Анализ использования теории игр как механизма решения практических задач "Закупка угля" и "Вступление на рынок"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет

Научная работа

Анализ использования теории игр как механизма решения практических задач "Закупка угля" и "Вступление на рынок"

Выполнила:

Студентка 1 курса

группы 6092

Козлова Анжелика

Научный руководитель:

Михальчук С.А.

Санкт-Петербург

2010г.



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР

1.1 Основные понятия и критерии теории игр

1.2 Стратегии теории игр

1.3 Игры с природой

Глава II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР

2.1 Постановка задачи "Закупка угля"

2.2 Решение задачи

2.3 Позиционные игры. Постановка и решение задачи "Вступление на рынок"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является решение практических экономических задач с использованием механизма теории игр, а также создание необходимых рекомендаций к данным задачам. Данные задачи являются примером практического применения теории игр в экономике. На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.

Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными партнерами на любых уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатации месторождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР

1.1 Основные понятия и критерии теории игр

ТЕОРИЯ ИГР - термин представляющий собой русский эквивалент английского theory of games и используется для обозначения комплекса математических моделей конфликтных ситуаций и способов их разрешения, основы которого разработаны математиком Дж. фон Нейманом. Формализованное описание игры задается списком ее участников (игроков) и множества стратегий для каждого из них. В результате выбора стратегий игроками образуется ситуация (состояние) игры. Интересы игроков характеризуются функциями выигрыша или отношениями предпочтения на множестве допустимых ситуаций. Таким образом, в понятии игры моделируются два основных факта:

а) каждый участник конфликта лишь частично контролирует ситуацию;

б) каждый участник имеет свои интересы.

Нормативное направление в теории игр занимается исследованием вопросов, какие состояния игры считать справедливыми, равновесными, оптимальными, а также анализом свойств и способов достижения таких состояний. Наибольшие успехи достигнуты в теории игр двух игроков с противоположными интересами (антагонистические игры), где нормативный и дескриптивный аспекты конфликтной ситуации хорошо совмещаются в понятии седловой точки (максимина) состояния, в котором каждый игрок получает максимум выигрыша по контролируемым им переменным в условиях, когда этот выигрыш минимален по переменные, контролируемым другим игроком. Теория антагонистических игр находит применение в военных приложениях: в вопросах стратегии и тактики. Оказалось также, что антагонистические игры во многих аспектах эквивалентны задачам программирования математического. Игровая методология является основой перспективного направления математической статистики, трактующего статистические задачи как игры исследователя с природой. Анализ игр многих лиц существенно затруднен из-за сложности вопроса о механизмах формирования и действия коалиций. Моделирование коалиционных взаимодействий как антагонистических игр привело к. теории кооперативных игр, которая представляет интерес лишь с математической точки зрения. В теории бескоалиционных игр многих лиц имеются два направления, имеющие нетривиальное приложение к социально-экономической проблематике.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в разрешении конфликтной ситуации.

Теория игр -- математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две (и более) сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу -- в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр -- это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках -- социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов, её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам. Теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" (англ. Theory of Games and Economic Behavior).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм "Игры разума". Некоторые американские телевизионные шоу, например, "Friend or Foe?", "Alias" или "NUMB3RS", периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Нематематический вариант теории игр представлен в работах Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр стали: Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Томас Шеллинг.

В экономике, например, оказался недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экстремумов функций. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максиминных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Одно из них игры с непротивоположными интересами и фиксированной последовательностью ходов, моделирование принятия решений в организационных системах на основе принципа гарантированного результата.

Согласно этому принципу, каждый игрок при своем ходе выбирает стратегию, исходя из предположения, что следующие за ним участники будут максимизировать свои выигрыши в условиях, определенных всеми предыдущими выборами. Другое направление связано с понятием равновесия (Нейман-Нэш) ситуации, устойчивой в том смысле, что никакой игрок не может увеличить свой выигрыш за счет только собственных действий. Это понятие, в частности, лежит в основе концепции социально-экономического равновесия, согласно которой в равновесии все социальные в и экономические агенты добиваются максимально возможного удовлетворения своих интересов в рамках определенных ограничений, причем предложение соответствует спросу по всем видам рассматриваемых благ и труда. В целом идеи теории игр имеют несомненное стимулирующее значение как для внутриматематических, так и для социально-экономических исследований, но в последнем случае собственные ее концепции слишком абстрактны и должны дополняться более конкретными конструкциями в каждом приложении.

