Задача оптимального управления инвестициями в макроэкономической модели, описывающая влияние террористических угроз на индустрию туризма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Выпускная квалификационная работа на тему:

«ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ В МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ВЛИЯНИЕ ТЕРРОРИСТИЧЕСКИХ УГРОЗ НА ИНДУСТРИЮ ТУРИЗМА»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая постановка задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов

1.1 Постановка задачи для непрерывных процессов

1.2 Постановка задачи для дискретных процессов

2. Принцип максимума Понтрягина

2.1 Формулировка принципа максимума в общей задаче с закрепленными концами

2.2 Формулировка принципа максимума в случае задачи общего вида с нефиксированными начальным и конечным моментами времени

2.3 Достаточность условий принципа максимума

2.4 Задача оптимизации управляемых процессов на бесконечном промежутке времени (“бесконечный горизонт планирования”)

3. Оптимальный баланс инвестиций в макроэкономической модели, описывающей влияние террористических угроз на индустрию международного туризма

3.1 Описание модели. Постановка задачи оптимального управления

3.2 Исследование задачи оптимального управления

3.2.1 Уравнения состояния

3.2.2 Принцип максимума

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Сегодня международный туризм является весьма распространенным явлением. Этой областью охвачено порядка 800 миллионов человек. Международный туризм составляет существенный сегмент экономики ряда современных государств Развитие международного туризма и обеспечение безопасности туристов http://evolutio.info/content/view/753/113/. Так, 35% ВВП Испании составляют доходы от туристического бизнеса, более 50% -- на Кипре и около 70% -- на Гаити. Наибольшее развитие международный туризм получил в Западной Европе. Сегодня доля этого региона составляет порядка 70% мирового туристического рынка, 20% составляют страны Америки, 10% примерно поровну распределено между Африкой, Австралией и Азией. В список стран, наиболее востребованных в индустрии международного туризма, входят Бельгия, США, Германия, Дания, Новая Зеландия, Голландия, Австралия, Швеция, Англия, Канада. Самыми "принимающими" странами по данным социологов являются Турция, Австрия, Испания, Италия, Португалия, Швейцария, Мексика, Греция, Франция и Кипр. Практика международного туризма свидетельствует о том, что с увеличением количества путешествующих (предполагается, что к 2020 г. количество международных туристских прибытий превысит уровень 2000 г. в 3 раза и составит 1,6 млрд, человек) и расширением географии туристских поездок актуальность вопросов обеспечения безопасности в международном туризме неуклонно возрастает. Как утверждает британский журнал "Холидей-Уик" (2004 г.), каждый двухсотый турист в мире подвергается нападению. И если доля пострадавших туристов в Италии составляет 2,2 %, в Израиле -- 2,6 %, в Марокко -- 3 %, то в странах Центральной и Восточной Европы (ЦВЕ) этот показатель выше: Венгрия -- 5,9 %, Польша -- 5,3 %, страны СНГ -- 4,3 % http://www.evolutio.info/content/view/753/235/.

На безопасность международного туризма влияют экономические, медико-социальные, политические факторы, а также активизация международного терроризма.

За последние пятнадцать лет в мире произошло несколько десятков террористических актов, направленных против туристов. Только на счету исламских экстремистов из группировки "Аль-Гамаа аль-Исламия" их около полутора десятков. Самый кровавый из них -- расстрел туристского автобуса в ноябре 1997 г. в Луксоре, в результате чего погибли 68 туристов. Незадолго до этого боевики "Исламии" расстреляли в центре Каира 18 немецких туристов. Всего в период 1992-1997 гг. египетские исламисты убили более ста туристов и нанесли значительный ущерб экономике Египта. Это потребовало от египетских властей применения чрезвычайных мер -- создания туристской полиции. По данным ВТО, спрос на услуги туристских компаний в первые месяцы после террористических актов 11 сентября 2001 г. сократился во всем мире на три четверти. В Турции угрозу для туристов представляют экстремисты из Курдской рабочей партии: в 1999-2001 гг. они организовали серию взрывов в местах скопления туристов, в том числе в гостиницах Стамбула. Взрывы в США отразились даже на итальянской индустрии отдыха, так как эта страна является четвертой по популярности среди американских путешественников. Суммарные убытки американских авиакомпаний по итогам 2001 г. превысили 5 млрд дол. США. В апреле 2002 г. на острове Джерба в Тунисе была взорвана древнейшая в Африке синагога, в результате чего погибли 14 немецких туристов. Ответственность за это взяла на себя "Аль-Каида". Страдает от действий террористов и туристский бизнес Испании. Каждый год баскская сепаратистская группировка "ЭТА" грозит развернуть кампанию, направленную против туристов.

Как правило, террористические акты удается предотвратить, однако в 2002 г. 35 британских и ирландских туристов были ранены, когда в аэропорту Реус взорвалась бомба, заложенная боевиками "ЭТА". Взрывы 11 марта 2004 г. в мадридских электричках, устроенные испанскими экстремистами, тут же сказались на туризме. Многие иностранные турагентства отказались от забронированных авиабилетов и гостиничных номеров.

