Розробка моделей лінійного програмування

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задача.

Визначити етапи розробки ЕММ та обґрунтувати засіб отримання результатів моделювання. Виконати аналіз чутливості і прослідити динаміку інтервалу оптимальності при зміні коефіцієнтів цільової функції.

Таблиця 1.1 Початкові дані

	Витрата сировини	Максимально можливі
	в тоннах, зовнішні роботи	в тоннах, внутрішні роботи
	6	4	24
	1	2	6
Дохід в $1000 на 1тн. фарби	5	4

Відділ маркетингу компанії обмежує щоденне виробництво фарби для внутрішніх робіт до 2-х тонн (через відсутність попиту), а також поставив умову, щоб щоденне виробництво фарби для внутрішніх робіт не перевищувало більш, ніж на одну тонну фарби для зовнішніх робіт. Компанія хоче визначити оптимальне співвідношення між видами продукції, що випускається, для максимізації загального щоденного доходу

Розв`язання:

Невідомі:

- виробництво фарби для зовнішніх робіт;

- виробництво фарби для внутрішніх робіт.

Обмеження:

Функція мети:

Графічно обмеження і функція мети зображені на малюнку 1.1.

Малюнок 1.1 Графічне зображення обмежень і функції мети

Якщо відносини не виходять за межі цього інтервалу, то оптимальне рішення в цій моделі залишиться незмінним.

Алгоритмічно це можна записати таким чином:

або



означає, що пряма, відповідна цільовій функції, не може бути вертикальною.

З малюнка видно, що інтервал оптимальності цієї задачі не дозволяє функції мети бути не вертикальним, не горизонтальним. Необхідно розбити на дві множини, де знаменники не зверталися б в нуль. Приведені нерівності можна використовувати при визначенні інтервалу оптимальності для якого-небудь одного коефіцієнта цільової функції, якщо припустити, що 2-ої коефіцієнт залишається невитягнутим.

Модель лінійного програмування є "моментальним знімком" реальної ситуації, коли параметри моделі (цільової функції і нерівностей обмежень) передбачаються незмінними. Дослідження впливу зміни параметрів моделі на отримане оптимальне рішення задачі називається аналізом чутливості.

Розглядаються два випадки.

1. Зміна коефіцієнтів цільової функції.

2. Зміна вартості одиниці ресурсу.

При зміні кількості доступних ресурсів (на одиницю), значення цільової функції в оптимальному рішенні зміниться на вартість одиниці ресурсу.

1. Обмеження на сировині.

Кількість сировини в D:

Кількість сировини в G:

, отримаємо формулу:

z в (*) D = 5*2+ 4*2 = $18000

z в (*) G = 5*6 + 4*0 = $30000

Звідси:

), на одну тонну (в межах від 20 до 36 тонн) приводить до зміни в оптимальному рішенні $750

рівно:

рівно:

на тонну матеріалу

оптимальність моделювання ризик інвестування

2. Задача

Обґрунтуйте етапи моделювання випадкових подій у двох випробуваннях.

Нехай при випробуванні мають місце залежні й сумісні події А та В, при цьому відомо, що Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,5; Р(АВ) = 0,3.

Потрібно змоделювати появу подій А та В у двох випробуваннях

Розв`язання:

У кожному випробуванні можливі чотири несумісних результати, тобто настання чотирьох подій:

С₁ = АВ, Р(С₁) = Р(АВ) = 0,3.

С₂ =, Р(С₂) = Р() = Р(А) - Р(ВА) = 0,7 - 0,3 = 0,4.

С₃ =, Р(С₃) = Р() = Р(В) - Р(АВ) = 0,5 - 0,3 = 0,2.

С₄ =, Р(С₄) = 1 - [Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃)] = 1 - (0,3 + 0,4 + + 0,2) = 0,1.

Змоделюймо повну групу подій С₁, С₂, С₃, С₄ у двох випробуваннях (прогонах). Попередньо на одиничному відрізку числової осі послідовно відкладемо інтервали:

_і = Р(С_і), і = 1,…, 4.

Інтервали _і = Р(С_і)

Нехай отримано (взято з відповідної таблиці) випадкові числа ₁ = 0,68 і ₂ = 0,95.

Випадкове число ₁ належить до інтервалу ₂, тому при першому випробуванні мала місце подія А, а подія В не настала. За другого випробування випадкове число ₂ належить до інтервалу ₄. Обидві події А та В не мали місця.

3. Задача.

Визначити етапи розробки моделі лінійного програмування за двоїстою задачею.

До наведеної далі задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв'язати одну з них симплекс-методом та визначити оптимальний план іншої задачі.

Z = -5x₁ + 2x₂ max;

1. Сутність інформації. Вимір кількості інформації за Хартлі і Шенноном. Одиниці виміру кількості інформації. Ентропія інформації.

Рішення:

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	R1	вільні члени	відношення
R1	1	1	-1	0	1	1	1
X4	2	3	0	1	0	5	5/2
Z	5	-2	0	0	0	0	-
W	-1	-1	1	0	0	-1	-

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	вільні члени
Х1	1	1	-1	0	1
Х4	0	1	2	1	3
Z	0	-7	5	0	-5
W	0	0	0	0	0

X 1 = ( 1 , 0 , 0 , 3 ) W = 0

Z = -5 + 7 x₂ -5 x₃

Z (Xнач.)= -5;

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	вільні члени	відношення
Х1	1	1	-1	0	1	1
Х4	0	1	2	1	3	3
Z	0	-7	5	0	-5	-

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	вільні члени
Х1	1	1	-1	0	1
Х4	-1	0	3	1	2
Z	7	0	-2	0	2

X 1 = ( 0 , 1 , 0 , 2 )

Z = 2 -7 x₁ + 2 x₃

Z(Х₁)=2;

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	вільні члени	відношення
Х1	1	1	-1	0	1	-
Х4	-1	0	3	1	2	2/3
Z	7	0	-2	0	2	-

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	вільні члени	відношення
Х1	1	1	-1	0	1	-
Х4	-1/3	0	1	2/3	2/3	2/3
Z	7	0	-2	0	2	-

базисні змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	вільні члени
Х1	2/3	1	0	1/3	5/3
Х4	-1/3	0	1	1/3	2/3
Z	19/3	0	0	2/3	10/3

X 2 = ( 0 , 5/3 , 2/3 , 0 )

Z = 10/3 -19/3 x₁ -2/3 x₄

x _i 0

Z=10/3

Відповідь:

X опт = ( 0 , 5/3 , 2/3 , 0 )

Значення функції : Z = 10/3

4. Задача.