Игра - упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении все других сторон.

Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценить количественно.

Игрок - одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока - его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.

Таблица 1.1.

Игрок 2 Игрок 1	В1	В2	…	Вn	i
А1	а11	а12	…	а1n	1
А2	a21	a22	…	а2n	2
…	…	…	…	…	…
Аm	аm1	аm2	…	аmn	m
j	1	2	…	n

В данной матрице элементы а_ij - значения выигрышей игрока 1 - могут означать математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш является случайной величиной. Величины _i,и _j, - соответственно минимальные значения элементов а_ij по строкам и максимальные - по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалиционным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет классифицировать игры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с нулевой суммой предусматривает условие: "сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю". Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, и т.д. Поясним суть некоторых из них.

Матричная игра - конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямоугольной (см. табл. 1). Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования.

Биматричная игра - конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец - стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента, то игра относится к сепарабельной.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно разделить на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.

Информированность сторон. По данному критерию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной информацией. Мы далее убедимся, что игра с полной информацией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.

Получив некоторое представление о существующих подходах к классификации игр, можно остановиться на оценках игры.

Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей выигрышей mn, где число строк i = а число столбцов j = (см. табл.1). Применим принцип получения максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чистой стратегии он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша a_ij, которое обозначим



._i = . (1.1)

Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех ._i, выбрать наибольшее значение. Обозначим его и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

. = (1.2)

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матрицы, которой соответствует элемент а. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выигрыш не меньший, чем а. Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j -й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша

в каждом j -м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j -ю чистую стратегию. Из всех своих п 7-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (минимакс):

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший чем а. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший чем в.

Чистая цена игры н - цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают. Это тот самый случай, когда игра называется игрой с седловой точкой.

1.2 Стратегии теории игр

игра экономический цена запас

Смешанные стратегии

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

* игра без седловой точки;

* игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

* игра многократно повторяется в сходных условиях;

* при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

* допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А₁, А₂, ..., А_т с соответствующими вероятностями р₁, р_2, ..., р_т.



где .

Для игрока 2

где .

q_j -- вероятность применения чистой стратегии B_j.

В случае когда р_i = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию

(1.7)

Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

(1.8)

где и - векторы;

p_i и q_i - компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

(1.9)

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

(1.10)

Цена игры - средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:

- оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

- оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

- цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными ( и ), если образуют седловую точку для функции т.е.

(1.12)

Существует основная теорема математических игр.

Для матричной игры с любой матрицей А величины

и (1.13)



существуют и равны между собой: = = .

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 22. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:

(1.14)

Значит, имеется платежная матрица

(1.15)

При этом

a₁₁p₁ + a₂₁p₂ = ; (1.16)

a₁₂p₁ + a₂₂p₂ = ; (1.17)

p₁ + p₂ = 1. (1.18)

a₁₁p₁ + a₂₁(1 - p₁) = a₁₂p₁ + a₂₂(1 - p₁); (1.19)

a₁₁p₁ + a₂₁ - a₂₁p₁ = a₁₂p₁ + a₂₂ - a₂₂p₁, (1.20)

откуда получаем оптимальные значенияи :

(1.21)

(1.22)

Зная и , находим :

(1.23)

Вычислив , находим и :

a₁₁q₁ + a₁₂q₂ = ; q₁ + q₂ = 1; (1.24)

a₁₁q₁ + a₁₂ (1 - q₁) = . (1.25)

при a₁₁ a₁₂. (1.26)

Задача решена, так как найдены векторы и цена игры . Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1).

1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А₁.

3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии a₂.

4. Концы отрезков обозначаются для a₁₁-b₁₁, a₁₂-b₂₁, a₂₂-b₂₂ , a₂₁-b₁₂ и проводятся две прямые линии b₁₁b₁₂ и b₂₁b₂₂.