Чаще всего террористические акты случаются в местах массового скопления, как местных жителей, так и туристов. Не стал исключением и захват заложников в октябре 2003 г. в Театральном центре на Дубровке в Москве. Как известно, мюзикл "Норд-Ост" был признан "особо значимым культурным проектом" и продвигался в качестве туристской достопримечательности Москвы. 12 октября 2003 г. на индонезийском острове Бали боевиками "Аль-Каиды" был организован взрыв на дискотеке. В результате террористического акта погибло около 200 туристов из Австралии, Японии, Германии и других стран. С целью борьбы с международным терроризмом и лишения его организационной и финансовой поддержки Госдепартамент США, анализируя ситуацию в мире, дважды в год публикует на своем сайте рекомендации гражданам США воздерживаться от поездок в потенциально небезопасные страны. Международный терроризм превращается в глобальную военно-политическую проблему, угрожающую существованию человеческой цивилизации. Именно такое звучание получила эта проблема на прошедшей 60-й Генеральной Ассамблее ООН (сентябрь 2005 г.). Таким образом, развитие международного туризма в XXI в. зависит от консолидированных усилий всех стран мирового сообщества в борьбе с международным терроризмом.

В Турции угрозу для туристов представляют экстремисты из Курдской рабочей партии: в 1999--2001 гг. они организовали серию взрывов в местах скопления туристов, в том числе в гостиницах Стамбула.

По данным ВТО, спрос на услуги туристских компаний в первые месяцы после террористических актов 11 сентября 2001 г. сократился во всем мире на три четверти. Взрывы в США отразились даже на итальянской индустрии отдыха, так как эта страна является четвертой по популярности среди американских путешественников. Суммарные убытки американских авиакомпаний по итогам 2001 г. превысили 5 млрд дол. США.

В апреле 2002 г. на острове Джерба в Тунисе была взорвана древнейшая в Африке синагога, в результате чего погибли 14 немецких туристов. Ответственность за это взяла на себя «Аль-Каида».

Страдает от действий террористов и туристский бизнес Испании. Каждый год баскская сепаратистская группировка «ЭТА» грозит развернуть кампанию, направленную против туристов. Как правило, террористические акты удается предот-вратить, однако в 2002 г. 35 британских и ирландских туристов были ранены, когда в аэропорту Реус взорвалась бомба, заложенная боевиками «ЭТА».

Взрывы 11 марта 2004 г. в мадридских электричках, устроенные испанскими экстремистами, тут же сказались на туризме. Многие иностранные турагентства отказались от забронированных авиабилетов и гостиничных номеров.

Чаще всего террористические акты случаются в местах массового скопления как местных жителей, так и туристов. Не стал исключением и захват заложников в октябре 2003 г. в Театральном центре на Дубровке в Москве. Как известно, мюзикл «Норд-Ост» был признан «особо значимым культурным проектом» и продвигался в качестве туристской достопримечательности Москвы.

12 октября 2003 г. на индонезийском острове Бали боевиками «Аль-Каиды» был организован взрыв на дискотеке. В результате террористического акта погибло около 200 туристов из Австралии, Японии, Германии и других стран.

С целью борьбы с международным терроризмом и лишения его организационной и финансовой поддержки Госдепартамент США, анализируя ситуацию в мире, дважды в год публикует на своей интернет-странице (http://www.travel.state.gov) рекомендации гражданам США воздерживаться от поездок в потенциально небезопасные страны Маринин, М.М. Туристские формальности и безопасность в туризме. М.: Финансы и статистика, 2002..

В настоящей работе рассматривается макроэкономическая модель, описывающая влияние террористических угроз на отрасль международного туризма. Модель является сужением задачи Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука. 1973. на конечный временной горизонт. Фактически, речь идет о балансе инвестиций моделируемого государства в секторы экономики, связанные с туризмом (развитие туристической инфраструктуры, реклама, поддержка туристического бизнеса и т.д.), -- с одной стороны -- и в программы по предупреждению террористических угроз и противодействию терроризму -- с другой.

Динамическая система, описывающая количественные взаимоотношения туристов и террористов (а следовательно и террористических угроз туристической индустрии), относится к классу моделей "хищник-жертва". В качестве лица, принимающего решения, рассматривается правительство моделируемого государства.

Задача состоит в максимизации дохода от туристической индустрии в рамках некоторой макроэкономической единицы, в дальнейшем -- государства. Мы исходим из естественного предположения: приток иностранных туристов в государство отвечает увеличению числа террористов.

С экономической точки зрения меры по снижению уровня террористических угроз сводятся к ассигнованию госструктур, непосредственно ответственных за предотвращения террористических актов.

При этом снижение уровня терроризма является сигналом к увеличению притока туристов. Таким образом, поддержка антитеррористических мероприятий может трактоваться (и, собственно, трактуется нами в рамках изучаемой модели) как один из экономических механизмов государственной поддержки туриндустрии.

С другой стороны, на уровне правительственных решений привлечение туристов в страну производится путем непосредственных инвестиций в соответствующие отрасли экономики. С точки зрения задачи максимизации дохода от туризма последний способ естественно представляется более эффективным и предпочтительным, если нет риска террористических актов на территории государства.

По мере роста объемов туризма вопросы безопасности занимают все большее место. Для современных путешественников стало нормой ожидать от правительства стран, заинтересованных в приеме иностранных гостей, осуществления надлежащих мер по обеспечению безопасности жизни и здоровья туристов в местах отдыха, средствах размещения и на транспорте.

