Информационная система исследования влияния экономических, социальных и экологических факторов на условия жизни в городе Елабуга

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Информационная система исследования влияния экономических, социальных и экологических факторов на условия жизни в городе Елабуга

1. Объект исследования

Объектом исследования в соответствии с заданием является город Елабуга.

Елабуга - город республиканского подчинения, центр Елабужского района.

Город Елабуга - небольшой и тихий, имеющий богатую, более чем двухсотлетнюю историю, известный в царской России и за ее пределами как торгово-купеческий - переживает свое новое рождение.

Город расположен на правом берегу реки Кама, в 210 км на восток от г. Казани и находится в географическом центре промышленно развитого региона. В радиусе 300-350 км размещены предприятия:

· металлургии - г. Ижевск;

· автомобилестроения - г.г. Набережные Челны, Ижевск, Ульяновск, Тольятти;

· нефтехимии в г.г. Нижнекамск, Уфа, Пермь, Казань;

· приборостроения - г.г. Казань, Чистополь;

· электростанции - Кармановская, Заинская, Нижнекамская.

2. Цели и задачи, подлежащие решению

Целью проведения данного исследования является повышение эффективности исследования влияния экономических, социальных и экологических факторов на условия проживания жителей в городе Елабуга.

В данной работе поставлены и решены следующие задачи.

Исследование степени влияния экономических, экологических и социальных факторов на показатели комфортности проживания людей в городе. Для решения данной задачи требуется обеспечить:

· Ввод исходных статистических данных (ИСД).

· Вычисление основных статистических характеристик ИСД.

· Проверку исходных данных на нормальность.

· Представление результатов в графическом виде.

· Регрессионный анализ.

3. Исследование экономических, социальных и экологических показателей города Елабуга

a. Предварительный анализ комфортности проживания людей в городе Елабуга и постановка задачи

Для исследования влияния экономических, социальных и экологических факторов комфортности проживания жителей в г.Елабуга, далее называемым городом, использованы годовые значения статистических данных за 2004-2014 гг., приведенные в Таблице 1. В качестве откликов выбраны 27 показателей комфортности проживания жителей в городе, такие как рождаемость, смертность, естественный прирост, количество зарегистрированных браков, разводов и разность между ними - yj, j=. В качестве влияющих на них факторов выбраны экономические, социальные и экологические факторы, характеризующие среду обитания населения - xi, i=. Эти отклики и факторы представляют собой совокупность переменных - vj, . Перечень переменных приведен в Таблице 1.

Таблица 1. Перечень переменных

Факторы:
X1	Численность населения (чел.)
X2	Численность населения трудоспособного возраста (чел.)
X3	Численность работающих на крупных предприятиях (чел.)
X4	Уровень безработицы (%)
X5	Объем промышленной продукции (млн. руб., до 2006г. - млрд. руб.)
X6	Среднемесячная заработная плата (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X7	Прожиточный минимум на члена семьи (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X8	Стоимость набора из 25 основных продуктов питания (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X9	Обеспеченность населения общей площадью жилья на 1 жителя (кв. м.)
X10	Ввод жилых домов (кв. м. общ. пл.)
X11	Объем реализации платных услуг в расчете на 1 жителя (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X12	Объем реализации бытовых услуг в расчете на 1 жителя (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X13	Оборот розничной торговли на душу населения (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X14	Оборот общественного питания на душу населения (руб., до 2006г. - тыс. руб.)
X15	Обеспеченность населения больничными койками (на 1000 чел.)
X16	Обеспеченность населения врачами (на 1000 чел.)
X17	Обеспеченность населения средним медицинским персоналом (на 1000 чел.)
X18	Общая раскрываемость преступлений (%)
X19	Потребление чистой воды (млн. куб. л.)
X20	Выброс вредных веществ в атмосферу (кг)
X21	Выброс вредных веществ в водоемы
Отклики:
Y1	Средняя продолжительность жизни (лет)
Y2	Рождаемость (чел.)
Y3	Количество умерших (чел.)
Y4	Естественный прирост (чел.)
Y5	Количество зарегистрированных браков (шт.)
Y6	Количество расторгнутых браков (шт.)
Y7	Разница между заключенными и расторгнутыми браками (шт.)
Y8	Число умерших людей в возрасте до 1 года ( на 1000 чел.)
Y9	Заболеваемость туберкулезом (на 100 тыс. чел)
Y10	Заболеваемость онкологическими заболеваниями (на 100 тыс. чел)
Y11	Заболевания органов дыхания (на 1000 чел.)
Y12	Заболеваемость системы кровообращения (на 1000 чел.)
Y13	Общее количество преступлений(шт.)
Y14	Количество особо тяжких преступлений (шт.)
Y15	Количество тяжких преступлений (шт.)
Y16	Количество преступлений средней тяжести (шт.)
Y17	Количество преступлений небольшой тяжести (шт.)
Y18	Количество умышленных убийств (шт.)
Y19	Количество причинений вреда здоровью (шт.)
Y20	Количество умышленных причинений тяжкого вреда здоровью (шт.)
Y21	Количество краж (шт.)
Y22	Количество мошенничеств (шт.)
Y23	Количество грабежей (шт.)
Y24	Количество разбоев (шт.)
Y25	Количество вымогательств (шт.)
Y26	Количество неправомерных завладений АМТ (шт.)
Y27	Количество хулиганств (шт.)

Квартальные значения статистических данных за 2004-2014 годы по переменным Таблицы 1. приведены в Таблице 2.

В Таблице 2 количество строк равно количеству квартальных значений по экономических, социальным и экологическим факторам, а также рождаемости, смертности, естественному приросту, количеству зарегистрированных браков, разводов, их разности (по всем рассматриваемым переменным). По столбцам Таблицы 2 записаны значения, принимаемые переменными в квартальных отчетах.

Для наглядности исходные статистические данные (ИСД) представлены в виде временных графиков на рис. 1-12.

