Оптимизационные модели межотраслевого баланса

• Зависимости максимального значения целевой функции (максимума числа комплектов конечной продукции) от изменения параметров ограничений и (каж-дого в отдельности) непосредственно характеризуются значениями оптимальных оценок продукции и ресурсов. Пропорциональное изменение (увеличение или уменьшение) всех параметров ограни-чений не меняет значений оценок. При увеличении оценки ра-стут (до тех пор, пока существует решение задачи). При увеличе-нии оценки снижаются (до нуля).
• Возможности эквивалентной взаимозаменяемости конечной про-дукции и ресурсов в ограничениях модели определяются уравне-нием

(9)

• Следует заметить, что количественные соотношения эквивалент-ной взаимозаменяемости, вытекающие из уравнения (9), справед-ливы только при таких значениях и , которые не изме-няют значений оптимальных оценок.
• Для того чтобы проанализировать влияние изменения ограни-чений на интенсивность применения различных производственных способов, осуществим упорядочение условий задачи.
• Будем исходить из того, что для оптимального плана (п₁ + m₁) ограничений выполняются как равенства, а остальные (п - n₁) + (т - m₁) ограничений выполняются как строгие неравенства. Перенумеруем все исходные ограничения так, чтобы первые (п₁ + m₁) ограничений выполнялись как равенства, а остальные - как неравенства.
• Выше мы пришли к выводу, что в оптимальном плане положи-тельными будут переменные (п₁ + m₁ - 1) производственных спо-собов и переменная . Изменим нумерацию переменных так, чтобы положительные переменные способов заняли первые места (век-тор X₁), a за ними - переменная .

Тогда матрица модели может быть представлена в виде следую-щей блочной матрицы:

• Введем новое обозначение для вектора ограничений: b = . Перенумеруем компоненты этого вектора в соответствии с новой нумерацией ограничений: b = .

Для оптимального плана справедливо уравнение:

,

• откуда

(10)

• Обозначим первые (п₁ + m₁ - 1) строк матрицы через B₁₁, а последнюю строку - через в₁₁. Тогда

(11)

(12)

• Формулы (11) и (12) характеризуют зависимости оптималь-ных интенсивностей производственных способов и максимального числа комплектов от «жестких» ограничений задачи. Коэффици-енты матрицы B₁₁ являются аналогами коэффициентов полных потребностей в продукции модели межотраслевого баланса. Од-нако эти коэффициенты могут иметь различные знаки, также как и коэффициенты вектора в₁₁.
• Из (11) и (12) выводятся формулы корректировки интенсив-ностей применяемых способов и числа комплектов конечной про-дукции при изменении ограничений:
• (13)
• (14)
• Однако формулы (13) и (14) верны только при сохранении базиса оптимального плана задачи (набора векторов, соответст-вующих положительным переменным). Из линейного программи-рования известно, что базис оптимального плана не изменяется, пока переменные, вошедшие в оптимальный план, будут неотрица-тельны. Это означает, что в анализируемой модели условиями со-хранения базиса оптимального плана являются
• (15) или (16)
• (17)
• Из этих условий находятся границы допустимых изменений каждой компоненты вектора b и области допустимых изменений одновременно нескольких компонент вектора b. Сохранение ба-зиса оптимального плана является также условием неизменности оптимальных оценок.

Включение в оптимальный план дополнительных производствен-ных способов.

,

• откуда
• (19)
• Заметим также, что формула изменения максимального числа комплектов конечной продукции при включении вектора Х₂ имеет вид:

(20)

• Формулы (19) и (20) справедливы при сохранении базиса оптимального плана, т. е. при условиях
• С помощью оценок способов (18) можно изучать целесообраз-ность включения в условия народнохозяйственной задачи новых способов. Новый способ ц будет эффективным (т. е. может войти в оптимальный план), если Д_ц ? 0. Это условие может быть использовано для проектирования новых эффективных производст-венных способов.
• Рассмотренные направления и методы анализа оптимального плана являются универсальными для всех линейных оптимиза-ционных моделей. Однако в более частных моделях экономико-математический анализ может выявлять и специфические свойства оптимальных решений.
• §2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Общая линейная оптимизационная модель построена на основе матрицы таких производственных способов, что каждый из них мо-жет выпускать несколько видов продукции, каждый вид продукции может выпускаться несколькими способами.

