Застосування нарисної геометрії у геодезії

Розділ. І . Метод проекцій з числовими відмітками, проекції точки

1.1 Суть та область застосування метода проекцій з числовими відмітками

Метод проекцій з числовими відмітками /позначками/ застосовується при зображенні рельефа, земної поверхні та проектуванні на ній різних земних споруджень.

Суть методу проекцій з числовими відмітками полягає в тому, що об'єкт, наприклад ділянка земної поверхні, ортогонально проектується тільки на одну, як правило, горизонтальну площину проекцій, При цьому оборотність креслення досягається тим, що поряд з проекціями характерних точок об'єкта проставляються числові відмітки, які вказують, на скільки одиниць довжини віддалені характерні точки об'єкта від горизонтальної площини проекцій.

Пояснимо це на такому прикладі /рис. 1.1./. Нехай трикутник AВС (? АВС) являє собою частину площини земного укоса. Ортогонально проектуємо ? АВС на горизонтальну площину проекцій р₀ , яку в проекціях з числовими відмітками називають основною площиною, або площиною нульового, рівня. Для цього через вершини ? ABC проводимо перпендикулярно до р₀ проецюючі прямі, в перетині яких з р₀ одержимо точки А₄ , В₅ , С₄ , що являють собою проекції вершин ? ABC. 3'єднавши точки А₄ , В₅, С₄ відрізками прямих ліній, одержимо ортогональну проекцію ?АВС на площині р₀.

Для визначення положення точок А , В та С відносно основної площини ?АВС та площину р₀ віднесемо до просторової прямокутної системи координат О_xyz , розташованої таким чином, щоб дві осі координат O_x та О_y знаходились в основній площині р₀.

Положення точок А₄ , В₅ та C₅ на основній площині р₀ визначається двома координатами - х та y . Наприклад, координати х , у точки А з урахуванням вибраної масштабної одиниці, наведеної на рис. 1.1., мають такі величини: х_А = 8,5; у_А = 2. Це записується так: А₄ /8,5; 2/. Проте по двох координатах точки об'єкта або по одній її проекції неможливо визначити положення точка в просторі.

Для визначення положення точок об'єкта в просторі необхідно знати величини їх третьої координати - координати Z або мати другу ортогональну проекцію об'єкта. Маючи координати х , у , z точок А , В та С , можна визначити їх положення, а отже, і положення л ABC в просторі відносно площини р_{0 .} Координата z вказує на відстань точок об'єкта до горизонтальної площини р₀, тобто визначає висоти цих точок.

Враховуючи, що в проекціях з числовими відмітками об'єкт проектується тільки на одну площину проекцій, а одна проекція на визначає положення об'єкта в просторі, другу фронтальну проекцію, яка дозволяє визначити недостаючу координату z , замінюють числами /числовими відмітками/, що позначають висоти точок відносно площини проекцій р₀ . Числові відмітки проставляють у вигляді індекса справа внизу від позначення горизонтальних проекцій точок об'єкта.

На рис. 1.1. координати Z точок А , В та С : z_А= 4, Z_В = 5, Z _С = 4. Таким чином, А₄ означав, що точка А знаходиться, від основної площини р₀ на віддалі, що дорівнює 4 одиницями вибраного масштаба.

Очевидно, що при доповненні горизонтальних проекцій точок об'єкта їх числовими відмітками, креслення в проекціях з числовими відмітками стає оборотним, тобто таке креслення дає можливість визначити положення будь-якої точки об'єкта відносно площини проекцій або відносно іншої точки об'єкта.

У геодезії за допомогою методу проекцій з числовими відмітками зображають рельєф місцевості, що дозволяє виконувати інженерно-геодезичну розвідку і розбивку споруджень, а в гірництві та геології - вирішувати різноманітні метричні задачі. Цей метод використовують також для зображення і проектування на земній поверхні різних меліоративних та гідротехнічних споруд /греблі, дамби, насипи, виїмки, штучні і регуляційні споруди, меліоративні канали/і інженерно-будівельних споруджень /котловани, будівельні майданчики, мости, тунелі, дорожні естакади/.

Основні переваги методу проекцій з числовими відмітками: простота в побудові зображення об'єкта /найбільш простий метод проектування - ортогональне проектування об'єкта тільки на одну площину проекцій/; зручність у визначенні висотних розмірів об'єкта, поданих у вигляді числових відміток його характерних точок і відносна простота розв'язування метричних задач. До недоліків слід віднести недостатній наочність зображання, а також необхідність у деяких випадках доповнити основне зображення вертикальними перерізами /так званими профілями/.

1.2 Проекції точки. План

На комплексному кресленні /рис. 1.2/віддаль точки А від горизонтальної площини проекцій визначається відрізком А"А_х , тобто координатою z точка А : \ А"А_х \=Z_А. Довжина відрізка \ А"А_х\ -це висота точки А або перевищення її відносно горизонтальної площини проекцій. На рис. 1.1. висота точки А з урахуванням масштабної одиниці дорівнює 4, тобто точка А має координату Z_А= 4.

У методі проекцій з числовими відмітками проекції точок можна розглядати як горизонтальні проекції комплексного креслення.

На рис. 1.3. зображена горизонтальна проекція тієї ж точки А, що і на рис. 1.2. яка визначена координатами х та у точки А : А₄ (х,у). Недостаючу координату Z точки А одержимо, вимірюючи довжину відрізка \А"А_х\ на комплексному кресленні /див. рис. 1.2/: z = А"А_х = 4. Цю висоту точки А , що дорівнює 4 і вказує на віддаль точки А від площини р₀ , записуємо у вигляді числової відмітки. Вона проставляється поряд з горизонтальною проекцією точки А : А₄ , де 4 - числова відмітка точки А .

Числові значення висот точок, що вказують на віддаль точок від горизонтальної площини проекцій /основної площини/, називають числовими відмітками або просто відмітками точок.

Очевидно, що числова відмітка точки разом з її горизонтальною проекцією становить оборотне креслення точки, одержане при її проектуванні на одну площину проекцій, оскільки числова відмітка замінює проекцію точки А на вертикальну площину проекцій, яку можна не відтворювати.

У проекціях а числовими відмітками проекцією точки називається. Її ортогональна проекція на основну площину, що супроводжується числовими відмітками, які вказують на віддаль точки від цієї ж основної площини. При цьому слід пам'ятати, що ортогональні проекції точок можуть не мати літерних позначень. В цьому випадку поряд з проекціями точок проставляються тільки їх числові відмітки.

Числові відмітки можуть бути як додатними, так і від'ємними.