Международные конфликты или военные действия, вспышки международной преступности и терроризма являются не только препятствием на пути развития туризма, но зачастую и причиной того, что министерства иностранных дел стран - генераторов международного туризма публикуют списки стран, нежелательных для посещения резидентами этих стран. Путешественники проявляют также обеспокоенность по поводу санитарного состояния средств размещения и предприятий общественного питания в посещаемых странах, им необходима, например, объективная информация о состоянии питьевой воды, возможных рисках инфекционных заболеваний во время путешествия.

На протяжении всей истории развития туризма вопросы безопасности всегда занимали путешественников. Согласно проведенному ВТО опросу в 1994 г. 66% путешественников заявили, что криминальная обстановка является для них самым важным негативным фактором в принятии решения касательно выбора направления путешествия и места отдыха.

Обращает на себя внимание тот факт, что сообщения об убийствах или актах насилия в отношении местного населения не так сильно волнуют путешествующих, как подобные акты в отношении туристов. Если это случается, то такого рода сообщениям всегда отводятся первые страницы газет и ведущее место в телевизионных программах новостей.

Экономика и финансы. На индустрию гостеприимства оказывают влияние как макроэкономические, так и микроэкономические факторы. Макроэкономическая нестабильность, рост безработицы и инфляции будоражат общество, и это нередко приводит к тому, что население предпочитает оставаться дома и воздерживается от дальних поездок.

Когда экономика находится на подъеме, т.е. ее производственные возможности, измеряемые величиной накопленного капитала, растут, увеличиваются объемы валовых инвестиций. В странах, где доходы от туризма составляют значительную долю ВВП, инвестиции направляются на строительство новых гостиниц и улучшение инфраструктуры туризма. Вместе с тем рост национального дохода, в особенности рост уровня расходов населения на личное потребление, оказывает стимулирующее воздействие на склонность людей к путешествиям.

Уровень цен на продукты и товары туристского спроса рассматривается как один из важных факторов, определяющих выбор места отдыха. В вопросах финансового регулирования для туризма наибольшее значение имеет валютный курс, простота и доступность валютного обмена. В этом отношении введение евро с 1 января 2002 г. упростило путешествия по европейским странам, находящимся в единой зоне евро, и сократило туристские расходы, связанные с обменом валюты.

Культура. Культурное наследие, культурная среда являются тем магнитом, который притягивает путешественников. Не любой продукт, создаваемый человеком, является предметом культуры, а только уникальные, хранимые обществом произведения, благодаря которым организуется деятельность в обществе и накапливается опыт, передаваемый от поколения к поколению. Туристы посещают определенные места, такие, например, как знаменитый музей Прадо в Мадриде или Лувр в Париже, едут в Вену, чтобы послушать Венский симфонический оркестр.

Культуру принято подразделять на духовную, материальную и физическую" - все три аспекта имеют непреходящее значение для развития международных туристских связей. Действительно, понимание ценностей родной культуры возможно лишь в смысловом соотношении с подобными ценностями культуры других народов. Вечностные культурные ценности не утратят своей притягательности, но и появление новых произведений и талантов будет стимулировать тягу к путешествиям.

Однако подлинные ценности культуры, служащие предметом национальной гордости, являются не единственным притяжением для туристов. В последнее время для туристского «потребления» стали тиражироваться популярные предметы народного быта, появились копии известных памятников, которые воссоздают уникальную атмосферу туристского городка. Следует также учитывать и то, что туристов интересует жизнь и быт других народов, поэтому для них представляет интерес выступление местного хора, ансамбля, элементы народного быта, фольклора, народных забав, игр, развлечений, праздников. Особенно туристов привлекают современные культурные центры, например, Центр Помпиду в Париже посещают 8 млн человек в год. Наиболее посещаемым местом в мире является «DisneyWorldFlorida», куда приходит ежегодно 12 млн посетителей.

В условиях рыночных отношений туризм является одной из самых динамичных отраслей экономики. Высокие темпы его развития, большие объемы валютных поступлений активно влияют на различные секторы экономики, что способствует формированию собственной туристской индустрии. Туризм уже давно рассматривается как одна из наиболее доходных и интенсивно развивающихся отраслей мирового хозяйства. Об этом свидетельствует тот факт, что на долю туризма приходится около 10% мирового валового национального дохода. Развитие туризма играет важную роль в решении социальных проблем. Во многих странах мира именно за счет туризма создаются новые рабочие места, поддерживается высокий уровень жизни населения. Необходимость развития сферы туризма способствует повышению уровня образования, совершенствованию системы медицинского обслуживания населения, внедрению новых средств распространения информации. Туризм оказывает влияние на сох- ранение и развитие культурного потенциала, ведет к гармонизации отношений между различными странами и народами, заставляет государство, общественные организации активно участвовать в деле сохранения и оздоровления окружающей среды.

Правовое регулирование международного туризма на многосторонней основе осуществляется прежде всего в рамках Организации Объединенных Наций, на которую возложена основная задача по налаживанию международного сотрудничества в решении проблем экономического, социального, культурного и гуманитарного характера Бгатов, А.П., Бойко, Т.В., Зубрева, М.В. Туристские формальности. М.: Academia, 2004., с.5. Ряд международных договоров, конвенций и деклараций, принятых ООН, формируют основу международно-правового регулирования системы международного туризма. Так, статья 12 Международного пакта о гражданских и политических правах, принятого 16 декабря 1966 г. Генеральной Ассамблеей ООН, закрепляет право каждого человека свободно покидать любую страну, включая свою собственную Бгатов, А.П., Бойко, Т.В., Зубрева, М.В. Туристские формальности. М.: Academia, 2004., с.6.

