Применение математических методов в государственной противопожарной службе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность данной работы обусловлена тем, что во всём мире, и в частности в нашей стране, наблюдается увеличение численности и масштабов пожара. Следовательно, сложилась необходимость в анализе и прогнозировании оперативной обстановки на ближайшее время для возможности планирования, оценки и принятия управленческих решений. Анализ факторов, определяющих уровень пожарной опасности города, проводятся с целью получения необходимых данных о состоянии среды, в которой предстоит функционировать ГПС. К характеристикам городской среды, позволяющим оценить уровень её пожарной опасности можно отнести:

· численность и плотность населения,

· площадь территории,

· географические, климатические характеристики и т.д.

Прогнозирование показателей служит исходным материалом для дальнейшего планирования развития отрасли. Планирование как функция управления является информационным процессом для повышения наших знаний о будущем, а, следовательно, и снизить риск внеплановых решений.

Разработка подлинно научных прогнозов базируется на:

· творческом применении теории познания;

· учете закономерностей и тенденций развития прогнозируемого явления;

· учете факторов и условий влияющих на функционировании объекта исследования;

Применяя математические методы в государственной противопожарной службе МЧС России можно спрогнозировать оперативную обстановку на будущее для конкретной местности, города и т.д. на основе имеющейся статической информации за истёкший период.

Расчётные показатели на последующие годы, научный подход, а так же экономическая целесообразность, позволяют определить достаточное количество пожарных депо, численность личного состава, пожарной техники и других параметров, позволяющих в совокупности обеспечивать выполнение основных задач ГПС - тушение и предупреждение пожаров, а так же выполнения первоочередных, связанных с ними, аварийно-спасательных работ.

Главный принцип проектирования ГПС города заключается в том, чтобы её организация позволяла бы в любой момент времени, на любую возникшую в городе ситуацию немедленно отреагировать необходимым количеством сил и средств, общее количество которых не должно превышать числа, необходимого для данного вызова.



1. Методика проверки гипотезы о том, что эмпирическое распределение вызовов пожарных подразделений по времени обслуживания носит вид математической модели выраженной экспоненциальным законом распределения

1.1 Анализ динамики числа выездов пожарных подразделений

Определим скорость и интенсивность развития числа вызовов во времени при помощи показателей изменений уровней ряда (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста).

Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики.

Под уровнем ряда динамики понимается каждое отдельное числовое значение показателя, характеризующего величину явления, его размер.

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным и равен разности между сравниваемым и базисным уровнями. Он выражается в тех же единицах, в которых измерены уровни ряда:

, (1)

где П - абсолютный прирост за t единиц времени;

Уi - сравниваемый уровень;

Уi-t - базисный уровень.

Если за базу сравнения в каждом случае принимается предыдущий уровень, то формула (1) будет иметь вид:

, (2)



Если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то абсолютный прирост станет отрицательным и будет характеризовать размер абсолютной убыли.

Абсолютный прирост за единицу времени измеряет абсолютную скорость роста. Однако более полную характеристику процесса роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются величинами относительными, которыми являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие относительную скорость изменения уровня, т.е. интенсивность процесса роста.

Темп роста показывает, во сколько раз увеличился сравнительный уровень по сравнению с базисным (или какую часть его составляет).

Темп роста исчисляется путем деления сравниваемого уровня на базисный:

(3)

Если за базу сравнения каждый раз принимается предыдущий уровень, то получаются цепные темпы роста:

(4)

Темп прироста характеризует относительную величину прироста, т.е. величину абсолютного прироста по отношению к базисному уровню:

(5)



где  - темп прироста за n единиц времени;

П - абсолютный прирост за тоже время;

- базисный уровень.

Выраженный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100 %. Если за базу сравнения принимается предыдущий уровень, то получаются цепные темпы роста или прироста.

Если уровень явления на изучаемом этапе его развития непрерывно снижается, то основная тенденция является явной и отчетливой. Для количественной характеристики результатов действия явной и отчетливо выраженной основной тенденции можно использовать абсолютный прирост, темпы роста и прироста за весь этап развития явления (формулы 1 - 5).

