Методы и модели в экономике
Математическая модель задачи (транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла) и её решение вычислением потенциалов, графическим, фиктивного пункта методами. Проверка решений на оптимальность, нахождение новых схем пунктов перевозок.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.12.2009 |
| Размер файла | 105,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО Омский государственный технический университет
Кафедра «Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант 28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н. Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача №1
1. Составить математическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.
|
Магазины Склады |
№1 |
№2 |
|
|
№1 |
20 руб. |
45 руб. |
|
|
№2 |
30 руб. |
20 руб. |
|
|
№3 |
40 руб. |
35 руб. |
Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
20 |
45 |
0 |
15 |
|
|
2 |
30 |
20 |
0 |
20 |
|
|
3 |
40 |
35 |
0 |
30 |
|
|
Объем потребления (спрос) |
25 |
35 |
5 |
65 |
Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 - Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пунктыпроизводства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
2015 |
45- |
0- |
15/0 |
|
|
2 |
3010 |
2010 |
0- |
20/10/0 |
|
|
3 |
40- |
3525 |
05 |
30/5/0 |
|
|
Объем потребления |
25/10/0 |
35/25/0 |
5/0 |
65 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
2015 |
45- |
0- |
u1=0 |
||
3010 |
2010 |
0- |
u2=-10 |
||
40- |
3525 |
05 |
u3=-25 |
||
|
v1=20 |
v2=10 |
v3=-25 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-35 |
-25 |
u1=0 |
||
|
0 |
0 |
-15 |
u2=-10 |
||
|
?1= |
10 |
-10 |
-5 |
u3=-25 |
|
|
v1=20 |
v2=10 |
v3=-25 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31.
-3010 |
+2010 |
||
|
?1= |
+40- |
-3525 |
И == 10. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
2015 |
45- |
0- |
u1=0 |
||
30- |
2020 |
0- |
u2=-5 |
||
4010 |
3515 |
05 |
u3=-20 |
||
|
v1=20 |
v2=15 |
v3=-20 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-35 |
-20 |
u1=0 |
||
|
-5 |
0 |
-15 |
u2=-5 |
||
|
?1= |
0 |
0 |
0 |
u3=-20 |
|
|
v1=20 |
v2=15 |
v3=-20 |
Так как все оценки ?0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).
Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача №2
2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .
Решить симплекс-методом
РЕШЕНИЕ
а) Решим задачу графически при
z = 3x1 - 2x2 > max
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).
Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 - 2x2 > max
Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) - это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е - это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
.
б) Решим задачу графически при
z = 3x1 - 2x2 > min
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).
Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 - 2x2 > min
Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) - это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е - это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
.
Ответ: а) Функция z = 3x1 - 2x2 > max и равна 21 в точке (7;0).
б) Функция z = 3x1 - 2x2 > min и равна - 2 в точке (0;1).
Задача №3
Решить методом потенциалов транспортную задачу, где - цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .
Решение
Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
1 |
6 |
8 |
4 |
2 |
10 |
|
|
2 |
5 |
6 |
9 |
8 |
10 |
|
|
3 |
4 |
2 |
3 |
8 |
15 |
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
|
Объем потребления (спрос) |
5 |
8 |
15 |
20 |
48 |
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 - Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
|
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j |
Объем производства |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
1 |
6 5 |
8 5 |
4 - |
2 - |
10/5/0 |
|
|
2 |
5 - |
6 3 |
9 7 |
8 - |
10/7/0 |
|
|
3 |
4 - |
2 - |
3 8 |
8 7 |
15/7/0 |
|
|
4 |
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
13/0 |
|
|
Объем потребления |
5/0 |
8/3/0 |
15/8/0 |
20/13/0 |
48 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
|
6 5 |
8 5 |
4 - |
2 - |
u1=0 |
||
|
5 - |
6 3 |
9 7 |
8 - |
u2=2 |
||
|
4 - |
2 - |
3 8 |
8 7 |
u3=8 |
||
|
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
u4=16 |
||
|
v1=6 |
v2=8 |
v3=11 |
v4=16 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
0 |
7 |
14 |
u1=0 |
||
|
-1 |
0 |
0 |
6 |
u2=2 |
||
|
?1= |
-6 |
-2 |
0 |
0 |
u3=8 |
|
|
-10 |
-8 |
-5 |
0 |
u4=16 |
||
|
v1=6 |
v2=8 |
v3=11 |
v4=16 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14.
|
- 8 5 |
4 - |
+2 - |
||
|
+6 3 |
- 9 7 |
8 - |
||
|
?1= |
2 - |
+3 8 |
- 8 7 |
|
|
0 - |
0 - |
0 13 |
И == 5. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
|
6 5 |
8 - |
4 - |
2 5 |
u1=0 |
||
|
5 - |
6 8 |
9 2 |
8 - |
u2=-12 |
||
|
4 - |
2 - |
3 13 |
8 2 |
u3=-6 |
||
|
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=-6 |
v3=-3 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-14 |
-7 |
0 |
u1=0 |
||
|
13 |
0 |
0 |
6 |
u2=-12 |
||
|
?1= |
8 |
-2 |
0 |
0 |
u3=-6 |
|
|
4 |
-8 |
-5 |
0 |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=-6 |
v3=-3 |
v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21.
|
-6 5 |
8 - |
4 - |
+2 5 |
||
|
?1= |
+5 - |
6 8 |
-9 2 |
8 - |
|
|
4 - |
2 - |
+3 13 |
-8 2 |
И === 2. Возьмем и составим новый план перевозки.
Итерация 3.