В привлечении международного сообщества к решению вопросов безопасности в туризме немаловажную роль призваны сыграть международные конференции, регулярно организуемые специализированными международными организациями.

Особое значение имеют решения Межпарламентской конференции по туризму, проходившей 10--14 апреля 1989 г., принявшей Гаагскую декларацию, в соответствии с которой «безопасность, защита туристов и уважение их достоинства являются непременными условиями развития туризма» Всеобщая декларация прав человека. Мн.: Представительство ООН в Республике Беларусь, 2000, с.121 [6, с. 121]. Конференция рекомендовала придать особое значение следующим вопросам безопасности в туризме:

-- законодательство в области безопасности и защиты туристов, туристских объектов и достопримечательностей должно разрабатываться и применяться в увязке со всеми другими законодательными мерами, направленными на устранение насилия и преступности, с одной стороны, а также на защиту и сохранение окружающей среды -- с другой;

-- в каждом государстве должен быть назначен специализированный центральный орган, которому будут поручены вопросы претворения в жизнь в качестве составной части национальной политики в области безопасности и защиты туристов соответствующих превентивных мер;

-- должны быть приняты все необходимые меры по обеспечению страхования туристов на случай основных рисков, с которыми они сталкиваются;

-- для того чтобы способствовать проведению в жизнь политики в области безопасности и защиты туристов, государства в рамках своих политических и административных систем должны развивать эффективное сотрудничество, с одной стороны, с компетентными органами на всех уровнях и, с другой стороны, туристскими и гостиничными ассоциациями, туристскими агентствами, транспортными компаниями и в целом с любой организацией или органом, которые могут оказаться заинтересованными в решении вопросов, связанных с безопасностью и защитой туристов;

-- туристам, на жизнь или имущество которых были совершены серьезные посягательства, должны быть предоставлены следующие права: право туриста известить свою семью, используя при этом наиболее быстрые средства связи; право туриста на получение в случае необходимости неотложной и надлежащей медицинской помощи в рамках национальной системы социального страхования;

-- в случае серьезных посягательств на жизнь туристов, особенно при террористических актах, принимающее государство должно предоставить в распоряжение мирового сообщества всю необходимую информацию об обстоятельствах, при которых произошел вышеупомянутый акт.

В заключительном акте Гаагской декларации особо подчеркивается, что процесс обеспечения безопасности в туризме сопряжен с большим количеством правил и постановлений, которые должны выполняться не только туристскими администрациями, но и другими ведомствами, в чью компетенцию входит обеспечение безопасности в различных сферах деятельности.

В период 16--19 марта 1995 г. в испанском городе Кадис состоялся межпарламентский форум по туризму, в котором приняли участие парламентарии из 52 стран мира. Целью проведения форума явилось привлечение внимания парламентов, правительств и местных органов власти к основным проблемам развития международного туризма, в том числе к обеспечению безопасности международных путешествий.

В ходе Кадисского форума был подчеркнут многосекторный характер туризма и его уязвимость перед воздействием внешних факторов (безопасность туристов, ущерб окружающей среде, колебания валютных курсов и т. д.) и, как следствие, обозначена необходимость проведения согласованных действий международных организаций, межведомственной государственной политики и разработки механизмов координации деятельности министерств, ведомств, национальных туристских администраций.

В документах форума особо подчеркнуто, что повышенное внимание к вопросам обеспечения безопасности туризма, помимо правительств, должны уделять и национальные парламенты. Именно парламенты, региональные и местные органы власти должны брать на себя задачу формирования общей стратегии развития туризма и осуществление контроля за ее исполнением.

В период 9--11 июня 1995 г. в шведском городе Эстерсунд под эгидой Всемирной туристской организации была проведена 1-я Международная конференция по безопасности туризма и уменьшению рисков при путешествиях. В конференции приняли участие представители национальных туристских администраций 34 стран мира. В ходе конференции было отмечено, что безопасность туризма и уменьшение рисков при путешествиях касается чрезвычайно широкого спектра вопросов. В них входят проблемы несчастных случаев, инфекционных заболеваний и эпидемий, терроризма и военных конфликтов, криминогенной обстановки и преступности, распространения наркотиков, проституции, вандализма и любых форм насилия, комплексного рассмотрения всевозможных рисков, относящихся как к туристам, так и к индустрии туризма в целом. Также было указано, что обязанности по обеспечению безопасности туризма и уменьшению рисков при путешествиях возлагаются прежде всего на государственные органы, которые в свою очередь должны обеспечить соответствующий уровень взаимодействия и координации работы со всеми участниками туристского процесса.

В ходе конференции акцент был сделан на том, что основа успеха в процессе обеспечения безопасности международного туризма заключается в постоянном взаимодействии предприятий туристского сектора с соответствующими государственными структурами.

Кроме того, в документах конференции особо отмечена необходимость своевременного и постоянного обмена информацией между странами, национальными туристскими администрациями и другими учреждениями сферы туризма, качественной взаимопомощи и координации, ответственности государств в устранении факторов, осложняющих развитие международного туризма, подчеркнута роль средств массовой информации в повышении безопасности международного туризма.

