Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант № 3

Исполнитель: Глушакова Т.И.

Специальность: Финансы и кредит

Курс: 3

Группа: 6

№ зачетной книжки: 07ффд41853

Руководитель: Денисов В.П.

г. Омск 2009г.

Задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

- уравнение линейной регрессии, где - параметры уравнения.

, где , - средние значения признаков.

, где n - число наблюдений.

Представим вычисления в таблице 1:

Таблица 1. Промежуточные расчеты.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
1	38	69	2622	1444
2	28	52	1456	784
3	27	46	1242	729
4	37	63	2331	1369
5	46	73	3358	2116
6	27	48	1296	729
7	41	67	2747	1681
8	39	62	2418	1521
9	28	47	1316	784
10	44	67	2948	1936
средн. знач.	35,5	59,4
	2108,7
	1260,25
	21734
	13093
n	10
	1,319
	12,573

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Вычислим прогнозное значение Y по формуле:

Остатки вычисляются по формуле:

.

Представим промежуточные вычисления в таблице 2.

Таблица 2. Вычисление остатков.

69	62,695	6,305	39,75303
52	49,505	2,495	6,225025
46	48,186	-2,186	4,778596
63	61,376	1,624	2,637376
73	73,247	-0,247	0,061009
48	48,186	-0,186	0,034596
67	66,652	0,348	0,121104
62	64,014	-2,014	4,056196
47	49,505	-2,505	6,275025
67	70,609	-3,609	13,02488

Дисперсия остатков вычисляется по формуле:

.

Построим график остатков с помощью MS Excel.

Рис. 1. График остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Данные для расчета возьмем из таблицы 2.

dw = 0,803

Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.

- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.

- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.

Вычисления представим в таблицах 3 и 4.

Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
1	27	46	1242	729	47	-1	1
2	27	48	1296	729	47	1	1
3	28	47	1316	784	49,5	-2,5	6,25
4	28	52	1456	784	49,5	2,5	6,25
средн. знач.	27,5	48,25
	1326,875
	756,25
	5310,00
	3026,00
n	4
	2,5
	- 20,5
	14,5

Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
1	37	63	2331	1369	63,789	-0,789	0,623
2	38	69	2622	1444	64,582	4,418	19,519
3	39	62	2418	1521	65,375	-3,375	11,391
4	41	67	2747	1681	66,961	0,039	0,002
5	44	67	2948	1936	69,340	-2,340	5,476
6	46	73	3358	2116	70,926	2,074	4,301
средн. знач.	40,833	66,833
	2729,028
	1667,361
	16424
	10067
n	6
	0,793
	34,448
	41,310

 = =2,849

где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.

Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( - число наблюдений в первой группе, m - число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

, , m=1.

Если > , то имеет место гетероскедастичность.

= 5,41

< ,

значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .

Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:

,

,

,

=35,5

Промежуточные расчеты представим в таблице:

Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия

xi
38	6,25
28	56,25
27	72,25
37	2,25
46	110,25
27	72,25
41	30,25
39	12,25
28	56,25
44	72,25

=490,50

для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8

Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

Из расчетов нам известно, что

; .

Рассчитаем :

Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.

69	9,6	92,16
52	-7,4	54,76
46	-13,4	179,56
63	3,6	12,96
73	13,6	184,96
48	-11,4	129,96
67	7,6	57,76
62	2,6	6,76
47	-12,4	153,76
67	7,6	57,76

=930,4

=0,917.

Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.

Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. >.

Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:

Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.

yi
69	6,305	0,091377
52	2,495	0,047981
46	-2,186	0,047522
63	1,624	0,025778
73	-0,247	0,003384
48	-0,186	0,003875
67	0,348	0,005194
62	-2,014	0,032484
47	-2,505	0,053298
67	-3,609	0,053866

,

значит модель имеет хорошее качество.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем стандартную ошибку прогноза

,

где

=930,4 ;

, для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8

Доверительный интервал прогноза:

Таким образом, =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.



Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Построение степенной модели.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим .

Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:

Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.

t	xi	X		Y	YX	X*X
1	38	1,5798	69	1,839	2,905	2,496	62,347	6,653	9,642	44,26
2	28	1,447	52	1,716	2,483	2,094	50,478	1,522	2,926	2,315
3	27	1,431	46	1,663	2,379	2,048	49,225	-3,225	7,010	10,399
4	37	1,568	63	1,799	2,821	2,459	61,208	1,792	2,845	3,212
5	46	1,663	73	1,863	3,098	2,765	71,153	1,847	2,530	3,411
6	27	1,431	48	1,681	2,406	2,049	49,225	-1,225	2,552	1,5
7	41	1,613	67	1,826	2,945	2,601	65,771	1,289	1,924	1,66
8	39	1,591	62	1,793	2,853	2,531	63,477	-1,477	2,382	2,182
9	28	1,447	47	1,672	2,419	2,094	50,478	-3,478	7,4	12,099
10	44	1,644	67	1,826	3,001	2,701	68,999	-1,999	2,984	3,997

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Вычислим коэффициент детерминации :

=930,4;

(1)

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А:

%

(2)

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

(3)

Рис. 3. График степенного уравнения регрессии.

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8.

Промежуточные расчеты представим в таблице 9.

Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции.

t	xi	Y		y
1	38	1,839	69,882	69	62,632	6,368	10,167	40,552
2	28	1,716	48,048	52	49,893	2,107	4,223	4,44
3	27	1,663	44,901	46	48,771	-2,771	5,682	7,68
4	37	1,799	66,563	63	61,224	1,776	2,901	3,155
5	46	1,863	85,698	73	75,128	-2,128	2,832	4,528
6	27	1,681	45,387	48	48,771	-0,771	1,581	0,595
7	41	1,826	74,866	67	67,054	-0,054	0,08	0,003
8	39	1,793	69,927	62	64,072	-2,072	3,235	4,295
9	28	1,672	46,816	47	49,893	-2,893	5,798	8,369
10	44	1,826	80,344	67	71,788	-4,788	6,669	22,921

=63,2432

Уравнение будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*43,170=4,317%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MS Excel.

Рис. 4. График показательного уравнения регрессии.

Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.

Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели.

t	xi	yi	X=1/xi	y*X
1	38	69	0,02632	1,81579	0,00069	63,5648	5,4352	7,877	29,5409
2	28	52	0,03571	1,85714	0,00128	50,578	1,422	2,7346	2,0221
3	27	46	0,03704	1,7037	0,00137	48,7502	-2,7502	5,9787	7,5637
4	37	63	0,02703	1,7027	0,00073	62,5821	0,4179	0,6634	0,1747
5	46	73	0,02174	1,58696	0,00047	69,8889	3,1111	4,2618	9,6791
6	27	48	0,03704	1,77778	0,00137	48,7502	-0,7502	1,563	0,5628
7	41	67	0,02439	1,63415	0,00059	66,2256	0,7744	1,1559	0,5998
8	39	62	0,02564	1,58974	0,00066	64,4972	-2,4972	4,0278	6,2362
9	28	47	0,03571	1,67857	0,00128	50,578	-3,578	7,6128	12,8021
10	44	67	0,02273	1,52273	0,00052	68,5235	-1,5235	2,2738	2,3209

Уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*38,1488=3,81488%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MS Excel.

Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:

Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей.

параметры модель	Коэффициент детерминации, R	Коэффициент эластичности,(%)	Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%)
Линейная	0,917	0,788	3,648
Степенная	0,909	0,692	4,22
Показательная	0,896	0,817	4,317
Гиперболическая	0,923	0,638	3,815

Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т.к. имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.