Прогнозирование емкости и коньюктуры рынка

На основании данных о еженедельном спросе на текстильную продукцию:

1. построить график (рис. 1) и визуально оценить наличие в нем тенденции;

2. проверить наличие или отсутствие в исходном временном ряде тенденции с помощью коэффициента Кендэла;

3. если исходный ряд является стационарным, то рассчитать точечный и интервальный прогноз с периодом упреждения прогноза, равным 1.

Рис. 1. Еженедельный спрос на текстильную продукцию

При визуальной оценке наличия в графике тенденции можно отметить сильную его приближенность к полиному высокого порядка (шестой степени), использование которого нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения, что противоречит смыслу тенденции.

Таким образом, в результате визуальной оценки можно сделать вывод об отсутствии в графике тенденции.

2).

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла (_р):

где n - количество уровней во временном ряде.

Коэффициент Кендэла является случайной величиной, соответствует нормальному распределению и изменяется от -1 до +1. Теоретическими характеристиками коэффициента Кендэла являются математическое ожидание, которое равно нулю (М = 0) и дисперсия, рассчитываемая по формуле:

Если сопоставить расчетное и теоретическое значение коэффициента Кендэла, то может возникнуть три ситуации.

1) (0 - t_d ) < _р < (0 + t_d ),

где t_d - коэффициент доверия.

Данный вариант означает, что с вероятностью t_d во временном ряде нет тренда.

2) _р < (0 - t_d )

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место убывающая тенденция.

3) _р > (0 + t_d )

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место возрастающая тенденция.

При выбранной вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия t_d = 1,96.

(0 - 1,96 ) < _р < (0 + 1,96 )

- 0,488 < - 0,0222 < + 0,488

Таким образом, с вероятностью 95% можно говорить об отсутствии тенденции среднего уровня (тренда) во временном ряде.

3)

Так как во временном ряде нет тенденции, то данный временной ряд является стационарным процессом.

Поскольку в ряде отсутствует тенденция, то точечный прогноз определяется как средняя арифметическая простая:

где n - количество уровней ряда.

Интервальный прогноз:

=+ t ,

где t - табличное значение по распределению Стьюдента с числом степеней свободы

К = n - 1 и уровнем значимости а; - дисперсия временного ряда.

При заданном уровне значимости a = 0,05 ( = 1 - а = 1 - 0,05 = 0,95) и числе степеней свободы К = 10 - 1 = 9, определим табличное значение t-критерия Стьюдента (см. Приложение 1). Табличное значение критерия Стьюдента t = 2,262.

Определим интервальный прогноз.

=17,7 - 2,262 = + 14,8

=24,16 + 2,262 = + 20,6

Таким образом, с вероятностью 0,95 (95%) можно говорить о том, что на 11-ю неделю уровень ряда будет находиться в промежутке между 14,8 и 20,6.

Задание № 2

По данным о ежедневном обороте магазина «Ткани для дома»:

1. построить график исходного временного ряда и визуально оценить наличие в нем тенденции и возможный ее тип. Сгладить исходный временной ряд с помощью скользящей средней (шаг сглаживания равен 3). Построить график сглаженного ряда и визуально оценить возможный в нем тип тенденции. Оба графика построить на одном чертеже (рис. 2). Результаты обеих визуальных оценок отметить в отчете;

2. оценить с помощью метода Фостера - Стюарта и коэффициента Кендела наличие тенденции (в среднем и дисперсии) в исходном временном ряде. Сравнить полученные оценки с оценками, полученными при выполнении пункта 1, и сделать окончательный свой вывод. Результаты вывода отметить в отчете;

3. по исходным данным методом усреднения по левой и правой половине определить параметры линейного тренда = а₀ + а₁t. Построить график исходного временного ряда и полученного линейного тренда на одном чертеже (рис. 3). Оценить визуально, отражает ли линейный тренд тенденцию временного ряда? Свой вывод отразить в отчете;

4. по исходным данным методом МНК рассчитать параметры линейного тренда = а₀ + а₁t. Кроме того, выбрать нелинейную модель, которая, по вашему мнению, может хорошо описать тенденцию исходного временного ряда. Рассчитать параметры выбранной вами нелинейной трендовой модели. Построить три графика (исходный временной ряд, линейная и выбранная вами нелинейная трендовая модели) на одном чертеже (рис. 4). Определить аналитическим способом, какая из двух трендовых моделей (линейная и нелинейная) наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд;

5. построить график ряда отклонений е_t (рис. 5) и визуально оценить отсутствие в нем тенденции. Оценить адекватность выбранной модели тренда исходному ряду на основе анализа данных ряда отклонений;

6. рассчитать точечную и интервальную прогнозную оценку с периодом упреждения, равным = 1.

