Застосування методу аналізу ієрархій до задачі про вибір найкращого варіанту будівництва стадіону

Размещено на http://www.allbest.ru

Зміст

Вступ

Прийняття рішень в умовах невизначеності (формулювання проблеми, пояснення розрахунків, розрахункові формули)

Розрахунок узгодженої матриці

Розрахунок неузгодженої матриці за індивідуальним варіантом

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Під прийняттям рішень будемо розуміти особливий процес людської діяльності, направлений на вибір найкращого варіанта дій. Процес прийняття рішень складається з трьох етапів: пошук інформації, пошук і знаходження альтернатив та вибір найкращої альтернативи. На першому етапі збирається вся доступна на момент прийняття рішення інформація: фактичні дані, судження експертів. Там, де це можливо, будуються математичні моделі, проводяться соціологічні опитування: визначаються погляди на проблему з боку активних груп, які впливають на її рішення. Другий етап зв'язаний із визначенням того, що можна, а що не можна робити в даній ситуації, тобто з визначенням варіантів рішень (альтернатив). І вже третій етап включає в себе порівняння альтернатив та вибір найкращого варіанта (або варіантів) рішення, усереднення експертних оцінок при аналізі складних неформалізованих проблем.

Як прийняти правильне рішення? Це завжди непросто. І чим складніше ситуація, тим важче зробити правильний вибір. А в політиці, економіці, техніці та й в особистому житті кожного з нас ціна помилкового рішення часом буває непомірно велика. От чому так важливо опанувати теорією, методами, практичними прийомами прийняття рішень.

Одним із часто застосовуваних методів прийняття рішень є метод аналізу ієрархії (МАІ), його можна широко використовувати при прийнятті рішень в умовах невизначеності. Ця методика пропонує засоби для упорядкування пріоритетів у системі, для вимірювання інтенсивності взаємодії компонентів, які є в ієрархії.

Ієрархія - це вид розташування частин та елементів цілого в порядку від вищого до нижчого. В перекладі з древньогрецької - “священна влада”. В теорії систем - це певний вид системи, що складається з елементів, які згруповані в незалежні підмножини (групи). Причому об'єкти (елементи) i-ої групи знаходяться під впливом об'єктів (i-1)-ої групи і в той же час впливають на елементи (i+1)-ої групи. Групи називають рівнями (кластерами). Графічно ієрархію зображують у вигляді дерева, де верхній рівень -- найвпливовіший. У багатьох випадках вважається, що елементи одного рівня незалежні один від одного.

Ця методологія пропонує засоби для упорядкування пріоритетів у системі, для вимірювання інтенсивності взаємодії компонентів, які є в ієрархії. Методологія враховує роль людини в ієрархії, дає основу для знаходження компромісу (примирення) у задоволенні численних людських інтересів та прагнень, які вступають між собою у протиріччя.

Розв'язування проблеми в системному аналізі розглядається як процес поетапного встановлення пріоритетів.

І-й етап: виявлення найважливіших елементів проблеми;

ІІ-й етап: виявлення найкращих способів перевірки спостережень, порівняння та оцінки елементів;

ІІІ-й етап: вироблення способу прийняття рішення й оцінки його якості.

Процес аналізу може застосовуватися для послідовності ієрархій: результати одного рівня є даними для іншого.

Метод аналізу ієрархій складається з таких основних етапів:

декомпозиція проблеми;

побудова ієрархічної структури моделі проблеми;

експертне оцінювання переваг;

побудова локальних пріоритетів;

оцінка узгодженості висновків;

синтез локальних пріоритетів;

висновки та пропозиції для прийняття рішення.

Розглянемо застосування методу аналізу ієрархії до задачі про вибір найкращого варіанта будівництва стадіону.

Прийняття рішень в умовах невизначеності

Формулювання проблеми

Студент ПНТУ планує побудувати футбольний стадіон. У нього є вибір з декількох пропозицій. Основні вимоги студент сформулював у вигляді трьох груп показників, що характеризують визначені якості майбутнього стадіону:

1. фінансові :

1.1 ціни на будматеріали,

1.2 вартість вхідних квитків;

2. якісні:

2.1 рівень комфорту,

2.2 місткість стадіону,

2.3 наявність медпунктів,

2.4 паркінг;

3. географічні:

3.1 клімат,

3.2 привабливість місцевості.

По кожному з показників розроблені умови, що дозволяють сформулювати критерій вибору:

1) ціни на будматеріали середні;

2) рівень комфорту найвищий, наявність медпунктів, місткість стадіону найбільша, обов'язкова наявність паркінгу;

3) гарний клімат, висока привабливість місцевості.