Полученные результаты оформим в виде таблиц:

Эмпирическое распределение числа выездов пожарных подразделений по годам

Показатели	Условные обозначения	Года
Число вызовов	Yi
Абсолютный прирост
Темп роста
Коэффициент в %
Темп прироста
Коэффициент в %
Абсолютный размер 1% прироста

В процессе анализа динамических рядов трудно обойтись без обобщающих показателей, в качестве которых выступают различного рода средние, рассчитываемые как по уровням, так и по производственным показателям ряда. Подобного рода средние, подсчитанные по смежным уровням динамического ряда, называются динамическими или хронологическими.

Динамические средние должны подсчитываться в пределах качественно однородных периодов и на основе исчерпывающих данных за весь однородный период от начала до конца. Иначе говоря, здесь мы наблюдаем известное методологическое требование об однородности и полноте данных при исчислении средних величин.

Рассмотрим особенности исчисления динамических средних для уровней и производственных показателей по формуле средней арифметической простой:

(6)

- средний уровень ряда;

Yi - уровень ряда;

ti - длительность отдельных интервалов времени ( если они различны);

- общая численность совокупности.

Если интервалы времени равны то формула (6) примет вид:



(7)

где n - число равных промежутков или интервалов времени.

Средний абсолютный прирост подсчитывается по формуле:

(8)

где: Yn - конечный уровень динамического ряда;

Yб - базисный уровень.

В случае равенства интервалов формула (8) принимает вид:

(9)

Средний темп прироста подсчитывается по формуле средней геометрической, что объясняется особенностью получения показателя общего темпа роста за весь период времени (он равен произведению отдельных темпов).

В случае равных интервалов времени средний темп прироста определяется по формуле средней геометрической простой, которая имеет вид:

(10)

где: xi - коэффициент роста за определенный интервал времени ti;

n - число равных интервалов времени;

ti - интервал времени;

П - знак произведения.

Выявим тенденцию ряда динамики, которая позволяет представить ее изменение за анализируемый период времени в виде некоторой модели.

Наиболее эффективным способом выявления тенденции ряда динамики является аналитическое выравнивание. Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

, (11)

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики. Для выбора вида функциональной зависимости используется прием, основанный на том, что определенные соотношения между изменениями входной и выходной величины предполагают ту или иную функциональную зависимость.

Если выполняется условие:

,

то принимается линейная модель ,

где - коэффициенты, определяемые по МНК (метод наименьших квадрантов);

- приращения зависимой и независимой переменной, то есть .

, то принимается модель ,

, то ,

, то

, то .

Следующим этапом является расчет параметров выбранной экстраполяционной функции.

В качестве метода оценки параметров применяется метод наименьших квадратов, сущность которого состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного ряда, то есть

, (12)

где - расчетные значения исходного числового ряда;

- фактические значения исходного ряда;

n - число наблюдений.

Если модель тренда представить в виде:

, (13)

где - параметры модели; t - время; - независимые переменные, то для того, чтобы найти параметры модели, удовлетворяющие условию (7), необходимо приравнять нулю первые производные величины S по каждому из коэффициентов . Решая полученную систему уравнений с неизвестными, находим значения коэффициентов .

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики:

по прямой:

Параметры a и b согласно МНК, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученного путем алгебраического преобразования условия (12).

(14)

по параболе 2-го порядка:

Нормальные уравнения МНК для параболы 2-го порядка:

(15)

по гиперболе:

(16)



Произведём выравнивание ряда динамики по прямой:

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал.

В этом случае , так что система нормальных уравнений (14) принимает вид:

(17)

Из первого уравнения

.

Из второго уравнения

Исходные данные для расчёта вызовов пожарных подразделений города за период с ____ г. по ____ г. для расчёта главного уровня динамического ряда.

№ п/п	годы	Число вызовов, Yi	Порядковый номер периода времени, ti		tiYi	Yti= 612,76 + 14,8ti
1	2	3	4	5	6	7	8



Получим прогнозируемое значение числа вызовов пожарных подразделений города на последующие годы.

В общем случае прогнозирование явлений основывается на предположении, что выявленная за анализируемый период времени тенденция будет сохраняться и в будущем, т.е. в прогнозируемом периоде, причём данные будут существенно надёжнее, если использовать в анализе достаточно большой период времени. Период прогнозирования должен составлять не более 1/3 от числа лет в прогнозируемом периоде, т.е. 33%.

