2.1 Методы математического описания объектов управления

Для построения высокоэффективной системы управления необходимо иметь описание объекта управления в виде математической модели.

Для описания объектов управления, в которых отсутствует зависимость переменных состояния, управления от пространственных координат (линейные многомерные системы с сосредоточенными параметрами), используются системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующие изображения по Лапласу. Рассмотрим многомерную линейную систему с m управлениями, l возмущениями и k входами. Модель линейной системы с сосредоточенными параметрами во временной области:

где х(t) - вектор состояния системы, ;

u(t) - вектор управлений (входов), ;

у(t) - вектор выходов, ;

f(t) - вектор возмущений, ;

А - матрица размерности n x n;

В - матрица размерности n x m;

D - матрица размерности n x l;

С - матрица размерности k x n.

Применяя преобразование Лапласа к системе, получим эквивалентную модель в комплексной области:

Частотное или временное представления выбираются из соображений удобства, так как в случае постоянных матриц A, B,C и D они эквивалентны.

Для построения подобных моделей можно использовать два пути: применять фундаментальные физические соотношения в виде законов сохранения вещества, энергии или восстанавливать параметры моделей по эмпирическим данным, причем второй путь более часто применяется на практике.

2.2 Экспериментальные данные

Для построения математической модели объекта управления использовался метод восстановления параметров модели по эмпирическим данным. Для этого с помощью лабораторной установки были получены экспериментальные данные для исследования объекта управления и построения его математической модели. Результаты снятия экспериментального переходного процесса приведены в Приложении Б. Полученные данные были аппроксимированы в среде научных исследований MatLab. В результате получился график переходного процесса, представленный на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Экспериментальный переходный процесс

На рисунке 2.1 по оси ординат отложена температура в °C, а по оси абсцисс - время в секундах. При этом на самом графике кружочками обозначены непосредственно экспериментальные точки, определенные в дискретные моменты времени.

Нормированный переходный процесс представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Нормированный переходный процесс

Структура аппроксимирующего выражения для передаточной функции объекта может быть выбрана в общем случае в виде:

Коэффициент усиления объекта управления K_о можно найти по графику переходного процесса. Постоянные времени передаточной функции могут быть найдены методом площадей, геометрическим и методом Ротача.

2.3 Нахождение коэффициента усиления

Коэффициент усиления может быть определен из следующего соотношения:

Отсюда получаем, что .

2.4 Построение математической модели звена первого порядка геометрическим методом

Звено первого порядка с запаздыванием имеет следующий вид:

Для определения величины запаздывания и постоянной времени обратимся к графику переходного процесса (рисунок 2.1). Для нахождения постоянной времени необходимо провести прямую до пересечения с графиком процесса параллельно оси абсцисс на уровне 0.63kc (см. рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 - Определение постоянной времени по переходному процессу

Постоянная времени T = 360.53 (с). . Построим переходный процесс для такого звена и посмотрим насколько он совпадает с экспериментальным.

Схема модели в MatLab представлена на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 - Схема модели

Полученный переходный процесс представлен на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 - Переходный процесс, полученный по передаточной функции

Таким образом, передаточная функция объекта в данном случае имеет следующий вид:

2.5 Построение модели звена второго порядка методом площадей

При q=1 и =0 получаем объект второго порядка. Рассчитаем постоянные времени T₁ и T₂ при помощи метода площадей:

Для определения параметров передаточной функции методом площадей необходимо построить графики функций:

1)

2)

Тогда можно определить площади под графиками данных функций (S₁ и S₂ соответственно). Результаты вычислений представлены ниже.

S1 =

309.8824

S2 =

5.9162e+004

Графики данных функций приведены на рисунках 2.6 и 2.7 соответственно.

Рисунок 2.6 - График функции

Рисунок 2.7 - График функции

Теперь необходимо проверить соотношение . Если , то метод площадей применять нельзя, необходимо использовать метод грубых площадей. В нашем случае (полный листинг m-файла приведен в приложении В). Значит, применим метод грубых площадей.

Для этого нужно найти точку перегиба графика переходного процесса. Точка перегиба имеет координаты: t = 90 c, , y(t_п)=0.09.

Берем точку t правее точки перегиба (t>tп) воспользуемся формулой:

, где

In=, площадь кривой после точки перегиба (пределы интегрирования: от 90(tп) до 600()), причем, =k*(t), где (t)=1-h(t), следовательно:

Таким образом, реализуя данный алгоритм, получаем следующие результаты:

T1 =

237.2624

T2 =

72.6200

Transfer function:

514.3

---------------------------

1.723e004 s^2 + 309.9 s + 1

График переходного процесса для такого звена представлен на рисунке 2.8

Рисунок 2.8 - График переходного процесса для звена второго порядка, рассчитанного с помощью метода площадей

2.6 Построение математической модели звена второго порядка методом Ротача

Проведем в точке перегиба касательную, для определения интервала времени Т₀, заключенного между точками пересечения этой касательной оси абсцисс и линии установившегося значения h_? переходной характеристики:

Рисунок 2.9 - Нормированный переходный процесс

Таким образом, запишем величины, являющиеся входными данными:

T₀=526 tп=90, y(tп)=0,09.