Шаг 3.1. Вычисление потенциалов
|
6 3 |
8 - |
4 - |
2 7 |
u1=0 |
||
|
5 2 |
6 8 |
9 0 |
8 - |
u2=1 |
||
|
4 - |
2 - |
3 15 |
8 - |
u3=7 |
||
|
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=10 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-1 |
6 |
0 |
u1=0 |
||
|
0 |
0 |
0 |
-7 |
u2=1 |
||
|
?1= |
-5 |
-2 |
0 |
-13 |
u3=7 |
|
|
4 |
5 |
8 |
0 |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=10 |
v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43.
|
-6 3 |
8 - |
4 - |
+2 7 |
||
|
+5 2 |
6 8 |
-9 0 |
8 - |
||
|
?1= |
4 - |
2 - |
3 15 |
8 - |
|
|
0 - |
0 - |
+0 - |
-0 13 |
И == 0. Составим новый план перевозки.
Итерация 4.
Шаг 4.1. Вычисление потенциалов
|
6 3 |
8 - |
4 - |
2 7 |
u1=0 |
||
|
5 2 |
6 8 |
9 - |
8 - |
u2=1 |
||
|
4 - |
2 - |
3 15 |
8 - |
u3=-1 |
||
|
0 - |
0 - |
0 0 |
0 13 |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=2 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
0 |
-1 |
-2 |
0 |
u1=0 |
||
|
0 |
0 |
-8 |
-7 |
u2=1 |
||
|
?1= |
3 |
6 |
0 |
-5 |
u3=-1 |
|
|
4 |
5 |
0 |
0 |
u4=2 |
||
|
v1=6 |
v2=7 |
v3=2 |
v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32.
|
-6 3 |
8 - |
4 - |
+2 7 |
||
|
+5 2 |
-6 8 |
-9 - |
8 - |
||
|
?1= |
4 - |
+2 - |
-3 15 |
8 - |
|
|
0 - |
0 - |
+0 0 |
-0 13 |
И == 3. Составим новый план перевозки.
Итерация 5.
Шаг 5.1. Вычисление потенциалов
|
6 - |
8 - |
4 - |
2 10 |
u1=0 |
||
|
5 5 |
6 5 |
9 - |
8 - |
u2=-5 |
||
|
4 - |
2 3 |
3 12 |
8 - |
u3=-1 |
||
|
0 - |
0 - |
0 3 |
0 10 |
u4=2 |
||
|
v1=0 |
v2=1 |
v3=2 |
v4=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).
Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
|
-6 |
-7 |
-2 |
0 |
u1=0 |
||
|
0 |
0 |
-2 |
-1 |
u2=-5 |
||
|
?1= |
-3 |
0 |
0 |
-5 |
u3=-1 |
|
|
-2 |
-1 |
0 |
0 |
u4=2 |
||
|
v1=0 |
v2=1 |
v3=2 |
v4=2 |
Так как все оценки ?0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).
Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.
Подобные документы
Математическая постановка и алгоритм решения транспортной задачи. Сбалансированность и опорное решение задачи. Методы потенциалов и северо-западного угла. Блок-схема. Формы входной и выходной информации. Инструкция для пользователя и программиста.
курсовая работа [113,8 K], добавлен 10.11.2008Решение графическим методом задачи линейного программирования с двумя неизвестными. Решение транспортной задачи методом северо-западного угла и методом минимальной стоимости. Системы массового обслуживания. Стохастическая модель управления запасами.
контрольная работа [458,1 K], добавлен 16.03.2012Математическая постановка задачи и выбор алгоритма решения транспортной задачи. Проверка задачи на сбалансированность, её опорное решение и метод северо-западного угла. Транспортная задача по критерию времени, поиск и улучшение решения разгрузки.
курсовая работа [64,7 K], добавлен 14.10.2011Экономико-математическая модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения, расчет оптимального плана перевозок. Решение транспортной задачи метолом потенциалов (перераспределение ресурсов по контуру), пример вычислительного алгоритма.
учебное пособие [316,8 K], добавлен 17.10.2010Пример решения графическим методом задачи линейного программирования с двумя неизвестными. Решение транспортной задачи методами северо-западного угла и минимальной стоимости. Стохастическая модель управления запасами, ее значение для предприятий.
контрольная работа [606,2 K], добавлен 04.08.2013Составление плана перевозок зерна с учетом данных о потребности в нем и его запасах. Минимизация затрат на реализацию плана перевозок. Методы "северо-западного угла" и "минимального элемента". Новый улучшенный опорный план по методу потенциалов.
задача [48,5 K], добавлен 24.05.2009Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Способы решения транспортных задач: методы северо-западного угла, наименьшей стоимости и потенциалов. Динамическое программирование. Анализ структуры графа, матрицы смежности.
курсовая работа [361,8 K], добавлен 11.05.2011Типы транспортных задач и методы их решения. Поиск оптимального плана перевозок методом потенциалов. Решение задачи с использованием средств MS Excel. Распределительный метод поиска оптимального плана перевозок. Математическая модель, описание программы.
курсовая работа [808,7 K], добавлен 27.01.2011Содержание методов аппроксимации Фогеля, потенциала, наименьшей стоимости и северо-западного угла как путей составления опорного плана транспортной задачи на распределение ресурсов с минимальными затратами. Ее решение при помощи электронных таблиц.
курсовая работа [525,7 K], добавлен 23.11.2010Особенности формирования математической модели принятия решений, постановка задачи выбора. Понятие оптимальности по Парето и его роль в математической экономике. Составление алгоритма поиска парето-оптимальных решений, реализация программного средства.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 11.06.2011