Оценим уравнение (18), отражающее динамику числа выездов пожарных подразделений с точки зрения однородности.

Коэффициент вариации определяется по формуле:

(19)

где - коэффициент вариации;

- среднее квадратное отклонение;

- средняя арифметическая.

Среднее арифметическое определяется по формуле:

Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:



где: хi - значение признака;

fi - частота возникновения хi признака;

- общая численность совокупности

Среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии (среднего квадрата) и определяется по формуле:

(20)

где: - дисперсия (средний квадрат)

Дисперсия (средний квадрат) есть отношение суммы квадратов отношений индивидуальных значений признаков от их средней к численной совокупности.

Дисперсия (средний квадрат) для арифметической простой определяется по формуле:

(21)

Дисперсия (средний квадрат) для арифметической взвешенной определяется по формуле:

(22)

Считают, что изучаемая совокупность однородна, если коэффициент вариации не превышает 33%. Если же он больше 33% то говорят о том, что среднее значение не является типичным для данной совокупности.

Прогноз основных параметров оперативной обстановки в городе.

Для использования модели (18) в качестве инструмента прогнозирования достаточно вместо ti в уравнение подставить значение текущего (прогнозируемого) года.

Результаты выравнивания динамического ряда числа вызовов пожарных подразделений и оценку прогноза до ___ года представим графически

1.2 Моделирование потока вызовов пожарных подразделений

При определении основных показателей оперативной обстановки необходимо установить:

Интенсивность (или плотность) потока вызовов пожарных подразделений (ПП)?, равная среднему числу событий (вызовов ПП), возникающих в единицу времени. Значение оценивается по формуле:

(вызовов/ед.времени) (23)

где: число вызовов в исследуемом периоде времени;

исследуемый период времени.

Математической моделью простейшего потока событий, описывающей распределение вероятностей возникновения того или иного числа событий на интервале времени определенной длительности, может являться закон распределения Пуассона. В соответствии с этим законом теоретическая вероятность того, что на интервале времени возникает ровно k событий, вычисляется по формуле:

(k=0,1,2,3,...) (24)

где: число вызовов в интервале времени ; факториал числа вызовов за интервал времени.

При использовании формулы (20) размерность единиц измерения времени в величинах и должна быть согласована. Для интервала времени фиксированной длительности вероятности (k=0,1,2, …) связаны между собой соотношением:

(25)



Эмпирическая вероятность того или иного “k” событий в течение суток вычисляется по формуле:

, (26)

где: - число суток с указанным числом вызовов.

Определение теоретического распределения числа суток с тем или иным числом вызовов пожарных подразделений в течение анализируемого периода времени определяется по формуле:

(27)

Для проверки гипотезы о пуассоновском характере потока вызовов для обследуемого города требуется составить эмпирическое распределение числа вызовов пожарных подразделений на интервале времени длительностью одни сутки.

После этого оценить степень близости полученного эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому (к распределению Пуассона). Эта оценка производится при помощи критерия согласия Романовского (R), который позволяет определить, являются ли имеющиеся между распределениями расхождения случайными или закономерными. Критерий Романовского рассчитывается по формуле:

(28)

r - макс. число различных значений или групп значений изучаемого признака.



статистический критерий согласия Пирсона.

При согласовании реального потока вызовов пожарных подразделений пуассоновскому потоку должны выполняться условия:

R < R доп. (29)

где: R доп. - максимально - допустимое значение критерия Романовского, которое равно 3.

Эмпирическое и теоретическое распределения числа вызовов в интервале времени одни сутки

Число значений,	Число вызовов в сутки,	Эмпирическая частота (число суток с “k” вызовами),	Эмпирическая вероятность “” вызовов в сутки,	Теоретическая вероятность “” вызовов в сутки,	Теоретическая частота (число суток с “k” вызовами),
1	2	3	4	5	6	7
Критерий Пирсона -

На основании данных таблиц изображается графически полигон частот эмпирического и теоретического распределения числа вызовов пожарных подразделений в интервале времени длительностью одни сутки.



Рис. 2. Полигон теоретического и эмпирического распределения числа вызовов пожарных подразделений на интервале времени длительностью одни сутки.

