Застосування нарисної геометрії у геодезії

Нехай до бровки нахиленої ділянки дороги /пряма AD / треба провести площину земляного укоса г з нахилом і = 1:2 /рис. 3.22 та 3.23/.

Шукана площина заданого спаду, що проходить через задану пряму, є дотичною до поверхні прямою кругового конуса, твірні якого мають нахил, рівний спаду площини, а вершина конуса збігається з однією із точок, що лежать на прямій. Васота конуса перпендикулярна до основної площини, горизонталі конуса - кола, площини яких паралельні до основної площини.

Побудова площини земляного укоса г до прямолінійної бровки AD на наочному зображенні показана на рис. 3.22. Площина г , що проходить через прямолінійну бровку AD , дотикається до прямого кругового конуса з вершиною в точці А , твірні якого мають нахил і = 1:2 до горизонтальної площини р₁ , а висота дорівнює З м /підйом відрізка AD прямої, у якого числові відмітки точок А та D відповідно дорівнюють 4 та 1 м/. При спаді і = 1:2 даної площини г її інтервал l = 1/і = 2 м, тому горизонталі конуса, числові відмітки яких відрізняються на 1м, мають радіуси, які дорівнюють l = 2 м, 2l =4м, 3l = 6 м. Горизонталі площини земляного укоса г-В₃, C₂, D₁ визначаються як прямі, проведені iз точок В, С та D) , прямої АО, яка попередньо градуються, дотично до відповідних горизонталей конуса з числовими відмітками 3, 2 та 1м. Лінія дотику А₁ площини г з прямим конусом в лінією найбільшого скату площини земляного укоса г, а градуйована інтервалами l проекція А41 цієї лінії - масштабом спаду г_і площини г.

Розв'язання цієї задачі показано на плані /див.рис. 3.23/. Послідовність побудов:

1/ градуюємо пряму AD. Зазначаємо точки В та С , які мають числові відмітки 3 та 2 /точки А та D мають задані числові відмітки 4 та 1/;

2/ із точки А₄ як із центра проводимо кола радіусами R₁ = l, R₂ = 2l, R₃ = 3l, які є горизонталями конуса з числовими відмітками відповідно 3, 2 та 1;

З/ дотично до горизонталей конуса з числовими відмітками 3, 2 та 1 проводимо паралельні між собою горизонталі площини земляного укоса - В₃₃, C₂₂, D₁₁;

4/ перпендикулярно до горизонталей укоса проводимо проекцію ЛНС площини укоса, градуйовану, інтервалами l, яка являє собою масштаб спаду г_і площина укоса г.

Відзначимо, що інтервал площини не може бути більший за інтервал прямої, що лежать у цій площині. Якщо інтервали площини та прямої, що лежить у площині, рівні, то ця пряма є лінією найбільшого скату площина.

На рис. 3.22 та 3.23 показано побудову однієї із двох можливих площин із спадом і = 1:2, які проходять через пряму AD. Друга площина буде симетрична побудованій площині відносно площини симетрії, що проходить через пряму AD перпендикулярно до основної площини. Щоб задача мала єдиний розв'язок, вказують напрям нахилу площини у вигляді стрілочки /напрям скату/ із зазначенням спаду площини /див. рис. 3.23/.

3.3 Градуювання площини

Із усіх прямих, що лежать у площині, в проекціях з числовими відмітками найбільш часто застосовуються горизонталі. Тому основною задачею в проекціях з числовими відмітками є задача на відшукування горизонталей заданої площини, наприклад горизонталей укосів каналів, гребель та інших споруджень.

Проведення горизонталей площини, числові відмітки яких цілі послідовні числа, називається градуюванням площини.

Розглянемо найбільш поширені випадки градуювання площин.

1. При заданні площини масштабом спаду горизонталі проводять перпендикулярно до масштабу спаду площини через інтервальні ділення.

2. Якщо площина задана геометричними елементами, то необхідно знайти точки, що мають однакові цілочисельні відмітки, через які можуть бути проведені горизонталі.

