y3

Первое

b11

0

Третье

0

-1

Определитель данной матрицы не равен нулю:

DetВ = -1 b11 rangВ = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие для второго уравнения выполняется и оно точно идентифицировано.

В третьем уравнении отсутствует три переменных Х1 , Х2 и Х3

из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается прямоугольная матрица :

Уравнение

Х1

Х2

Х3

Первое

b11

0

b13

Второе

0

b22

b23

Из элементов этой матрицы можно составить определители второго порядка, отличные от нуля:

DetС = b11b22

DetС = b11b23

DetС = - b13b22 rangС = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие выполняется

Следовательно, первые два уравнения точно идентифицированы, третье - сверхидентифицируема, таким образом, вся система сверхидентифицируема.

5. Определение структурных коэффициентов

Так как первые два уравнения точно идентифицированы, находим соответствующие структурные коэффициенты путем следующих преобразований:

Для определения структурных коэффициентов первого уравнения за основу возьмем первое приведенное уравнение, в котором необходимо избавиться от Х2 и ввести переменную Y2. Поэтому выражаем Х2 из второго приведенного уравнения и подставляем его в первое:

Х2 =

Таким образом, а1 = 3,167; b11 = 9,2; b13 = 2,083; c12 = 0,183

Для определения структурных коэффициентов второго уравнения за основы берем второе приведенное уравнение, где необходимо избавиться от Х1 и ввести переменную Y1. Поэтому выражаем Х1 из первого приведенного уравнения и подставляем его во второе:

Х1 =

Таким образом, а2 = 1,429; b22 = 78,857; b23 = 0,143; c21 =1,714

В силу того, что третье уравнение сверхиндентифицируемо его структурные коэффициенты не подлежат точному определению. Для их расчета можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов: на основе первого приведенного уравнения вычисляют теоретические значения 1 и используя или наблюдаемые значения Х2, вычисляют параметры третьего структурного уравнения, применяя МНК.

Задача 71

По условным поквартальным данным розничного товарооборота областей Х за три года (в % к уровню 1-го квартала):

а. Построить график временного ряда;

б. Построить аддитивную или мультипликативную модель временного ряда;

в. Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки, среднего относительного отклонения и коэффициента детерминации.

Исходные данные

Поквартальный розничный товарооборот, %

Номер квартала

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

100

93,5

95,6

102,1

107,8

96,3

95,7

98,2

105,1

99,3

98,9

101,9

Решение:

1. Построение временного ряда

По оси абсцисс откладываем кварталы, по оси ординат - размер товарооборота

Очевидно, что имеется тенденция к снижению розничного товарооборота:

О чем говорит «красная» аппроксимация.

Поскольку амплитуда колебаний изменяется от квартала к кварталу, возможно, лучшее соответствие покажет мультипликативная модель.

2. Построение аддитивной и мультипликативной моделей

Построим аддитивную и мультипликативную модели динамического ряда из трех компонент: тренда; квартальной; случайной.

yадд = Т + S + E

yмульт = Т S E

Начнем с выделения квартальной компоненты. Для этого произведем сглаживание временного ряда посредством усреднения уровней временного ряда по 4 соседним кварталам, каждый раз продвигаясь вперед на 1 шаг - вычисляем скользящую среднюю:

CCk =

k =

где - номер квартала

Для первых 4 кварталов:

k = = 2,5

CCk = = 97,8

Затем оцениваем квартальные (сезонные) компоненты

Аддитивные: Sадд = у - ЦCC

Мультипликативные: Sмульт = у/ЦСС

Дальнейшие расчеты произведем в Excel:

Выравнивание исходного ряда и

оценка сквартальных компонент

У

СС

ЦСС

Sa=y-ЦСС

Sм=y/ЦСС

1

100

2

93,5

3

95,6

97,8

97,8

-2,2

0,97751

4

102,1

97,8

97,8

4,3

1,04397

5

107,8

99,75

98,775

9,025

1,09137

6

96,3

100,45

100,1

-3,8

0,96204

7

95,7

100,475

100,463

-4,7625

0,95259

8

98,2

99,5

99,9875

-1,7875

0,98212

9

105,1

98,825

99,1625

5,9375

1,05988

10

99,3

99,575

99,2

0,1

1,00101

11

98,9

100,375

12

101,9

Итого

1194,4

6,8125

8,07048

Средняя

99,5333

Сезонная составляющая изменяется от квартала к кварталу, поэтому вычисляем усредненные величины за период наблюдения. Для этого просуммируем S отдельно за каждый квартал и находим их средние значения. Кроме того, в моделях с квартальной компонентой обычно полагают, что сезонные воздействия за год должны нивелировать друг друга. В случае построения аддитивной модели сумма квартальных компонент должна быть нулевой. Так как на самом деле сумма отличается от нуля необходимо произвести коррекцию:

Кадд = 0 kадд = Кадд /4 Sадд = - kадд

Разделим 12 кварталов на 3 года

Расчет сезонной аддитивной модели

1

2

3

4

Итого

1 год

-2,2

4,3

2 год

9,025

-3,8

-4,7625

-1,7875

3 год

5,9375

0,1

Итого

14,9625

-3,7

-6,9625

2,5125

Среднее

4,9875

-1,2333

-2,3208

0,8375

2,27083

S

4,41979

-1,801

-2,8885

0,26979

0

Поправка

0,56771

Здесь корректирующая поправка kадд =2,27083/4 =0,56771

В мультипликативной модели сумма квартальных компонент должна быть равна числу периодов кварталов

Кадд = 4 kадд = 4/Кадд Sмульт = * kадд

Расчет сезонной мультипликативной модели

1

2

3

4

Итого

1 год

0,97751

1,04397

2 год

1,09137

0,96204

0,95259

0,98212

3 год

1,05988

1,00101

Итого

2,15125

1,96305

1,9301

2,02609

Среднее

0,71708

0,65435

0,64337

0,67536

2,69016

S

1,06623

0,97295

0,95662

1,0042

4

поправка

1,4869

Корректирующий множитель: kадд = 4/2,69016 = 1,4869.

За исследуемый промежуток времени максимальный объем товарооборота приходится на 5-ый квартал и составляет 107,8 %.

3. Нахождение тренда

Сформируем динамические ряды, в которых исключаем сезонную компоненту из наблюдений для аддитивной модели (y - S) и для мультипликативной модели (y/S) и найдем для них уравнения линейного тренда Т = a + bt, где в качестве независимой переменной выступает фактор времени t - текущий номер квартала. Параметры тренда определяются МНК или при помощи встроенных функций в Excel: КОРРЕЛ() для определения коэффициента корреляции; ОТРЕЗОК() - свободного члена в линейном уравнении тренда; НАКЛОН() - коэффициента регрессии.

Расчет линейного тренда

№ кв

у

Аддитивная модель

Мультипликативная модель

Sадд

у-Sадд

Тадд

Sмульт

у/S мульт

Тмульт

1

100

4,41979

95,580208

97,1946

1,06623

93,7884

96,8709

2

93,5

-1,801

95,301042

97,6198

0,97295

96,0993

97,3625

3

95,6

-2,8885

98,488542

98,0451

0,95662

99,9351

97,8541

4

102,1

0,26979

101,83021

98,4703

1,0042

101,673

98,3457

5

107,8

4,41979

103,38021

98,8955

1,06623

101,104

98,8374

6

96,3

-1,801

98,101042

99,3207

0,97295

98,9771

99,329

7

95,7

-2,8885

98,588542

99,7459

0,95662

100,04

99,8206

8

98,2

0,26979

97,930208

100,171

1,0042

97,7896

100,312

9

105,1

4,41979

100,68021

100,596

1,06623

98,5716

100,804

10

99,3

-1,801

101,10104

101,022

0,97295

102,061

101,295

11

98,9

-2,8885

101,78854

101,447

0,95662

103,385

101,787

12

101,9

0,26979

101,63021

101,872

1,0042

101,474

102,279

КОРРЕЛ

0,5932121

0,65119

ОТРЕЗОК

96,769413

96,3793

НАКЛОН

0,4252185

0,49161

Таким образом, получаем следующие линейные тренды:

Тадд = 96,7694 + 0,4252 t

Tмульт = 96,3793 + 0,4916 t

4. Для оценки качества и сравнения двух моделей вычисляем теоретические значения уровней ряда (T + S) и (T*S), абсолютные ошибки еадд = у - ( T + S), eмульт = у/(T*S), ошибки аппроксимации А и средние значения.