Графическое изображение этих распределений позволяет сделать предварительный вывод об их согласовании.

Для окончательного вывода следует обратиться к статистическим критериям согласия. В данном случае применяется критерии Пирсона и Романовского.

Сопоставляя критерий Романовского, с допустимым (3), а так же сопоставляя по полигону значения теоретического и эмпирического распределения, очевиден вывод, что эмпирическое распределение с большой степенью точности описывается законом Пуассона и, следовательно, теоретическое распределение может служить моделью эмпирических данных и быть использовано для прогнозирования эмпирических величин и принятия управленческих решений.

1.3 Моделирование временных характеристик процесса функционирование противопожарной службы города

Среднее время обслуживания одного вызова в час определяется на основании данных интервального вариационного ряда по формуле:

(ед. времени) (29)

где: mj - эмпирическая частота, представляющая собой число вызовов пожарных подразделений, попадающих в J-й интервал времени;

(tj+tj+1)/2- середина интервала времени;

j - общее число наблюдений (количества вызовов) в исследуемом периоде; r - число выделенных интервалов времени;

tj - время начала J-го интервала;

tj+1- время конца J-го интервала.

Будем рассматривать время обслуживания вызовов tобсл. как непрерывную, случайную величину и исходить из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания вызовов.

Интервал времени обслуживания Dt, если он не задан, определяется по формуле.



, (30)

где: - соответственно максимальное, минимальное значение времени обслуживания вызовов.

Зная можно определить и число интервалов времени.

Эмпирическая вероятность попадания вызовов для обслуживания в J-й интервал времени определяется по формуле:

(30)

Теоретическая частота fj попадания J-й интервал при общем числе наблюденийj , определяется следующим образом:

fj = (j) Pj {tj _ t обсл _ tj+1} (31)

вызов пожарный математический распределение

Для описания вероятностного распределения случайной величины времени занятости пожарных подразделений обслуживанием вызова с помощью показательного закона распределения необходимо определить значение параметра m, представляющей собой интенсивность потока "освобождений" пожарных подразделений от обслуживания вызовов:

(32)



В соответствии с показательным законом распределения вероятность того, что продолжительность времени занятости пожарных подразделений обслуживанием вызова tобсл окажется меньше заданного значения или не меньше этого значения, находится соответственно по формулам:

Pj {t обсл < t} = 1 - e-mt (33)

Pj {t обсл V t} = 1 - Pj {t обсл < t} = e-mt (34)

При использовании формул (33,34) размерность единиц времени в величинах m и t должна быть согласована.

Вероятность нахождения значений случайной величины tобсл. в заданных пределах tj _ t обсл _ tj+1 вычисляется по формуле:

Pj {tj _ t обсл _ tj+1} = (35)

Данные вычислений сводятся в таблицу

Эмпирическое распределение времени занятости пожарных подразделений обслуживанием вызовов

Характеристика	Число вызовов, попадающих в тот или иной временной интервал
	0; 30	30; 60	60; 90	90; 120	120; 150	150 180	св. 180
Число значений, r
Середина интервала
Эмпирическая частота, mj
Эмпирическая вероятность, щj
Теоретическая вероятность, Р
Теоретическая частота, fj

На основании вычислений определяется критерий Романовского

Графики эмпирического и теоретического распределений длительности времени обслуживания вызова.



1.4 Моделирование одновременного возникновения пожаров

Вызовы, обслуживание которых происходит в один и тот же промежуток времени, называются одновременными.

Для рациональной организации оперативной деятельности подразделений ГПС в городе необходима правильная оценка возможностей пожарных подразделений обслуживать вызовы.

В процессе функционирования подразделений ГПС в городе особо важно предвидеть ситуации, требующие одновременного обслуживания нескольких вызовов. Такие критические ситуации характеризуются повышенной, а иногда предельной напряженностью функционирования пожарных подразделений.

Рассмотрим множество возможных состояний подразделений ГПС в городе, обозначаемых Ео, Е1, Е2, Е3,…, и пронумерованных по числу вызовов, обслуживанием которых заняты подразделения ГПС. В произвольный момент времени подразделений ГПС в городе могут находится в одном из этих состояний Еm (m=0,1,2,3,…). В дальнейшем возможны переходы из состояний Еm в состояние Еm-1 (в случае «освобождения» ПП от обслуживания одного из m вызовов) или в состояние Еm+1 (в случае возникновения еще одного вызова). Так как моменты возникновения вызовов и «освобождения» ПП от обслуживания их являются случайными, то и процесс возникновения одновременных вызовов имеет случайный характер и ему свойственны вероятностные закономерности.