Итогом проведения 1-й Международной конференции по безопасности туризма стало подписание Эстерсундской декларации по безопасности туризма и уменьшению рисков при путешествиях.

Таким образом, эффективное функционирование системы международного туризма во многом будет зависеть не только от строгого выполнения странами международно-принятых обязательств в области безопасности организаций туристских путешествий, но и от консолидированного их участия в борьбе с международным терроризмом, обеспечения мира и стабильности на нашей планете.

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1 Постановка задачи для непрерывных процессов

Состояние объекта задается в каждый момент времени n-мерным вектором xRn, координаты которого xi, i = 1,2,…, n, называются фазовыми координатами объекта. Движение объекта происходит таким образом, что его координаты в каждый момент времени определяются m величинами, u1, u2,....,um, называемыми управлениями. Управление u является m-мерным вектором u = col{u1, u2,...., um}, в свою очередь изменяющимся во времени. Однако изменение управляющего параметра u в определенной степени зависит только от управляющего субъекта.

Пусть задано некоторое замкнутое множество URm. Обычно в теории оптимального управления функция u(t) называется допустимым управлением, если значения u(t) принадлежат множеству U, и вектор-функция u(t) является кусочно-непрерывной (или, в общем случае - ограниченной измеримой функцией).

Пусть задано начальное состояние объекта

и закон движения в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

i = , i = 1,2,…,n,

где функции fi предполагаются непрерывными по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемых по xi (i =1,2,…,n) и по t.

Если теперь задать некоторое допустимое управление u(t), то система дифференциальных уравнений (при некоторых достаточно естественных предположениях о правых частях системы уравнений) вместе с начальным условием x(0) = x0 однозначно определит траекторию x(t). Задача теории оптимального управления состоит в том, чтобы среди допустимых управлений u(t) выбрать такое, которое бы определяло траекторию x(t), минимизирующую (максимизирующую) некоторый заданный критерий.

В достаточно общем виде постановка задач оптимального управления может быть представлена следующим образом.

Пусть задана управляемая система, описываемая задачей Коши вида

(1.1)

x(t) |t=t0 + 0= x0 . (1.2)

Пусть далее управление u(t), t [t0,t1], является кусочно - непрерывной функцией с конечным числом точек разрыва, принимающей значения во множестве U Rm. Под решением задачи Коши (1.1)-(1.2) понимается непрерывная функция x(t), t[t0,t1], удовлетворяющая интегральному уравнению

t [t0 , t1]. (1.3)

Ясно, что определенное с помощью равенства решение задачи Коши x(t), t [t0,t1] обладает кусочно-непрерывной производной.

Начальный и конечный моменты времени, а также длительность управляемого процесса могут зависеть от управления (например, в задачах «быстродействия»), а потому не всегда задаются заранее. В подобных случаях обычно указывают ограничения

t0 И0, t1 И1, (1.4)

где И0 , И1 - заданные подмножества вещественной прямой R.

Помимо ограничений вида u(t)U, t[t0,t1], на фазовые координаты управляемого объекта могут быть заданы аналогичные ограничения вида

x(t)G(t) Rn , t [t0,t1], (1.5)

называемые фазовыми ограничениями. Специфические и потому выделяемые и рассматриваемые отдельно фазовые ограничения могут быть наложены и в начальный и конечный моменты времени. Их обычно записывают в виде

x(t0)S0(t0), t0 И0, x(t1) S1(t1), t1И1, (1.6)

причем считается, что

S0(t0)G(t0), S1(t1)G(t1). (1.7)

Наряду с фазовыми ограничениями могут накладываться интегральные ограничения

вида

Ji[u] ? 0, i = 1,2,..., p, Ji[u] = 0, i = p + 1, p + 2,..., p + q , (1.8)

, i = 1,2,..., p + q.

Набор параметров {t0И0, t1И1, x0Rn, u(t)U, t [t0,t1]}, а также движение управляемого объекта и управления x0Rn, u(t)U, t [t0,t1] называются допустимыми, если управление u(t), t[t0,t1], является кусочно непрерывной функцией с конечным числом точек разрыва и выполнены перечисленные выше ограничения.

В достаточно общей форме оптимизационная задача ставится следующим образом. Среди допустимых управлений {x0Rn, u(t)U, t [t0,t1]} требуется найти управление u0(t), доставляющее минимум критерию качества

(1.9)

В тех случаях, когда критерием качества (целевым функционалом) является длительность управляемого процесса, говорят о задаче быстродействия.

Одной из простейших задач описанного типа является следующая задача с функциональными ограничениями типа неравенств.

Пусть заданы функционалы Ji , i =1,2,..., p, (J0, J1, J2 ,..., Jp )R p+1. Как и выше, набор {x(t), u(t)}, для которого выполняются условия: u(t)U, t [t0,t1]; и является кусочно непрерывной функцией с конечным числом точек разрыва;

Rn ,

, i =1,2,..., p ,

будем называть допустимым. Среди допустимых управлений требуется найти управление u0(t), доставляющее минимум критерию качества, то есть

1.2 Постановка задачи для дискретных процессов

Наряду с рассмотренной в предыдущем пункте задачей, значительный интерес представляет также задача, являющаяся ее дискретным аналогом. Такие задачи возникают, например, при решении с помощью разностных методов задач с непрерывным временем. Однако они представляют и самостоятельный интерес, поскольку, например, описывают «импульсные» системы, в которые сигналы управления поступают в дискретные моменты времени. Такого рода «импульсные» системы применяются и для описания экономических систем (технологические модели, в которых присутствует естественный временной масштаб - длительность технологического цикла).