Наприклад, проградуюємо площину щ , задану на плані /рис. 3.24/ двома прямими А_2,2 В_6,4 та В_6,4 С_4,5 , що перетинаються. Для цього:

1/ градуюємо прямі способом пропорціонального ділення;

2/ сполучаємо прямими лініями точки, що мають однакові цілочисельні відмітки. Ці прямі є горизонталями площини;

3/ проводимо пряму, перпендикулярну до горизонталей площини. Ця градуйована пряма є масштабом спаду щ_і площини щ , заданої двома прямими, що перетинаються.

Розглянемо градуювання площин, заданих горизонталлю та спадом площини, наприклад земляних укосів, бровка або підошва яких прямолінійна і горизонтальна.

3. Якщо площина земляного укоса задана прямолінійною горизонтальною бровкою або підошвою і спадом площини, то необхідно провести проекцію лінії найбільшого скату площини перпендикулярно до бровки або підошви укоса, а потім проградуювати її, враховуючи, що інтервал l = 1/і . Горизонталі площини з цілочисельними відмітками проводимо перпендикулярно до масштабу спаду площини через інтервальні ділення, причому горизонталі площини укосів будуть паралельна прямолінійній горизонтальній бровці або підошві укоса.

Розглянемо такі приклади. Нехай площина земляного укоса щ на плані /рис. 3.25/ задана бровкою, що є горизонталлю 7.0 і спадом площини укоса і = 1:2. Щоб проградуювали площину укоса, проводимо перпендикулярно до бровки укоса проекцію лінії найбільшого скату і градуюємо її. У побудованому масштабі спаду щ_і площини щ точки, що мають цілочисельні відмітки, знаходяться одна від одної на відстані, яка дорівнює інтервалу площини l = 1/i = 2 м. Через ці точки проводимо горизонталі площини перпендикулярно до масштабу спаду щ_і, які будуть паралельні бровці 7.0 укоса.

Нехай ллощана укоса насипу, що примикає до гребня греблі, задана прямолінійною горизонтальною бровкою, яка має дробову числову відмітку 49.4, і спадом площина укоса і = 1:1,5 /рис. 3.26/. Щоб проградуювати площину укоса, проводимо проекцію лінії найбільшого окату перпендикулярно до бровка. Знайдемо на ній точку з числовою відміткою 49,0. Проекція цієї точки віддалена від бровки укоса на відстань х , яка визначається за формулою /2.3/: х = hl = /49.4 - 49.0/ 1,5 = 0,6 м.

Точки, що мають послідовні цілочасельні відмітки 48.0, 47.0 і інші, знаходяться одна від одної на відстані, яка дорівнює інтервалу площини l = 1/i = 1.5 м. Через одержані точки проводимо горизонталі укоса насипу паралельно бровці укоса.

Розглянемо градуювання площини, заданої прямою загального положення, та спадом площини, наприклад земляних укосів, бровка та підошва яких прямолінійна і нахилена до основної площини.

4. Якщо площина земляного укоса задане прямолінійною бровкою або підошвою ї величиною спаду площини, то така площина є дотичного до поверхні прямих кругових конусів, твірні яких мають нахил, рівний спаду площини, а вершини знаходяться на бровці або підошві укоса. Горизонталі площини укоса, що мають послідовні цілочисельні відмітки, - це прямі, дотичні до кіл, які є горизонталями конусів і мають визначені рівні між собою цілочисельні відмітки.

Проградуюємо площину земляного укоса г, бровка якого -прямолінійна нахилена пряма AB , а спад площини укоса і = 1:2 /рис. 3.27, 3.28/.