Проілюструємо це на рис. 1.4. де побудовані прямокутні ізометричні проекції точок з урахуванням одиниці масштаба по заданих координатах точок: А /3, 2, 3/; С /2, 3,0/; В /4, З, -З/.

Далі виконуємо такі дії:

1. Через аксонометричні осі О_х та О_у проводимо основну площину р₀

2. Спроектуємо точки А , В та С на площину р₀ одержимо горизонтальні проекції точок А , В та С.

3. Поряд з горизонтальними проекцїями точок проставляємо їх числові відмітки з урахуванням одиниці масштаба /рис. 1.4/. При цьому точка А , яка розташована вище площини р₀, має додатну числову відмітку: 3 - числова відмітка точки А ; точка В , яка розташована нижче площини р₀ , має від'ємну числову відмітку; -З - числова відмітка точки В; точка С , яка знаходиться в площні р₀ , має числову відмітку, що дорівнює нулю.

4. Площину р₀ разом з проекціями точок з числовими відмітками і масштабом сумістимо з площиною креслення /рис. 1.5/. Одержане таким чином креслення називається планом або кресленням у проекціях в числовими відмітками.

Планом називається креслення, що являє собою зменшене та подібне зображення проекцій об'єкта, наприклад ділянки місцевості, на основну площину проекцій.

На плані проекцій точок, що лежать над площиною J, мають додатні числові відмітки, під площиною р₀ - від'ємні /перед числовою відміткою ставиться знак "-"/, а в площині р₀ - нуль.

Осі О_х та О_у , які показані на рис. 1.5. при зображенні місцевості на плані, як правило, не проводять, а положення проекцій точок на плані можна визначити не відносно осей O_х та О_у , а відносно інших точок місцевості, зображених на плані. При цьому рис. 1.5. набуває вигляду рис. 1.6.

В CРСP при зображенні рельєфу земної поверхні висоти її точок введені до нуля Кронштадського футштока /риска на мідній дошці, встановленій у гранітному стояні моста через Обвідний канал у Кронштадті/. При цьому одержимо значення абсолютних висот точок. Проте вдаються до вимірювання умовних висот точок відносно довільно розташованої горизонтальної площини, яку приймають за основну площину /площину нульового рівня/. Наприклад, при розробленні будівельних креслень площину нульового рівня умовно розташовують на рівні підлоги першого поверха будинку.

На практиці часто буває зручно перейти від однієї основної площини проекцій до іншої, їй паралельної і розташованої вище aбo нижче первісно вибраної основної площини. При цьому положення проекцій не змінюється, а тільки змінюються їх числові відмітки на величину, на яку переміщена основна площина.

Наприклад, якщо нова основна площина р₅ розташована вище /рис. 1.7/ первісної площини р₀ на 5 масштабних одиниць, то додатні числові відмітки усіх точок зменшаться на 5 одиниць, а від'ємні - збільшаться за модулем на 5 одиниць; якщо нова основна площина проекцій р_-4 розташована нижче /рис. 1.8/ первісної основної площини р₀ на 4 одиниці , то додатні числові відмітки усіх точок збільшаться на 4 одиниці, а модуль від'ємних відміток зменшиться на 4 одиниці. Нову основну площину позначають буквою Ж з відповідним індексом: р_5,4 /див. рис. 1.7, 1.8/. Така заміна основних площин застосовується при переході від умовних числових відміток до абсолютних і навпаки.

1.3 Масштаб

Особливість креслень в проекціях з числовими відмітками або планів полягав в тому, що розміри на них, як правило, не проставляються. Відсутність розміра замінюється вказанням масштабу, в якому виконане креслення. Тому неодмінна умова всякого креслення, виконаного в проекціях з числовими відмітками - наявність масштабу.

Масштабом називається відношення довжини лінії на плані до відповідної проекції цієї лінії на місцевості, наприклад на ділянці земної поверхні. Це абстрактне число - правильний дріб. Для зручності користування і порівняння всі масштаби мають однаковий вигляд: чисельником дробу завжди є одиниця, при цьому знаменник безпосередньо виражає ступінь зменшення. Такий масштаб називається чисельним, наприклад: 1/100 /1:100/; 1/200 /1:200/; 1/500 /1:500/; 1/1000 /1:1000/ тощо. Чисельний масштаб дає загальну характеристику ступеня зменшення і не завжди зручний для практичних цілей. Для побудови планів або визначення довжини відрізків, узятих з плана, використовують лінійний масштаб, який наносять на плані у вигляді масштабної шкали /рис. 1.9/.

Зображенний на рас 1.9 лінійний масштаб відповідає чисельному 1:100 /10 мм на плані відповідають 1 м на місцевості/. Основу масштаба, розташовану ліворуч від нульової точки, як правило, ділять на десять рівних частин, кожна з яких /див. рис.1.9/ відповідає 0,1 м на місцевості. Це дає змогу робити вимірювання на плані з точністю до 0,1 м.

Розділ 2. Проекції прямих ліній

2.1 Проеціювання прямої загального положення

Спроекцюемо дві довільні точки А та В даної прямої n /рис. 2.1/ на основну площину р₀ причому висоти точок А та В відповідно дорівнюють 2,5 та 5,4. Поряд в горизонтальними проекціями точок А та В проставимо їх числові відмітки, що дорівнюють висотам цих точок. Пряма, яка проведена через точки А_2,5 та В_5,4 , буде проекцією тільки однієї прямої в просторі.

Дійсно, якщо б горизонтальні проекції точок А та В прямої не були б доповнені їх числовими відмітками, то пряма, яка проходить через горизонтальні проекції точок А та В , була б проекцією усіх прямих, що знаходяться в горизонтально-проеціючій /вертикальній/ площині р₀, яка проходить через дану пряму n.

Отже, при зображенні прямої лінії в проекціях з числовими відмітками пряма загального положення може бути задана проекціями будь-яких двох незбіжних /нетотожних/ точок, належних до прямої, з указаниям їх числових відміток /рис 2.2/.

2.2 Визначення довжини прямої і кута її нахилу до основної площини

Кут б між прямою n і її проекцією на основну площину р₀ /див. рис. 2.1./ є кутом нахилу прямої до основної площини: АМ₀А_2,5 = б. Якщо в вертикальній площині р /див. рис. 2.1/ провести через точку А пряму АС, паралельну А_2,5 В_5,4, то ВАС = б.