Пусть задана управляемая система, описываемая задачей вида

xs+1 = fs(xs ,us), s = 0,1, 2, ..., N -1, (1.10)

x0 = xG0 Rn. (1.11)

Здесь управление u ? {un , n = 0, 1, 2, ... , N -1}, где un ? |u(n), u(·) : I ? {0, 1, 2, ... , N - 1} > Rm принимает значения в множестве URm (unU, nI). Допустимыми управлениями называются такие управления, для которых решение задачи (1.10), (1.11) удовлетворяет фазовому ограничению xnGnRn, nI. В дальнейшем, не оговаривая это особо, считаем непустыми множества допустимых управлений в этой и во встречающихся ниже задачах.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. Среди допустимых управлений u = (unU, nI) требуется найти управление u0, доставляющее минимум критерию качества

. (1.12)

Можно рассмотреть и более общие оптимизационные задачи, вполне аналогичные оптимизационной задаче с непрерывным временем (1.1)-(1.9).

Выводы

Проведение расчётов и моделирование режимов работы объектов является актуальной и до конца не решённой задачей, так как с одной стороны моделирование важно для улучшения эффективности работы, но с другой стороны существует большое количество методов моделирования и все они не идеальны и имеют недостатки. В ходе данной части исследования были рассмотрены основные группы методов моделирования производственных процессов и выполнена постановка задачи, которая позволит в дальнейшем создать работоспособную модель указанного процесса.

2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

2.1 Формулировка принципа максимума в общей задаче с закрепленными концами и закрепленным временем

Пусть требуется минимизировать функционал

(1.13)

при условиях

, (1.14)

x(t0)S0, x(T) ST , (1.15)

u(t)U, t0 ? t ? T , (1.16)

где управление u(t)U, t0 ? t ? T предполагается ограниченной измеримой функцией, так что u(·){[t0, T],U}.

Предполагаем, что правый конец траектории либо свободен (ST = Rn), либо принадлежит множеству ST, которое представляется в одном из следующих вариантов:

ST = {xRn : gj (x) = 0, j =1, 2, ..., sT };

ST ={xRn : gj (x) ? 0, j =1, 2 ,..., mT , gj (x) = 0, j = mT + 1 ,..., sT }.

Аналогичным образом предполагаем, что левый конец траектории либо свободен ( S0 = Rn), либо принадлежит множеству S0, которое представляется в одном из вариантов:

S0 = {xRn : hj (x) = 0, j = 1, 2, ..., s0};

S0 = {xRn : hj (x)0, j =1, 2,..., m0, hj (x) = 0, j = m0 +1, ..., s0}.

Относительно функций {fi}, {gi}, {hi} и Ф предполагается, что они имеют частные производные по переменным {xi} и непрерывны вместе с указанными производными по совокупности своих аргументов.

Определим функцию Гамильтона-Понтрягина:

ш = col{ш1, ш2 , ... , шn}, ш0 = const .

Для управления u(·){[t0, T],U} и x(t), t0 ? t ? T - решения уравнения (1.14), отвечающего этому управлению - рассматриваем «сопряженную» систему обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных относительно «сопряженных» переменных

ш(t) = col{ш1(t), ш2(t), ... , шn(t)}:

, p = 1,2,…,n, (1.17)

которую, как и выше, можно записать также в векторной форме следующим образом

(1.18)

Теорема 1.1 (принцип максимума). Пусть{x(t), u(t)}, t0 ? t ? T - решение задачи (1.13)-(1.16). Тогда необходимо существуют непрерывная вектор-функция ш (t) , t0 ? t ? T, и постоянная ш0 такие, что:

1) ш0 ? 0 , |ш0| + |ш(t)| ? 0, t0 ? t ? T.

2) ш(t) является решением сопряженной системы (1.17), (1.18), соответствующим рассматриваемому решению {x(t), u(t)}, t0 ? t ? T.

3) При почти всех t [t0,T] функция H(x(t), u, t, ш(t), ш0) переменной uU достигает своей верхней грани на множестве U при u = u(t), t0 ? t ? T, т.е.

H(x(t), u(t), t, ш(t), ш0) = sup H(x(t), u, t, ш(t), ш0), t0 ? t ? T.

uU

4) На левом и правом концах траектории {x(t), t0 ? t ? T} выполняются условия трансверсальности, которые означают, что вектор ш (T) - ш0 Фx {x(T)} ортогонален к множеству ST в точке x(T)ST, а вектор ш(t0) ортогонален к множеству S0 в точке x(t0)S0.

Комментарий к теореме 1.1 (расшифровка условий трансверсальности).

Правый конец

1) Правый конец траектории свободен, ST = Rn. Вектор ш(T) - ш0Фx{x(T)} ортогонален к Rn, что означает, что

ш(T) - ш0Фx{x(T)} = 0 .

Данное условие есть граничное условие краевой задачи принципа максимума.

2) Правый конец траектории подвижен, причем терминальное множество имеет следующий вид: ST = {xRn : gj(x) = 0, j =1, 2, ... , sT }.