Виконаємо побудови на наочному зображенні /див. рис. 3.27/. Нехай точки А та В прямолінійної нахиленої бровки мають цілочисельні відмітки 1 та 2. Побудуємо два прямих кругових конуса з вершинами S¹ та S² у точках А та В, висотою відповідно 1 та 2 одиниці масштабу, твірні яких мають спад і = 1:2. Кола основ цих конусів лежать в основній площині р₀ і є горизонталями конуса, точки яких мають нульові числові відмітки. Кожна точка горизонталі конуса з вершиною S' віддалена від S₁ на величану інтервала площини l = 2 одиницям масштабу і її числова відмітка відрізняється від відмітки вершини S' конуса на одну одиницю: вершина S' має числову відмітку, що дорівнює одиниці, а кожна точка горизонталі конуса - відмітку, що дорівнює нулю. Кожна точка горизонталі конуса з вершиною S² , що лежить в основній площині, віддалена від S₂ на величину 2l = 4 одиницям масштабу і її числова відмітка відрізняється від відмітки вершини S² конуса на дві одиниці: вершина S² має числову відмітку 2, а кожна точка горизонталі конуса - відмітку 0.

В прямому круговому конусі з вершиною S² проведемо горизонталь конуса з числовою відміткою, що дорівнює одиниці. Для цього від точки по висоті конуса відкладаємо відрізок ВВ₁ , рівний одиниці масштабу, і проводимо коло радіусом, що дорівнює інтервалу l площини укоса. Це коло і буде горизонталлю конуса, всі точки якої мають числову відмітку, то дорівнює одиниці, яка відрізняється від відмітки вершини S² на одну одиницю.

Горизонталь площини укоса з нульовою числовою відміткою визначається як пряма, дотична до відповідних горизонталей конуса, а горизонталь з відміткою 1 - як пряма, що проведена з точки А прямолінійної бровки дотично до горизонталі конуса з вершиною S², яка має числову відмітку, що дорівнює одиниці.

Лінії дотику AВ , BL площини земляного укоса г із конусами з вершинами S¹ та S² є лініями найбільшого скату площини, перпендикулярними до горизонталей площини укоса.

Для одержання формули по обчисленню радіусів горизонталей конусів розглянемо два подібних трикутника /рис. 3.27/: ?ВВ₂L та ?ВВ₁К. На основі подібності трикутників запишемо ВВ₂/В₂L = BB₁/B₁K.

Позначимо відрізки BB₂ ,B₂L, ВВ₁, B₁K відповідно h, R, 1 , l. Підставляюча нові позначення величин в останнє співвідношення, маємо h/R = 1/l, звідки радіуси R горизонталей конуса із заданими числовими відмітками визначаємо за формулою; R = hl, /3.2/

де h - підйом між відомою числовою відміткою площини, в яку уcтановлена вершина прямого кругового конуса, твірні якого мають нахил, рівний спаду площини, і числовою відміткою рівня, на якому провадиться горизонталь площини; l - інтервал площини.

Розв'язування даної задачі на плані показано на рис. 3.28. Спочатку знаходимо точки прямої, що мають цілочисельні відмітки. В даному випадку де точки А та В , які мають числові відмітки відповідно 1 та 2 м. Потім виконуємо побудову в такій послідовності :

1. Будуємо горизонталі конуса, які мають нульову відмітку. Для цього з точок А₁ та В₂ /рис. 3.28/ як із центрів проводимо дуги кіл радіусами згідно з /3.2/: R₁ =hl = (1-0) l = l = 2м, R₃ = hl = (2-0) l = 2l = 2*2 = 4м. Ці дуги кіл радіусів R1 та R3 визначають горизонталі конусів з вершинами S¹ та S², які мають нульову відмітку /див. рис. 3.27/

2. Проводимо прямолінійну дотичну до горизонталей конусів з нульовою відміткою, яка буде горизонталлю площини укоса г з нульовою відміткою.

3. Дня того щоб провести горизонталь площини укоса з числовою відміткою 1 м, спочатку із точка В₂ проводимо дугу горизонталі конуса радіусом R₂ = hl = (2-1) l = 2м , застосовуючи формулу /3.2/.

4. Із точка А₁ з числовою відміткою 1 м проводимо прямолінійну дотичну до горизонталі конуса радіусу R₂, яка є горизонталлю площини укоса г з числовою відміткою 1 м.