Кут б , а також натуральну величину відрізка прямої в проекціях з числовими відмітками визначають способом заміни площин проекцій /цей спосіб у проекціях з числовими відмітками називається способом профіля, де під профілем розуміють зображення, одержане на вертикальній площині проекцій/ або способом прямокутного трикутника.

Для визначення натуральної величини довжини відрізка AB прямої AB і кута її нахилу до р₀ /див. рис. 2.1, 2.3/ будуємо профіль відрізка AВ на вертикальну площину р, яку розташовуємо паралельно даній прямій /див. рис. 2.3/, або проводимо через пряму /див. рис. 2.1/. Потім вертикальну площину р₀ обертаємо навколо осі проекцій х₁ до суміщення з основною площиною р₀ одну площину креслення. Суміщений з основною площиною р₀ профіль AB і визначає натуральну величину довжини відрізка AВ прямої n . Кут між профілем АВ і віссю проекцій х₁ являє собою кут нахилу б прямої n до площини р₀ .

На плані ці побудови виконаємо в такій послідовності /рис. 2.4/:

1. Проводимо вісь проекцій х₁ паралельно проекцій А_2,5В_5,4 .

2. Через проекції точок А_2,5 та В_5,4 проводимо лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до оcі проекцій х₁.

3. Від точок перетину ліній проекційного зв'язку з віссю х₁ у масштабі плана /можна і в більшому масштабі/ відкладаємо відрізки Н_А та Н_В, довжина яких чисельно дорівнює відповідним відміткам точок А та В /при різних знаках числових відміток відрізки відкладають по різні сторони від осі х₁/. Одержимо точки А та В - це профілі точок А та В прямої n.

4. З'єднавши точки А та В прямою, одержимо відрізок AВ - профіль відрізка AВ на вертикальній площині р , який являє собою натуральну величину довжини відрізка AВ , заданого на р₀ проекцією А_2,5 В_5,4 .

5. Кут між АВ і віссю проекцій х₁ дорівнює куту б нахилу прямої n до основної площини c_B .

Натуральну величину довжини відрізка прямої і її кут нахилу до основної площини можна визначити і способом прямокутного трикутника, один катет якого дорівнює проекції відрізка прямої на плані, а другий - алгебраїчній різниці числових відміток кінцевих точок відрізка прямої /рис. 2.5/.

Слідом прямої AВ /див. рис. 2.1/ на основній площині р₀ буде точка М_о перетину продовження прямої з продовженням її проекції. Очевидно, що числова відмітка точки М_о дорівнює нулю, тобто має таку и числову відмітку, що і основна площина р₀.

Слідом прямої загального положення є точка прямої, яка має нульову числову відмітку.

Для побудови сліду прямої загального положення /рис. 2.6/, проекція якої показана на плані, необхідно побудувати суміщений з основною площиною ? профіль AB прямої на вертикальну площину і одержаний профіль AВ прямої продовжити до перетину з віссю проекцій X₁ або з продовженням проекції А₂В₆ даної прямої, якщо проекція прямої збігається з віссю х₁ : М₀ =АВnх , Потім точку М₀ проецюємо на продовження проекцій А₂В₆ , одержимо точку М₀ , яка являє собою слід прямої AВ на площині р₀.

2.3 Заложення, нахил та інтервал прямої лінії

При вирішенні багатьох задач у проекціях з числовими відмітками використовують такі поняття та визначення: заложення, нахил та інтервал прямої. Для з'ясування значення цих понять та визначень розглянемо рис. 2.7, де дано наочне зображення прямої AВ і її горизонтальна проекція A_2,6 В_4,4 на основну площину р₀ .

Заложенням називається довжина горизонтальної проекції від- різка прямої на основну площину і позначається буквою L /див. рис. 2.7/: L = A_2,6В_4,4 - заложення відрізка прямої А В.

Різниця числових відміток кінців відрізка прямої, тобто різниця висот або координат Z точок його кінців, називається підйомом відрізка прямої і позначається буквою h /рис. 2.7/ на відміну від позначення висот точок відрізка прямої буквою Н .

Підйом h відрізка AB /див. рис. 2.7/: h = Н_В-Н_А = 4.4 -- 2,6 = 1,8 м.

Заложення та підйом відрізка прямої вимірюються в одиницях масштабу.

Нахилом прямої і називається відношення підйоме відрізка прямої до заложення цього ж відрізка /див. рис. 2.7, ?ABB : і = h/L

Оскільки кут, утворений прямою і її проекцією на основну площину р, дорівнює куту б - куту нахилу прямої до площини р₀ /див. рис. 2.7, ABB/, можна дати таке визначення нахилу прямої: нахил прямої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до основної площини: i = tg б = h/L /2.1/

Нахил прямої задається в десяткових дробах aбo у вигляді відношення 1:n, де n - будь-яке додатне число. Наприклад, нахил прямої AB /див. рис. 2.7, ?АВВ / дорівнює: i=h/L= I.8/3.6 = = 0.5 - нахил заданий в десяткових дробах або i=1 : 2 - нахил прямої А В заданий, у вигляді відношення.

Іноді нахил вказують в промилях /позначається "°/оо"/ або в процентах /позначається "%"/. Промиле - одна тисячна будь-якого числа, а процент - сота частина будь-якого числа, тоді промиле - це десята частина процента. Наприклад:

І°/оо = 0,1% = 1:1000 = 0,001;

10°/оо = 1% = 1:100 = 0,01;

50°/оо = 5% = 1:20 = 0,05;

500°/оо = 50% = І:2 = 0,5.

На рис. 2.7 точки С та D прямої АВ мають числові відмітки, які дорівнюють 3 та 4, тобто підйом відрізка CD дорівнює одиниці, а довжина відрізка С₃D₄ - проекція відрізка CD на основну площину - являє собою інтервал прямої AВ.

Довжина горизонтальної проекції відрізка прямої, підйом якої дорівнює одиниці, називається інтервалом прямої /позначається буквою l /. Інтервал прямої чисельно дорівнює відношенню відрізка прямої до його підйому /див. рис. 2.7, ?CDD/: l = L/h (2.2)

Інтервал прямої AB /див. рис. 2.7/ становить l = 3,6/1,8 = 2 м.

З /2.2/ випливає, що при h = 1 заложення чисельно дорівнює інтервалу, тобто і = l. Тоді інтервалу прямої можна дати і інше визначення: інтервал прямої є заложенням при підйомі, рівному одиниці.