Гиперплоскость представляет собой касательную плоскость к поверхности Sj = {xRn : gj(x) = 0} в точке x(T) .

Аффинное множество Г = {xRn: ( j = 1, 2, ..., sT} есть касательная плоскость к множеству ST в точке x(T) .

Ортогональность вектора h к множеству ST в точке x(T) означает, по определению, ортогональность вектора h к аффинному множеству

Г = {xRn : ( j = 1, 2, ..., sT };

или

.

Значит, условия трансверсальности означают, что вектор ш(T) - ш0Фx{x(T)} удовлетворяет условию:

ш(T) - ш0Фx{x(T)}, x - x(T )= 0, ,

Г = {xRn : ( j = 1, 2, ..., sT}.

В силу теоремы Фаркаша существуют числа a1,..., такие, что

Сюда необходимо добавить условия принадлежности точки x(T) к ST, т.е. условие

gj (x(T)) = 0, j =1, 2, ..., sT.

3) Правый конец траектории подвижен, причем терминальное множество имеет следующий вид: ST = {xRn: gj (x) ? 0, j =1, 2, ..., mT , gj (x) = 0, j = mT +1, ... , sT}. Пусть, кроме того, g'jx (x(T)) ? 0, j =1, 2, ..., sT .

В этом случае существуют числа a1,..., такие, что

,

и, кроме того, имеют место соотношения:

aj gj (x(T)) = 0 , aj ?0, j =1,2,...,mT,

gj (x(T)) = 0 , j = mT +1,..., sT ,

Левый конец

1) Левый конец траектории свободен, S0 = Rn. Вектор ш(t0) ортогонален к Rn, что означает, что

ш(t0) = 0.

Данное условие есть граничное условие краевой задачи принципа максимума.

2) Левый конец траектории подвижен, причем терминальное множество имеет следующий вид: S0 ={ xRn : hj (x) = 0, j =1, 2, ..., s0}. В этом случае существуют числа b1, ..., такие, что

Кроме того, к данным условиям необходимо добавить условия принадлежности точки

x(t0) к S0 , т.е. условие

hj (x(t0 )) = 0, j =1, 2, ..., s0 .

3) Левый конец траектории подвижен, причем терминальное множество имеет следующий вид: S0 = {xRn : hj(x) ? 0, j = 1, 2, ..., m0, hj(x) = 0, j = m0 +1, ..., s0}. Пусть, кроме того, hjx (x(t0)) ? 0 , j =1, 2, ..., s0.

В этом случае существуют числа b1, ..., такие, что,

и, кроме того, имеют место соотношения:

bj hj (x(t0)) = 0 , bj ? 0, j =1, 2, ..., m0,

hj (x(t0)) = 0 , j = m0 +1, ..., s0.

2.2 Формулировка принципа максимума в случае задачи общего вида с нефиксированными начальным и конечным моментами времени

Рассмотрим задачу, когда начальный и конечный моменты времени, вообще говоря, неизвестны и также подлежат определению.

Пусть требуется минимизировать функционал

(1.19)

при условиях

, (1.20)

x(t0)S0 (t0 ), x(T)ST(T) , (1.21)

u(t)U, t0 ? t ? T, (1.22)

где, как и выше, управление u(t)U, t0 ? t ? T предполагается ограниченной измеримой функцией, так что u(·){[t0, T],U}.

Предполагаем, что правый конец траектории либо свободен ( ST(T) = Rn), либо принадлежит множеству ST (T) , которое представляется в виде:

ST (T) = {xRn : gj (x,T) ? 0, j =1, 2, ..., mT, gj (x,T) = 0, j = mT +1, ..., sT}, T R .

Аналогично левый конец траектории либо свободен (S0(t0) = Rn), либо принадлежит множеству S0(t0) , которое представляется в виде:

S0(t0) = {xRn : hj(x, t0) ? 0, j = 1, 2, ..., m0, hj(x, t0) = 0, j = m0 +1, ..., s0}. t0R .

Относительно функций {f i}, {g i}, {h i} и Ф, как и выше, предполагается, что они имеют частные производные по переменным {xi} и непрерывны вместе с указанными производными по совокупности своих аргументов.

Теорема 1.2 (принцип максимума).

Пусть {x(t),u(t)}, t0 ? t ? T - решение задачи (1.19)-(1.22). Тогда необходимо существуют непрерывная вектор-функция ш(t) , t0 ? t ? T, и постоянная ш0 такие, что:

1) ш0 ? 0 , | ш 0 | + | ш (t) |?0 , t0 ? t ? T.

2) ш (t) является решением сопряженной системы (1.17), (1.18), соответствующим рассматриваемому решению {x(t),u(t)}, t0 ? t ? T.

3) При почти всех t [t0,T] функция H(x(t),u, t, ш(t), ш0) переменной uV достигает своей верхней грани на множестве U при u = u(t), t0 ? t ? T, т.е.

H(x(t),u(t), t, ш(t), ш0) = sup H(x(t), u, t, ш(t), ш0), t0 ? t ? T

uU

4) На левом и правом концах траектории {x(t), t0 ? t ? T} выполняются условия трансверсальности.