5. Проводимо масштаб спаду площини г_і перпендикулярно до горизонталей площини укоса з числовими відмітками 1 та 0.

у розглянутих прикладах не градуювання площини земляного укоса, заданої прямолінійною нахиленою бровкою і спадом площини /рис. 3.27 і 3.28/, а також на проведення площини укоса заданого спаду через прямолінійну нахилену бровку /див. рис. 3.22 ї 3.23/ використовувались горизонталі прямого кругового конуса як допоміжні лінії при побудові горизонталей укосів.

З цих прикладів випливають такі висновки:

1. Горизонталями пряного кругового конуса і їх проекціями є концентричні кола.

2. Радіуси суміжних горизонталей, різниця числових відміток яких дорівнює одиниці, відрізняються на один інтервал твірної конуса, який дорівнює інтервалу площини, дотичної до прямого кругового конуса.

3. Різниця числових відміток горизонталі конуса і його вершини дорівнює кількості інтервалів, що містяться в радіусі цієї горизонталі: якщо довжина радіуса горизонталі конуса дорівнює двом інтервалам, то числова відмітка горизонталі конуса на дві одиниці більша /або менша/ відміткам вершка конуса.

Розглянемо ще один, поширений в практиці приклад на використання горизонталей конусів як допоміжних ліній. Побудуємо горизонталі укосів насипу нахиленого в'їзду на греблю, якщо спад в'їзду і = 1:5, а спад укосів насипу і_н = 1:1,5 /рас. 3.29/. Для цього:

1/ градуюємо площину нахиленого в'їзду. Спочатку градуюємо нижню бровку в'їзду, враховуючи, що відстань між точками бровки, що мають послідовні цілочисельні відмітки дорівнює інтервалу площини в'їзду: l = 1/і = 5 м. Відмітки 60, 59, 58 та 57 переносимо на верхню бровку в'їзду. Оскільки бровки в'їзду являють собою проекції ліній найбільшого скату площинив'їзду, то із точок нижньої бровки з відмітками 60, 59, 58 та 57 проводимо прямі, перпендикулярні до бровки /ці прямі є горизонталями площини в'їзду/, які перетинають верхню бровку у точках, що мають відпоаїдні числові відмітки 60, 59, 58 та 57.

Таким чином, виконано градуювання площини нахиленого в'їзду проведено в ньому горизонталі з числовими відмітками 60, 59, 58 та 57;

2/ градуюємо нижній укіс насипу. У будь-яку точку нижньої бровки, наприклад з відміткою 60, розмістимо вершину прямого кругового конуса і з неї як із центра описуємо дугу кола, щo є допоміжною горизонталлю конуса, радіусом, рівним інтервалу укоса насипу: l = 1/i = 1,5 м. Відмітка цієї горизонталі конуса буде на одиницю менша від числової відмітки вершини і становитиме 59 м;

З/ проводимо ряд дуг кіл, які є також допоміжними горизонталями конуса, радіусами, рівними 2l_H, 3l_H , i одержимо горизонталі конуса з числовими відмітками 58, 57 м;

4/ дотично до горизонталей конуса з відмітками 59, 58, 57 м iз точок бровки з відповідними числовими відмітками проводимо горизонталі нижнього укоса насипу;

5/ перпендикулярно до горизонталей нижнього укоса проводимо масштаб спаду площини.

Задачу можна спростити, як це показано для верхнього укоса. Досить провести одну допоміжну горизонталь конуса з відміткою 59 м і дотично до неї а точки верхньої бровка з відміткою 59 м - горизонталь укоса, яка має числову відмітку 59 м. Усі наступні горизонталі з цілочисельними відмітками проводять паралельно горизонталі з відміткою 59 м, причому відстань між горизонталями дорівнює інтервалу укоса l_H = 1,5 м.

3.4 Визначення площ укосів

Для того щоб визначити площу укосів насипу та виїмки, необхідно знайти натуральну величину відсіку площини укоса, що можна здійснити методом обертання відсіку площини укоса навколо горизонталі.