Якщо знати нахил прямої або її кут нахилу до основної площини, пряму загального положення в проекціях з числовими відмітками можна задати горизонтальною проекцією з відміченими на ній однією точкою з числовою відміткою і нахилом прямої /рис. 2.8/ або кутом її нахилу /рис. 2.9/ до основної площини із зазначенням напряму спуску. Напрям спуску відмічається на кресленні відрізком прямої, на одному кінці якого показано стрілку, що вказує напрям зменшування числових відміток точок прямої.

З /2.1/ та /2.2/ виплаває, що і = 1/l = 1:l, тобто нахил та інтервал прямої - величини, обернені одна до одної. Наприклад, якщо нахил прямої задано у вигляді десяткового дробу і = 0,5, то цьому нахилу прямої відповідав інтервал прямої l = 1/і = 1/0,5 = 2; якщо нахил пряної задано у вигляді відношення і = 1:2,5, то цьому нахилу прямої відповідає інтервал прямої l = 2,5, оскільки і = 1:l = 1:2,5. З /2.1/ випливає, що при L = 1 нахил прямої чисельно дорівнює підйому, тобто і = Нl, отже, можна дати таке означення нахилу: нахилом прямої називається величина підйому відрізка прямої при заложенні цього ж відрізка прямої, який дорівнює одиниці.

Таким чином, якщо на проекції прямої на плані взяти відрізок, чисельно рівний одиниці масштабу, то підйом цього відрізка, заложення якого одиниця, чисельно дорівнює нахилу прямої. На цьому грунтується графічне визначення нахилу прямої.

Наприклад, потрібно графічно визначити нахил прямої AВ , яка зображена на плані своєю проекцією А_4,2В_1,6 /рис. 2.10/. Для цього будуємо профіль АВ відрізка прямої AB на вертикальну площину р у масштабі плана. Потім на горизонтальній проекції А_4.2 В_1,6 відкладаємо відрізок, заложения якого L = 1, і знаходимо підйом h цього відрізка, який чисельно буде дорівнювати нахилу i прямої AB : і = h = 0,6.

2.4 Градуювання прямої

Кінці відрізка прямої часто задають на плані числовими відмітками, які виражаються дробними числами. При розв'язуванні багатьох задач треба знати положення проекцій точок прямої з ціло-чисельними відмітками.

Розглянемо докладніше рис. 2.7. Пряма AB і її проекція А_2,6 В_4,4 розташовані у вертикальній площині р. В цій же площині паралельно проекції А_2,6 В_4,4, а отже, паралельно площині р₀ проводимо лінію рівня - горизонтальну пряму з числовою відміткою, рівною 3, і вище цієї лінії рівня на відстані, що дорівнює одній одиниці масштабу, проводимо лінію рівня з числовою відміткою 4.

Ці лінії рівня перетинають пряму AB у точках С та D , які будуть мати числові відмітки відповідно 3 та 4. Спроецюємо точки С та D на горизонтальну проекцію А_2,6 В_4,4, одержимо проекції С₃ та D₄.

Існує декілька способів градуювання прямої, що являють собою різні варіанти розв'язування задачі ділення відрізка у данному відношенні.

1. Спосіб профіля. По цьому будують суміщений з основною площиною або з іншою горизонтальною площиною профіль прямої, причому висоти точок відкладають або в масштабі плану, або з метою більш точною градувванш прямої в більшому масштабі, ніж масштаб плана. Потім паралельно осі проводять ряд прямих на відстані одна від одної, що дорівнює одиниці масштабу, в якому відкладались висоти точок прямої. Приймають ці прямі за лінії рівня з ділочисельними відмітками. Опроеціювавши потім ці точки на проекцію прямої на плані, одержують на ній точки, які мають цілочисельні відмітки, таким чином виконавши операцію градуювання прямої.

Способом профіля розв'яжемо задачу на градуювання відрізка прямої АВ/рис. 2.11/. Для цього:

1/ будуємо суміщенний з основною площиною р₀ профіль АВ відрізка прямої AB, відкладаюча висоти точок А та В у масштабі плана;

2/ паралельно осі х проводимо ряд паралельних прямих, віддалених одна від одної на відстань, що дорівнює одиниці масштабу, і приймаємо ці прямі за лінії рівня з числовими відмітками 1, 2, 3, 4 та 5;

3/ знаходимо точки перетину ліній рівня з профілем AВ : точки 2, 3, 4 та 5 будуть мата числові відмітки, рівні 2, 3, 4 та 5;

4/ точки 2, 3, 4 та 5 опроектуємо на А_1,3 В_5,2, при цьому точки 2, 3, 4 та 5 перетину лінїй проекційного зв'язку з А_/,3 B_5,2 і будуть проекціями точок, які мають цілочисельні відмітки 2, 3, 4 та 5.

З рис. 2.11 легко графічно, тобто без обчислень, визначити інтервал l прямої AВ - він дорівнює довжині відрізка проекції прямої на плані між точками, які мають цілочисельні послідовні відмітки, оскільки підйом цих відрізків дорівнює одиниці масштабу.

Після градуювання прямої можна визначити відмітку будь-якої точки прямої і задати на ній точку, що має дану відмітку. Для цього відрізок між цілочисельними відмітками ділимо у пропорціональному відношенні.

Градуювання прямої способом профіля, який полягає у проведенні через рівні відстані паралельних прямих, покладено в основупалетки, що використовується при наведені горизонталей рельефа земної поверхні на планах і картах.

2. Способ пропорціонального ділення. Суть його розглянемо на прикладі градуювання прямої AВ , проекцій якої зображена на рис. 2.12.

З одного кінця відрізка прямої /точки А_1,4 / проведемо допоміжну пряму в довільному напрямку, на якій відкладемо в масштабі плана або в більшому відрізок АС', рівний підйому відрізка AB : h = H_B - H_A = (4.8 - І.4)l₁ = 3,4l , де l₁ - oдиниця масштабу, в якому вимірюємо підйом відрізка АВ.

На прямій АС від точки A_1,4 відкладемо відрізок, рівний 0,6l₁ , і позначимо точку 2. Точки 3, 4 віддалені одна від одної на відстань l₁. На рис. 2.12 l₁ дорівнює одиниці масштабу плана, тобто l₁ = 1м. Точка С віддалена від точки 4 на відстань, що дорівнює 0,8l₁.

Кінцеву точку С сополучимо з точкою В_4,8 і з кожної точки поділки /точки 2, 3, 4/ проведемо прямі, паралельні СВ_4,8. Ці прямі визначають в перетині з А_1,4 В_4,8 проекції точок прямої AВ , що мають числові відмітки, рівні цілим числам /див. рис. 2.12/. Це дає змогу поряд з визначенням числових відміток будь-якої точки відрізка прямої знайти також графічно і інтервал прямої l /див. рис. 2.12/.