5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна . Абсцисса точки с равна р₂ (р₁ = 1 - р₂).

Рис. 1.1. Оптимальная смешанная стратегия

Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основано на общем свойстве игр тп, состоящем в том, что в любой игре тп каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2п и т2 каждая оптимальная стратегия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2п и т2 может быть сведена к игре 22. Следовательно, игры 2п и т2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет размерность тп, где т > 2 и п > 2, то для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.

1.3 Игры с природой

Модели в виде стратегических игр, в экономической практике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, поскольку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов моделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.

Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение "игр с природой", так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные "ходы" партнер по игре. Поэтому термин "природа" характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых "игроком" 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР

2.1 Постановка задачи "ЗАКУПКА УГЛЯ"

Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека "не имеет". С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений. Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.

Зима	Количество угля, т	Средняя цена за 1 т, грн.
Мягкая	4	7
Обычная	5	7,5
Холодная	6	8

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. (Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.). Сколько угля летом покупать на зиму?



3.2 Решение задачи

Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.

Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.

Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 6 - при заготовке, и зимой 8 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).

Таблица 3.2.

Вероятность Зима	0,35	0,5	0,15
	Мягкая	Обычная	Холодная
Мягкая (4т)	-(4 6)	-(4 6 + 1 7,5)	-(4 6 + 2 8)
Обычная (5 т)	-(5 6)	-(5 6 + 0 7,5)	-(5 6 + 1 8)
Холодная (6 т)	-(6 6)	-(6 6 + 0 7,5)	-(6 6 + 0 8)

Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Зима	Средняя ожидаемая плата
Мягкая	-(24 0,35 + 31,5 0,5 + 40 0,15) = -30,15
Обычная	-(30 0,35 + 30 0,5 + 38 0,15) = -31,2
Холодная	-(36 0,35 + 36 0,5 + 36 0,15) = - 36

Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.

Формулы теории вероятности:

Дисперсия случайной величины о равна

Среднеквадратичное отклонение составит

где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:

Мягкая зима:

М(о²) = - (24² 0,35 + 31,5² 0,5 + 40² 0,15) = - 937,725

(Мо)² = -(30,15² ) = - 909,0225

Dо =937,725- 909,0225 = 28,7025

= 5,357

Если продолжить исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:

* для мягкой зимы = 5,357;

* для обычной зимы = 2,856;

* для холодной зимы = 0.

Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.

Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей ( = 2,856 против 5,357).

Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.

Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.

2.3 Позиционные игры. Постановка и решение задачи "Вступление на рынок"

Рассмотрим в заключение еще один пример анализа рыночного поведения с помощью аппарата теории игр, когда задача по своей структуре несколько отличается от задачи, обсуждавшейся ранее.

Предположим следующую ситуацию. На рынке некоторого продукта доминирует производитель-монополист (Фирма 1), и монопольное положение приносит ему 12 млрд. руб. прибыли. Высокая прибыль в данном секторе привлекает других производителей, и, в частности, Фирма 2 решает вопрос: построить ли ей свой завод и начать на нем производство такого же товара? Однако ей известно, что Фирма 1 может предпринять некоторые действия в ответ на вторжение. С одной стороны. Фирма 1 может снизить объем своего производства, уступая часть рынка Фирме 2 и деля с ней получаемую прибыль - так, как это происходило в примере поведения фирм-олигополистов. В этом случае каждая из фирм получит по 6 млрд. руб. прибыли. С другой стороны. Фирма 1 может сохранить объем своего производства. В этом случае рост совокупного предложения товара Фирмами 1 и 2 снизит цену на этот товар, и, как следствие, прибыль Фирмы 1 упадет до 5 млрд. руб. Одновременно снижение цен приведет к тому, что Фирма 2, сделавшая предварительные затраты для выхода на новый для нее рынок, понесет чистые убытки: она потеряет на этом деле 2 млрд. руб. В случае, если Фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, она ничего не выигрывает и не проигрывает (ее прибыль равна 0 млрд. руб.), а Фирма 1 продолжает получать монопольную прибыль в 12 млрд. руб. Если же Фирма 1 вдруг решит в этой ситуации снизить объем своего производства, ее прибыль упадет до 8 млрд. руб.