Рис. 1. График изменения численности населения за 2004 - 2014 годы

Таблица 2. Квартальные статистические данные

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16	X17
2004(1)	65876	38272	28900	1,8	144,7	205,1	238,4	135,3	16	9083	50	8,1	568,1	23,1	125,8	37	162,6
2004(2)	65911	38415	28100	2	150,1	280,7	238,4	142,4	16,1	10015	54	7,6	570,2	22,7	125,6	36,9	162,6
2004(3)	66053	38574	27410	2,3	155,2	342,6	238,4	145,7	16,25	9865	54	9,2	579,3	22,4	125,3	36,3	162,6
2004(4)	66271	38732	26800	2,8	128,8	473,6	238,4	149,8	16,4	7372	56	8	597,8	22,7	124,8	36,2	162,6
2005(1)	66394	38911	26935	3,1	200	548,9	292,6	152,3	16,4	7515	140,2	17,5	798,9	38,5	124,7	36,3	162,6
2005(2)	66875	39241	27027	3,4	199,95	611,3	292,6	154,5	16,3	7800	141,1	18,3	850,6	41,1	124,5	36,7	162,6
2005(3)	67012	39610	27120	3,5	202,6	717,1	292,6	159,4	16,3	7950	150,1	16,6	897	40,7	124,3	36,7	162,6
2005(4)	67356	39942	27300	3,7	197,25	779,2	292,6	164,5	16,3	8601	158,4	21,5	1006,1	43,2	123,9	37,1	162,6
2006(1)	67403	40105	27421	4	220,6	812,5	350,1	170,2	16,5	9980	180,9	22,3	911,1	40,5	120,1	37	164,5
2006(2)	67584	40318	27243	4,2	245,7	867,6	350,1	176,4	16,8	11500	165,7	22,1	862,1	39,9	118,2	36,8	167,8
2006(3)	67666	40513	27130	4,4	253,7	897,4	350,1	180,3	16,9	12200	191,9	24,9	812,6	42,3	115,3	36,8	169,5
2006(4)	67851	40684	27041	4,55	240,5	938,8	350,1	184,6	17	12155	235,4	27,5	870,3	38,5	114,8	36,7	170,7
2007(1)	67925	40876	27010	5,1	50,1	950,1	539,9	200,8	17	6805	200,3	32,2	690,3	40,2	100,3	36,4	170,5
2007(2)	67997	40917	26815	5,7	55,2	960,7	539,9	250,7	17	6570	235,4	35,7	711,6	42,8	90,2	36,2	169
2007(3)	68139	41324	26300	5,9	46,3	970,3	539,9	287,7	17	6800	226,8	32,2	710,8	41,9	85,8	35,5	169
2007(4)	68350	41655	25742	6,27	50,5	1045	539,9	318,56	17	7045	195,2	39,1	697	41,5	84,3	35	168,9
2008(1)	68627	41819	25786	6,1	99,8	1070	757,6	348,1	17,2	5550	315,2	50,3	805,8	45,7	84,3	34,9	167
2008(2)	68211	41943	26304	5,4	102,3	1124,5	757,6	370,5	17,3	4970	310,1	57,8	875,1	49,1	84,3	34,5	166,5
2008(3)	67789	42058	26258	5,1	104,6	1198,2	757,6	398,1	17,4	5160	320,7	52,1	887,6	47,5	84,2	34,45	165,4
2008(4)	68426	42258	26207	4,8	96,7	1301	757,6	435,39	17,5	5448	307,4	53,9	934,2	51,4	84,2	34,4	163
2009(1)	68401	42347	26118	4,1	116	1500,6	881,4	457,3	17,8	7970	425,6	71,2	1187,5	125,6	88,6	34,7	163
2009(2)	68334	42416	25987	3,2	152	1640	881,4	488,8	17,9	8245	431,8	74,9	1207,1	173,5	89	34,8	163
2009(3)	68225	42552	25756	2,5	140	1780	881,4	512,3	18	8543	455,8	66,8	1224,3	190,1	92,5	34,9	162,8
2009(4)	68101	42684	25698	1,87	151,8	2098	881,4	528,68	18,2	8225	489,1	72,8	1198,1	205,55	96,7	35,1	162,8
2010(1)	68006	42847	25711	1,8	200	2169	981,62	550,4	18,3	4900	638,9	96,2	1650,8	285,3	96,7	35,2	163
2010(2)	67986	42916	25689	1,7	208,6	2570	981,62	586	18,5	5045	651,3	99,3	1589,3	290,4	97	35,4	163,9
2010(3)	67982	43081	25986	1,6	246,2	2768,5	981,62	621,3	18,6	5005	654,9	100,9	1668,1	292,5	97,1	35,7	164,5
2010(4)	67969	43180	26095	1,55	203,3	3098,3	981,62	662,93	18,7	5377	647	98,7	1488,8	292,8	97,71	34,9	165,8
2011(1)	68015	43281	26541	1,6	232,8	3302,6	1548,75	712,4	18,8	6045	1350,17	131	1847,5	356,1	95,3	35,2	164,9
2011(2)	67987	43458	26582	1,7	312,5	3458,8	1548,75	745,6	18,8	5990	1401,2	129,4	1925	374,5	94,1	35,3	165,7
2011(3)	67972	43513	36645	1,7	359,8	3684	1548,75	778,9	18,9	6103	1357,8	135,2	1715,4	380,3	93,4	35,8	166,2
2011(4)	67647	43601	26903	1,85	252,7	3983,5	1548,75	801,43	19	6045	1246,2	132	1857,1	387,1	91,28	36	166,8
2012(1)	67996	43874	26315	1,85	467,2	3999,1	1768,25	824,6	19	6700	1368,1	149	2487,3	420,8	90,5	36	166,8
2012(2)	68100	44521	26046	1,9	538,1	4102	1768,25	864,1	19	6200	1423,5	156,5	2214,8	427,1	89,8	36,1	165,4
2012(3)	68547	44986	25936	1,9	528,5	4184	1768,25	879,5	19	5970	1411,1	164,2	2187,5	431,5	89,8	36,1	165
2012(4)	69145	45352	25280	1,92	480	4529,3	1768,25	895,21	19	7915	1584	156,7	2683,9	428,6	88,1	36,6	165

Продолжение Таблицы 2.

Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10
121	110	-11	110	103	7	14,3	50	201,2
197	211	14	81	74	7	11,5	50,1	202,2
211	235	24	96	70	26	10,2	50,2	204
135	209	74	75	48	27	7,2	50,5	204,5
86	123	37	89	86	3	10,6	65,6	204
218	214	-4	48	111	-63	15,8	70,1	203,3
173	219	46	108	68	40	17,4	78,7	202,1
202	214	12	87	55	32	19,3	83,8	201
64	98	34	67	94	-27	18,9	77,4	199
214	189	-25	101	86	15	19,1	70,5	195,6
220	231	11	111	79	32	19,3	66,4	194
148	217	69	54	58	-4	19,4	60,3	192,5
132	74	-58	74	75	-1	20,6	70,1	183,4
144	211	67	78	66	12	21,8	75,9	178,8
158	115	-43	98	57	41	23,2	77,7	164
184	274	90	68	53	15	24,8	80,4	156,9
49	84	35	88	93	-5	24,2	78,7	198
217	159	-58	70	72	-2	23,7	75,21	210,3
238	260	22	101	46	55	23,1	73,8	225,5
106	209	103	91	49	42	22,3	72,2	247,1
57	112	55	80	102	-22	18,8	73,8	237
128	201	73	67	81	-14	15,1	75,5	230,5
243	172	-71	107	59	48	14,3	77,4	224,4
214	219	5	90	77	13	13,9	78,5	221,5
98	215	117	186	166	20	14,6	78	225,4
157	158	1	158	153	5	15,1	77,8	230,1
218	223	5	82	41	41	16,8	77,7	232,4
206	234	28	35	24	11	18	77,6	234,1
96	203	107	187	211	-24	18,3	75,1	240,1
183	217	34	86	81	5	16,4	73	241,1
269	228	-41	113	116	-3	10,8	70,5	246,7
254	202	-52	127	84	43	11	68,9	251,2
126	125	-1	215	184	31	10,8	60,8	248,7
216	234	18	79	111	-32	9,7	59	245,1
220	238	18	153	90	63	9,7	57,4	245
229	219	-10	90	82	8	9,3	56,4	244,9
	Y15	Y16	Y17	Y18	Y19	Y20	Y21	Y22	Y23	Y24	Y25	Y26	Y27
2004(1)	0	0	0	2	0	5	123	15	12	2	2	2	49
2004(2)	0	0	0	4	0	13	327	216	35	21	7	6	7
2004(3)	0	0	0	7	0	17	460	302	39	25	11	7	18
2004(4)	0	0	0	15	0	22	595	399	39	33	15	12	24
2005(1)	117	0	0	3	18	8	74	2	10	1	4	3	26
2005(2)	245	0	0	11	22	7	281	178	15	22	2	4	14
2005(3)	332	0	0	14	39	9	404	263	28	26	6	4	23
2005(4)	432	0	0	18	45	13	530	342	29	33	8	4	30
2006(1)	121	52	64	6	20	7	130	77	8	5	1	1	11
2006(2)	229	103	113	9	22	11	264	163	14	15	3	2	15
2006(3)	347	128	176	12	46	15	385	245	21	19	6	2	20
2006(4)	465	160	208	17	62	21	508	319	36	28	8	5	20
2007(1)	135	40	62	3	20	8	146	94	17	5	6	2	0
2007(2)	266	85	107	9	54	23	271	193	29	19	7	1	1
2007(3)	428	137	212	15	72	29	452	330	43	24	11	7	11
2007(4)	691	224	324	17	94	33	778	622	41	36	15	10	13
2008(1)	256	62	92	1	26	11	294	243	8	17	7	4	2
2008(2)	476	147	200	7	47	16	567	436	19	37	13	8	8
2008(3)	713	259	367	11	83	21	885	648	35	46	13	15	10
2008(4)	897	366	472	12	113	35	1095	802	62	56	20	22	14
2009(1)	191	87	109	4	22	10	246	188	16	8	2	5	2
2009(2)	407	195	223	7	49	6	520	401	26	25	7	9	2
2009(3)	597	287	353	14	77	12	777	581	59	27	13	13	5
2009(4)	816	374	491	16	95	17	1049	790	68	45	19	18	6
2010(1)	229	63	97	5	33	9	260	194	14	23	4	9	1
2010(2)	457	162	205	14	62	18	505	364	33	44	9	10	5
2010(3)	672	241	340	17	83	22	752	518	38	64	14	20	6
2010(4)	904	309	489	22	108	33	1010	710	50	85	22	26	9
2011(1)	200	78	113	7	23	11	231	165	8	28	4	8	5
2011(2)	375	125	204	9	45	18	397	273	25	60	5	13	9
2011(3)	517	206	275	14	77	27	567	382	29	85	16	14	23
2011(4)	662	323	392	16	97	32	809	570	37	109	23	18	30
2012(1)	102	144	109	1	16	7	228	158	7	30	10	4	12
2012(2)	197	266	276	6	36	12	443	326	10	53	20	8	15
2012(3)	304	373	423	9	51	18	686	494	30	72	25	13	31
2012(4)	412	479	524	14	70	27	915	656	41	112	30	15	37