3. Аналітичний спосіб дає змогу визначити положення точок прямої, що мають цілочисельні послідовні відмітки, за допомогою обчислення.

Проградуюємо аналітичним способом пряму АВ, наочне зображення якої показано на рис. 2.7, а зображення на плані - на рис. 2.13. Градуювання виконуємо в такій послідовності: визначаємо інтервал прямої за формулою /2.2/: підставляючи L = 3,6 м, h = 1,8 м, одержуємо l = L/h = 3,6/1,8 = 2м. Заходимо положення точки С з цілочисельною відміткою 3, наближчої точки А_2,6 її визначимо таким чином. На рис. 2.7 із порівняння подібних трикутників АСС та СDD можна скласти пропорцію: x/h = l/1, де x - відстань проекції точки С , що має цілочисельну відмітку 3 /точка С₃/; до точки А_2,6; h AC - підйом відрізка АС; l - інтервал прямої. З цієї пропорції знаходимо: x = hACl = /3 - 2.6/ 2 = 0.8 м. Потім від точки С відкладаємо відрізок, рівний інтервалу прямої AВ /l = 2 м/, і позначаємо точку з числовою відміткою 4 /точка D₄ /.

Приведену в останньому прикладі на градуювання прямої пропорцію можна використовувати для визначення відстані х від проекції точки прямої з відомою числовою відміткою /відома точка прямої/ до проекції точки прямої, числова відмітка якої задана. Відстань х знайдемо за формулою: x = hl , /2.3/

де h - підйом відрізка прямої між визначуваною і відомою точками прямої; l - інтервал прямої.

2.5 Прямі часткового положення

Пряма відносно основної площини може займати часткове положення: бути паралельного /горизонтальна пряма, або горизонталь, це лінія рівня/ або перпендикулярною /горизонтально-проеціююча пряма, або проецююча/ до основної площини.

На рис. 2.14 показані зображення прямих часткового положення на плані.

У горизонтальної прямої числові відмітки будь-яких двох точок однакові, тому горизонтальна пряма може бути задана на плані своєю проекцією і проекцією двох її точок, числові відмітки яких однакові, наприклад пряма AВ . Горизонтальну пряму можна позначити, вказуючи лише її числову відмітку, наприклад горизонталь з числовою відміткою 5.

Проеціюючу пряму на плані завжди позначають проекціями двох нетотожних точок прямої, які на плані збігаються /проецюються у точку/, наприклад проеціююча пряма CD.

2.6 Взаємне полонення двох прямих

Взаємне положення прямих на плані легко визначити побудовою проекцій прямих на деяку вертикальну площину /спосіб заміни площин проекцій/ з наступним суміщенням її з основною площиною, що зводить креслення до комплексного. Нові проекції прямих разом з проекціями а числовими відмітками дозволяють встановити взаємне розміщення прямих за ознаками, які розглядаються у розділі ортогональних проекцій.

Способом профіля на рис. 2.15 виявлено, що задані прямі AВ та CD паралельні: А₅В₁ \\ С₁D₃ та АВ \\ СD ; на рис. 2.І6.прямі перетинаються: точка К - точка перетину; на рис. 2.17, 2.18 прямі AB та CD мимобіжні /на рис. 2.13 через задані прямі проведені дві вертикальні площини р¹ та р² /.

Взаємне положення прямих на плані можна визначати, якщо проградуювати прямі і порівняти інтервали, нахили, напрями збільшення або зменшення числових відміток точок прямої і числові відмітки точок перетику прямих на плані. Цей спосіб визначення взаємного положення прямих тільки за їх проекціями на плані для методу проекцій з числовими відмітками більш зручний. Розглянемо його для різних випадків взаємного положення прямих і відзначимо ознаки, характерні для цих випадків.

Ознаки паралельності двох прямих в проекціях з числовими відмітками:

1/ взаємна паралельність проекцій прямих на основну площину;

2/ рівність інтервалів або ухилів, або кутів нахилу прямих до основної площини;

З/ числові відмітки точок прямих збільшуються або зменшуються в одному ї тому ж напрямку.

Тільки за однією або двома з трьох ознак паралельності прямих, зображених на плані не можна робити висновок про їх паралельність, оскільки відсутні інші проекції цих прямих, які визначають положення прямих.

На рис. 2.19 прямі AB та CD , зображені на плані, паралельні, тому що виконуються всі три ознаки паралельності прямих в проекціях з числовими відмітками:

1/ проекції прямих паралельні;

2/ інтервали рівні /попередньо прямі АВ та CD була проградуйовані/;

3/ числові відмітки точок прямих зростають в одному напрямку.

Відзначмо, що прямі, які сполучають точки з однаковими числовими відмітками паралельних прямих AВ та СD, будуть також паралельні /на рис. 2.19 ці прямі зображені суцільними тонкими лініями/, оскільки вони є горизонталями площини, яка проходить через задані паралельні прямі AВ та СD.

Паралельні прямі на плані часто задаються своїми горизонтальними проекціями з позначеною на них однією точкою з числовою відміткою, а також ухилом прямих і зазначенням напрямку спуска, які для двох прямих повинні бути однаковими. На рис. 2.20 задано дві паралельні прямі.

Якщо прямі перетинаються, то в проекціях з числовими відмітками:

1/ їх проекції також перетинаються;

2/ точка перетину проекцій двох прямих має однакові числові відмітки на двох прямих.

Додержання другої ознака паралельності двох прямих можна встановити таким чином. Прямі, що перетинаються, визначають положення тільки однієї площини, а горизонталі, які проведені в цій площині, паралельні. Тому спочатку проградуюємо задані прямі, а потім проведемо прямі, що з'єднують точки з однаковими числовими відмітками /горизонталі/. Якщо останні паралельні, то дві задані прямі лежать в одній площині, а отже, точка перетину їх горизонтальних проекцій на плані має однакову числову відмітку як на першій, так і на другій прямій.

На рис. 2.21 прямі AB та CD перетинаються оскільки:

1/мають спільну точку;

2/ горизонталі, проведені через точки прямих з однаковими відмітками /на рис. 2.21 показані суцільними тонкими лініями/ паралельні.

Точка перетину прямих AВ та CD має числову відмітку 5.

Якщо ознаки паралельності та перетину прямих не виконуються, то такі прямі мимобіжні. Точка перетину проекцій мимобіжних прямих буде мати різні відмітки на кожній з прямих, а прямі, які сполучають однакові числові відмітки /горизонталі/, не будуть паралельні, тому що горизонталі лежать не в одній, а в різних площинах.

