Методы оптимизации и теория управления

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Расчетно-графическое задание

«Методы оптимизации и теория управления»

Содержание

РГЗ № 3

Задача 1

Задача 2

Список использованных источников

Задача 1

Распределите оптимальным образом денежные средства величиной Х между N предприятиями. В результате выделения средств k-му предприятию в размере u оно дает доход Jk(u).

Вариант 3. X = 100 тыс. руб., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 25 тыс. руб., но не могут превосходить 50 тыс. руб. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы в таблице 1:

Таблица 1

Решение.

1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 4. Предположим, что все средства в количестве u4 = 100 тыс. руб. отданы четвертому предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из таблицы 2, составит J4(U4)=12 тыс. руб. , следовательно, F4(c4)=J4(U4).

Таблица 2

2-й шаг: k = 3. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между четвертым и третьим предприятиями. При этом соотношение Беллмана имеет вид:

на основе которого составлена таблица 3:

Таблица 3

3-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

на основе которого составлена таблица 4:

Таблица 4

4-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и тремя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

на основе которого составлена таблица 5:

Таблица 5

2 этап. Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

1-й шаг. По данным таблицы 5 максимальный доход при распределении 100 тыс. руб. между четырьмя предприятиями составляет: с1 = 100, F1(100) = 44. При этом первому предприятию нужно выделить u1* = 25.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго, третьего и четвертого предприятий:

с2 = с1 - u1* = 100 - 25 = 75.

По данным таблицы 4 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером с2 = 75 между третьим и четвертым предприятиями составляет: F2(75)=32 при выделении второму предприятию u2* = 25.

3-й шаг. Определяем величину средств, приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятий:

с3 = с2 - u2* = 75 - 25 = 50.

По данным таблицы 3 находим, что максимально возможный прирост при распределении оставшихся средств размером с3 = 50 между третьим и четвертым предприятиями составляет F3(50) = 20 при выделении третьему предприятию u3* = 25.

Значит четвертому предприятию останется u4* = 25.

Таким образом, оптимальный план инвестиций: u* = (25, 25, 25, 25), который обеспечивает максимальный прирост производства: F(100) = J1(25) + J2(25) + J3(25) + J4(25) = 12 + 12 + 12 + 8= 44.

Задача 2

На заданной сети дорог имеется несколько маршрутов по доставке груза из пункта 1 в пункт 10. Стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети проставлена у соответствующих ребер. Необходимо определить оптимальный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, который обеспечил бы минимальные транспортные расходы.

Рисунок 1

Решение.

1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг. k=1.

F1(i)=Ci10

оптимизация денежный доход маршрут

На первом шаге в пункт 10 груз может быть доставлен из пунктов 7, 8 или 9.

Таблица 6

2-й шаг. k=2.

Функциональное уравнение на втором шаге принимает вид

Все возможные перемещения груза на втором шаге и результаты расчета приведены в следующей таблице:

Таблица 7

3-й шаг. k=3.

Таблица 8

4-й шаг. k=4.

Таблица 9

2 этап. Безусловная оптимизация.

На этапе условной оптимизации получено, что минимальные затраты на перевозку груза из пункта 1 в пункт 10 составляют F4(1)=15. Данный результат достигается при движении груза из 1-го пункта в 4-й. По данным таблицы третьего шага необходимо двигаться в пункт 6, затем - в пункт 9 (см. таблицу второго шага) и из него - в конечный пункт (см. таблицу первого шага). Таким образом, оптимальный маршрут доставки груза: 1 4 6 9 10. На рисунке 2 жирными стрелками показан оптимальный путь.

Рисунок 2

Список использованных источников

Некрасова М.Г. Методы оптимизации и теория управления: Учебное пособие / Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2007. - 132 с.

Размещено на Allbest.ru