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16
2013(1)	69158	45541	25320	1,95	494,9	4790,1	1962,25	917,5	19	4152	1811,3	161,5	2956,8	450	85,6	36,6
2013(2)	69203	46125	25450	1,95	602,7	4830	1962,25	967	19,1	3871	1915,6	169,8	3005,8	461	84,4	36,8
2013(3)	69341	46274	25480	2	589,5	4952,6	1962,25	988,4	19,1	4213	1907,1	167,8	3001,7	455,2	83,5	36,8
2013(4)	69400	46511	25658	2,01	594	5264,6	1962,25	1044,81	19,2	4607	1906	166,1	3120,7	471,8	83	37
2014(1)	69546	46712	25782	2,1	541,2	5345,1	2155,8	1102	19,2	4273	1917,5	172,5	3115,1	478,2	83,5	37
2014(2)	69687	46874	25751	2,1	617,3	5387,2	2155,8	1245	19,2	4545	1958,7	177,4	3250,2	481,5	84,2	37,5
2014(3)	69875	47022	25731	2,2	601,1	5406,7	2155,8	1322	19,4	4680	2015	176,7	3114,3	485,6	84,2	37,7
	X18	X19	X20	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10	Y11	Y12	Y13
2013(1)		1,85	20,2	61,2	118	126	8	113	78	35	8,8	52,8	241,5	282,1	16,7	376
2013(2)		3,4	25,1	61,8	226	268	42	94	76	18	8,5	50,1	238,4	274	17,1	865
2013(3)		3,45	25,6	61,8	273	187	-86	208	73	135	7,3	44,4	236	278,1	17,5	1293
2013(4)		2,17	16,2	62	228	280	52	162	64	98	6,7	41,3	235,4	280,6	18,8	1691
2014(1)		2,01	17,8	62,4	180	152	-28	145	84	61	6,8	42,1	215	278,4	20,1	426
2014(2)		3,5	25,8	62,4	215	214	-1	79	52	27	7,05	46,7	200,4	279,6	25,4	798
2014(3)		3,4	23,5	62,5	314	165	-149	197	77	120	7,3	48,6	174	276,5	29,1	1428
	Y15	Y16	Y17	Y18	Y19	Y20	Y21	Y22	Y23	Y24	Y25	Y26	Y27
2013(1)	89	133	125	4	19	15	246	178	15	22	7	5	10
2013(2)	208	355	261	6	44	26	573	406	28	58	15	12	29
2013(3)	279	519	444	8	72	37	837	586	50	85	18	20	46
2013(4)	390	681	562	10	95	46	1111	777	64	133	22	27	49
2014(1)	129	158	111	7	24	11	275	180	16	47	8	8	3
2014(2)	214	288	256	9	49	21	484	316	34	79	13	8	20
2014(3)	325	577	474	11	96	34	910	621	70	130	17	12	28

Рис. 2. График изменения объема промышленной продукции за 2004 - 2014 годы.

Рис. 3. График изменения средней заработной платы за 2004 - 2014 годы.



Рис. 4. График изменения уровня безработицы за 2004 - 2014 годы.

Рис. 5. График изменения общей раскрываемости преступлений за 2004 - 2014 годы.



Рис. 6. График изменения средней продолжительности жизни за 2004 - 2014 годы.

Рис. 7. График изменения рождаемости за 2004 - 2014 годы.



Рис. 8. График изменения смертности за 2004 - 2014 годы.

Рис. 9. График изменения количества зарегистрированных браков за 2004 - 2014 годы.



Рис. 10. График изменения заболеваемости онкологическими заболеваниями за 2004 - 2014 годы.

Рис. 11. График изменения общего количества преступлений за 2004 - 2014 годы.



Рис. 12. График изменения количества краж за 2004 - 2014 годы.

Характер изменения переменных во времени (рис. 1.- 12.) убедительно показывает наличие в них случайности. Так как все отобранные для исследования переменные (таблица 1) непрерывные и количественные, то для исследования целесообразно применять регрессионный анализ. Поскольку имеется сравнительно большое количество факторов (М = 20) то целесообразно проведение факторного анализа, который позволяет значительно уменьшить количество факторов, используемых при исследовании.

Ставится задача разработки модели комфортности проживания жителей в городе, состоящего из совокупности регрессионных моделей, функционально представляемых в следующем виде:

;(1)

,

где yj - j-й показатель комфортности проживания жителей в городе;

K - количество показателей комфортности проживания жителей в городе;

xi - i-й фактор, влияющий на комфортность проживания жителей в городе;

M - общее количество экономических, экологических и социальных факторов.

По зависимостям (2.1.1) можно произвести оценку степени влияния факторов на показатели комфортности жизни жителей в городе по коэффициентам эластичности и бета-коэффициентам.

Для временного прогнозирования найдем зависимости переменных от времени, функционально представляемых в следующем виде:

;(2)

,

где M - количество факторов;

K - количество откликов.

Задача факторного анализа заключается в сокращении в исследовании количества факторов, которых у нас сорок два, и выделении из них общих скрытых факторов Fz, , которые далее будем называть просто общими факторами, и характерных факторов Ui, . Если у фактора только одна нагрузка, значительно отличающаяся от нуля, то он называется характерным фактором. Требуется найти зависимости:

; (3)

.

При условии, что R много меньше M и все Fz ортогональны по отношению друг к другу и требуется оценить степень влияния общих факторов Fz, и характерных факторов Ui, , на экономические показатели деятельности предприятия (yj) [8].

Для получения математических зависимостей (1) - (3) в аналитическом виде и обеспечения корректности получаемых результатов предлагается методика, которая должна включать в себя следующие этапы:

1) Выбор совокупности основных статистических показателей, описывающих условия проживания жителей в городе и сбор ИСД по ним за двенадцать лет.

2) Вычисление основных статистических характеристик ИСД: оценок математического ожидания (среднего); среднего квадратического (стандартного) отклонения; ошибки вычисления среднего значения; асимметрии, эксцесса и их ошибок; построение доверительных интервалов.

3) Оценка нормальности распределения ИСД (их подчинения нормальному закону);

4) Факторный анализ.

5) Вычисление парных коэффициентов линейной корреляции.

6) Получение уравнений регрессии, представляющих собой зависимость комфортности проживания жителей в городе от влияющих на факторов.

b. Основные статистические характеристики исходных данных. Вычисление основных статистических характеристик ИСД. Проверка «нормальности»

Важным способом "описания" переменной является форма ее распределения, которая показывает, с какой частотой значения переменной попадают в определенные интервалы. Нас интересует, насколько точно распределение можно аппроксимировать нормальным распределением. Простые описательные статистики дают об этом некоторую информацию. Первоначальное самое общее представление о распределении случайных величин может быть получено на основе анализа их основных статистических характеристик. Будем обозначать и называть их так, как это принято в пакете Statistica 6.0.

Нормальное распределение важно по многим причинам. Распределение многих статистик является нормальным или может быть получено из нормальных с помощью некоторых преобразований. Рассуждая философски, можно сказать, что нормальное распределение представляет собой одну из эмпирически проверенных истин относительно общей природы действительности и его положение может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы. Точная форма нормального распределения (характерная "колоколообразная кривая") определяется только двумя параметрами: средним и стандартным отклонением.

Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 68% всех его наблюдений лежат в диапазоне ±1 стандартное отклонение от среднего, а диапазон ±2 стандартных отклонения содержит 95% значений. Другими словами, при нормальном распределении, стандартизованные наблюдения, меньшие -2 или большие +2, имеют относительную частоту менее 5%. (Стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значения вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение (корень из дисперсии))[22].

Итак, первоначально дадим определение основным статистическим характеристикам и попытаемся найти их оценки. А далее, оценим насколько распределение выбранных нами переменных близко к нормальному распределению. Среднее - среднее арифметическое значение (оценка математического ожидания):

; (4)

,

где n - количество учитываемых временных интервалов;

M - количество факторов;

К - количество откликов;

vij - значение j-й переменной на i-ом временном интервале;

- среднее арифметическое значение j-той переменной по n экспериментальным значениям;

i - номер строки, в таблицах исходных данных;

j - номер столбца, в таблицах исходных данных.

Далее во всех формулах данного раздела используются одни и те же обозначения переменных, что применялись выше, поэтому нет необходимости их дальнейшего пояснения.

Стандартное отклонение (оценка среднего квадратического отклонения) - это мера того, насколько широко распределены экспериментальные данные относительно их среднего значения:

; (5)

.

