Статистичний метод аналізу фінансового ризику

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет перепідготовки та підвищення кваліфікації

КОНТРОЛЬНА робота

з дисципліни: «Фінансові ризики на підприємстві»

Статистичний метод аналізу ризику

Статистичний метод полягає у вивченні статистики втрат і прибутку, що мали місце на даному чи аналогічному підприємстві, з метою визначення імовірності події, установлення величини ризику. Імовірність означає можливість одержання певного результату.

Наприклад, імовірність успішного просування нового товару на ринку протягом року становить ³/₄, а неуспіх -- ⁴/₄. Величина ризику вимірюється двома показниками: середнім очікуваним значенням і мінливістю можливого результату. Середнє очікуване значення пов'язане з невизначеністю ситуації. Воно виражається у вигляді середньозваженої величини всіх можливих результатів Е(х), де імовірність кожного результату А використовується як частота чи вага, що відповідає значенням X. У загальному вигляді це можна записати так:

Е(х) = А_іХ_і+А₂Х₂ + ...+ А_nХ_n

Припустимо, що при просуванні нового товару захід А з 200 випадків давав прибуток 20 тис. грн з кожної одиниці товару в 90 випадках (імовірність 90:200=0,45), прибуток 25 тис. грн у 60 випадках (імовірність 60:200=0,30) і прибуток 30 тис. грн у 50 випадках (імовірність 50:200=0,25). Середнє очікуване значення прибутку становитиме:

20,0 x0,45 + 25,0x30 + 30x0,25 = 24 (тис. грн)

Здійснення заходу Б з 200 випадків давало прибуток 19 тис. грн у 85 випадках, прибуток 24 тис. грн -- у 60 випадках, 31 тис. грн -- у 50 випадках. При заході Б середній очікуваний прибуток становитиме:

19,0х(85:200) + 24,0х(60:200) + 31,0х(50:200) =23,0 (тис. грн)

Порівнюючи величини очікуваного прибутку при вкладенні капіталу в заходи А і Б, можна зробити в висновок, що величина одержуваного прибутку при заході А становить 20-30,0 тис. грн, а середня величина -- 24 тис. грн; у заході Б величина одержуваного прибутку становить 19,0-31, 0 тис. грн, а середня -- 23,0 тис. грн.

Середня величина являє собою узагальнену кількісну характеристику і за нею не можна прийняти рішення на користь якого-небудь варіанта вкладення капіталу. Для остаточного рішення необхідно вимірити розмах чи мінливість показників, тобто визначити мінливість можливого результату.

Особливий інтерес становить кількісне оцінювання економічного ризику за допомогою методів математичної статистики. Головні інструменти цього методу оцінювання:

* імовірність появи випадкової величини ();

* математичне очікування (М) чи середнє значення () досліджуваної випадкової величини (наслідків якої-не-будь дії, наприклад доходу, прибутку і т.п.);

* дисперсія ();

* стандартне (середньоквадратичне) відхилення (у);

* коефіцієнт варіації (н);

* розподіл імовірності досліджуваної випадкової величини.

Для прийняття рішення потрібно знати величину (ступінь) ризику, що виміряється двома критеріями:

1) середнє очікуване значення (математичне очікування);

2) коливання (мінливість) можливого результату.

Середнє очікуване значення () -- це середньозважене значення величини події, що пов'язана з невизначеною ситуацією:

де - значення випадкової величини.

Середнє очікуване значення вимірює результат, який ми очікуємо в середньому.

Середня величина () являє собою узагальнену кількісну характеристику і не дозволяє прийняти рішення на користь якого-небудь варіанту вкладення капіталу.

Приклад. Якщо відомо, що при вкладенні капіталу в захід А із 120 випадків прибуток у 12,5 тис. грн був отриманий у 48 випадках (імовірність 0,4), прибуток у 20 тис. грн -- у 42 випадках (імовірність 0,35) і прибуток у 12 тис. грн -- у 30 випадках (імовірність 0,25), то середнє очікуване значення виразиться в 15 тис. грн:

={(12,5 х 0,4) + (20 х 0,35) + (12 х 0,25)}=15 000.

Аналогічно буде знайдено, що при вкладенні капіталу в захід Б середній прибуток становить 20 тис. грн:

{(15 х 0,3)+(20 х 0,5) + (27,5 х 0,2)}=20 000. Порівнюючи дві суми очікуваного прибутку при вкладенні капіталу в заходи А і Б, можна зробити висновок, що при вкладенні в захід А величина одержуваного прибутку становить 12,5-20 тис. грн, а середня -- 15 тис. грн; при вкладенні капіталу в захід Б величина одержуваного прибутку становить 15-27,5 тис. грн, а середня -- 20 тис. грн.