1)

Рис. 2. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный и сглаженный ряд)

После построения графика (рис. 2) можно сделать вывод о наличии возрастающей тенденции. После построения сглаженного ряда стало более наглядно видно наличие возрастающей тенденции.

2). а) Метод Фостера - Стюарта

Выдвинем нулевую гипотезу: во временном ряде (данные графы 2) нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии. Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы необходимо рассчитать по формулам и значения t₁ и t₂. Но для этого надо знать значения м, у₁, у₂ . В приложении 1 приведены данные для n=10 и для n=15, а нам надо найти данные для n=12.

Для нахождения данных при n=12 используем принцип интерполяции, предположив, что эти данные в интервале от n=10 до n=15 изменяются линейно, т.е. равномерно. Поэтому нам нужно к значениям данных при n=10 прибавить их изменения за два (2=12-10) шага и получить искомые данных.

Найдем м для n=12 следующим образом. Значение м для n=10, согласно приложению 1, равно 3,858. Увеличение м при изменении n на 2 шага найдем следующим образом

.

Отсюда м(12)=м(10)+Дм=3,858+0,311=4,169. Аналогичным образом найдем значения для у₁(12)=1,381 и для у₂(12)=2,040. По формулам (2.7) найдем значения t₁ и t₂

= (8 - 4,169)/1,381 = 3,326; = (8-0)/2,040 = 3,92

Случайные величины t₁ и t₂ имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы К = n - 1 = 12 - 1 = 11 и уровнем значимости a, который может принимать значения 0,01; 0,05 и т.д. Примем уровень значимости (вероятность, с которой исследователь может ошибиться), равный 0,05 (5%). На основе выбранного уровня значимости а = 0,05 рассчитаем доверительную вероятность: = 1 - а = 1 - 0,05 = 0,95.

По числу степеней свободы К = 11 и величине доверительной вероятности = 0,95 по таблице «Значение t-критерия Стьюдента» (Приложение 1)определим табличное значение случайной величины (t): t = 2,201.

Расчетные значения t₁ и t₂ сопоставим с табличным t.

Если сопоставить расчетные значения t₁ и t₂ с табличным t, то может возникнуть четыре ситуации.

1) |t₁| > |t|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью во временном ряде имеет место тенденция дисперсии.

2) |t₁| < |t|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью во временном ряде нет тенденции дисперсии.

3) |t₂| > |t|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью во временном ряде имеет место тенденция в среднем.

4) |t₂| < |t|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью во временном ряде нет тенденции в среднем.

1) 3,326 > 2,201; 3,92 > 2,201 нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью = 0,95 можно говорить, что во временном ряде имеет место тенденция дисперсии

б) Метод коэффициента Кенделла

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла (_р):

где n - количество уровней во временном ряде.

Коэффициент Кендэла является случайной величиной, соответствует нормальному распределению и изменяется от -1 до +1. Теоретическими характеристиками коэффициента Кендэла являются математическое ожидание, которое равно нулю (М = 0) и дисперсия, рассчитываемая по формуле:

Если сопоставить расчетное и теоретическое значение коэффициента Кендэла, то может возникнуть три ситуации.

1) (0 - t_d ) < _р < (0 + t_d ),

где t_d - коэффициент доверия.

Данный вариант означает, что с вероятностью t_d во временном ряде нет тренда.

2) _р < (0 - t_d )

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место убывающая тенденция.

3) _р > (0 + t_d )

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место возрастающая тенденция.

При выбранной вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия t_d = 1,96.

_р > (0 + 1,96 )

0,85 > + 0,434

Таким образом, с вероятностью 0,95 (95%) можно говорить о наличии в ряде возрастающей тенденции в среднем (тренда).

