Эконометрика: примеры решения задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Студент

гр. Д/ПЭ-10-09 А.А. Юркова

Владивосток 2012

Задача №1.

По семи территориям Уральского района. За 199Х г. известны значения двух признаков (табл. 1.).

Таблица 1

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	69,8	44,1
Свердловская обл.	63	58
Башкортостан	60,9	55,7
Челябинская обл.	57,7	60,8
Пермская обл.	56	57,8
Курганская обл.	55,8	46,2
Оренбургская обл.	50,3	53,7

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной; ¹

г) равносторонней гиперболы (также нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение задачи

1а. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x. Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:



По исходным данным рассчитываем

Таблица 1.2

	y	x	yx	x2	y2			Ai
1	69,8	44,1	3078,18	1944,81	4872,04	62,411	7,4	10,6
2	62,7	58	3636,6	3364	3931,29	57,546	5,2	8,3
3	60,9	55,7	3392,13	3102,49	3708,81	58,551	2,5	4,1
4	57,7	60,8	3508,16	3696,64	3329,29	56,566	1,1	1,9
5	56	57,8	3236,8	3340,84	3136	57,616	-1,6	2,9
6	55,8	46,2	2577,96	2134,44	3113,64	61,676	-5,9	10,6
7	50,3	53,7	2701,11	2883,69	2530,09	89,051	-8,8	17,4
итого	413,2	376,3	22130,94	20466,91	24621,16	-	-	55,8
Среднее значение	59,03	53,76	3161,56	2923,84	3517,31		-	7,97
	5,72	5,81
2	32,77	33,70

; ;

;

;

b=

=59,03- (-0, 35)53,76=77,846

Уравнение регрессии: =77,846-0,35x. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35%-ых пункта. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

 = =-0,357

Связь умеренно обратная.

Определим коэффициент детерминации:

² =(-0,35)² =0,127

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора x. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические(расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

= = %

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 7,97%

Рассчитаем F- критерий

F=

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу H₀ о случайной природе зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б. Построению степенной модели y= x^b предшествует процедура линеаризации переменных.

В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

log y=log+b log x

Y=C+b X,

Где Y=log y, X=log x, C=log

Для расчетов используем данные таблицы 1.3.

Таблица 1.3

	Y	X	Y X	X2	Y2				Ai
1	1,8439	1,6444	3,0321	2,7041	3,40	59,48	10,32	106,50	14,79
2	1,7973	1,7634	3,1694	3,1096	3,2303	58,46	4,24	17,98	6,76
3	1,7846	1,7459	3,1157	3,0482	3,1848	58,61	2,29	5,24	3,76
4	1,7612	1,7839	3,1418	3,1823	3,1018	58,28	-0,58	0,34	1,005
5	1,7482	1,7619	3,080	3,1043	3,1043	58,47	-2,47	6,1	4,41
6	1,7466	1,6646	2,9073	2,7709	2,7709	59,31	-3,51	12,32	6,29
7	1,7016	1,73	2,9438	2,9929	2,9923	58,74	-8,44	71,23	16,78
итого	12,3834	12,0941	21,3901	20,9123	20,9123	411,35	1,85	219,71	53,795
Среднее значение	1,7691	1,7277	3,0557	2,9875	2,9875	-	-	31,39	7,7
	0,04	0,1122
2	0,0016	0,0126

Рассчитаем С и b:

C= C=1,7691+0,06351,7277=1,7691+0,1097=1,8788

Получим линейное уравнение:

=1,8788-0,0635X

Выполнив его потенцирование, фактические значения x, получаем теоретические значения результата _x.

По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации _i:

=

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в. Построению уравнения показательной кривой y=b^x предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

log y=log+x log b

Y=C+B x, где Y=log y, C=log , B=log b.

Для расчетов используем данные таблицы 1.4.

Таблица 1.4

	Y	x	Y x	x2	Y2				Ai
1	1,8439	44,1	81,3160	1944,81	3,40	62,2	7,6	57,76	10,9
2	1,7973	58	104,2434	3364	3,2303	57,5	-5,5	6,25	8,8
3	1,7846	55,7	99,4022	3102,49	3,1848	58,9	-2	4	3,3
4	1,7612	60,8	107,08096	3696,64	3,1018	56,6	-1,1	1,21	1,9
5	1,7482	57,8	101,0460	3340,84	3,1043	57,5	1,5	2,25	2,7
6	1,7466	46,2	80,6929	2134,44	2,7709	61,5	5,7	32,49	10,2
7	1,7016	53,7	91,3759	2883,69	2,9923	58,9	8,6	73,96	17
итого	12,3834	376,3	665,1574	20466,91	20,9123	966,6	14,8	177,92	54,8
Среднее значение	1,7691	53,76	95,0225	2923,84	2,9875	-	-	25,41	7,8
	0,04	5,81
2	0,0016	33,7

Значения параметров регрессии А и В составили:

Получено линейное уравнение: =1б9035-0б0025x.

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме: =10^1,9035 10^-0б0025x =80,070,9943^x

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

=

Связь умеренная.

=7,8%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы y=+b линеаризуется при замене: z=.

Тогда y=+bz

Для расчетов используем данные таблицу 1.5.