Однак для прийняття рішення необхідно так само виміряти коливання показників, тобто визначити міру мінливості можливого результату.

Коливання можливого результату являє собою міру відхилення очікуваного значення від середньої величини.

Для цього на практиці звичайно застосовують два близько пов'язані критерії: дисперсію і середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія -- середнє зважене з квадратів відхилень дійсних результатів від середніх очікуваних.

Формула для розрахунку дисперсії має вигляд:

,

де х_i - значення, які може приймати випадкова величина в залежності від конкретних умов;

х - середньоочікуване значення випадкової величини;

Р₁, Р₂,…, Р_n - ймовірність можливих значень випадкової величини.

Середньоквадратичне відхилення -- це корінь квадратний з дисперсії. Він є іменованою величиною і вказується в тих самих одиницях, у яких вимірюється; ознака, що варіює:

Дисперсія і середньоквадратичне відхилення служать мірами абсолютного коливання і вимірюються в тих же фізичних одиницях, у яких вимірюється ознака, що варіює. Для аналізу звичайно використовується коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації являє собою відношення середньоквадратичного відхилення до середньої арифметичної і показує міру відхилення отриманих знань:

Коефіцієнт варіації -- відносна величина. Тому на його розмір не впливають абсолютні значення досліджуваного показника.

За допомогою коефіцієнта варіації можна порівнювати навіть коливання ознак, виражених у різних одиницях виміру. Коефіцієнт варіації може змінюватися від 0 до 100%. Чим більший коефіцієнт, тим сильніше коливання.

В економічній статистиці встановлена така оцінка різних значень коефіцієнта варіації:

до 10% -- слабке коливання;

до 10-25% -- помірне;

понад 25% -- високе.

Відповідно, чим вище коливання, тим більший ризик.

Приклад. Для наочності розглянемо задачу: "Оцінка ризику за господарськими контрактами".

Підприємству необхідно оцінити ризик того, що покупець оплатить товар вчасно при укладанні договору про постачання продукції. Вихідні дані для аналізу зведені в табл. 1, при цьому угоди з даним партнером укладались протягом 10 місяців.

Таблиця 1 Вихідні дані

Визначити термін оплати рахунка в аналізованому місяці. Насамперед визначимо середньозважений термін оплати рахунка за формулою

,

де R -- середньозважений термін оплати; Ri -- термін оплати за місяцями; Рі -- імовірність настання г-того значення.

Р_і визначаються за формулою:

,

де К_i -- кількість значень ознаки, що повторилися; п -- загальна кількість подій (табл. 2).

Таблиця 2. Імовірність настання і-того значення

Підставляючи вихідні дані і підраховані імовірності у формулу R = Rі· Р_і , визначаємо середньозважений термін оплати рахунка. Ризикованість даної угоди визначається за допомогою стандартного відхилення, тобто можливе відхилення як у гірший, так і в кращий бік очікуваного значення показника, що розраховується, від його середнього значення. Чим більша величина стандартного відхилення, тим більший розкид можливого результату, ' тим вищий підприємницький ризик у даній угоді:

де D -- дисперсія.

Потім знайдемо а -- середньоквадратичне відхилення як корінь квадратний з дисперсії. Підставивши в дані формули значення змінних, обчислимо, що:

D_A= 499, у_А= 22,3 дня; D_B= 247,7, у_в= 15,7 дня.

З розрахованих значень стандартних відхилень можна зробити висновок, що укладення угод з фірмою В менш ризиковане, оскільки й середній термін оплати, і розкид результату для цієї фірми менші.

У випадку, якщо необхідно порівняти два варіанти угоди з різними очікуваними результатами і різним ризиком, особливий інтерес становить показник, який називається коефіцієнтом варіації:

г = у/R ,

де = 68,4 = 68 днів;

= 52,7 = 53 днів;

г -- коефіцієнт варіації; у -- стандартне відхилення; R-- очікуваний результат.

Одержаний показник дає характеристику ризику на одиницю очікуваного результату. Завдяки порівнянню коефіцієнтів варіації двох проектів, вибирається проект із найменшим коефіцієнтом.

