ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

Количество недоминируемых альтернатив по Парето 6 из 8 альтернатив

Решение представлено в следующем скрипте:

clear all

clc

global lc lw uc1 uw1 uc2 uw2

FF=10; % Размер сетки табуляции значений функций

lc=40; % Размер подарка печеньем

lw=40; % Размер подарка вином

uc1=4; uw1=60; % Параметры функции полезности для 1-го агента

uc2=3; uw2=70; % Параметры функции полезности для 2-го агента

x = linspace(0,lc,FF); % Сетка значений

% вариантов доли печенья 1-го агента

y = linspace(0,lw,FF); % Сетка значений

% вариантов доли вина 1-го агента

[x1,y1] = meshgrid(x,y); % Варианты дележа в формате

% приемлемом для построения 3-d графика

z1 = u1(x1,y1); % Полезности для 1-го агента

z2 = u2(x1,y1); % Полезности для 2-го агента

figure(1),mesh(x1,y1,z1),hold on, title('Useness 1 & 2');

mesh(x1,y1,z2);

figure(2),[C3,h] = contour(x1,y1,z1,5);grid,hold on, title('Useness 1');

text_handle = clabel(C3,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[1 1 .6],'Edgecolor',[.7 .7 .7]);

figure(3),[C4,h] = contour(x1,y1,z2,5),grid,hold on, title('Useness 2');

text_handle = clabel(C4,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

figure(4),[C7,h] = contour(x1,y1,z1-z2, [0 0],'b'),title('Useness1 equals Use-ness2,vs Usness1'),hold on;

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

[C3,h] = contour(x1,y1,z1,5),grid;

text_handle = clabel(C3,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[1 1 .6],'Edgecolor',[.7 .7 .7]);

figure(5),[C7,h] = contour(x1,y1,z1-z2, [0 0],'b'),title('Useness1 equals Use-ness2.vs Useness2'),hold on;

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

[C4,h] = contour(x1,y1,z2,5),grid;

text_handle = clabel(C4,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

figure(6), [C6,h] = contour(x1,y1,z1-z2, [0 0],'b'),title('Useness1 equals Use-ness2'),grid;

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

[s1,s2] = size(C7);

cmax = C7(1,s2); % Самое большое значение x на изолинии "u1=u2"

u1par=u1(cmax,reduc(cmax))

u2par=u2(cmax,reduc(cmax))

disp([' Доля печенья первого агента равна = ' , num2str(cmax)]);

disp([' Доля вина первого агента равна = ' , num2str(reduc(cmax))]);

disp([' Доля печенья второго агента равна = ' , num2str(lc - cmax)]);

disp([' Доля вина первого агента равна = ' , num2str(reduc(cmax))]);

disp([' Полезность первого агента = ' , num2str(u1par)]);

disp([' Полезность второго агента = ' , num2str(u2par)]);

Функция U1:

function res = u1(x,y)

% Векторнозначная функция полезности 1-го агента

% зависящая от глобальных данных uc1 uw1

% и матриц x,y, соответствуюшие долям 1-го

global uc1 uw1

res=uc1*x + uw1*y;

Функция U2:

function res = u2(x,y)

% Векторнозначная функция полезности 2-го агента

% зависящая от глобальных данных uc2 uw2

% и матриц x,y, уже задействованных в u1

global uc2 uw2 lc lw

res=uc2*(lc-x) + uw2 * (lw-y);

Функция reduc:

function res = reduc(x)

% Функция вычисляющая res долю вина 1-го агента по x -

% его доле печенья в ситуации, когда полезности агентов выравнены

% lc=3; % Размер подарка печеньем

% lw=1; % Размер подарка вином

% uc1=1; uw1=1; % Параметры функции полезности для 1-го агента

% uc2=1; uw2=4; % Параметры функции полезности для 2-го агента

global lc lw uc1 uw1 uc2 uw2

res=((uc2*lc + uw2*lw)-x*(uc1+uc2))/(uw1+uw2);