Визначити оптимальну виробничу стратегію з застосуванням виробничої функції

Виробнича функція підприємства має вигляд:

.

1). Записати рівняння ізокванти, що проходить через точку з координатами .

2). Записати рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами

а) ;

б) .

3). Знайти граничну норму заміщення праці фондами у точці .

1. Основні кібернетичні закони і принципи, що використовуються в управлінні економічними системами.

Рішення:

1). Обчислимо обсяг випуску, що відповідає витратам ресурсів .



Запишемо рівняння ізокванти

або

тобто це є степенева гіпербола, асимптотами якої є осі координат.

2). Рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами K0, L0, має вигляд:

а) запишемо рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами .

або, враховуючи область визначення виробничої функції, остаточно рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами матиме вигляд

.

Це рівняння прямої, що проходить через початок координат і ортогональної ізокванті

б) Запишемо рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами

;

5. Задача.

Обґрунтувати етапи розробки моделі функціонування фірм на конкурентних ринках.

Прибутки двох фірм, що конкурують на ринку одного товару, відповідно дорівнюють: ; ціна товару: де X₁, X₂ -- обсяги випуску продукції фірм.

Визначити оптимальний обсяг випуску продукції кожної фірми. Якою буде стратегія першої фірми відносно стратегії другої фірми: ?

Показати, яким буде спільний випуск за умови об'єднання цих фірм (утворення монополії). Визначити, який із варіантів буде привабливішим для споживача продукції та чому?

1. Ентропія системи. Властивості ентропії.

Розв`язання:

Обчислимо випуск продукції першої фірми, що максимізує її прибуток:

Звідси стратегія першої фірми

а оптимальний обсяг випуску продукції знайдемо, розв'язавши рівняння

Отже, оптимальний обсяг випуску першої фірми, відповідно другої фірми .

За таких стратегій перша фірма отримує прибуток , а друга , ціна , а загальний випуск.

У разі утворення монополії спільний прибуток фірм можна подати у вигляді функції від спільного випуску:

Знайдемо спільний випуск фірм, що максимізує спільний прибуток

Звідси оптимальний випуск , ціна , прибуток складатиме .

Перший варіант кращий для споживачів, оскільки ціна менша продукції, а випуск більший. Другий варіант кращий для фірм, оскільки вони мають більший прибуток.

6. Задача.

Визначити міжгалузевий баланс на наступний плановий період

Для умовної двогалузевої економіки відомі міжгалузеві потоки продукції та обсяги кінцевої продукції галузей за звітний період:

Галузі-виробники	Галузі-споживачі	Кінцева продукція
	1	2
1	40	50	110
2	60	20	170

У плановому періоді необхідно отримати кінцеву продукцію першої галузі в обсязі , валову продукцію другої галузі в обсязі . Побудувати МГБ на плановий період (обчислити міжгалузеві потоки продукції планового МГБ, обсяг валової продукції першої галузі, обсяг кінцевої продукції другої галузі, обсяги умовно чистої продукції галузей).

1. Визначення виробничої функції, умови неокласичності. Властивості функції Кобба-Дугласа.

Розв`язання:

1. Обчислимо обсяг валової продукції кожної галузі як суму матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, і кінцевої продукції даної галузі

Хі

Отже, обсяги валової продукції галузей:

1. Обчислимо коефіцієнти прямих матеріальних витрат за формулою



Отримаємо матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат

2. Складемо систему рівнянь, яка у матричному записі має вигляд:

Підставивши дані прикладу, отримаємо систему рівнянь відносно невідомих змінних

7. Задача.

Оцінити величину ризику допустимого, критичного та катастрофічного збитків засобами статистичного моделювання.

Розглядаються два проекти А і В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведено в табл. 7.1

Таблиця 7.1

Оцінка можливого результату	Прогнозований прибуток (тис. гривень)	Значення ймовірності
	А	В	А	В
Песимістична Оптимістична	100 200	51 151	0,5 0,5	0,01 0,99

Потрібно оцінити міру ризику кожного з цих проектів і обрати один з них (той, що забезпечує меншу величину ризику) для інвестування.

Розв`язання:

Нехай ХA = {100; 200}, XB={51; 151} відповідно

випадкові величини, що відображають можливі прибутки від реалізації проектів.

Знайдемо величини сподіваних прибутків:

М(ХА) = 0,5 100 + 0,5 200 = 150 (тис. грн);

М(ХВ) = 0,01 51 + 0,99 151 = 150 (тис. грн),

тобто обидва проекти мають однаковий прогнозований сподіваний прибуток.

У якості міри ризику використаємо оцінку мінливості (варіацію) можливих результатів інвестування:

Оскільки , то проект В є менш ризикованим порівняно з проектом А, і йому слід віддати перевагу.

Аналогічний результат ми отримаємо, якщо за міру ризику візьмемо середньоквадратичне відхилення:

тобто проект В є менш ризикованим.

Размещено на Allbest.ru