Дисперсия.

Квадрат среднего квадратичного отклонения даёт величину дисперсии :

; (6)

.

Стандартная ошибка среднего - отношение стандартного отклонения к корню квадратному из количества учитываемых временных интервалов:

; (7)

,

где - стандартное отклонение, вычисленное по формуле (6).

Медиана - это число, которое является серединой совокупности случайных чисел, то есть половина случайных чисел имеют значения, меньшие, чем медиана, а другая половина чисел имеют значения, большие, чем медиана.

Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Для нормального закона асимметрия равна нулю. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение в сторону отрицательных значений. Оценка асимметрии вычисляется по формуле:

; (8)

.

Стандартная ошибка асимметрии:

, (9)

где n - количество учитываемых временных интервалов.

Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Положительный эксцесс соответствует относительно остроконечному распределению. Отрицательный эксцесс соответствует относительно сглаженному распределению:

;(10)

.

Средняя ошибка эсцесса:

, (11)

где n - количество учитываемых временных интервалов.

Минимум - минимальное значение.

Максимум - максимальное значение.

Счет - количество экспериментальных данных.

Вычисленные по формулам 4-11 статистические характеристики приведены в таблице 3.

Закон распределения. Наиболее существенной характеристикой распределения случайных величин является закон распределения, который наиболее полно показывает, с какой частотой значения переменной попадают в определенные интервалы. Эти интервалы, называются интервалами группировки.

Таблица 3. Основные статистические характеристики ИСД

Описательная статистика
	Счет	Среднее	Медиана	Сумма	Минимум	Максимум	Дисперсия выборки	Стандартное отклонение
x1	43	68007,88	67997,00	2924339	65876,00	69875,00	946234	972,746
x2	43	42461,28	42416,00	1825835	38272,00	47022,00	6280301	2506,053
x3	43	26635,09	26258,00	1145309	25280,00	36645,00	3049195	1746,195
x4	43	3,05	2,20	131	1,55	6,27	2	1,483
x5	43	269,18	203,30	11575	46,30	617,30	32898	181,379
x6	43	2347,41	1640,00	100939	205,10	5406,70	3033068	1741,570
x7	43	1017,46	881,40	43751	238,40	2155,80	438434	662,144
x8	43	535,38	488,80	23021	135,30	1322,00	119297	345,395
x9	43	17,82	17,90	766	16,00	19,40	1	1,121
X10	43	6907,05	6570,00	297003	3871,00	12200,00	4727123	2174,195
x11	43	759,45	431,80	32656	50,00	2015,00	473748	688,293
x12	43	83,34	71,20	3584	7,60	177,40	3623	60,188
x13	43	1519,39	1198,10	65334	568,10	3250,20	772109	878,698
x14	43	212,11	173,50	9121	22,40	485,60	33103	181,942
x15	43	98,63	92,50	4241	83,00	125,80	246	15,693
x16	43	36,02	36,20	1549	34,40	37,70	1	0,908
x17	43	165,25	165,00	7106	162,60	170,70	5	2,330
x18	43	66,80	69,70	2872	47,30	81,70	146	12,075
x19	43	2,72	2,70	117	1,60	4,00	1	0,730
x20	43	20,31	20,20	873	15,44	25,80	8	2,785
y1	43	62,51	62,40	2688	60,50	65,40	2	1,334
y2	43	178,72	197,00	7685	49,00	314,00	3888	62,355
y3	43	191,81	211,00	8248	74,00	280,00	2744	52,383
y4	43	13,09	14,00	563	-149,00	117,00	2937	54,196
y5	43	105,77	91,00	4548	35,00	215,00	1884	43,409
y6	43	83,93	77,00	3609	24,00	211,00	1361	36,886
y7	43	21,84	15,00	939	-63,00	135,00	1394	37,336
y8	43	14,92	15,10	642	6,70	24,80	31	5,586
y9	43	66,07	70,50	2841	41,30	83,80	158	12,560
y10	43	216,43	221,50	9306	156,90	251,20	613	24,764
y11	43	276,38	274,10	11884	230,30	339,40	1144	33,830
y12	43	18,58	18,00	799	9,70	29,10	14	3,729
y13	43	884,72	814,00	38043	235,00	1844,00	218299	467,225
y14	43	37,35	32,00	1606	0,00	142,00	1069	32,703
y15	43	344,79	304,00	14826	0,00	904,00	57580	239,958
y16	43	190,37	147,00	8186	0,00	681,00	28547	168,960
y17	43	215,19	204,00	9253	0,00	562,00	29264	171,067
y18	43	9,84	9,00	423	1,00	22,00	27	5,177
y19	43	49,44	46,00	2126	0,00	113,00	1022	31,972
y20	43	18,44	17,00	793	5,00	46,00	100	10,003
y21	43	520,93	484,00	22400	74,00	1111,00	82924	287,964
y22	43	365,65	326,00	15723	2,00	802,00	46535	215,720
y23	43	30,42	29,00	1308	7,00	70,00	298	17,277
y24	43	44,05	33,00	1894	1,00	133,00	1138	33,741
y25	43	11,35	10,00	488	1,00	30,00	51	7,111
y26	43	9,67	8,00	416	1,00	27,00	45	6,718
y27	43	16,26	13,00	699	0,00	49,00	171	13,081

Описательная статистика
	Стандартная ошибка	Асимметричность	Стандартная ошибка ассиметричности	Эксцесс	Сиандартная ошибка эксцесса
x1	148,3423	-0,370816	0,361358	0,20546	0,709035
x2	382,1695	0,159959	0,361358	-0,79825	0,709035
x3	266,2922	4,702195	0,361358	26,58146	0,709035
x4	0,2262	0,837132	0,361358	-0,69592	0,709035
x5	27,6600	0,792158	0,361358	-0,76510	0,709035
x6	265,5870	0,514599	0,361358	-1,28102	0,709035
x7	100,9760	0,427622	0,361358	-1,31017	0,709035
x8	52,6722	0,511764	0,361358	-0,84256	0,709035
x9	0,1710	-0,146950	0,361358	-1,55993	0,709035
X10	331,5616	0,809377	0,361358	0,09733	0,709035
x11	104,9637	0,685823	0,361358	-1,17096	0,709035
x12	9,1786	0,288999	0,361358	-1,50186	0,709035
x13	134,0001	0,783642	0,361358	-0,79451	0,709035
x14	27,7459	0,302610	0,361358	-1,70022	0,709035
x15	2,3932	0,812490	0,361358	-0,99516	0,709035
x16	0,1384	-0,237886	0,361358	-1,10816	0,709035
x17	0,3554	0,673924	0,361358	-0,26805	0,709035
x18	1,8414	-0,325754	0,361358	-1,53445	0,709035
x19	0,1113	0,107436	0,361358	-1,36638	0,709035
x20	0,4246	0,259291	0,361358	-0,56386	0,709035
y1	0,2035	0,456552	0,361358	-0,30285	0,709035
y2	9,5091	-0,294371	0,361358	-0,50524	0,709035
y3	7,9884	-0,636641	0,361358	-0,39261	0,709035
y4	8,2648	-0,498234	0,361358	0,84165	0,709035
y5	6,6199	1,090615	0,361358	0,54642	0,709035
y6	5,6250	1,701841	0,361358	3,56164	0,709035
y7	5,6937	0,886719	0,361358	2,09139	0,709035
y8	0,8519	0,098642	0,361358	-1,22610	0,709035
y9	1,9154	-0,578830	0,361358	-1,11316	0,709035
y10	3,7765	-0,483950	0,361358	-0,58495	0,709035
y11	5,1590	0,360644	0,361358	-1,22705	0,709035
y12	0,5687	0,347621	0,361358	0,73213	0,709035
y13	71,2511	0,456941	0,361358	-0,82229	0,709035
y14	4,9871	1,223421	0,361358	1,80437	0,709035
y15	36,5932	0,681457	0,361358	-0,10805	0,709035
y16	25,7662	1,001447	0,361358	0,68341	0,709035
y17	26,0875	0,425861	0,361358	-0,97691	0,709035
y18	0,7896	0,192700	0,361358	-0,72543	0,709035
y19	4,8757	0,265400	0,361358	-0,95536	0,709035
y20	1,5255	0,782571	0,361358	-0,07017	0,709035
y21	43,9142	0,494795	0,361358	-0,76096	0,709035
y22	32,8970	0,448414	0,361358	-0,71240	0,709035
y23	2,6347	0,641488	0,361358	-0,24552	0,709035
y24	5,1455	1,123610	0,361358	0,66943	0,709035
y25	1,0844	0,621171	0,361358	-0,29549	0,709035
y26	1,0245	0,870505	0,361358	0,18668	0,709035
y27	1,9948	0,979832	0,361358	0,40829	0,709035

Выскажем гипотезу, что исходные статистические данные подчинены нормальному закону, и в качестве параметров нормального закона примем оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения, вычисленные по (4) и (5).