Результат работы скрипта:

Размер подарка печеньем = 40

Размер подарка вином = 40

Доля печенья первого агента равна = 40

Доля вина первого агента равна = 20.3077

Доля печенья второго агента равна = 0

Доля вина первого агента равна = 20.3077

Полезность первого агента = 1378.4615

Полезность второго агента = 1378.4615

Рисунок 13. Полезность обоих агентов как функции доли 2-ого

Рисунок 14. Линии безразличия 1

Рисунок 15. Линия безразличия 2

Рисунок 16. Линия равной полезности против линий безразличия 1

Рисунок 17. Линия равной полезности против линий безразличия 2

Рисунок 18. Линия равной полезности

Проведем контроль полученного решения, проведя повторное исследование методом линейного программирования. В нашем распоряжении имеется па-кет Linear Program Solver (LiPS), предназначенный для решений задач линейного программирования. Для проверки решения сначала сформируем ЗЛП. Функция от четырех переменных

f = 4 * x1 + 3 * x2 + 60 * x3 + 70 * x4 выражает общую полезность от раздачи подарка двум агентам

где: x1 - размер подарка печеньем для первого агента

х2 - размер подарка печеньем для второго агента

х3 - размер подарка вином для первого агента

х4 - размер подарка вином для второго агента

При этом действуют следующие ограничения. Так как полезности дележа для каждого агента должны быть равны, то мы имеем:

-4 * x1 + 3 * x2 - 60 * x3 + 70 * x4 = 0.

Кроме того, дележ продуктов не должен оставлять остатков, поэтому

x1 + x2 = 40,а x3 + x4 = 40

не считая обычных ограничений для размеров подарков чисто физическими значениями - размер подарка для каждого агента не может быть отрицательным или превышать общий размер подаренных продуктов, т.е 0 x1,2 40 x3,4 40

Исходя из заданных условий, вводим в LiPS табличную модель, удовлетворяющей нашей задаче и получаем решение, которое выдает максимальную величину полезности, как 2756.92 (рис. 19).

Рисунок 19. Табличная модель задачи линейного программирования.

Проверяя полезности для каждого агента, исходя из выданного решения имеем, что размер подарка печенья для первого агента равна 40, для второго 0.

В то время, как размер подарка вином для первого агента составил согласно решению ЗЛП 264/13 ? 20,308 , а для второго 256/13 ? 19,692. Полезность для первого агента составляет 20,308* 60 + 40 * 4 = 1378,48 , а для второго агента 19,692 * 70 = 1378,44, что с учетом погрешностей дает нам решение, подтверждающее правильность работы предыдущего скрипта.

Рисунок 20. Решение задачи линейного программирования

3.5 Принятие решений в условиях неопределенности

Для решения задачи принятия решений в условиях неопределенности, когда из множества G допустимых решений Xi требуется выбрать оптимальное решение мы будем использовать несколько методов, таких как:

1. Критерий Лапласа

2. Минимаксный критерий

3. Критерий Сэвиджа

4. Критерий Гурвица

Тогда:

· По Лапласу лучшее решение - 4

· По Минимаксу лучшее решение - 5

· По Севиджу лучшее решение - 3

· По Гурвицу лучшее решение - 4

Окончательный ответ программы - 4 решение.

3.6 Матричные игры

Примем нашу матрицу потерь из (3.4) за платежную матрицу. Мы имеем двух игроков А и В. Нам необходимо определить для игрока А оптимальную смешанную стратегию в игре с платежной матрицей. Справедлива следующая основная теорема теории матричных игр с нулевой суммой.

Теорема. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение среди смешанных стратегий.

Вектор P={p(i), I = 1:m} вероятностей, определяющий оптимальную сме-шанную стратегию игрока A в игре с платежной матрицей {М(i,j),i=1:m, j = 1:n} может быть найден из соотношения

P={p(i), I = 1:m}' = { Х(i), i = 1:m}' / F

где F и X = { Х(i), I = 1:m} - решение следующей задачи ЛП.