Основна мета, що поставив студент, побудувати гарний стадіон за будь-які гроші. Є три варіанти вибору.

Стадіон А - Полтава (ціни на будматеріали середні; вартість вхідних квитків низька; рівень комфорту найкращий; найбільша місткість стадіону; наявні медпункти, великий паркінг; сприятливий клімат; привабливість найкраща).

Стадіон Б - Гадяч (ціни на будматеріали високі; вартість вхідних квитків середня; рівень комфорту середній; місткість стадіону менше Полтави, але більше Котельви; наявні медпункти; паркінг менше Полтави, але однаковий з Котельвою; клімат гірше Полтави і Котельви; привабливість середня).

Стадіон В - Котельва (ціни на будматеріали середні; вартість вхідних квитків вища, ніж у Полтаві і Гадячі; рівень комфорту вище Гадяча, але менше Полтави; місткість стадіону найменша; наявні медпункти; паркінг однаковий з Гадячем, але менше Полтави; клімат краще, ніж у Гадячі, але гірше, ніж у Полтаві; привабливість середня/

Побудова ієрархічної структури моделі проблеми

На цьому етапі ми побудуємо ієрархічну структуру моделі проблеми (Рис. 1), на якій головним щаблем буде загальне задоволення стадіоном, що в свою чергу розбивається на групи показників (фінансові, якісні, географічні). Далі кожна з груп показників розбивається на визначені якості, які характеризують майбутній стадіон.



Рис. 1 Ієрархічна структура моделі проблеми

Експертне оцінювання переваг

Розглянемо роботу першої групи експертів. Для цього складемо матрицю попарних порівнянь.

Наближено компоненти головного власного вектора матриці є середніми геометричними значень відповідних рядків матриці, тобто:

Максимальне власне число (значення) матриці знаходиться за наближеними формулами так:

Компоненти вектора пріоритетів одержують нормуванням чисел Vi , тобто:

Далі визначаємо параметри узгодженості оцінок. За міру узгодженості приймають показник - індекс узгодженості (ІУ) та відношення узгодженості (ВУ).

За міру узгодженості приймемо величину, яку назвали індекс узгодженості (ІУ), що розраховується за такою формулою:

ІУ = .

Для одержання висновку, чи є узгодження прийнятним, ІУ порівнюють із величиною випадкового індексу узгодженості (ВІ).

ВІ розраховується для квадратної матриці порядку n, що є додатною обернено симетричною, елементи якої згенеровані випадково як рівномірно розподілені на інтервалі [1, 8] натуральні числа. Для фіксованого n індекс розраховується як середнє значення для вибірки обсягу 100.

Відношення узгодженості (ВУ) є часткою між індексом узгодженості та випадковим індексом узгодженості:

.

Якщо ВУ<0,1, то ступінь узгодженості вважають прийнятним. В іншому разі експерту радять переглянути свої висновки на основі більш глибокого аналізу проблеми. При цьому виявляються елементи матриці, які вносять найбільшу неузгодженість і їх змінюють.

Вплив факторів третього рівня на фактори другого рівня

Далі розглядається вплив факторів 3-го рівня на фактори 2-го рівня, тобто визначимо перевагу (значущість) кожного стадіону А, Б, В по відношенню до кожного з факторів 2-го рівня. Це робиться на основі даних задачі побудовою 8-ми матриць парних порівнянь для трьох (стадіони А, Б, В) факторів третього рівня.

Синтез локальних пріоритетів

На наступному етапі здійснюється синтез локальних пріоритетів (оцінка узагальнених (глобальних) пріоритетів).

Це робиться перемноженням матриці локальних пріоритетів 2-го рівня на вектор локальних пріоритетів 1-го рівня. Перемноживши матрицю векторів пріоритетів 2-го рівня на вектор пріоритетів 1-го рівня ми отримаємо відсоткове співвідношення для кожної альтернативи.

Оцінка узгодженості висновків

На цьому етапі зробимо розрахунок узагальненої міри узгодженості (для всієї ієрархії). Розрахуємо індекс узгодженості 2-го рівня як добуток вектора індексів узгодженості 2-го рівня на вектор пріоритетів 1-го рівня.

Узагальнений індекс узгодженості М визначимо як суму індексів узгодженості 1-го та 2-го рівнів.

Аналогічно розраховується сумарний випадковий індекс Мв.