На рис. 2.22 прямі AВ та CD мимобіжні, оскільки горизонталі які проведені через точки прямих з однаковими числовими відмітками непаралельні /горизонталі показані суцільними тонкими лініями/.

На плані часто доводиться проектувати дренажні мережі, різні трубопроводи: водопроводи, газопроводи, які часто перетинаються між собою під прямим кутом. Тому розглянемо ознаки взаємної перпендикулярності прямих на плані.

Оскільки взаємно перпендикулярні прямі - окремий випадок перетину прямих, то для них повинні бути характерними ознаки, властиві прямим, що перетинаються на плані. Крім цього, з розділу ортогональних проекцій відомо: якщо дві прямі взаємно перпендикулярні, в просторі, то проекції їх перпендакулярні одна до одної у тому випадку, коли хоча б одна з прямих горизонтальна. Отже, у взаємно перпендикулярних прямих, з яких хоча б одна горизонтальна, проекції на плані взаємно перпендикулярні.

На рис. 2.23 прямі n та AB взаємно перпендикулярні, оскільки:

1/ проекції прямих перетинаються;

2/ точка перетину прямих /точка А/ має однакову числову відмітку на одній та другій прямій, рівну 7;

3/ пряма n - горизонталь, а проекції прямих n та AB на плані взаємно перпендикулярні.

Якщо дві прямі взаємно перпендикулярні і знаходяться у вертикальній площині, то їх інтервали - величини, обернені одна до одної, а числові відмітки точок прямих зростають у різних напрямках.

На рис. 2.24 прямі AВ та ВC розташовані у спільній вертикальній площині і перпендикулярні одна до одної, оскільки інтервали їх дорівнюють l_AB = 2м, l_BC = 0,5 м, тобто інтервали -величини, обернені одна до одної, а числові відмітки зростають у протилежних напрямках.

У тому, що AВ + BC, можна переконатись, побудувавши профіль прямих на вертикальну площину р, розташовану паралельно прямим /рис. 2.24/.

Взаємну перпендикулярність-прямих загального положення можна визначити проеціюванням на вертикальну площину, паралельну одній із заданих прямих. Якщо профілі прямих перпендикулярні, то і самі прямі взаємно перпендикулярні.

Розділ 3. Проекції площин

3.1 Завдання площини на плані. Масштаб спаду площини

Площина на плані може бути задана такими ж геометричними елементами, як і в ортогональних проекціях: проекціями трьох точок, які не лежать на одній прямій /рис. 3.1/; прямої та точки, яка не лежить на прямій /рис. 3.2/; двох прямих, що перетинаються /рис. 3.3/; двох паралельних прямих - загального положення /рис. 3.4/ і горизонталями, що являє собою окремий випадок завдання площини паралельними прямими /рис. 3.5/; проекціями відсіку плоскої фігури /рис. 3.6/.

В проекціях з числовими відмітками досить поширене завдання площини прямою лінією та величиною нахилу площини /рис. 3.7 та 3.8/, причому пряма може бути загального положення /див. рис. 3.7/ або горизонталлю /див. рис. 3.8/.

Особливий випадок завдання площина простору на плані - завдання масштабом спада площини. Таке завдання більш наочне і зручне при розв'язувані більшості інженерних задач.

Масштабом спаду площини називається, проградуйована проекція лінії найбільшого окату /ЛНС/ площини.

Із розділу ортогональних проекцій відомо, що лінією найбільшого скату площини називається пряма, перпендикулярна до горизонталей площини. Назва "лінія скату" пов'язується з тим, що важка матеріальна точка рухається /скатується/ на похилій площині по ЛНС, тому що серед усіх прямих, які можна провести в даній площині. ЛНС утворює з горизонтальною площиною найбільший кут нахилу /скату/. Наприклад, найбільш імовірний напрям руху потока води під дією власної ваги /дощового потоку/ по плоскосних укосах греблі, дамби або меліоративного канала, а також земляного грунту при будівництві греблі, дамби - по ЛНС.

На рис. 3.9 дано просторове зображення площини г, яка перетинає основну площину р₀ по лінії h . У площині г проведена лінія найбільшого скату MN/МN+h^0г_0г/ і побудована її проекція М_о N₄ на площині р₀ . Лінія найбільшого скату площини називається також лінією падіння. Вона визначає кут нахилу /скату/, або кут падіння площини: кут б між лінією найбільшого скату MN і її проекцією М₀N₄ на основну площину р₀ і з кутом нахилу або кутом падіння площина г до площини р₀ .

Площину г перетнемо горизонтальними площинами щ₁, щ ₂, щ ₃, щ ₄, віддаленими одна від одної на 1 м, причому 1 проведена паралельно р₀ на відстані також 1 м. Лінія перетину цих площин з площиною г - це горизонталі площини і, отже, паралельні сліду h і перпендикулярні до лінії найбільшого спаду МN. Проекції цих горизонталей також паралельні сліду h і перпендикулярні до проекції М_о N₄ лінії найбільшого скату площини г .

Оскільки горизонталі площини г розміщені по висоті через 1 м / їх підйом дорівнює 1 м/, то відстані між суміжними проекціями горизонталей з цілочисельними відмітками в інтервали ЛНС даної площини. Проекції горизонталей площини, що паралельні сліду площини, називаються просто горизонталями площини, при цьому слово "проекція" не вживається.

Проекція M₀N₄ лінії найбільшого скату MN із зазначенними на ній інтервалами називається масштабом спаду площини г . Таким чином, масштабом спаду площини називається проградуйована проекція ЛНС площини.

Масштаб спаду площини зображують у вигляді двох паралельних ліній /подвійною лінією/, причому одна лінія товща за другу і проводиться із зазначенням проекцій точок, які мають послідовні цілочисельні відмітки, та позначається буквою з індексом "і", наприклад г_і /рис. 3.9 і 3.10/.

Якщо через ЛНС, які мають послідовні цілочисельні відмітки, провести горизонталі, то буде задана площина того ж спаду, що і нахил /спад/ ЛНС, На рис. 3.11 спад площини б дорівнює спаду ЛНС цієї ж площини. Площина б задана масштабом спаду б_і з нанесеними відрізками горизонталей площини, які віддалені одна від одної на відстань, що дорівнює інтервалу ЛНС.

Інтервал та спад площини дорівнюють відповідно інтервалу та спаду ЛНС даної площини. Для того щоб визначити спад площини, в ній потрібно провести і проградуювати ЛНС та визначити інтервал. Величина, обернена до інтервалу ЛНС, визначає кут нахилу самої площини.