Функция плотности нормального закона имеет вид:

, (12)

Так как в нашем случае количество реализаций переменных сравнительно невелико, то для оценки предположения о нормальности принимают критерий Колмогорова - Смирнова [9], используемый в пакете прикладных программ (ППП) Statistica 6.0 [4] .

; (13)

где: F*(vij) - эмпирическая функция распределения j-ой переменной для i-го значения;

F(vij) - гипотетическая функция распределения j-ой переменной для i-го значения;

dj - абсолютная величина разности между эмпирической и гипотетической функциями распределения.

Значения гипотетической функции распределения находятся по статистическим таблицам .

; (14)

Если коэффициент доверия Pк предположению о нормальности эмпирического распределения, который можно найти по статистическим таблицам, например, в [9] превосходит 0,20, то предположение о нормальности не отвергается. Если Рк <0,20, то предположение о нормальности рекомендуется отвергнуть.

Если количество реализаций переменной представляется достаточным для построения гистограммы (не менее семи интервалов и не менее семи попаданий случайной величины в любой из интервалов), то используют критерий согласия Пирсона, более известной как . Он является двухпараметрическим. Один параметр оценивает степень расхождения эмпирических и гипотетических данных, а второй - количество степеней свободы.

 , (15)

(16)

где: - мера расхождения эмпирического и гипотетического распределения j-й случайной переменной;

- количество интервалов гистограммы для j-й случайной переменной;

n - количество реализаций случайной величины в эмпирическом распределении;

- частота (количество попаданий) в i-й интервал гистограммы эмпирического распределения j-й случайной величины;

- вероятность попадания j-й случайной величины в i-й интервал гистограммы гипотетического распределения;

- количество степеней свободы j-й случайной величины;

- количество параметров гипотетического распределения для j-й случайной величины (для нормального закона два: и ).

Вероятность попадания в i-ый интервал гистограммы гипотетического распределения вычисляется по формуле:

(17)

где: - левая и правая граница i-го интервала гистограммы;

f(x) - функция плотности гипотетического распределения.

По вычисленным значениям (13) и (16) по статистическим таблицам находится коэффициент доверия . Если укладывается в рекомендуемый десятипроцентный доверительный интервал 0,1??0,9, то предположение о подчинении эмпирического распределения нормальному закону не отвергается, если же наблюдаемое значение выходит за границы десятипроцентного доверительного интервала, то предположение рекомендуется отвергнуть.

Соответствие эмпирического и гипотетического распределений можно визуально проследить по графикам. При использовании критерия согласия Колмогорова предпочтительнее использовать функции распределения, при использовании критерия согласия предпочтительнее использовать функции плотности. Такие графики строятся и выдаются в специальных программных процедурах ППП Statistica 6.0 и Excel 2011 , на которые производится ориентация вычислений по излагаемому математическому аппарату.

Графики определения нормальности ИСД для распределений случайных величин представлены на рис.13 - 25.

Рис. 13. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределения X1.



Рис. 14. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределения X5.

Рис. 15. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределения X10.



Рис. 16. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределения X12.

Рис. 17. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределения X15.



Рис. 18. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределения X20.

Рис. 19. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределенияY1.



Рис. 20. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределенияY7.

Рис. 21. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределенияY15.



Рис. 22. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределенияY19.

Рис. 23. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределенияY23.



Рис. 24. Эмпирическая и гипотетическая функция плотности распределенияY27.

Для анализа «нормальности» исходных статистических данных применен метод Колмогорова - Смирнова. Результаты представлены в виде таблицы 4. Коэффициент доверия найден по статистическим таблицам [9].

Таблица 4. Проверка ИСД на «нормальность»

ПЕРЕМЕННЫЕ	d		Коэффициент доверия
X1	0,14047	0,92112
X2	0,06882	0,45128
X3	0,25656	1,68238
X4	0,22846	1,49811
X5	0,23168	1,51923
X6	0,19144	1,25536
X7	0,17275	1,13280
X8	0,13598	0,89168
X9	0,15726	1,03122
X10	0,11586	0,75974
X11	0,21153	1,38709
X12	0,14092	0,92407
X13	0,18964	1,24355
X14	0,27658	1,81366
X15	0,22093	1,44873
X16	0,13231	0,86761
X17	0,1588	1,04132
X18	0,16144	1,05863
X19	0,15156	0,99385
X20	0,06673	0,43758
Y1	0,09429	0,61830
Y2	0,13951	0,91483
Y3	0,19751	1,29516
Y4	0,09716	0,63712
Y5	0,20128	1,31988
Y6	0,19856	1,30204
Y7	0,12263	0,80414
Y8	0,13092	0,85850
Y9	0,18398	1,20644
Y10	0,12819	0,84060
Y11	0,12584	0,82519
Y12	0,10222	0,67030
Y13	0,11807	0,77424
Y14	0,12671	0,83089
Y15	0,0964	0,63214
Y16	0,14807	0,97096
Y17	0,14347	0,94080
Y18	0,11489	0,75338
Y19	0,11712	0,76801
Y20	0,12539	0,82224
Y21	0,11025	0,72296
Y22	0,10179	0,66748
Y23	0,10691	0,70106
Y24	0,16411	1,07614
Y25	0,14627	0,95916
Y26	0,1333	0,87411
Y27	0,14289	0,93699

c. Вычисление парных коэффициентов корреляции

Тесноту связи между переменными принято характеризовать парными коэффициентами линейной корреляции, вычисляемыми по формуле:

 (18)

;

где: n- количество экспериментальных данных;

M- количество факторов ;

K- количество откликов yi (yj);

- значение i-той (j-той) переменной в g-ой точке плана.

Парные коэффициенты линейной корреляции принимают значения от -1 до +1. Значение, близкое к +1, указывает на наличие сильной положительной линейной зависимости между переменными. Значение, близкое к -1, указывает на наличие сильной отрицательной зависимости между переменными. Значение, близкое к 0, указывает на независимость переменных друг от друга. Для более достоверной оценки гипотезы о линейности можно использовать математический аппарат, изложенный в [22], при допущении о нормальности распределения коэффициентов линейной корреляции.

Вычисляется стандартная ошибка оценки коэффициента корреляции:

; (19)

где: n - количество случайных чисел в ИСД;

rij - коэффициент линейной корреляции между I -ой и j- ой переменными.

По статистическим таблицам, например, для рекомендуемого уровня значимости 0,05 [9] и количеству степеней свободы n-2 находим критическое значение tкрит=2,25. Вычисляется критерий Стьюдента:

; (20)

Если вычисленное значение tij>tкрит, то считается, что имеющиеся статистические данные не противоречат предположению о наличии существенной связи между i-ой и j-ой переменными, i= , в противном случае предположение о существенности зависимости между переменными следует отвергнуть.

Путем несложных преобразований (19) и (20) можно получить формулу для непосредственного вычисления критического значения коэффициента линейной корреляции, начиная с которого и выше его по абсолютной величине связь между переменными можно считать существенной.

,; (21)

где - критическое значение критерия Стьюдента для рекомендуемого уровня значимости , определяемого по статистическим таблицам при n - 2 = 43 - 2 = 41 степенях свободы [9].

n = 43 - количество значений в ИСД.