Загальна узгодженість для всієї ієрархії:

М/Мв=Ву

Загальна узгодженість не повинна бути більше за допустиме значення. Допустиме значення - 0,1. Якщо загальна узгодженість перевищує допустиме значення, то це свідчить про недоліки в роботі групи експертів.

Розрахунок узгодженої матриці

Розглянемо роботу першої групи експертів. Для цього складемо матрицю попарних порівнянь (Рис. 2).

Рис. 2 Матриця попарних порівнянь

Далі визначаємо параметри узгодженості оцінок (Рис. 3). За міру узгодженості приймають показник - індекс узгодженості (ІУ) та відношення узгодженості (ВУ).

Провівши необхідні розрахунки, отримую такі результати:

Рис. 3 Параметри узгодженості оцінок

Оскільки ВУ<0,1, а саме 0,066063, то ступінь узгодженості вважають прийнятним.

Далі розглянемо вплив факторів 3-го рівня на фактори 2-го рівня, тобто визначимо перевагу (значущість) кожного стадіону А, Б, В по відношенню до кожного з факторів 2-го рівня. Результати - матриці та результати їх аналізу (вектори пріоритетів та міри узгодженості) наведені в таблицях (Рис. 4).

Аналогічно розраховуємо вплив факторів для інших семи показників.

Рис. 4 Розрахунок впливу факторів 3-го рівня на фактори 2-го рівня

На наступному етапі здійснюється синтез локальних пріоритетів (оцінка узагальнених (глобальних) пріоритетів) (Рис. 5).

Рис. 5 Синтез локальних пріоритетів

Зробимо розрахунок узагальненої міри узгодженості (для всієї ієрархії). (Рис. 6)

Рис. 6 Оцінка узгодженості висновків

Індекс узгодженості: IU = 0,025225.

Узагальнений індекс узгодженості М (Рис. 7):

Рис. 7 Узагальнений індекс узгодженості

Розрахуємо випадковий індекс (Рис. 8):

Рис. 8 Розрахунок випадкового висновку

Випадковий індекс: BI = 0,58

Аналогічно розраховується сумарний випадковий індекс Мв (Рис. 9):

Рис. 9 Розрахунок сумарного випадкового індексу

Загальна узгодженість для всієї ієрархії (Рис. 10):

Рис. 10 Розрахунок загальної узгодженості для всієї ієрархії

Загальна узгодженість у нас вийшла в межах норми, тобто не перевищила допустиме значення (допустиме значення - 0,1). Тому вважаємо, що перша група експертів провела вдалу роботу. Таким чином, можна зробити висновок: після проведених розрахунків виявилося, що 53% - перевага надається будівництву стадіону в Полтаві, 31% - в Гадячі та 16% - в Котельві. Тобто з урахуванням усіх факторів я вибираю Полтаву як місце будівництва нового стадіону. Але робити вибір, спираючись на висновки лише однієї групи експертів було б нерозумно. Тому для більш зваженого рішення, потрібно скористатися послугами ще однієї групи експертів.

Розрахунок неузгодженої матриці за індивідуальним варіантом (Варіант № 26)

Наступним нашим етапом буде аналіз роботи другої групи експертів (тобто розрахунок задачі методом аналізу ієрархій за варіантом, що видав викладач).

На цьому етапі я виконую таку послідовність дій, яка аналогічна першому етапу. Розрахунки по неузгодженій матриці аналогічні розрахункам по узгодженій.

Проведемо експертне оцінювання переваг. Для цього складемо матрицю попарних порівнянь і визначимо параметри узгодженості оцінок (Рис. 11):

Рис. 11 Матриця попарних порівнянь та параметри узгодженості оцінок

Оскільки ВУ>0,1, а саме 0,647078, то ступінь узгодженості вважають неприйнятним.

В результаті проведених розрахунків було отримано надто великі значення для таких параметрів: вартість вхідних квитків, наявність медпунктів, паркінг, клімат, привабливість місцевості. Це вплинуло на загальну узгодженість матриці попарних порівнянь, тому я порадив би цій групі експертів переглянути свої висновки щодо даних показників.

Далі розглядаємо вплив факторів 3-го рівня на фактори 2-го рівня, тобто визначимо перевагу (значущість) кожного стадіону А, Б, В по відношенню до кожного з факторів 2-го рівня (Рис. 12).