Таблица 1.5

	y	z	yz	z2	y2			()2	Ai
1	69,8	0,227	15,8446	0,0515	4872,04	59,1225	10,6775	114,01	15,3
2	62,7	0,0172	1,0784	0,00029	3931,29	59,0370	3,663	13,42	5,85
3	60,9	0,0180	1,0962	1,2026	3708,81	59,0373	1,8627	3,47	3,06
4	57,7	0,0164	0,9463	0,8955	3329,29	59,0367	-1,3367	1,79	2,32
5	56	0,0173	0,9688	0,9386	3136	59,0370	-3,037	9,22	5,42
6	55,8	0,022	1,2276	1,5070	3113,64	59,0390	-3,239	10,49	5,80
7	50,3	0,0186	0,9386	0,8753	2530,09	59,0376	-8,7376	76,34	17,5
итого	413,2	0,3365	22,0978	5,47079	24621,16	354,3101	-0,1471	228,74	55,17
Среднее значение	59,03	0,0481	3,1568	0,7815	3517,31	-	--	32,68	7,43
	5,72	0,8827
2	32,77	0,7792

Значения параметров регрессии и b составили:

= =59,03-0,40750,0481=59,03

b=

Получено уравнение =59,03+0,4075

Индекс корреляции:

=

. По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: = 0,052. остается на допустимом уровне:

2.

Где ,

Следовательно, принимается гипотеза H₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Задача №2. По территориям региона приводятся данные за 199Х г. (таблица 1.6).

Таблица 1.6

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	80	136
2	80	151
3	90	132
4	76	152
5	91	164
6	104	197
7	70	137
8	85	156
9	75	155
10	85	165
11	78	157
12	113	171

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение задачи.

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (таблицу 1.7).

Таблица 1.7

	y	x	yx	x2	y2			Ai
1	136	80	10880	6400	18496	155,714	-19,7	14,5
2	151	80	12080	6400	22801	155,714	-4,7	3,11
3	132	90	11880	8100	17424	155,697	-23,7	17,95
4	152	76	11552	5776	23,104	155,7208	-3,72	2,45
5	164	91	14924	8281	26896	155,6953	8,30	5,06
6	197	104	20488	10816	38809	155,6732	41,33	20,98
7	137	70	9590	4900	18769	155,731	-18,731	13,67
8	156	85	13260	7225	24336	155,7055	0,29	0,19
9	155	75	11625	5625	24025	155,7225	-0,72	0,46
10	165	85	14025	7225	27225	155,7055	9,29	5,63
11	157	78	12246	6084	24649	155,7174	1,28	0,82
12	171	113	19323	12769	29421	155,6579	15,34	8,97
итого	1027	1873	161873	89601	295955	-	4,559	93,79
Среднее значение	85,6	156	13489,4	7466,8	24663	-	-	7,8
	11,8	18
2	1139,44	327

=0,0017

Получено уравнение регрессии:

=155,85-0,0017x.

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 рубль среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,0017 рубля.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; =0,0017=0,001;

;

Это означает, что 0,0001% вариации заработной платы(y) объясняется вариацией фактора x - среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

=; =%

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=r_xy=0.

_таб для числа степеней свободы d=n-2=12-2=10 и составит 2,23.

Определим случайные ошибки :

=

Тогда

Фактические значения t_а-статистики превосходят табличные значения.

Поскольку t_a=4,3t_tab=2,3, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку t_b=0,0089t_tab=2,3, =0,003t_таб=2,3, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (не отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

=;

=2,2336,3=80,9

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу, о том, что с вероятностью параметр a, находясь в указанных границах, не принимает нулевых значений, то есть не является статистически незначимым и существенно отличен от нуля.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу, о том, что с вероятностью параметр b, находясь в указанных границах, принимается нулевым(не может одновременно принимать отрицательное и положительное значение).

4. полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тысяч рублей, тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит: тысяч рублей.

5. Ошибка прогноза составит:

=1,5 =1,575 тысяч рублей.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

=2,23 1,575=3,51

Доверительный интервал прогноза:

рублей;

рублей.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным(), но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,08 раза:

; .

Задача №3.

По 30 территориям России имеются данные, представленные в таблица 3.

Таблица 3

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб., у	88,8	8,44
Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., X1	52,9	7,86
Средний возраст безработного, лет, X2	35,5	-1,42

линейный фишер множественный регрессия

Требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с и , пояснить различия между ними.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

3. Рассчитать общий и частные F-критерии Фишера.

Решение задачи.

1. Линейное уравнение множественной регрессии y от x₁ и x₂ имеет вид: .

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

.

Расчет - коэффициентов выполним по формулам:

;

Получим уравнение:

.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂ , используя формулы для перехода от к b₁:

; ;

; .

Значение определим из соотношения

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

%; %.

С увеличением средней заработной платы на x₁ на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход возрастает на 0,54 от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного на 1% среднедушевой доход снижается на 0,38% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы x₁ на средний душевой доход оказалось большей, чем сила влияния среднего возраста безработного . К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений и :

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении и , объясняется тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних:

,

а - коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений:



2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

=

=

=

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи () коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

; ; ;

; ; .

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

=

Зависимость от и характеризуется как тесная, в которой 76% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 24% от общей вариации .

3. Общий - критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи():

=

=3,35; .

Сравнивая и , приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу, так как =3,35=43,9533. С вероятностью 1-=0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов и . Частные - критерии - и оценивают статистическую значимость присутствия факторов и в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, то есть оценивает целесообразность включения в уравнение фактора после того, как в него был включен фактор . Соответственно указывает на целесообразность включения в модель фактора после фактора :

=

=

=4,21; =0,05.

Сравнивая и приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора после фактора , так как =85,3105. Гипотезу о несущественного прироста за счет включения фактора после фактора .

Целесообразность включения в модель фактора после фактора проверяет :

=

=

Низкое значение свидетельствует о статистической незначимости прироста

За счет включения в модель фактора после фактора . Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза о нецелесообразности включения в модель фактора (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (средний возраст безработного).

Размещено на Allbest.ru