В принципе сформулированная конечная неантагонистическая игра двух лиц может быть описана следующей матрицей выигрышей (первыми указаны выигрыши Фирмы 1 в млрд. руб.):

Стратегия Фирмы 1
Сохранить объем производства	Снизить объем производства
(5, -2)	(6, 6)
(12, 0)	(8, 0)

Однако заметим, что описанная игра по своим условиям отличается от уже рассмотренных игр. Если ранее мы предполагали, что игроки принимают свои решения одновременно, не зная о решении партнера (что было весьма существенно!), то в данной игре Фирма 1 принимает решение, уже зная о решении, избранном Фирмой 2, в ответ она действия Фирмы 2, и это в корне меняет ситуацию.

Игры подобного типа, где задается последовательность принятия решений игроками, называются позиционными играми; число игроков и шагов в них может равняться 2 (как в нашем примере), 3 и т.д. К позиционным многошаговым играм двух лиц, где игроки принимают решения, зная о всех предыдущих решениях партнера, можно отнести, например, шахматы и шашки.

В силу отмеченных особенностей структуры позиционной игры ее более наглядно представляет не матрица выигрышей, а дерево решений (или, в общем случае, граф решений), приводящее игроков из исходной позиции в конечные. Так, описанную игру Вступление на рынок можно представить следующим деревом, ветви которого соответствуют решениям партнеров, а у каждой из висячих вершин указаны выигрыши игроков (как и ранее, первыми указаны выигрыши Фирмы 1, в млрд. руб.).

Решение Фирмы 2	Решение Фирмы 1	Выигрыши

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сохранить	(5, -2)
Вступить

Размещено на http://www.allbest.ru/

Снизить	(6, 6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сохранить	(12, 0)
Воздержаться

Размещено на http://www.allbest.ru/

Снизить	(8, 0)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение данной работы можно говорить о том, что практические задачи ("Закупка угля" и "Вступление на рынок") были успешно решены при использовании механизма теории игр.

В данной работе были проиллюстрированы практическое применение двух основных стратегий теории игр и сделаны соответствующие рекомендации:

Для задачи "Закупка угля":

1. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано

2. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой (в дополнение, необходимо учитывать какой будет зима: мягкой, средней, холодной)

3. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.

Для задачи "Вступление на рынок":

1. Поставленная задача отличается от первой тем, что она представляет собой пример позиционной игры. (Предполагалось, что игроки принимают свои решения одновременно, не зная о решении партнера. В данной игре Фирма 1 принимает решение, уже зная о решении, избранном Фирмой 2)

2. В силу отмеченных особенностей структуры позиционной игры ее более наглядно представляет не матрица выигрышей, а дерево решений (или, в общем случае, граф решений), приводящее игроков из исходной позиции в конечные.

3. Описанную игру "Вступление на рынок" можно представить деревом, ветви которого соответствуют решениям партнеров, а у каждой из висячих вершин указаны выигрыши игроков.

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тернер Д. Вероятность, статистика, исследование операций: Пер. с англ. - М.: Высш.шк., 1971.

2. Мак Киси Дж. Введение в теорию игр: Пер. с англ. - М.: Физматгиз, 1960.

3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997.

5. Васин А.А., Морозов В.В. Введение в теорию игр с приложениями к экономике. - М., 2003. - 278 с.

6. Крушевский А.В. Теория игр. - Киев, 1977.

7. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. - М.: МЗ Пресс, 2006. - 208 с.

8. Оуэн Г. Теория игр. - М.: Мир, 1971.

9. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М., 1998.

10. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. - М.: Физматгиз, 1960.

11. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. - М.: Физматлит, 1961. - 127 с.

12. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. - М., 1961. - 67 с.Льюс Р., Райффа Х. Игры и решения. М., 1962;

13. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М., 1976;

14. Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970. - 708 с.

15. Смольяков Э.Р. Равновесные модели при несовпадающих интересах участников. - М.: Наука, 1986. - 223 с.

Размещено на Allbest.ru