• Далее мы рассмотрим более частные оптимизационные модели, сохраняющие некоторые специфические допущения модели межотраслевого баланса: сначала - модели, в которых каждый способ выпускает только один продукт и каждый продукт выпускается только одним способом, а затем - модели, в ко-торых сохраняется только первое из указанных допущений. Такая последовательность анализа моделей выбрана для того, чтобы «перекинуть мост» между моделями межотраслевого баланса и оптимизационными моделями народного хозяйства и проследить изменение свойств решений (сбалансированных и оптимальных) при изменении предпосылок модели и включении в нее новых ус-ловий.
• Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделей
• Оптимизационные модели по сравнению с балансовыми пред-ставляют собой более совершенный тип моделей социалистической экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых, балансовые модели могут интерпретироваться и исследоваться как частный случай оптимизационных моделей.
• Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на языке оптимизационных задач. Рассмотрим систему уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции совместно с ограничением по трудовым ресурсам производствен-ной сферы:
• (21)
• Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y⁰ = () и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов произ-водства X = (x_j). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:
• (22)
• Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается полу-чение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что ре-альным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x*), при которых .
• Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции :
• (23)
• Оптимальный план X* задачи (22) характеризуется следую-щими свойствами:
• · он единственный;
• · если Y⁰ > 0 (или Y⁰ ? 0 и А - неразложимая матрица), то Х* > 0;
• · балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не про-изводятся;
• · оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой функции t_J ? 0.
• На рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вер-шиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y⁰ ? 0. При этом реше-ние прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы урав-нений и поэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продук-ции равны коэффициентам полных трудовых затрат.
• Равенство функционалов прямой и двойственной задачи имеет место при любых положительных значениях t_j и . Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.