Вероятность Рm того, что в произвольный момент времени подразделения ГПС в городе находятся в состоянии Еm одновременного обслуживания m вызовов, вычисляется по формуле:

(37)



где: a - параметр, называемый приведенной плотностью потока вызовов.

Расчет параметра a осуществляется по формуле:

(38)

При использовании формулы (37) размерность единиц измерения времени в величинах l и tобсл. должно быть согласована.

Для последовательных вычислений вероятностей Р0, Р1, Р2, Р3, … удобно использовать рекуррентные формулы, получаемые из формулы (38)

Ожидаемое на протяжение единичного промежутка времени число fm случаев, когда при возникновении очередного вызова возникает потребность в одновременном обслуживании того или иного числа m вызовов (т.е. число переходов из состояния Еm-1 в состояние Еm), вычисляется по формуле:

(m = 1, 2, 3, …) (39)

Между значениями Рm и fm имеют место следующие соотношения, которые могут быть использованы для проверки правильности вычислений:

(40)



Время, в течении которого в городе одновременно обслуживается «m» вызовов определяется по формуле:

Тm=Т'Рm , (41)

где: Т - время наблюдения за процессом функционирования подразделений ГПС.

Для наглядности теоретическое и эмпирическое число переходов системы состояния Еm в состояние Еm+1 сводятся в таблицу.

Теоретическое и эмпирическое число переходов системы состояния Еm в состояние Еm+1

№ п/п	Характеристика	Количество переходов системы состояния Em в состояние Em+1
		Е0 Е1	Е1 Е2	Е2 Е3	Е3 Е4
1	Теоретическое число переходов системы, , вызов/год
2	Эмпирическое число переходов системы, , вызов/год

Результаты проведённых расчетов и сопоставление теоретического и эмпирического количеств переходов позволяет сделать вывод о том, что теоретическое число переходов с недостаточной степенью точности описывает эмпирическое.



Заключение

Таким образом применяя математические методы в государственной противопожарной службе МЧС России можно спрогнозировать оперативную обстановку на будущее для конкретной местности, города и т.д. на основе имеющейся статической информации за истёкший период.

Расчётные показатели на последующие годы, научный подход, а так же экономическая целесообразность, позволяют определить достаточное количество пожарных депо, численность личного состава, пожарной техники и других параметров, позволяющих в совокупности обеспечивать выполнение основных задач ГГТС - тушение и предупреждение пожаров, а так же выполнения первоочередных, связанных с ними, аварийно-спасательных работ.



Список литературы

1. Игровое моделирование и пожарная безопасность: Учебное пособие / Н.Н. Брушлинский, В.И. Козлочков, В.Л. Семиков и др.; Под ред. Н.Н.Брушлинского. - М.: Стройиздат, 1993 г. - 272 с.

2. Организация работы с документами: Учебник / В.А. Кудряев и др. М.: ИНФРА-М, 1998 г. - 575 с.

3. Совершенствование организации и управления пожарной охраной: Совм.изд. СССР-НРБ / Н.Н. Брушлинский, А.К. Микеев, Г.С. Бозуков и др.; Под ред. Н.Н.Брушлинского. - М.: Стройиздат, 1986. - 222с.

4. Управление в государственной противопожарной службе: Методические рекомендации по подготовке к семинарским занятиям / В.С. Артамонов, Р.Н. Козленко, П.А. Смирнов: СПбИГПС, 2003. - 33с.

5. Управление в государственной противопожарной службе: Методические рекомендации по подготовке и проведению практических занятий и деловых игр / В.С. Артамонов, Р.Н. Козленко, П.А. Смирнов: СПбИГПС, 2003. 81 с.

6. Управление в государственной противопожарной службе: Учебное пособие по дисциплине / В.С. Артамонов, Р.Н. Козленко, А.Л. Сачевко: СПбИГПС, 2005г. - 55с.

Размещено на Allbest.ru