В ходе анализа временного ряда на наличие в нем тенденции среднего уровня (тренда) по методу Фостера - Стюарта и методу коэффициента Кенделла получены аналогичные результаты. Следовательно, в ряде отмечается возрастающая тенденция в среднем.

Таким образом, визуальная оценка нашла свое подтверждение в ходе аналитических расчетов с использованием соответствующих методов оценки временного ряда на наличие в нем тенденции.

3). Метод усреднения по левой и правой половине

Метод усреднения по левой и правой половине - графический метод, используется для нахождения параметров линейного тренда.

Для нахождения параметров а₀ и а₁ разделим исходные данные пополам и по каждой половине рассчитаем средние значения фактора и уровня ряда.

В результате расчетов получили две точки: А (3,5; 13,25), В (9,5; 15,95).

Построим графическую модель исходного временного ряда и найдя точки А и В, проведем через них прямую, которая будет отображать тенденцию исходного временного ряда (рис. 3).

Рис. 3. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд и линейный тренд)

Из графика видно, что построенный линейный тренд отражает тенденцию исходного ряда: возрастающий тренд.

Для нахождения параметра а₀ продолжим линию до пересечения с осью ординат. Чтобы найти параметр а₁, преобразуем уравнение тренда:

а₁t = - а₀ | :t

Зададимся произвольным значение параметра t (например, t = 3,5). По графику модели найдем значение параметра а₀ (а₀ = 13,45). Рассчитаем значение параметра а₁.

Таким образом, уравнение линейного тренда будет иметь следующий конкретный вид:

= 11,8+ 0,41t.

4). Расчет параметров линейного тренда _t = а₀ + а₁t по исходным данным методом МНК.

Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.

=(175,2*650-78*1204,5)/(12*650-78*78)=11,614;

=(12*1204,5-175,2*78)/(12*650-78*78)=-0,459

Расчет параметров параболического тренда _t = а₀ + а₁t + a₂t² по исходным данным методом МНК.

Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.

na₀ + a₁t + a₂t² = y;

a₀t + a₁t² + a₂t³ = yt;

a₀t² + a₁t³ + a₂t⁴ = yt².

Таким образом, параболический тренд имеет следующий вид:

_t = 11,12 + 0,67 t - 0,016 t².

Рис. 4. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд, линейный и параболический тренд)

Проведем оценку аппроксимации линейного тренда и выбранной параболической трендовой модели с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений, который имеет следующий вид:

где n - количество уровней ряда; m - число параметров трендовой модели.

Для линейного тренда

Для параболического тренда

0,4483 > 0,396; параболическая модель наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд.

5)

Найдем величины случайных отклонений для исходного ряда по формуле: e_t = y_t - _t.

Построим график ряда отклонений e_t (рис. 5).

Рис. 5. График ряда отклонений e_t

Из графика видно, что в ряде отклонений e_t отсутствует тенденция.

Оценим адекватность выбранной трендовой модели (параболы) исходному ряду на основе анализа ряда отклонений e_t.

1) Колебание величины e_t носит случайный характер. Выполнение этого условия означает, что величина e_t не содержит элементов тренда. Проверим это условие с помощью критерия поворотных точек. Точка считается поворотной, если выполняется одно из следующих условий:

e_t-1 < e_t > e_t+1

e_t-1 > e_t < e_t+1

Обозначим поворотные точки как Р_t = 1. В противном случае P_t = 0. Найдем сумму всех поворотных точек P = P_t.

Выдвинем нулевую гипотезу - Н₀: колебание величины et носит случайный характер. Для проверки нулевой гипотезы рассчитаем математическое ожидание и дисперсию поворотных точек.

При вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия t_d = 1,96.

Если расчетное значение числа поворотных точек попадает в интервал
(М(Р) - t_d ) < P < (М(Р) + t_d ), то с выбранной вероятностью можно утверждать, что колебания величины e_t носит случайный характер.

(6,667 - 1,96 ) < 7 < (6,667 + 1,96 )

4,029 < 7 < 9.305

Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что колебания величины e_t носит случайный характер.

2) Распределение величины e_tсоответствует нормальному распределению. Для этого используем RS-критерий.

S= == 0,706

Определим табличное значение RS-критерия по таблице «Значения RS-критерия для n от 10 до 30» (Приложение 3).