Чим менший спад площини, тим більший інтервал, і навпаки: чим більший спад, тим менший інтервал площини.

Оскільки інтервал лінії найбільшого скату дорівнює інтервалу площини, просторову площину на плані можна задати масштабом спаду з обов'язковим нанесенням відрізків горизонталей цієї площини, які мають послідовні цілочисельні відмітки і проходять через відповідні точки масштаба спаду /наприклад, площини б та в на рис. 3.11/.

Масштаб спаду площина цілком визначає положення площини у просторі. У площині, яка задана геометричними елементами, можна побудувати її масштаб спаду. Нехай площина ? на плані /рис. 3.12/ задана прямою лінією ВС і точкою А поза прямою: ?(ВC, А). Виконаємо перехід від задання площини в геометричними елементами до задання площини ? її масштабом спаду. Для цього:

1/ проградуюємо пряму ВС і визначимо на ній точку, яка має відмітку, рівну відмітці точки А , тобто 3;

2/ через точку А і точку прямої ВС з відміткою 3 проведемо горизонталь n;

3/ перпендикулярно до n на плані проведемо проекцію в_і лінії найбільшого скату. На перетині n з прямою ?_і маємо точку з відміткою 3. Точки на прямій ?_і, які мають відмітки 2 та З, визначаємо за допомогою горизонталей площини ?, що проходять через точки С та В паралельно n. Інші цілочисельні відмітки на в_і відмічаємо через інтервали, рівні l, тобто виконуємо операцію градуювання проекції ЛНС площини ? , а отже, ?_і буде масштабом спаду площини.

Таким чином, виконано перехід від задания площини в на плані геометричними елементами до задання площини ? її масштабом спаду /проградуйованою проекцією ЛНС/, причому заданию площини в обох випадках відповідає єдина площина у просторі.

Задания площини масштабом спаду дозволяє визначити її кут нахилу до основної площини. Наприклад, площина г задана масштабом спаду г_і /рис. 3.13/. Для визначення кута нахилу б площини г до основної площини р₀ будуємо профіль г ЛНС, який буде також і профілем площини г , оскільки вертикальна площина р перпендикулярна до г, яка проецюється на р у пряму лінію. Кут б між профілем г і віссю х₁ і є кутом нахилу площини г до площини р₀ .

При проектуванні меліоративних та гідротехнічних споруд площини зображають у вигляді укосів меліоративних каналів, гребель, дамб, граней споруд тощо.

Серед земляних споруд найбільш поширені канали та греблі. Канали - це спорудження у вигляді штучного русла правильної форми, наприклад трапецеїдальної, розраховані для транспортування води для зрошування, осушування, обводнювання земель та інших цілей. Канали розділяються на відкриті, коли для транспортування води використовуваються, наприклад, насипи, виїмки, та закриті /підземні/, коли для транспортування води застосовують трубопроводи, які покладені відкрито на поверхні землі або під землею.

Відкриті канали застосовуються переважно при будівництві гідромеліоративних систем, а закриті - при будівництві систем водопостачання та каналізації, рідше - в меліоративно-гідротехнічному будівництві /дренажні труби, трубопроводи зрошення, трубопроводи насосних станції тощо/.

На рис. 3.14 зображено план меліоративного зрошуванного каналу у виїмці /виїмка - це земляна споруда, що залишається після зняття поверхового шару землі/, який для наочності доповнений перерізом /профілем/ 1-1. Розглянемо елементи каналу: 1 - дно каналу; 2 - водні укоси каналу; 3 - берма; 4 - надводні укоси каналу; 5,6 - бровки /верх/ відповідно водного та надводного укосів каналу; 7, 8 - підошва /низ/ відповідно водного та надводного укосів каналу.

Берма - це майданчик, що утворюють для забезпечення стійкості укосів, полегшення обчищання каналу від намулу і перевірка стану каналу технічним персоналом.

Дно каналу 1 та берму 3 можна уявити як горизонтальні площини, паралельні основній площині, що мають числові відмітки відповідно 5.0 та 7.0 /на практиці вони мають невеликий спад і = 0,002...0,005 до основної площини/. На плані дно каналу задано двома паралельними прямими - горизонталями 5.0, які мають однакові числові відмітки, а берма - двома паралельними горизонталями 7.0.

На плані горизонтальну ділянку або площадку можна позначити числовою відміткою, що проставляється всередині прямокутника: 5,0. На рис. 3.14 показані одночасно два варіанта позначення горизонтальних ділянок на плані.

В перерізі /на профілі/ числові відмітки дна каналу і берми позначаються відповідним знаком відмітки рівня, який являє собою стрілку у вигляді прямого кута, вершина якого дотикається в лінію. . контура поверхні або у виносну лінію рівня цієї поверхні,з короткими /2...4 мм/сторонами, проведеними суцільними товстими лініями під кутом 45° до лінії контура поверхні або до виносної лінії рівня цієї поверхні. Вертикальний відрізок і горизонтальну лінію знаку виконують тонкими лініями.

На рис. 3.14 водний та надводний укоси каналу можна уявити як фронтально-проеціюючі площини, нахилені до основної площини під деяким кутом, відмінним від 0, 90 та 180°. Такі площини земляних укосів на плані можна задавати двома паралельними прямим, наприклад горизонталями /див. рис. 3.14/, які являють собою бровку та підошву укосу із зазначенням їх числових відміток. На рис. З.14 площина водяного земляного укоса задана двома горизонталями 7.0 та 5.0, а площина надводного земляного укоса - горизонталями. 9.0 та 7.0. Крім цього, земляні укоси зображаються із штриховкою короткими та довгими лініями, так званими бергштрихами, причому довгі лінії бергштрихїв проводять на всю довжину укоса, а відстань між короткими та довгими лініями - від 1 до 10 мм. Бергштрихи проводять від верха укоса перпендикулярно до його горизонталей убік горизонталей с меншою числовою відміткою. Вони вказують напрям проекцій ліній найбільшого скату даної площини земляного укоса.

Земляні укоси на плані можуть бути також задані проекціями /нагадуємо, що олово "проекція" при цьому не вживається/ двох ліній - бровкою та підошвою укоса /рис. 3.15/, однією лінією - бровкою або підошвою із зазначенням величини спаду укоса /рис, 3.16, А₄В₃ - проекція на плані підошва укоса каналу/.