Расчет абсолютных и относительных ошибок

№ кв

аддитивная модель

мультипликативная модель

T+S

/e/

e^2

A

T*S

/e/

e^2

A

1

101,614

1,61442

2,60636

1,61442

103,287

0,96818

0,93737

0,96818

2

95,8188

2,31881

5,37687

2,48001

94,7291

0,98703

0,97422

1,05564

3

95,1565

0,44347

0,19667

0,46388

93,6093

1,02127

1,04298

1,06827

4

98,7401

3,35992

11,2891

3,29081

98,7585

1,03384

1,06882

1,01257

5

103,315

4,4847

20,1126

4,16021

105,383

1,02293

1,04639

0,94892

6

97,5197

1,21968

1,48763

1,26654

96,6423

0,99646

0,99293

1,03474

7

96,8574

1,1574

1,33958

1,20941

95,4905

1,00219

1,00439

1,04723

8

100,441

2,24095

5,02187

2,28203

100,733

0,97485

0,95034

0,99272

9

105,016

0,08383

0,00703

0,07976

107,48

0,97786

0,9562

0,93041

10

99,2206

0,07944

0,00631

0,08

98,5556

1,00755

1,01516

1,01466

11

98,5583

0,34172

0,11678

0,34553

97,3716

1,0157

1,03164

1,02699

12

102,142

0,24183

0,05848

0,23732

102,708

0,99213

0,98433

0,97364

Итого

17,5862

47,6192

17,5099

12

12,0048

12,074

Среднее

1,59874

1,59181

1,09091

1,09763

Soct/Sобщ

0,15397

0,08337

R^2

0,84603

0,91663

По результатам вычислений очевидно, что лучшей является мультипликативная модель с меньшими ошибками и большим коэффициентом детерминации.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Построение модели для зависимой переменной, используя пошаговую множественную регрессию. Рассчет индекса корреляции, оценка качества полученного уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации. Оценка статистической значимости уравнения регрессии.

    лабораторная работа [2,1 M], добавлен 25.05.2009

  • Построение поля корреляции и формулирование гипотезы о форме связи. Параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка средней ошибки аппроксимации уравнения.

    контрольная работа [136,3 K], добавлен 25.09.2014

  • Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Построение поля корреляции и расчёт параметров линейной регрессии. Результаты вычисления функций и нахождение коэффициента детерминации. Регрессионный анализ и прогнозирование.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2011

  • Расчет параметров линейной регрессии. Сравнительная оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции, детерминации, коэффициента эластичности. Построение поля корреляции. Определение статистической надежности результатов регрессионного моделирования.

    контрольная работа [71,7 K], добавлен 17.09.2016

  • Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о линейной форме связи. Расчет уравнений различных регрессий. Расчет коэффициентов эластичности, корреляции, детерминации и F-критерия Фишера. Расчет прогнозного значения результата и его ошибки.

    контрольная работа [681,9 K], добавлен 03.08.2010

  • Построение поля корреляции. Расчет параметров уравнений парной регрессии. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от некоторых факторов. Изучение "критерия Фишера". Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

    контрольная работа [173,8 K], добавлен 22.11.2010

  • Построение поля корреляции. Оценка данной зависимости линейной, степенной и гиперболической регрессией. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Расчет коэффициента эластичности. Определение доверительного интервала прогноза.

    контрольная работа [508,1 K], добавлен 13.11.2011

  • Построение корреляционного поля зависимости между y и x1, определение формы и направления связи. Построение двухфакторного уравнения регрессии y, x1, x2, оценка показателей тесноты связи. Оценка модели через F-критерий Фишера и t-критерий Стьюдента.

    лабораторная работа [1,0 M], добавлен 23.01.2011

  • Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

    контрольная работа [914,4 K], добавлен 01.12.2013

  • Расчет основных параметров уравнений регрессий. Оценка тесноты связи с показателем корреляции и детерминации. Средний коэффициент эластичности, сравнительная оценка силы связи фактора с результатом. Средняя ошибка аппроксимации и оценка качества модели.

    контрольная работа [3,4 M], добавлен 22.10.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.