У нашому прикладі г_А = 0,326, а г_в = 0,298. У даному випадку видно, що укладення угоди з фірмою В менш ризиковане. Перевага статистичного методу -- простота математичних розрахунків,.а явний недолік -- необхідність великої кількості вихідних даних, оскільки чим більший масив вихідних даних, тим точніший розрахунок.

За допомогою статистичного методу оцінки ризику можна оцінити не тільки ризик конкретної угоди, а й підприємства в цілому за певний проміжок часу. Доведемо це на прикладі.

Приклад. Підприємство "Отар" -- невеликий виробник різних продуктів із сиру. Один із продуктів -- сирна паста -- поставляється в країни ближнього зарубіжжя. Генеральний директор повинен вирішити, скільки ящиків сирної пасти слід виробляти протягом місяця. Імовірності того, що попит на сирну пасту протягом місяця буде 6, 7, 8 чи 9 ящиків, рівні відповідно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Витрати на виробництво одного ящика дорівнюють 45 дол. Компанія продає кожен ящик за ціною 95 дол. Якщо ящик із сирною пастою не продається протягом місяця, то вона псується і компанія не одержує доходу. Скільки ящиків треба робити протягом місяця?

Розв'язання. Користуючись вихідними даними, будуємо матрицю гри. Стратегіями гравця 1 (компанія "Смачний сир") є різні показники числа ящиків із сирною пастою, які йому, можливо, варто виробляти. Природно виступають величини попиту на аналогічне число ящиків.

Обчислимо, наприклад, показник прибутку, який одержить виробник, якщо він зробить 8 ящиків, а попит буде тільки на 7. Кожен ящик продається по 95 дол. Компанія продала 7, а виробила 8 ящиків. Отже, виторг дорівнюватиме 7 х 95, а витрати виробництва 8 ящиків дорівнюватимуть 8 х 45. Разом прибуток від зазначеного поєднання попиту та пропозиції дорівнюватиме: (7х95)-(8х45)=305 дол. Аналогічно проводяться розрахунки при інших поєднаннях попиту та пропозиції.

У підсумку одержимо таку платіжну матрицю в грі з природою. Як бачимо, найбільший середній очікуваний прибуток дорівнює 352,5 дол. Він відповідає виробництву 8 ящиків.

На практиці найчастіше в подібних випадках рішення приймаються, виходячи з критерію максимізації середнього очікуваного прибутку чи мінімізації очікуваних витрат. Дотримуючись такого підходу, можна зупинитися на рекомендації виробляти 8 ящиків, і для більшості ОПР рекомендація була б обґрунтованою.

Однак, залучаючи додаткову інформацію у формі розрахунку середньоквадратичного відхилення як індексу ризику, ми можемо уточнити прийняте на основі максимуму прибутку чи мінімуму витрат рішення.

Згадаємо необхідні для наших досліджень формули теорії ймовірностей:

дисперсія випадкової величини:

середньоквадратичне відхилення:

де D і - відповідно символи дисперсії математичного очікування.

Проводячи відповідні обчислення для випадків виробництва 6, 7, 8 і 9 ящиків, одержуємо:

6 ящиків

D(x) = (300 - 300)² (0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,1) = 0;

у = 0;

г = у /R = 0.

7 ящиків

D(x)= 0,1х(255 - 340,5)² + (0,3 + 0,5 + 0,1) х (350 - 340,5)² = = 812,5;

у = = 28,5;

у = у / R = 28,5/340,5 = 0,08.

8 ящиків

D(x)=0,1 х (210 - 352,5)²+ 0,3 х (305 - 352,5)² + (0,1 + 0,5) х (305- 352,5)²= 4061,25;

у = = 63,73;

у = у / R = 63,73/352,5 = 0,18.

9 ящиків

D(x)= 0,1 х (165 - 317)² + 0,3 х (360 - 317)² + 0,5 х (355 - 317)² + 0,1 х (450 - 317)² = 5776;

у = = 76;

у = у / R = 76/317=0,24.

З представлених результатів розрахунків з урахуванням отриманих показників ризиків -- середньоквадратичних відхилень -- очевидно, що виробляти 9 ящиків за будь-яких обставинах недоцільно, тому що середній очікуваний прибуток дорівнює 317 -- менше, ніж для 8 ящиків (352,5), а середньоквадратичне відхилення (76) для 9 ящиків більше аналогічного показника для 8 ящиків (63,73).