Наприклад, необхідно визначити площу правого укоса насипу AВCD, що примикає до горизонтального майданчика а відміткою 40,0 м /рис. 3.30/. Спочатку визначимо натуральну величину відсіка площини укоса, який є трапецією AВCD. Для цього площину укоса необхідно сумістити з однією з горизонтальних площин рівня. Оскільки укіс АВСD являє собою трапецію, в якій основи AB та CD є горизонталями з числовими відмітками відповідно 40 та 35 м, площину укоса слід сумістити з горизонтальними площинами рівня, що мають числові відмітки 40 та 35 м. Сумістимо площину укоса з горизонтальною площиною з відміткою 35 м. Позначимо цю площину р₃₅ . Обертання площини укоса будемо здійснювати навколо горизонталі CD з відміткою 35 м.

Для побудови натуральної величини площини укоса сумістимо з р₃₅ точки А та В укоса. Визначимо радіуси обертання точок А та В. Для цього на плані з точок А₄₀ та В₄₀ проводимо прямі, перендикулярні до С₃₅ D₃₅, точка перетину яких з C₃₅ D₃₅ позначимо К та L. . Точки K та L є центрами обертання точок A та B , а A₄₀K та B₄₀L - проекціями радіусів обертання, які у даному прикладі рівні між собою (A₄₀K = B₄₀L) і є лініями найбільшого скату площини правого укоса.

Проекції точок А та В на плані при обертанні навколо CD будуть переміщуватись по прямих А₄₀К та В₄₀L та їх продовженнях. При суміщенні площини укоса з р₃₅ радіуса обертання АК та ВL проецюються на р₃₅ у натуральну величину. Тому знайдемо натуральну величину радіусів АК та BL. На рас. 3.30 натуральні

величини радіусів АК та BL визначені способом прямокутного трикутника: А'К та В'L - натуральні величина радіусів обертання АК та ВL.

Із точок К та L як із центрів радіусам А'К та В'L проводимо дугу кола до перетину з продовженням прямих А₄₀К та В₄₀L одержуємо точки А та В, які є проекціями суміщенних з р₃₅ точок А та В і мають числові відмітки 35 м. Після суміщення всі точки вершин трапеції AВCD площини укоса мають однакові числові відмітки, що дорівнюють 35 м. Отже, сполучивши точки А та В між собою, точку А - з D₃₅, а В - з С₃₅, одержимо натуральну величину площини укоса, що дорівнює трапеції АВСD/рис. 3.30/. Це дає змогу визначити і площу укоса.

Площі укосів насипу та виїмки можна визначити планіметром, палеткою або графічним методом - шляхом розбивання їх на найпростіші геометричні фігури.

Розділ 4. Взаємне положення двох площин, прямої та площини

4.1 Взаємне положення двох площин

Дві площини у просторі можуть бути: паралельними; збігатися; перетинатися.

Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини. В проекціях з числовими відмітками найбільш зручно застосовувати горизонталі та ЛНС як прямі площини, що перетинаються. На рис. 4.1. земляні укоси задані на плані прямолінійними горизонтальними бровками 7.0 та 9.0 і лініями найбільшого скату k, l , які мають нахили i = 1:2. Задані укоси паралельні, тому що горизонталі і лінії найбільшого скату k та l паралельні / k//l, оскільки напрями їх горизонтальних проекцій паралельні, а нахили і напрями скату однакові/.

Із викладеного випливає, що для визначення паралельності двох площин необхідно в них провести горизонталі, і якщо вони будуть паралельні, то при однакових величинах спаду ї напрямах скату задані площини будуть паралельні.

Наприклад, необхідно визначити паралельність площин двох земляних укосів, заданих на плані /рис. 4.2/ прямолінійними нахиленими бровками А₂₀ В₂₂ , С₂₅, D₂₈ і величинами спаду, які, як і напрями скату, однакові для обох площин. Для цього проводимо у площині укосів горизонталі, причому вони монуть мати різні числові відмітки. В одному укосі з точки В₂₂ як із центра проводимо горизонталь конуса радіусом, що дорівнює двом інтервалам / l = 2 м/ і дотично до неї проводимо з точки А₂₀ пряму, яка буде горизонталлю 20 площини укооа з відміткою 20. У другому укосі проводимо горизонталь 25.