Выдвинем нулевую гипотезу: величина e_t соответствует нормальному распределению. Для этого должно выполняться условие: RS_12Н < RS_р < RS_12В.

Поскольку это условие выполняется (2,772 < 2,777 < 3,978), то с вероятность 0,95 (95%) можно утверждать, что распределение величины e_t соответствует нормальному распределению.

3) Математическое ожидание величины e_t равно нулю. Для проверки этого условия выдвинем нулевую гипотезу - Н₀: М(e_t) = 0, после чего определим расчетное значение величины t_р:

где - средняя арифметическая простая величины e_t; S_e - среднее квадратическое отклонение величины e_t.

S_e= == 0,623

Найдем табличное значение t_т (Приложение 1) по распределению Стьюдента при доверительной вероятности = 1 - а = 1 - 0,05 = 0,95 и числе степеней свободы К = n - 1 = 12 - 1 = 11. В данном случае t_т = 2,201.

Сопоставим табличное и расчетное значения. Если t_h < t_т, то нулевая гипотеза принимается, и наоборот.

0,75 < 2,201, с вероятностью 0,95 (95%) принимается нулевая гипотеза, т.е. М(e_t) = 0.

4) Независимость членов ряда между собой (проверка временного ряда на отсутствие автокорреляции). Для проверки данного условия используется критерий Дарбина - Уотсона, расчетное значение которого определяется следующим образом:

d_р = 4 - 1,88 = 2,12.

По таблице «Распределение критерия Дарбина - Уотсона» для положительной автокорреляции (для 5% уровня значимости)» находим табличное значение d--_т. При n = 12 и V = 1 нижнее и верхнее значения распределения будут соответственно равны d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36.

Сравним расчетное и табличное значения: d_р > d₂ (2,12 > 1,36). Таким образом, с вероятностью 95% можно говорить об отсутствии в ряде автокорреляции.

6). Рассчитаем точечную прогнозную оценку с периодом упреждения = 1 для линейного тренда (_t = 11,614+ 0,459 t):

_(n+) = а₀ + а₁ (n+);

₍₁₂₊₁₎ = 11,614+ 0,459 (12 + 1) = 17,581.

Интервальный прогноз для линейного тренда:

_(n+) =_(n+) + t_т S ,

где n - число уровней ряда в периоде основания прогноза; - период упреждения прогноза; t_т- - табличное значение по Стьюденту с уровнем значимости (а) и числом степеней свободы (К = n - 2); S- стандартная ошибка тренда.

t_т = К; _(n+) =_(n+) + S К.

При = 1 и n = 12 по таблице «Значение К для оценки доверительных интервалов прогноза при вероятности = 0,9 (линейный тренд)» (Приложение 6) К = 2,1274.

S= == 0,67.

Интервальный прогноз для линейного тренда

₍₁₂₊₁₎ = 17,581 + 0,67 2,1274=19,0064

₍₁₂₊₁₎ = 17,581 - 0,67 2,1274=16,1556

16,1556 < ₁₃ < 19,0064, т.е. с вероятностью 0,9 (90%) можно утверждать, что на 13-ый день оборот магазина «Ткани для дома» составит от 16,1556 до 19,0064 д.е.

_t = 11,12 + 0,67 t - 0,016 t².

Рассчитаем точечную прогнозную оценку с периодом упреждения = 1 для параболического тренда (_t = 11,12 + 0,67 t - 0,016 t²):

_(n+) = а₀ + а₁ (n+) + а₂ (n+)²;

₁₃ = 11,12 + 0,67 13 - 0,016 13² = 17,126.

Интервальный прогноз для нелинейного (параболического) тренда:

_(n+) =_(n+) + S К.

При = 1 и n = 12 по таблице «Значение К для оценки доверительных интервалов прогноза при вероятности = 0,9 (параболический тренд)» (Приложение 7) К = 2,636.

S= == 0,63.

Интервальный прогноз для нелинейного (параболического) тренда

₁₃ = 17,126 + 0,63 2,636=18,7867

₁₃ = 17,126 - 0,63 2,636=15,4653

15,4653 < ₁₃ < 18,7867, т.е. с вероятностью 0,9 (90%) можно утверждать, что на 13-ый день оборот магазина «Ткани для дома» составит от 15,4653 до 18,7867 д.е.