Статистические задачи

ЗАДАЧА 1

По исходным данным вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):

а) средний уровень ряда динамики;

б) абсолютный прирост;

в) темп роста;

г) темп прироста;

д) абсолютное значение 1% прироста;

е) средний темп роста и средний темп прироста.

Средний уровень интервального ряда определим по формуле:

где Y_i - значение грузооборота;

n - число значений в динамическом ряду.

Абсолютный прирост относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:

ДY_i=Y_i-Y₀

Абсолютный прирост грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:

ДY_i=Y_i-Y_i-1

Темп роста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:

Темп роста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:

Темп прироста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:

Темп прироста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:

Средний темп роста грузооборота определим по формуле:

Средний темп прироста грузооборота определим по формуле:

Абсолютное значение одного процента прироста определим по формуле:

Результаты расчёта аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1

Таблица 1 - Основные аналитические показатели ряда динамики

Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны.

Сглаживание рядов динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:

;

и т.д. - нецентрализованная

- централизованная

Коэффициент сезонности определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:

Средний коэффициент сезонности за рассматриваемый период находим по формуле:

где n - количество рассчитанных коэффициентов сезонности по одноименным месяцам.

Расчет скользящей средней и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.

Простроим график сезонной волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График сезонной волны

Таблица 2 - Расчет коэффициента сезонности

Из графика видно, что коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце - уменьшается. Наибольшее отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.

ЗАДАЧА 2

Произвести аналитическое выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам грузов:

а) при равномерном развитии y = a₀ + a₁t ;

б) при развитии с переменным ускорением (замедлением) y_t = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ ;

в) при изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов y_t = a₀ + (a_k cosR^t + b_k sinR^t) .

Результаты расчётов представить в виде таблиц и графиков.

1. Способ отсчета времени от условного начала, когда ?t=0, дает возможность определить параметры математической функции по формулам:

Результаты вычислений приведем в таблице 3:

Таблица 3 - Вычисление параметров функции y=a₀+a₁t и y=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³

Тогда:

Уравнение при равномерном развитии:

y = 1336,88 - 3,17 • t

2. Для вычисления параметров функции y=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³ :

Тогда:

Уравнение при развитии с переменным ускорением (замедлением):

y_t= 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t² + 4,68 t³;

3. По рассмотренным моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.

Рисунок 2 - График фактических и теоретических уровней ряда

Рассчитаем стандартизированную ошибку аппроксимации -

4. При изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов необходимо рассчитать параметры:

Результаты расчётов сведём в таблицу 4

Таблица 4 - Выравнивание ряда динамики y=a₀+(a_кcosR^t+ b_кsinR^t), 1998 год

Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 - График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания

Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую функцию.

Поэтому функцию можно использовать для выравнивания ряда динамики.

ЗАДАЧА 3

По данным таблицы определить:

1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;

2) сводный индекс расхода топлива на дороге;

3) изменение среднего удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива на 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;

4) абсолютный размер экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за счет изменения удельного расхода топлива на отделениях.

Таблица 10 - Грузооборот и удельный расход топлива по отделениям железной дороги

1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороги в целом

Iи=?и₁q₁ / ?и₀q₁ =15670 / 16108 = 0,973

2) Сводный индекс расхода топлива

Iиq=?и₁q₁ / ?и₀q₀ =15670 / 46800 = 0,335

3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава

Iи = ?и₁q₁/?q₁ : ?и₀q₀/?q₀ = ?и₁q₁/?и₀q₁= 15670/316 : 46800/920 = 0,975

Индекс удельного расхода топлива постоянного состава

Iи=?и₁q₁/?q₁ : ?и₀q₁/?q₁= ?и₁q₁/?и₀q₁ = 15670 / 16108 = 0,973

Индекс структурных сдвигов

Iстр= ?и₀q₁/?q₁ : ?и₀q₀/?q₀ = 16108/316 : 46800/920 = 1,002

4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода

Диq=?и₁q₁-?и₀q₁= 15670 - 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота

Диqq=?и₀q₁-?и₀q₀= 16108 - 46800 = -30692 кг

ЗАДАЧА 4

№ 1. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.

Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле:

Дисперсия

где х_i - часовая выработка

- средняя часовая выработка по всем рабочим выборки;

f_i - сумма всех частот

?х = ± t · м_x ?х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.

Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%.

Литература

1. Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями. - Гомель: БелГУТ, 2000. - 30 с.

2. Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями. - Гомель: БелГУТ, 2000. - 31 с.

3. Общая теория статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 279 с., ил.