Укоси, показані на рис. 4.2, паралельні, тому що виконуються три умови паралельності площин:

1/ горизонталі площин паралельні;

2/ величини спаду площин /їх інтервалів або кутів нахилу/ однакові;

3/ напрями скату площин однакові.

Якщо площини задані масштабами спаду, то у взаємно паралельних площин:

1/ масштаби спаду паралельні;

2/ інтервали масштабів спаду дорівнюють один одному; 3/ числові відмітки масштабів спаду зростають або зменшуються в одному і тому ж напрямку.

На рис. 4.3 площини г та щ , задані масштабами спаду, паралельні, оскільки виконуються всі три вимоги паралельності площини. Відзначимо, якщо умови паралельності двох площин виконуються, але крім цього, встановлено, що хоча б одна пара горизонталей площин з однаковими числовими відмітками збігається, то такі площини збігаються одна з одною. Якщо хоча б одна із умов паралельності площин не виконується, то такі площини перетинаються.

Знаходження лінії перетину двох площин мав велике значення при проектуванні земляних споруджень.

Побудова ліній перетину двох площин у проекціях з числовими відмітками грунтується, як і в розділі ортогональних проекцій, на способі допоміжних січних, площин. Зручно застосовувати горизонтальні допоміжні січні площини, що перетинають задані по горизонталях. Отже, задача на побудову лінії перетину двох площин зводиться до знаходження точок перетину горизонталей площин з однаковими числовими відмітками.

Для побудова лінії перетину двох площин /рис. 4.4/ проводимо горизонтальну допоміжну січну площину р₂₀, яка має числову відмітку 20. Площина р₂₀ перетинає площину б та в по горизонталям 20. Горизонталі 20 площин б та ? лежать в одній площині і тому перетинаються у точці К, яка належить лінії перетину площин б та в.

Оскільки лінією перетину двох площин є пряма, що визначається двома точками, тo для побудови другої точки, яка належить лінії перетину, проводимо другу горизонтальну допоміжну січну площину р₁₈ з відміткою 18. Друга точка L лінії перетину визначиться як точка перетину горизонталей 18 площин б та ? , по яких площина р₁₈ перетинає площини б та в. Пряма, що проходить через точки К та L , є шуканою лінією перетину площин б та ? .

На практиці при побудові лінії перетину двох площин на плані допоміжні січні площини без потреби не проводять, а для визначення точок, що належать лінії перетину, застосовують горизонталі площин, які мають однакові числові відмітки, оскільки будь-які дві горизонталі з однаковими відмітками, не паралельні одна одній, перетинаються. Тому лінія перетину в проекціях з числовими відмітками визначається як пряма, що проходить через точки перетину двох будь-яких горизонталей однієї площини з двома горизонталями другої площини, які мають такі ж числові відмітки.

Послідовність побудова лінії перетину двох площин;

1. Проводимо горизонталі з однаковими числовими відмітками у кожній з площин, що перетинаються, і зазначаємо точку їх взаємного перетину.

2. Другу точку, що належить лінії перетину, знаходимо, виконуючи такі ж побудови, але з іншою парою горизонталей з однаковими числовими відмітками.

3. Через одержані точки проводимо пряму лінію, яка є шуканою лінією перетину заданих двох площин.

Визначимо лінію перетину KL площин двох земляних укосів б та ? , заданих своїми масштабами спаду б та в /рис. 4.5/.

Для цього: 1/ побудуємо проекцію точки К . Через числові відмітки 20 на масштабах спаду перпендикулярно до б проводимо горизонталь 20 площини б і перпендикулярно до в - горизонталь 20 площини в . Відмічаємо точку К20 взаємного перетину проведених горизонталей. Ця точка є проекцією точки К лінії взаємного перетину площин б та в;