Комментарий к теореме 1.2 (расшифровка условий трансверсальности)

Правый конец

1) Правый конец траектории свободен, ST(T) = Rn . Тогда

ш (T) - ш0Фx{x(T ),T} = 0 ,

H(x(T),u(T),T,ш (T), ш0) - ш0Фt{x(T ),T} = 0 .

Данные условия суть граничные условия краевой задачи принципа максимума.

2) Правый конец траектории подвижен:

ST (T) = {xRn : gj (x,T) ? 0, j =1, 2, ..., mT , gj (x,T) = 0, j = mT +1, ..., sT}.

Пусть, кроме того, g'jx (x(T),Т) ? 0, g'jt (x(T),Т) ? 0 j =1, 2, ..., sT.

В этом случае существуют числа a1,..., такие, что

aj gj (x(T),T) = 0 , aj ?0, j =1,2,...,mT,

gj (x(T),T) = 0 , j = mT +1,..., sT

.

3) Правый конец траектории закреплен. В этом случае

x(T) = xT ,

H(xT,u(T),T,ш(T),ш0) - ш0Фt{x(T ),T} = 0 .

2.3 Достаточность условий принципа максимума

туризм инвестиции оптимальный управление

Значительный прикладной интерес представляют ситуации, когда необходимые условия оптимальности (принцип максимума Понтрягина) оказываются достаточными. Приведем один частный вид задач оптимального управления, для которых необходимые

условия оптимальности совпадают с достаточными.

Если u0 - решение следующей задачи оптимального управления

, (1.23)

x(0)=x0, (1.24)

u(t)U, t0 ? t ? T (1.25)

(1.26)

то необходимые условия оптимальности, в силу теоремы 3.1 имеют вид:

H(x0(t), u0(t), t, ш(t)) = max H(x0(t), u, t, (t)) для п.в. t[0,T], (1.27)

uU

где H(x, u, t, ш) = ш, f (t, x, u) - F(t, x, u) и ш - решение задачи

, (1.28)

ш (T) = 0 . (1.29)

Теорема 1.3 (достаточность условий принципа максимума для линейно-выпуклой по фазовым переменным задачи).

Пусть в уравнении (1.23) функция f (t, x, u) имеет вид f ?A(t)x + G(t, u) , где A(t)-(nn)- матрица, а функция F(t,x,u) представима в виде F ? g0(t, x) + g1(t,u) , где функция g0 (t, x) выпукла по x для любого t.

Тогда если u0 - допустимое управление, удовлетворяющее условиям (1.27)-(1.29), то u0 - глобальное оптимальное управление задачи (1.23)-(1.26).

2.4 Задача оптимизации управляемых процессов на бесконечном промежутке времени (“бесконечный горизонт планирования”)

К числу наиболее специфических особенностей математических задач экономической динамики относятся многочисленные оптимизационные задачи с бесконечным горизонтом планирования.

Формально такие задачи получаются при переходе от оптимизационных задач с конечным горизонтом планирования (связанным с рассмотрением управляемого процесса на промежутке t[t0 , t1]) к задачам, в которых осуществлена замена t1 на ?.

В соответствии с этим оптимизационная задача с бесконечным горизонтом планирования - аналог задачи с конечным горизонтом планирования, может быть поставлена следующим образом. Ограничимся рассмотрением задач с функционалами типа Лагранжа.

Пусть управляемая система описывается следующей задачей Коши

(1.30)

. (1.31)

Среди допустимых управлений {x0Rn, u(t)U , t[t0 ,?) }, для которых выполняются неравенства

, i =1,2,..., p , (1.32)

требуется найти управление u0(t), доставляющее минимум критерию качества

. (1.33)

Считаем, как и выше, что управление u(t), t[t0,?), является кусочно непрерывной функцией с конечным числом точек разрыва, принимающей значения в множестве URm . Допустимыми управлениями в дальнейшем называются такие управления, для которых решение задачи (1.30), (1.31) удовлетворяет фазовому ограничению x(t)G(t)Rn, t[t0,?). Под решением задачи (1.30), (1.31) понимается непрерывная функция x(t), t[t0,?), обладающая кусочно непрерывной производной.

Вообще говоря, такой переход (t1>? ) требует некоторых пояснений, связанных, в частности, с тем, что интегралы в (1.32), (1.33) являются несобственными и их предполагаемое существование фактически означает, что решения задачи (1.30), (1.31) при произвольных допустимых управлениях имеют некоторую специфическую асимптотику «на бесконечности». Оказывается, что задачи вида (1.30)-(1.33) могут иметь ряд интересных особенностей: может оказаться, например, что замена ? на t1 = const < ?) в интегралах в (1.32), (1.33) приводит к задаче, неразрешимой в классе конечных управлений ни для какого конечного t1. Поэтому формальное перенесение «конечных» результатов на задачи с бесконечными промежутками времени не сводится к замене t1 на ? в формулировках соответствующих теорем. В связи с этим, а также исходя из содержательной постановки задач вида (1.30)-(1.33), в подынтегральные выражения в интегралах (1.32), (1.33) вводятся «дисконтирующие множители»:

, i =1,2,..., p , (1.34)

, (1.35)

где б(t) - «дисконтирующие множители» - достаточно быстро убывающие на бесконечности функции, описывающие эффект убывания полезности «отложенного» потребления. В частности, широко используются множители вида б(t) = e-сt , с > 0. С учетом (1.34), (1.35) соответствующим образом видоизменяется задача (1.30)-(1.33).