По (21) находим

= (22)

Таблица 5. Парные коэффициенты линейной корреляции

Переем.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16	X17	X18	X19	X20
X1	1,00
X2	0,91	1,00
X3	-0,38	-0,30	1,00
X4	-0,06	-0,42	-0,06	1,00
X5	0,61	0,79	-0,13	-0,60	1,00
X6	0,77	0,96	-0,19	-0,60	0,89	1,00
X7	0,79	0,96	-0,19	-0,55	0,85	0,98	1,00
X8	0,80	0,97	-0,21	-0,57	0,84	0,98	0,98	1,00
X9	0,78	0,95	-0,20	-0,57	0,74	0,95	0,95	0,95	1,00
X10	-0,60	-0,70	0,24	0,25	-0,41	-0,65	-0,69	-0,69	-0,67	1,00
X11	0,75	0,93	-0,15	-0,58	0,91	0,99	0,98	0,97	0,91	-0,63	1,00
X12	0,78	0,96	-0,19	-0,59	0,85	0,99	0,99	0,98	0,97	-0,68	0,97	1,00
X13	0,77	0,93	-0,26	-0,60	0,93	0,98	0,96	0,96	0,89	-0,62	0,98	0,96	1,00
X14	0,69	0,92	-0,16	-0,71	0,86	0,98	0,97	0,96	0,96	-0,63	0,97	0,98	0,96	1,00
X15	-0,85	-0,81	0,32	-0,02	-0,35	-0,65	-0,72	-0,71	-0,76	0,72	-0,62	-0,71	-0,59	-0,60	1,00
X16	0,01	0,08	0,10	-0,27	0,56	0,25	0,16	0,16	-0,04	0,19	0,30	0,13	0,34	0,20	0,38	1,00
X17	0,33	0,17	0,02	0,47	0,03	0,09	0,09	0,06	0,11	0,05	0,09	0,07	0,03	0,01	-0,31	0,08	1,00
X18	-0,69	-0,85	0,14	0,40	-0,77	-0,88	-0,91	-0,87	-0,82	0,72	-0,89	-0,89	-0,85	-0,85	0,69	-0,14	-0,19	1,00
X19	0,27	0,32	0,05	-0,09	0,24	0,26	0,27	0,31	0,34	-0,22	0,25	0,31	0,21	0,27	-0,35	-0,14	0,16	-0,27	1,00
X20	0,27	0,43	-0,04	-0,44	0,44	0,43	0,45	0,48	0,45	-0,29	0,44	0,47	0,42	0,46	-0,27	-0,02	-0,15	-0,38	0,70	1,00

Продолжение Таблицы 5.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10	Y11	Y12	Y13	Y14	Y15	Y16	Y17	Y18	Y19	Y20	Y21	Y22	Y23
X1	-0,15	0,25	0,06	-0,22	0,33	-0,05	0,43	-0,20	-0,20	0,22	-0,57	-0,09	0,30	0,45	0,25	0,72	0,63	0,03	0,49	0,45	0,39	0,42	0,28
X2	-0,48	0,38	0,17	-0,26	0,48	0,08	0,48	-0,49	-0,38	0,47	-0,52	0,00	0,35	0,52	0,18	0,77	0,66	0,00	0,44	0,46	0,42	0,43	0,27
X3	-0,07	0,12	0,02	-0,12	-0,10	0,12	-0,24	0,00	0,07	0,01	0,30	-0,04	-0,14	-0,18	-0,06	-0,27	-0,23	0,05	-0,10	-0,06	-0,19	-0,23	-0,16
X4	0,75	-0,31	-0,22	0,14	-0,42	-0,32	-0,17	0,79	0,44	-0,64	-0,09	-0,45	-0,17	-0,32	0,14	-0,28	-0,20	0,00	0,03	-0,04	-0,14	-0,09	-0,11
X5	-0,48	0,44	0,22	-0,29	0,48	0,12	0,44	-0,77	-0,70	0,40	-0,03	0,20	0,13	0,20	-0,22	0,60	0,38	-0,14	0,08	0,29	0,18	0,14	0,09
X6	-0,59	0,42	0,19	-0,29	0,52	0,15	0,46	-0,66	-0,50	0,53	-0,35	0,06	0,29	0,46	0,04	0,71	0,57	-0,01	0,32	0,43	0,34	0,33	0,21
X7	-0,62	0,36	0,14	-0,27	0,54	0,21	0,42	-0,61	-0,48	0,54	-0,42	0,01	0,24	0,39	0,01	0,68	0,54	-0,12	0,28	0,38	0,29	0,29	0,15
X8	-0,60	0,42	0,18	-0,30	0,52	0,13	0,47	-0,62	-0,47	0,50	-0,42	0,11	0,33	0,48	0,09	0,73	0,61	-0,02	0,37	0,44	0,38	0,38	0,26
X9	-0,61	0,35	0,19	-0,22	0,50	0,22	0,37	-0,51	-0,29	0,63	-0,53	-0,02	0,36	0,61	0,22	0,71	0,65	0,04	0,43	0,41	0,40	0,41	0,22
X10	0,45	-0,13	-0,05	0,11	-0,36	-0,06	-0,36	0,26	0,15	-0,37	0,62	0,11	-0,24	-0,40	-0,16	-0,44	-0,38	0,08	-0,32	-0,40	-0,29	-0,31	-0,14
X11	-0,59	0,39	0,17	-0,28	0,54	0,19	0,44	-0,68	-0,56	0,50	-0,30	0,05	0,21	0,34	-0,06	0,66	0,50	-0,11	0,23	0,40	0,26	0,25	0,15
X12	-0,64	0,37	0,18	-0,24	0,53	0,23	0,40	-0,61	-0,44	0,59	-0,45	0,01	0,27	0,47	0,06	0,69	0,57	-0,07	0,31	0,38	0,32	0,32	0,15
X13	-0,55	0,37	0,16	-0,27	0,54	0,16	0,47	-0,70	-0,57	0,48	-0,26	0,15	0,21	0,35	-0,07	0,67	0,48	-0,10	0,22	0,36	0,27	0,25	0,16
X14	-0,68	0,39	0,20	-0,25	0,55	0,25	0,39	-0,69	-0,46	0,60	-0,35	0,09	0,26	0,47	0,02	0,65	0,53	-0,03	0,27	0,35	0,29	0,28	0,16
X15	0,31	-0,16	-0,06	0,14	-0,29	-0,01	-0,33	0,03	0,04	-0,33	0,81	0,35	-0,35	-0,50	-0,38	-0,65	-0,65	0,03	-0,54	-0,47	-0,42	-0,48	-0,26
X16	0,10	0,27	-0,01	-0,32	0,16	-0,07	0,25	-0,54	-0,64	-0,27	0,66	0,36	-0,24	-0,32	-0,55	0,04	-0,21	-0,12	-0,31	0,00	-0,23	-0,31	-0,06
X17	0,47	0,10	-0,05	-0,17	-0,05	-0,11	0,05	0,34	0,04	-0,36	-0,12	-0,61	-0,08	0,10	0,11	0,12	0,15	0,09	0,21	0,26	-0,05	-0,04	-0,08
X18	0,58	-0,28	-0,04	0,28	-0,51	-0,22	-0,37	0,49	0,48	-0,44	0,44	0,17	-0,12	-0,29	0,08	-0,55	-0,41	0,24	-0,16	-0,36	-0,19	-0,19	0,01
X19	-0,14	0,58	0,37	-0,31	0,02	-0,14	0,16	-0,04	0,00	0,15	-0,37	-0,10	0,29	0,40	0,27	0,34	0,37	0,21	0,34	0,25	0,30	0,31	0,22
X20	-0,41	0,56	0,38	-0,28	0,10	-0,05	0,17	-0,30	-0,20	0,36	-0,24	0,20	0,28	0,31	0,14	0,35	0,34	0,04	0,19	0,16	0,29	0,29	0,24