• Подставляя (25) в ограничения по общим ресурсам, получаем
• или
• (28)
• где = (_s) = (E - А) -¹ - вектор полных затрат ресурсов на один комплект прироста конечной продукции, - вектор ресурсов, которые могут использоваться для получения переменной части конечной продукции.
• Из (28) следует:
• (29)
• Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна: , a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: . Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресур-сов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.
• Полное использование только одного вида ресурсов (или нали-чие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптималь-ного решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной ча-сти конечной продукции заданы в виде ЦФП:
• (30)
• Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:
• (31)
• где F = f (Е - А) -¹ - матрица коэффициентов полных затрат ресурсов, .
• Оптимальное решение этой модели всегда существует и является единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наибо-лее удаленной от начала координат поверхности безразличия и вы-пуклого многогранника, образованного условиями . Если эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно, что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой опти-мума будет вершина многогранника, выше, чем в случае приме-нения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что максимум u(Y) достигается на одной из граней многогранника, т. е. при полном использовании только одного ресурса.
• Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом пара-графе моделей является то, что оптимальный план чаще всего достигается при полном использовании только одного ресурса. А это означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономиче-ской реальности; оно обусловлено недостатком моделей.
• В моделях (24), (27), (30) почти отсутствуют возможности маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность. По каждому виду продукции задается только один производствен-ный способ, а поэтому технология производства не реагирует на выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ре-сурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток можно преодолевать лишь отчасти.
• Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели на-родного хозяйства должны включать условия выбора между раз-личными способами- производства одноименной продукции.
• §3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
• Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции).
• Построим модель, представляющую собой непосредственное обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме (22). В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции производится несколькими способами , где T_j= {1, ... , s_j}. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Введем новые обозначения:
• - объем производства продукции j способом _j;
• - коэффициент пря-мых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом _j;
• - затраты труда на единицу продукции j, произ-водимой способом _j.
• Модель имеет вид:
• (32)
• Модель (32) всегда имеет решение, если выполняются усло-вия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициен-тов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса. Например, одно допустимое решение может быть получено, если включить в план по одному способу для каждого вида продукции, а все остальные переменные считать равными нулю. Так может быть составлено систем уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции, каждая из которых имеет решение, если матрица продуктивна.
• Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфи-ческих свойств.
• Теорема 1. При положительном векторе конечной про-дукции Y⁰ > 0 производятся все продукты и каждый продукт про-изводится только одним способом.
• Доказательство. Напомним, что мы исходим из пред-положения, что оптимальный план - единственный. Введем в ус-ловия дополнительные переменные Дy_i (излишки конечной про-дукции сверх минимально необходимых объемов ), превращающие неравенства в равенства.
• В каждом i-м уравнении
• положительными являются только коэффициенты при переменных Х. Но поскольку все , то и все , т. е. оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.
• Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт про-изводится только одним способом.
• Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число воз-можных положительных переменных исчерпывается переменными способов производства, то все Дy_i в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравен-ства строго в равенства.
• Введем дополнительные обозначения: X* - оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то «лучшего» способа производства); A* - матрица коэффи-циентов материальных затрат, составленная из способов, которые вошли в оптимальный план.
• Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только «луч-ших» способов. Матрицы A* и (Е - А*) обладают теми же экономико-математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого ба-ланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование матрицы (Е - А*)-¹ ЎЭ 0. Элементы матрицы (Е - А*)-¹ являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:
• (E - A) X* = Y⁰ или X* = (E - A)-¹Y⁰.
• Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых из-менениях положительного вектора Y⁰.
• Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y⁰, доста-точно - в соответствии с (15),- чтобы выполнялось условие
• (E - A*)-¹Y⁰ ЎЭ 0.
• Поскольку матрица (E - A*)-¹ ЎЭ 0, условие (E - A*)-¹Y⁰ ЎЭ 0 выполняется всегда при любом Y⁰ ЎЭ 0 и тем более при Y⁰ > 0.
• Пусть для некоторого Y⁰ > 0 получено решение X*. Базис по-лученного решения (Е - А*) остается неизменным и тогда, когда вектор Y⁰ будет изменяться любым образом в положительной об-ласти (0 < Y⁰ < +?). Если базис оптимального плана - не-разложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y⁰ ЎЭ 0.
• Это означает, что вычислив матрицу (E - A*)-¹ для одного ва-рианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.
• Из задачи, двойственной к (32), следует, что для способов, вошедших в оптимальный план , выполняются условия
• Поэтому вектор оптимальных оценок продукции V* = (), характеризующих минимально необходимый прирост трудовых затрат в народном хозяйстве при увеличении конечной продукции, определяется решением системы уравнений
• V* = V* A* + t* или V* = t* (A - V*)-¹.
• Видим, что оптимальные оценки продукции в рассматриваемой модели равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчислен-ным по лучшим производственным способам для каждого вида про-дукции.
• Следствие. Оптимальные оценки не изменяются при любых изменениях положительного вектора Y⁰.
• При неизменных коэффициентах производственных способов оптимальные оценки меняются только при изменении базиса оп-тимального плана. Теорема 2 доказывает, что в модели (32) базис оптимального плана остается постоянным при любых изменениях вектора Y⁰ в положительной области, следовательно, не изме-няются и оптимальные оценки Задача исчисления оптимальных оценок в рамках рассматриваемой модели относится к тому редкому классу экстремальных задач, оптимальный план которых не зависит от коэффициентов целевой функции..
• Постоянство оценок облегчает их использование в различных планово-экономических расчетах, в частности, при корректировке вектора Y⁰.
• Второй вариант модели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте при ограниченных трудовых ресурсах).