А от чи доцільне виробництво 8 ящиків порівняно з 7 і 6 -- не очевидно, тому що ризик при виробництві 8 ящиків (у = 63,73) більший, ніж при виробництві 7 ящиків (у = 28,5) і тим більше 6 ящиків, де у = 0. Вся інформація з урахуванням очікуваних прибутків і ризиків у наявності. Рішення повинен приймати генеральний директор компанії з урахуванням свого досвіду, схильності до ризику і ступеня вірогідності показників ймовірностей попиту: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Автори, з огляду на всі приведені числові характеристики випадкової величини -- прибутку, схиляються до рекомендації виробляти 7 ящиків (не 8, що випливає з максимізації прибутку без урахування ризику!). Пропонується зробити свій вибір.

Найбільше поширена точка зору, згідно з якою мірою ризику певного комерційного (фінансового) рішення чи операції слід вважати середньоквадратичне відхилення (позитивний квадратний корінь з дисперсії) значення показника ефективності цього рішення чи операції.

Дійсно, оскільки ризик обумовлений недетермінованістю результату рішення (операції), то чим менший розкид (дисперсія) результату рішення, тим більше він передбачуваний, тобто менший ризик. Якщо варіація (дисперсія) результату дорівнює нулю, то ризик повністю відсутній.

Наприклад, в умовах стабільної економіки операції з державними цінними паперами вважаються безризиковими. Найчастіше показником ефективності фінансового рішення (операції) є прибуток.

Розглянемо як ілюстрацію вибір певною особою одного з двох варіантів інвестицій в умовах ризику. Припустимо, є два проекти А і В, у які зазначена особа може вкласти кошти. Проект А у визначений момент у майбутньому забезпечує випадкову величину прибутку. Припустимо, що її середнєочікуване значення (математичне очікування), дорівнює з дисперсією . Для проекту В ці числові характеристики прибутку як випадкової величини передбачаються рівними відповідно з дисперсією. Середньоквадратичні відхилення дорівнюють відповідно і . Можливі такі випадки:

а)=, <, слід обрати проект А;

b) >, <, слід обрати проект А;

с) >, = , слід обрати проект А;

d) >, >, слід обрати проект A;

е) <, <, слід обрати проект А.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи В залежить від ставлення до ризику особи, що приймає рішення (ОПР). Зокрема, у випадку d проект А забезпечує вищий середній прибуток, однак він і більш ризикований. Вибір при цьому визначається тим, якою додатковою величиною середнього прибутку компенсується для ОПР задане збільшення ризику. У випадку для проекту А ризик менший, але й очікуваний прибуток менший.

Приклад. Розглянемо два варіанти виробництва нових товарів. З огляду на невизначеність ситуації з реалізацією товарів, керівництво проаналізувало можливі доходи від реалізації проектів у різних ситуаціях (песимістична, найбільш імовірна, оптимістична), а також імовірність настання зазначених ситуацій.

Результати аналізу, що є вихідними даними для розв'язання задачі, подані в табл. 3.

Таблиця 3. Вихідні дані

Зауважимо, що у випадку оптимістичної ситуації проект Б забезпечить 600 одиниць доходу. При цьому імовірність її настання 0,25. Проект А забезпечить 500 одиниць доходу з імовірністю 0,20, тобто при орієнтації на максимальний результат проект Б є кращим. З іншого боку, у випадку песимістичної ситуації проект Б забезпечить 80 одиниць доходу з імовірністю її настання 0,25, а проект А -- 100 одиниць з імовірністю настання 0,20. Тобто при настанні песимістичної ситуації кращим є проект А. Неважко переконається, що Х_A = Х_B = 320, тому що

Х_А = 100 х 0,2 + 333,3 х 0,6 + 500 х 0,2 = 320

Х_B = 80 х 0,25 + 300 х 0,5 + 600 х 0,25 = 320

Середньоквадратичне відхилення у_A = 127, у_в= 185. Таким чином, при однакових середніх очікуваних доходах коливання можливого результату в проекті Б більше, тобто ризик проекту А нижчий, ніж проекту Б.

Однак статистичним методом неможливо користуватися, якщо досліджуваний об'єкт -- нове недавно зареєстроване підприємство. Відзначимо, що дисперсія сигналізує про наявність ризику, але при цьому приховує напрям відхилення від очікуваного значення. Підприємцю часто потрібно, знати, що найбільш імовірно: втрати чи прибуток у результаті здійснення угоди.