Продолжение Таблицы 5.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10	Y11	Y12	Y13	Y14	Y15	Y16	Y17	Y18	Y19	Y20	Y21	Y22	Y23
Y1	1,00
Y2	-0,22	1,00
Y3	-0,21	0,57	1,00
Y4	0,06	-0,60	0,32	1,00
Y5	-0,41	0,14	-0,06	-0,23	1,00
Y6	-0,35	-0,33	-0,24	0,14	0,58	1,00
Y7	-0,13	0,49	0,16	-0,40	0,59	-0,32	1,00
Y8	0,64	-0,36	-0,16	0,26	-0,42	-0,12	-0,37	1,00
Y9	0,32	-0,29	-0,09	0,24	-0,31	0,07	-0,43	0,79	1,00
Y10	-0,74	0,08	0,21	0,11	0,29	0,31	0,02	-0,40	-0,11	1,00
Y11	0,28	0,00	-0,09	-0,09	-0,11	-0,08	-0,05	-0,27	-0,36	-0,32	1,00
Y12	-0,10	0,16	0,00	-0,18	0,17	0,04	0,16	-0,45	-0,21	-0,03	0,42	1,00
Y13	-0,22	0,59	0,58	-0,12	0,00	-0,48	0,47	-0,10	0,01	0,27	-0,34	0,04	1,00
Y14	-0,24	0,38	0,32	-0,13	0,06	-0,19	0,25	-0,06	0,14	0,40	-0,57	-0,11	0,73	1,00
Y15	0,06	0,33	0,40	0,00	-0,19	-0,37	0,15	0,39	0,51	0,18	-0,50	-0,17	0,79	0,73	1,00
Y16	-0,32	0,58	0,39	-0,29	0,34	-0,22	0,62	-0,38	-0,34	0,35	-0,40	0,02	0,75	0,65	0,47	1,00
Y17	-0,28	0,54	0,42	-0,21	0,18	-0,29	0,49	-0,16	-0,09	0,37	-0,53	-0,10	0,85	0,80	0,70	0,94	1,00
Y18	0,12	0,47	0,52	-0,04	-0,25	-0,46	0,17	0,15	0,32	-0,07	-0,11	0,02	0,72	0,58	0,73	0,28	0,46	1,00
Y19	-0,03	0,49	0,43	-0,15	0,04	-0,38	0,42	0,13	0,23	0,15	-0,50	-0,12	0,86	0,78	0,90	0,75	0,87	0,68	1,00
Y20	-0,11	0,51	0,48	-0,13	0,14	-0,43	0,59	-0,15	-0,24	0,08	-0,29	-0,21	0,77	0,58	0,51	0,75	0,75	0,52	0,76	1,00
Y21	-0,22	0,59	0,57	-0,13	0,05	-0,47	0,52	-0,12	-0,05	0,27	-0,37	0,03	0,99	0,70	0,76	0,81	0,88	0,65	0,86	0,79	1,00
Y22	-0,22	0,56	0,56	-0,10	0,04	-0,45	0,48	-0,07	0,00	0,27	-0,44	-0,01	0,98	0,71	0,78	0,80	0,89	0,62	0,86	0,76	0,99	1,00
Y23	-0,05	0,55	0,42	-0,22	0,06	-0,53	0,59	-0,16	-0,13	-0,01	-0,14	0,23	0,87	0,54	0,59	0,69	0,72	0,61	0,75	0,75	0,87	0,85	1,00

Рассмотрим корреляционную матрицу (см. Таблицу 5.)

Проанализируем силу связи показателей комфортности жизни жителей исследуемого города Елабуга между собой. Положительная, близкая к линейной, связь существует между y13 и y17, y13 и y19, y13 и y21, y13 и y22, y13 и y23, y13 и y25, y13 и y26, y14 и y17, y15 и y19, y16 и y17, y16 и y21, y16 и y22, y16 и y24, y17 и y19, y17 и y21, y17 и y22, y17 и y24, y17 и y25, y17 и y26, y19 и y21, y19 и y22, y21 и y22, y21 и y23, y21 и y25, y21 и y26, y22 и y23, y22 и y25, y22 и y26, y24 и y25. Наименее связанными с другими показателями комфортности жизни жителей являются y1, y4, y12 и y5, где

Таблица 6. Показатели комфортности жизни людей

Y1	Средняя продолжительность жизни (лет)
Y4	Естественный прирост (чел.)
Y5	Количество зарегистрированных браков (шт.)
Y12	Заболеваемость системы кровообращения (на 1000 чел.)
Y13	Общее количество преступлений(шт.)
Y14	Количество особо тяжких преступлений (шт.)
Y15	Количество тяжких преступлений (шт.)
Y16	Количество преступлений средней тяжести(шт.)
Y17	Количество преступлений небольшой тяжести (шт.)
Y19	Количество причинений вреда здоровью (шт.)
Y21	Количество краж (шт.)
Y22	Количество мошенничеств (шт.)
Y23	Количество грабежей (шт.)
Y24	Количество разбоев (шт.)
Y25	Количество вымогательств (шт.)
Y26	Количество неправомерных завладений АМТ (шт.)

Проанализируем силу связи показателей комфортности жизни жителей с их средой обитания между собой в исследуемом городе Елабуга по абсолютным значениям

Наиболее сильная положительная, близкая к линейной, связь обнаруживается между откликами Yj, j=1,k и факторами Xi, i=1,n:

Y1 - Средняя продолжительность жизни (лет) связан со следующими факторами:

X4 - Уровень безработицы (%);

Y16 - Обеспеченность населения врачами (на 1000 чел.):

X1 - Численность населения (чел.);

X2 - Численность населения трудоспособного возраста (чел.);

X6 - Среднемесячная заработная плата (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X8 - Стоимость набора из 25 основных продуктов питания (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X9 - Обеспеченность населения общей площадью жилья на 1 жителя (кв. м.);

Y24 - Естественный прирост (чел.):

X2 - Численность населения трудоспособного возраста (чел.);

X6 - Среднемесячная заработная плата (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X7 - Прожиточный минимум на члена семьи (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X8 - Стоимость набора из 25 основных продуктов питания (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X9 - Обеспеченность населения общей площадью жилья на 1 жителя (кв. м.);

X10 - Ввод жилых домов (кв. м. общ. пл.);

X11 - Объем реализации платных услуг в расчете на 1 жителя (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X13 -Оборот розничной торговли на душу населения (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

Наиболее сильную отрицательную связь, близкую к линейной, можно выделить между откликами (Y) и факторами (X):

Y1 - Средняя продолжительность жизни (лет) связан со следующими факторами:

X7 - Прожиточный минимум на члена семьи (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X8 - Стоимость набора из 25 основных продуктов питания (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

X9 - Обеспеченность населения общей площадью жилья на 1 жителя (кв. м.);

X11 - Объем реализации платных услуг в расчете на 1 жителя (руб., до 2006г. - тыс. руб.);

Y9 - Заболеваемость туберкулезом (на 100 тыс. чел):

X16 - Обеспеченность населения врачами (на 1000 чел.);

Y10 - Заболеваемость онкологическими заболеваниями (на 100 тыс. чел):

X4 - Уровень безработицы (%);

Y16 - Количество преступлений средней тяжести (шт.):

X15 - Обеспеченность населения больничными койками (на 1000 чел.);

Y17 - Количество преступлений небольшой тяжести (шт.):

X15 - Обеспеченность населения больничными койками (на 1000 чел.);

Рассмотрим взаимосвязь факторов между собой. Положительная близкая к линейной связь имеется между следующими факторами:

Х1: х2, х6, х7, х,8 ,х9, х11, х12, х13;

X2: x5, х6, x7, х8, x9, x11, x12, x13, x14;

X5: x2, x6, x7, x8, x9, х11, x12, x13, x14;

X6: x1, x2, x5, x7, x8, x9, x11, x12, x13, x14;

X7: x1, x2, x5, x6, x8, x9, x11, x12, x13, х14;

X8: x1, x2, x5, x6, x7, х9, x11, x12, x13, x14;

X9: х1, x2, х6, x7, x8, x11, x12, x13, x14;

X10: x2, x5, x6, x7, x8, x9;

Отрицательная близкая к линейной связь имеется между следующими факторами:

X1: x15, х18;

X2: x10, x15, x18;

Х4: х14;

Х5: х18;

Х6: х18;

Х7: х15, х18;

Х8: х15, х18;

Х8: х15, х18;

Вычисленные значение (22) и результаты анализа таблицы 5 позволяют сделать следующие обобщенные выводы:

Во-первых, коэффициенты линейной корреляции между откликами и факторами примерно в половине случаев по абсолютной величине превышают критическое значение. Поэтому уравнения регрессии могут содержать в себе факторы в первой и второй степени, а также в виде функций от факторов.

Во-вторых, коэффициенты линейной корреляции между факторами в некоторых случаях превышают по абсолютной величине найденное критическое значение и достигают значения более 0,8. В таких случаях можно ожидать, что некоторые факторы могут не входить в уравнения регрессии и оказывать влияние на отклики через другие факторы с сильной корреляционной связью между ними.

В третьих, сила связи между показателями эффективности и факторами варьируется в весьма широких пределах. Абсолютная величина коэффициента линейной корреляции, меняющаяся в диапазоне от 0,01 до 0,99, показывает, что для сохранения всех переменных в уравнениях регрессии целесообразно использовать нелинейную регрессию.

Для коэффициентов линейной корреляции можно построить доверительные интервалы для принятой доверительной вероятности

; ; (23)

d. Регрессионный анализ

Так как все переменные, используемые для исследования являются количественными и непрерывными величинами, то в этом случае наиболее целесообразно применение регрессионного анализа [21], основанного на методе наименьших квадратов (МНК), который требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от вычисленных по аппроксимирующей зависимости была минимальной:

(24)

где yij - экспериментальное значение j-го отклика в i-ом варианте;

fj(xi1, xi2, …, xiM) - значение j-го отклика в i-ом варианте, вычисленное по аппроксимирующей зависимости;

n - количество вариантов;

M - количество факторов.