Часто нахил /спад/ площини земляного укоса позначається коефіцієнтом укоса m/див. рис. 3.14/, якай чисельно дорівнює відношенню заложення L відрізка ЛНС укоса, який вимірюється між його бровкою та підошвою, до підйому h цього відрізка /глибина каналу/: m = L/h . /3.1/

Коефіцієнт укоcа m чисельно дорівнює величині інтервалу укоса.

На рис. 3.І4 у перерізі 1-1 позначені коефіцієнти водного /m = 1.5/ та надводного /m = 1.0/ укосів зрошувального каналу, а на плані - спади цих же укосів каналу: коефіцієнт укоса і його спад - величини, обернені одна до одної. Коефіцієнт укоса визначається стійкістю грунта і змінюється переважно від 0,5 до 3,0.

Розглянемо також поширене в практиці меліоративно-гідротехнічного будівництва земляне спорудження, яка називається греблею. Це штучне спорудження у вигляді насипу /земляна споруда утворена від штучного присипання грунта на природну поверхню землі/ трапецоїдального або близького до трапецеїдального поперечного перерізу, яке перегороджує водний потік і тим самим піднімає /підпирає/ рівень води перед собою.

На рис. 3.17 зображено план земляної греблі, який доповнено перерізом 1-1. Розглянемо елементи греблі: 1 - тіло греблі; 2 - верхній /мокрий/ укіс, який є боковою поверхнею греблі і повернутий до води; 3 - низовий /сухий/ укіс; 4 - гребінь греблі, який може бути основою для полотна автомобільної або залізничної дороги; 5, 6 - підошва відповідно мокрого та сухого укосів; 7, 8 -бровка відповідно мокрого та сухого укосів.

Гребінь греблі являє собою горизонтальну площину, паралельну основній площині, і яка має числову відмітку 28.0. Мокрий та сухий укоси являють собою також площини, нахилені до основної площини, бровка та підошва яких є горизонталями з числовими відмітками відповідно 28.0 та 25.0, але з різними коефіцієнтами укосів; m = 1,5 --мокрого; m = 1.0 - сухого.

3.2 Пряма та точка у площині

Пряма належать площині якщо числові відмітки будь-яких двох її точок збігаються з відповідними числовими відмітками двох точок площини. Як правило, для побудови прямої, яка лежала б у площині, визначають дві точка прямої, що належать відповідним горизонталям цієї площини, які пряма перетинахє, причому в точках перетану прима має однакові числові відмітки з горизонталями площини.

Пряма AВ лежить у площині земляного укоса б /рис. 3.18/, заданого масштабом спаду, оскільки точка А₂ прямої AB лежить на горизонталі площини укоса з числовою відміткою 2, а точка В₄ - на бровці укоса n , яка в торизонталлю площини укоса з числовою відміткою 4.

Таким чином, якщо пряма має точки з числовими відмітками, вираженими цілими числами, то ці точки належатимуть відповідним горизонталям площини.

Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій цієї площини. Точку в площині можна побудувати за допомогою довільної прямої площини, яка проходить через точку. Для визначення числової відмітки точки пряма градуюється.

На рис. 3.19 в площині земляного укoca, заданого двома паралельними прямими - горизонталями 23 та 27, що являють собою підошву та, бровку укоса, необхідно визначити числову відмітку точки А , в якій трубопровід перетинає площину укоса, якщо дана горизонтальна проекція точки А . Для цього:

1/ через точку А проводимо довільну пряму, наприклад ВС , і позначаємо числові відмітки двох її точок: точка С лежить на бровці і має відмітку 27, а точка В лежить на підошві укоса і має відмітку 23;

2/ градуюємо пряму ВС способом пропорціонального ділення і виявляємо, що числова відмітка точки А знаходиться між цілими числами 24 та 25;

З/ визначаємо числову відмітку точки А з точністю до десятих долей. Для цього інтервел прямої ВС між точками з числовими відмітками 24 та 25 способом пропорціопального ділення розбиваємо на десять рівнях відрізків /ці побудови для вирішення поставленої задачі безпосередньо на кресленні можна не показувати/ і визначає /рис. 3.19/, що числова відмітка точки А з точністю до десятих долей дорівнює 24.6.

У площині можна провести пряму а різним нахилом, величина якого завжди менша чи дорівнює спаду площини. Нахил прямої у площині дорівнює спаду самої площини, якщо пряма паралельна /збігається/ лінії найбільшого скату площини. Оскільки нахил /спад/ - величина, обернена інтервалу, то інтервал будь-якої прямої, що лежить у площині, завжди більший за інтервал площини або дорівнює йому.

Розглянемо найбільш поширені в практиці випадки, коли в заданій площині потрібно провести пряму заданого нахилу або, навпаки, через дану пряму провести площину із заданим спадом.

Нехай через точку D площини земляного укоса Р /рис. 3.20 і 3.21/ провести пряму /вісь водостоку/ заданого нахилу, наприклад і = 1:3.

Розв'яжемо задачу на наочному зображенні /див. рис. 3.20/. Візьмемо конус обертання, що складається з двох симетричних прямих кругових конусів з висотами, які лежать на одній прямій, перпендикулярній до основної площини р₀. Твірні прямих кругових конусів мають нахил, що дорівнює нахилу заданої прямої. Вершину конуса обертання установимо в точці D. В перерізі цього конуса обертання з площиною земляного укоса, що проходить через вершину конуса обертання, одержимо прямі AВ та MN, які являють собою твірні конуса і мають нахил і = 1:3, рівний нахилу заданої прямої. Якщо висоти обох прямих кругових конусів прийняти рівними одиниці, то радіуси основ конусів дорівнюють інтервалам l прямих АВ та MN. За значенням нахилу прямої визначаємо величину інтервалу l.

Щоб розв'язати цю задачу на плані /рис. 3.21/, з точки D₃ як із центра проведемо коло радіусом R, рівним нтервалу l прямої заданого нахилу: R = l = 3 м. У перетині кола із суміжними горизонталями площини земляного укоса Р позначимо точки А ₂ ,N₂ та М₄ , B₄ . Прямі AВ та MN лежать в площині Р і мають нахил і =1:3, оскільки інтервал прямих дорівнює 3 м. При цьому через точку D можна провести дві прямі заданого нахилу. Щоб задача мала єдиний розв'язок, необхідно вказати напрямок прямої, що проходять через точку D.

Розглянемо обернену задачу: через пряму провести площину заданого спаду, тобто площина задана прямою і нахилом площини. З подібною задачею зустрічаються при зображенні та побудові укосів насипу або виїмки, що стикаються з бровкою полотна дороги, при градуюванні укосів.