F = sum(Х(i), i = 1:m) - > min

A'*X' >= ones(m,1), X >= zeros(m,1).

Предполагается, что все элементы платежной матрицы положительны. В противном случае необходимо преобразовать платежную матрицу к виду, a(i,j)>0 путем добавления к её компонентам константы большей -min(a(i,j)).

Имеется нижеследующая платежная матрица

Минимакс и максимин выделены особым цветом. Видно, что минимакс больше по значению, чем максимин, поэтому данная игра не имеет седловой точки и максиминно-минимаксные стратегии неоптимальны. Поэтому мы воспользуемся идеей смешанных стратегий, и попытаемся найти смешанные стратегии с заданными вероятностями для игрока А. Эти вероятности должны быть подобраны для максимизации наименьшего выигрыша по столбцам для игрока.

Поскольку все её элементы являются положительными, то применим теорию предыдущего пункта к задаче поиска оптимальной стратегии для игрока А. Будем искать решение следующей задачи: F = sum(X(i), i = 1:6) - > min при ограничениях:

42 * х1 + 47 * х2 + 7 * х3 + 47 * х4 + 33 * х5 + 5 * х6 1

15 * х1 + 28 * х2 + 49 * х3 + 50 * х4 + 9 * х5 + 50 * х6 1

49 * х1 + 25 * х2 + 41 * х3 + 8* х4 + 22 * х5 + 47 * х6 1

41 * х1 + 49 * х2 + 34 * х3 + 2 * х4 + 44 * х5 + 48 * х6 1

35 * х1 + 39 * х2 + 38 * х3 + 21 * х4 + 34 * х5 + 9* х6 1

х1, х2, х3, х4, х5, х60

Для решения данной ЗЛП воспользуемся пакетом LiPS, сформулировав задачу в табличной форме (рис. 21).

Рисунок 21. ЗЛП для нахождения смешанных стратегий игрока А

Программа выдала нам следующий результат (рис. 22):

F = 0.029433; x5 = 0; x1 = 0,00903669; x2= 0,0066919; x3 = 0,0081452;

x4 = 0,00526493; x6 = 0,000294243

Тогда P = [0,00903669; 0,0066919; 0,0081452; 0,00526493; 0; 0,000294243].

Таким образом мы получили вероятности для максимизации наименьшего выигрыша по столбцам для игрока А.

Рисунок 22. Вероятности для смешанных стратегий игрока А

Заключение

В результате выполнения курсовой работы был освоен инструментальная экспертная система программного комплекса MALT - системы поддержки принятия решений в условиях определенности по количественным и качественным критериям.

Изучена теория благосостояния: эгалитаризм и утилитаризм.

Реализован метод размещение объекта коллективного пользования на кольцевой дороге.

Создано программное средство на основе имеющейся теоретической базе по совместному финансированию объекта и дележу продуктов.

Были освоены методы и алгоритмы решения задач принятия решений в условиях неопределенности, приобретены навыки и умения разработки математического обеспечения поддержки принятия решений на основе реализации стандартных и модифицированных алгоритмов теории исследования операций.

Список использованной литературы

1. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели: М.: Мир, 1991. - 464 с.

2. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. - М.: Логос, 2009. -296 с.

3. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. М. Теория игр и экономическое поведение..: Наука, 2010.

4. Канторович Л. В., Горстко А. Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972.

5. П. Конюховский. Математические методы исследования операций в экономике. С.-Пб.: Питер, 2009.

6. Косоруков О. А., Мищенко А. В. Исследование операций. Учебник для вузов. М.: Экзамен, 2010.

7. Костюкова О. И. Исследование операций. Минск: БГУИР, 2003. 23

8. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. М.: Мир, 1977.

9. Крушевский А. В. Теория игр. Киев: «Вища школа», 2007.

10.Дж. Моулдер, С. Элмаграби. Исследование операций. В 2 томах. М.: Мир, 1981.

Размещено на Allbest.ur