В последнее время наряду с требованием (24) для оценки качества аппроксимации начали использовать и другие показатели, как правило, основанные на дисперсионном анализе [13]. Следует отметить, что если МНК не накладывает на исходные данные каких-либо ограничений [9], то дисперсионный анализ требует “нормальности” анализируемых статистических данных.

Поставлена задача минимизации количества переменных, входящих в уравнения регрессии из совокупности заданных переменных.

(25)

где: L - общее количество переменных, представленных для отбора в уравнения регрессии;

Qj- число переменных в j - ом уравнении регрессии;

Uij- коэффициент, принимающий значение «1», если i -ая переменная входит в j - ое уравнение регрессии и «0», если не входит;

K - количество откликов (уравнений регрессий).

На получаемые уравнения регрессии наложены следующие ограничения:

1. Количество степеней свободы:

(26)

2.Отношение стандартной ошибки к среднему значению должно быть не более 0,05:

(27)

3.Уровень значимости множественного коэффициента детерминации, показывающий в долях от единицы насколько изменение переменных, вошедших в уравнение регрессии, определяет изменение показателя эффективности, не должен превышать 0,05:

(28)

4.Уровень значимости уравнения регрессии по критерию Фишера должен быть не более 0,05:

Pfj <0,05; (29)

5.Все коэффициенты уравнения регрессии должны иметь уровень значимости по критерию Стьюдента не более 0,05.

PSt ij<0,05, (30)

Кроме того, желательно чтобы в уравнения регрессии входило как можно большее количество факторов, хотя бы в виде каких-либо математических функций. Желательно, чтобы в уравнения регрессии не входили произведения факторов между собой. Если это условие удается выполнить, то облегчается анализ степени влияния факторов на показатели эффективности, который можно производить в этом случае для каждого фактора независимо от других факторов.

Для решения поставленной задачи с удовлетворением условия (4.2.1) требуется вычислять коэффициенты аппроксимирующих зависимостей по формуле:

Bj=(XTX)-1(XTYj) (31)

где: Bj - матрица - столбец коэффициентов аппроксимирующей зависимости j - го отклика;

Х - матрица планов (вариантов) переменных х;

ХТ - транспонированная матрица планов;

ХТХ - информационная матрица;

(ХTХ)-1 = А - матрица, обратная информационной;

Yj - матрица - столбец j - го отклика.

Параметры, перечисленные в постановке задачи (25-30) вычисляются по следующим формулам:

Коэффициент множественной корреляции j-го уравнения регрессии:

(32)

где: SSjобъясн - объясненная сумма квадратов j - го уравнения регрессии,

SSjост - остаточная сумма квадратов j - го уравнения регрессии.

- коэффициент множественной детерминации j - го уравнения регрессии:

(33)

Скорректированный коэффициент множественной детерминации j - го уравнения регрессии:

(34)

где: n- количество вариантов экспериментальных данных (точек плана);

Qj - количество переменных в j - ом уравнении регрессии;

Критерий Фишера j - го уравнения регрессии.

(4.2.12)

Стандартная ошибка вычисления, показывающая дисперсию экспериментальных значений относительно уравнения регрессии:

(35)

где: - вычисленное значение j-го отклика для i-ых значений факторов;

n- количество вариантов экспериментальных данных (точек плана);

M- количество факторов;

yij - экспериментальное значение j - го отклика в i-ом варианте.

Регрессионная сумма квадратов (объясненная сумма квадратов) j - го уравнения регрессии:

(36)

с количеством степеней свободы df jобъясн=Qj;

где: n- количество вариантов экспериментальных данных (точек плана);

M- количество факторов;

Qj- количество переменных в j-ом уравнении регрессии;

К - количество откликов (уравнений регрессий);

- вычисленное значение j-го отклика для i-ых значений факторов;

- среднее значение j-го отклика, вычисленное по экспериментальным значениям n точек плана.

Остаточная сумма квадратов отклонений фактических значений от расчетных:

(37)

с количеством степеней свободы: dfjост =n-Qj -1 ,

где: n - количество экспериментальных данных (точек плана);

Qj - количество переменных в j-ом уравнении регрессии;

yji - экспериментальное значение j-го отклика в i-ом варианте;

- вычисленное значение j-го отклика для i-ых значений факторов.

Общая сумма квадратов j - го уравнения регрессии:

(38)

с количеством степеней свободы:

dfобщj=n-1

Дисперсия объясненной суммы квадратов:

(39)

Дисперсия остаточной суммы квадратов:

(40)

Так как коэффициенты уравнений регрессии вычисляются по случайным переменным (31), то они и сами являются случайными величинами и можно оценить ошибку их вычисления и уровень значимости [13].

Стандартная ошибка вычисления коэффициентов уравнения регрессии вычисляется по формуле:

(41)

где: i - порядковый номер коэффициента уравнения регрессии;

Qj -количество переменных в j-ом уравнении регрессии;

Scmj - стандартная ошибка j-го уравнения регрессии;

аii - диагональный элемент матрицы обратной информационной А=(Хт Х)-1.

Вычисляется критерий Стьюдента для всех коэффициентов, входящих в уравнения регрессии:

(42)

с количеством степеней свободы:

dfj = n-Qj-1

По статистическим таблицам, например [13], находим уровень значимости коэффициентов по критерию Стьюдента Pstij. Должно выполняться условие постановки задачи (30).

Уравнения регрессии, связывающие показатели комфортности жизни людей в городе Елабуга с влияющими на них факторами, получены с помощью процедуры пошаговой регрессии пакета прикладных программ Statistica 6.0 [4]-[6], которая в диалоговом режиме системы человек-машина позволила отобрать в уравнения регрессии наиболее существенно влияющие на показатели эффективности факторы. Далее приведем результаты регрессионного анализа и анализа остатков для всех показателей комфортности по 12 годам.

Multiple Regression Results

Dependent: y1 Multiple R = ,97591130 F = 22,01063

R?= ,95240286 df = 20,22

No. of cases: 43 adjusted R?= ,90913273 p = ,000000

Standard error of estimate: ,402258828

Intercept: -83,67455487 Std.Error: 25,16755 t( 22) = -3,325 p = ,0031

x1 beta=,438 x2 beta=1,23 x3 beta=-,07

x4 beta=,020 x5 beta=-,12 x6 beta=-,73

x7 beta=,669 x8 beta=-,20 x9 beta=1,13

X10 beta=-,32 x11 beta=,097 x12 beta=-1,4

x13 beta=,378 x14 beta=-1,4 x15 beta=1,09

x16 beta=,168 x17 beta=,441 x18 beta=,116

x19 beta=,123 x20 beta=-,07

Таблица 6

	Beta	Std.Err.	B	Std.Err.	t(22)	p-level
Intercept			-83,6746	25,16755	-3,32470	0,003076
x1	0,43788	0,421541	0,0006	0,00058	1,03876	0,310201
x2	1,22737	1,067631	0,0007	0,00057	1,14962	0,262646
x3	-0,06512	0,066695	-0,0000	0,00005	-0,97645	0,339457
x4	0,02017	0,322398	0,0182	0,29009	0,06258	0,950669
x5	-0,12380	0,318083	-0,0009	0,00234	-0,38922	0,700856
x6	-0,72887	0,849565	-0,0006	0,00065	-0,85793	0,400180
x7	0,66938	0,924378	0,0013	0,00186	0,72415	0,476607
x8	-0,20429	0,461882	-0,0008	0,00178	-0,44230	0,662592
x9	1,13108	0,677727	1,3460	0,80652	1,66893	0,109302
X10	-0,31919	0,111955	-0,0002	0,00007	-2,85102	0,009291
x11	0,09675	0,621965	0,0002	0,00121	0,15556	0,877796
x12	-1,37745	1,038716	-0,0305	0,02303	-1,32611	0,198409
x13	0,37845	0,519503	0,0006	0,00079	0,72848	0,474005
x14	-1,40502	0,864626	-0,0103	0,00634	-1,62501	0,118402
x15	1,09181	0,329064	0,0928	0,02798	3,31793	0,003126
x16	0,16750	0,199093	0,2462	0,29264	0,84133	0,409214
x17	0,44072	0,137928	0,2524	0,07898	3,19530	0,004178
x18	0,11639	0,186981	0,0129	0,02066	0,62247	0,540031
x19	0,12297	0,094959	0,2248	0,17362	1,29498	0,208754
x20	-0,06764	0,096903	-0,0324	0,04644	-0,69799	0,492497

Dependent: y1 Multiple R : ,97591130 F = 22,01063

R?: ,95240286 df = 20,22

No. of cases: 43 adjusted R?: ,90913273 p = ,000000

Standard error of estimate: ,402258828