Рис. 12 Розрахунок впливу факторів 3-го рівня на фактори 2-го рівня

В результаті проведеного розрахунку я отримав неприйнятні відношення узгодженості стосовно кожного з стадіонів у таких параметрів: ціни на будматеріали, місткість стадіону, паркінг, клімат. Це знову свідчить про незадовільну роботу експертів. Тому я порадив би експертам переглянути свої дії та висновки по кожному з цих показників для більш прийнятних результатів дослідження.

На наступному етапі здійснюється синтез локальних пріоритетів (оцінка узагальнених (глобальних) пріоритетів) (Рис. 13).

Рис. 13 Синтез локальних пріоритетів

Зробимо розрахунок узагальненої міри узгодженості (для всієї ієрархії) (Рис.14).

Рис. 14 Розрахунок узагальненої міри узгодженості

Індекс узгодженості: IU = 0,094197.

Узагальнений індекс узгодженості М визначимо як суму індексів узгодженості 1-го та 2-го рівнів (Рис. 15):

Рис. 15 Узагальнений індекс узгодженості М

Розрахуємо випадковий індекс (Рис. 16):

Рис. 16 Розрахунок випадкового індексу

Випадковий індекс: BI = 0,58

Аналогічно розраховується сумарний випадковий індекс Мв (Рис. 17):

Рис. 17 Розрахунок сумарного випадкового індексу Мв

Загальна узгодженість для всієї ієрархії (Рис. 18):

М/Мв=Ву

Рис. 18 Загальна узгодженість для всієї ієрархії

Оскільки, значення відношення узгодженості в результаті розрахунків виявилося більшим за 0,1, то роботу другої групи експертів вважаємо незадовільною. Таким чином, можна зробити висновок: після проведених розрахунків виявилося, що 58% - перевага надається будівництву стадіону в Полтаві, 28% - в Гадячі та 14% - в Котельві. Тобто з урахуванням усіх факторів я вибираю Полтаву як місце будівництва нового стадіону.

Оскільки, в процесі роботи виникли розбіжності у думках експертів, я порадив би їм переглянути хід своїх міркувань к процесі розв'язку даної проблеми.

Висновок

В даній курсовій роботі я застосував метод аналізу ієрархій до розв'язку задачі «Прийняття рішень в умовах невизначеності». За мету було поставлено вибрати найкращий варіант для будівництва стадіону.

Одним із часто застосовуваних методів прийняття рішень є метод аналізу ієрархії (МАІ), його можна широко використовувати при прийнятті рішень в умовах невизначеності. Ця методика пропонує засоби для упорядкування пріоритетів у системі, для вимірювання інтенсивності взаємодії компонентів, які є в ієрархії.

Розглядалася робота двох груп експертів. Спочатку були проведені розрахунки першою групою експертів. В результаті отриманих розрахунків з урахуванням усіх факторів найбільшу підтримку отримав проект будівництва стадіону в Полтаві - 53%, проти 31% та 16% у Гадячі та Котельві відповідно. Відношення узгодженості не перевищило задану норму. Тому в цьому випадку я раджу вибрати варіант будівництва у Полтаві.

Далі для більшої впевненості я розглянув роботу другої групи експертів. В результаті проведених розрахунків найбільшу підтримку отримав також проект будівництва у Полтаві - 58%, проти 28% та 14% у Гадячі та Котельві відповідно. В цьому випадку відношення узгодженості перевищило допустиме значення. Виходячи з усіх показників, я раджу вибрати і тут Полтаву.

Але порівнюючи між собою результати, які були отримані від двох груп експертів, я відкидаю результати роботи другої групи експертів, оскільки під час їхньої роботи виникли протиріччя, які привели до загальної неузгодженості в їхній роботі та до неузгодженості в питанні окремих факторів вибору. Тому я не можу брати результати їх роботи за основу вибору проекту. Виходячи з сказаного, я приймаю рішення про вибір результатів роботи першої групи експертів. Отже, в даній ситуації я вибираю проект будівництва стадіону в Полтаві (53%).

Список використаної літератури

прийняття рішення невизначеність ієрархія матриця

Методичні вказівки до виконання курсового проекту з дисципліни "Системи і методи прийняття рішень" для студентів спеціальності "Прикладна математика", „Інформатика” ? Полтава: ПолтНТУ, 2003 р. Укладач: ст. викладач Романова Н.Г.

Конспект лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень. Укладач: ст. викладач Климко О. Г.

Ситник В.Ф., Гордієнко І.В. Системи підтримки прийняття рішень: Навч.-метод. посібник для самостійного вивчення дисципліни. - К.: КНЕУ, 2004. - 427 с.

1. Размещено на www.allbest.ru