Задача

1. Провести розрахунки показників ефективності: чистий дисконтований прибуток, індекс прибутковості, строк окупності проекту, внутрішня норма рентабельності для трьох проектів.

2. Проаналізувати отримані показники порівняно з нормативним рівнем і провести обґрунтований вибір проекту для реалізації компанією.

Вихідні дані

Інвестиційна компанія отримала для розгляду бізнес плани чотирьох проектів, що стосуються різних галузей народного господарства. Показники, що характеризують ці проекти, наведені в таблиці.

Визначити, який проект (або проекти) є найбільш привабливими та найменш ризикованими за допомогою наступних показників ефективності:

1) чистий дисконтований прибуток (ЧДП);

2) індекс прибутковості (ИД);

3) строк окупності проекту (ПО);

4) внутрішня норма рентабельності (ВНД)

Таблиця 1 Інвестиційні проекти, що пропонуються

Показники	Інвестиційні проекти
	А	В	Р
Обсяг інвестованих коштів, тис. дол. США	7000	7200	7000
Період експлуатації інвестиційного проекту, років (n)	3	2	2
Сума грошового потоку, тис.дол. США (ДПб) в т.ч. 1-й рік 2-й рік 3-й рік	10000 4000 4000 2000	9000 7000 2000	11000 4000 7000
Ставка дисконту, % (С)	10	9	15

Проект А

Теперішня вартість інвестиційних коштів:

Теперішня вартість грошових потоків:

8445 тис.дол.

Проект В

Проект Р



1) Чистий дисконтований прибуток

ЧПД = -

Проект А: ЧПД = 8445-7000=1445 тис.дол. ЧПД >0, проект ефективний

Проект В: ЧПД = 8105-7200= 905 тис.дол. ЧПД >0, проект ефективний

Проект Р: ЧПД = 8771 - 7000 = 1771 тис.дол. ЧПД >0, проект ефективний

2) Індекс прибутковості

ИД =

Проект А: ИД= ИД >1, проект ефективний

Проект В: ИД= ИД >1, проект ефективний

Проект Р: ИД= ИД >1, проект ефективний

3) Період окупності

ПО =

Прийнятним значенням ПО вважається період менший за період реалізації

проекту (ПО < n)

Проект А: ПО = < n , n=3

Проект В: ПО = < n , n=2

Проект Р: ПО = < n , n=2

4) Внутрішня норма прибутковості (ВНД)

, тобто - = 0

Проект А: ВНД = 0,25 або 25%, ВНД > q

Проект В: ВНД = 0,2 або 20% ВНД > q

Проект Р: ВНД = 0,325 або 32,5% ВНД > q

Таблиця 2 Показники ефективності проектів

Показники	Проекти
	А	В	Р
1. ЧПД, дол.США	1445	905	1771
2. ИД	1,2	1,13	1,25
3. ПО, років	2,5	1,78	1,6
4. ВНД (%)	25	20	32,5
5. q (ставка дисконту),%	10	9	15

Всі три проекти є ефективними. Найбільш привабливим та найменш ризикованим серед них є проект Р, тому що :

1) надходження від реалізації проекту в 1,25 разів перевищують капіталовкладення, а це найбільший показник серед розглянутих проектів;

2) період окупності проекту складає 1,6 років, що є найшвидшим серед інших показників, а отже цей проект є найменш ризикованим;

3) значення ВНД більш ніж в 2 рази перевищує ставку дисконту.

Використана література

1. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Шарапов О.Д. Економічний ризик і методи його вимірювання: Підручник для студ. екон. спец. -- К.:КНЕУ, 2006. -- 398с.

2. Донець Л.І. Економічні ризики та методи їх вимірювання: Навчальний посібник. - К.:Центр навчальної літератури, 2006. - 312с.

3. Економічний аналіз: Навч. посібник / М.А. Болюх, В.З. Бурчевський, М.І. Горбатюк. За ред. академіка НАН України, проф. М.Г. Чумаченька. - К.: КНЕУ, 2005. - 540 с.

4. Івахненко В.М. Курс економічного аналізу: Навч. посіб. - К.: Знання-Прес, 2005. - 207 с.

5. Івченко І.Ю. Економічні ризики: Навчальний посібник. - К.: Центр навчальної літератури, 2004. - 304 с.

6. Марченко О.І. Економічний аналіз: Навчальний посібник. - Вінниця: ВДТУ, 2005. - Ч. 1. - 115 с.