Введем обозначение:

Так как , то возможна аппроксимация инерционным звеном второго порядка без запаздывания (т.е. q=1, =0), следовательно, получаем следующую модель:

Таким образом, запишем модель звена второго порядка без запаздывания:

или

Теперь построим переходный процесс для данной передаточной функции.

w=tf([514.3],[8396 478.66 1]);

step(w, 600)

grid on

Результат представлен на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10 - График переходного процесса для звена второго порядка, рассчитанного методом Ротача

2.7 Выбор наилучшей аппроксимирующей модели

Для выбора лучшей аппроксимирующей модели объекта управления среди найденных моделей сравним теоретические и экспериментальный переходные процессы. Для оценки качества полученных передаточных функций, описывающих объект управления, вычислим оценку ?² по формуле:

Проведенный расчет дает следующие результаты:

%Расчет погрешностей

k=514.3;

y_real=[24.44 60 93.33 125.5 154.44 180];

y1=[32 72 101 122 136 146];

y2=[31.1 73.3 106.67 131.11 148.89 160];

y3=[30 58.33 63.33 103.33 116.67 128.33];

tmp=0;

for i=1:6

tmp = tmp + (y_real(i)-y1(i))^2;

end

x1=sqrt(tmp)/k

tmp=0;

for i=1:6

tmp = tmp + (y_real(i)-y2(i))^2;

end

x2=sqrt(tmp)/k

tmp=0;

for i=1:6

tmp = tmp + (y_real(i)-y3(i))^2;

end

x3=sqrt(tmp)/k

x1 =

0.0818

x2 =

0.0571

x3 =

0.1445

x₁ - соответствует оценке звена запаздывания; x₂ - соответствует апериодическому звену второго порядка, рассчитанному методом площадей; x₃ - соответствует апериодическому звену второго порядка, рассчитанному методом Ротача.

Так как наименьшая оценка ?² получилась у апериодического звена второго порядка, рассчитанного интегральным методом, то это звено и возьмем в качестве модели нашей системы. Передаточная функция объекта управления имеет вид:

3 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА

3.1 Синтез регулятора методом ЛАЧХ

Для того чтобы система удовлетворяла заданным требованиям по точности и качеству (перерегулирование 5 %, время регулирования t_P 420 с, коэффициент статической ошибки С₀ = 0), необходимо в систему, структурная схема которой изображена на рисунке 3.1, ввести регулятор.

Преобразуем структурную схему, представленную на рисунке 3.1, введем в систему регулятор как корректирующее звено последовательного типа:

Рисунок 3. 2 - Структурная схема замкнутой системы с регулятором

Найдем передаточную функцию неизменяемой части прямой цепи:

Передаточная функция прямой цепи (неизменяемой части системы):

Тогда коэффициент усиления неизменяемой части K:

Передаточную функцию синтезируемого регулятора найдём методом логарифмических частотных характеристик. Для этого построим ЛАЧХ неизменяемой части прямой цепи исследуемой САУ:

Примем желаемую передаточную функцию в виде

.

Желаемый коэффициент усиления определяется из соотношения:

.

Kж=0,0186.

Передаточная функция регулятора:

Практически реализуемые регуляторы строятся с использованием следующих допущений и приближений: объект управления инерционен, и в цепях регулятора нет высокочастотных помех или они достаточно малы. Тогда высокочастотной частью регулятора можно пренебречь и считать, что T₃=0. При этом желаемая ЛАЧХ рассчитывается из требования T₁=T₂, при желаемой ЛАЧХ в общем виде:

.

Для определения параметров регулятора воспользуемся следующими соотношениями:

Тогда передаточная функция регулятора будет иметь следующий вид:

С учетом параметров объекта и звеном чистого запаздывания передаточная функция регулятора окончательно примет вид:

.

Полученный регулятор является ПИ-регулятором с запаздыванием.

3.2 Переходная характеристика замкнутой системы

Модель построения переходной характеристики представим системе MatLab в виде передаточной функции.

Передаточная функция прямой цепи:

Получим передаточную функцию замкнутой системы:

введем следующие обозначения:

тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь следующий вид:

kp=4.67;

kn=1.23432;

Td=55.6;

Tu=309.8824;

T1=237.2624;

T2=72.62;

a1=kn*kp*Td*Tu

a1 =

9.9315e+004

a2=kn*kp*Tu

a2 =

1.7862e+003

b1=Tu*T1*T2

b1 =

5.3393e+006

b2=Tu*(T1+T2+kn*kp*Td)

b2 =

1.9534e+005

b3=Tu*(kn*kp+1)

b3 =

2.0961e+003

b4=kn*kp

b4 =

5.7643

a3=kn*kp

a3 =

5.7643

W=tf([a1 a2 a3],[b1 b2 b3 b4])

Transfer function:

9.932e004 s^2 + 1786 s + 5.764

----------------------------------------------

5.339e006 s^3 + 1.953e005 s^2 + 2096 s + 5.764

Переходный процесс для такой передаточной функции замкнутой системы представлен на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - График переходного процесса замкнутой системы

Экспериментальные данные, полученные в ходе проверки спроектированного регулятора на стенде, представлены в приложении. График переходного процесса представлен на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 - График экспериментального переходного процесса замкнутой системы

Рабочая температура по варианту задания соответствует 180°C. Как видно из рисунка 3.4 все значения температуры лежат 10% коридоре, что является допустимым.

На рисунке 3.5 показан график поведения системы и установления температуры к заданному значению после действия на систему возмущения.

Рисунок 3.5 - График переходного процесса замкнутой системы при действии возмущающего воздействия

Из рисунка 3.5 видно, что система стабилизируется за 400 секунд, что соответствует требованиям технического задания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проектирования по экспериментальным данным была определена передаточная функция объекта. Передаточная функция определялась 3 различными способами. Причем одна передаточная функция была получена для апериодического звена первого порядка, два оставшихся метода позволяют определить параметры апериодического звена второго порядка. Именно такая передаточная функция наиболее точно описывает реальный объект.

По полученной передаточной функции был рассчитан ПИД-регулятор. Полученные параметры регулятора были, выставлены на стенде и проведены соответствующие экспериментальные исследования. Система оказалась устойчива, что подтверждает правильность расчета параметров регулятора. Соответствующие графики, иллюстрирующие поведение системы, приведены на рисунках 3.4 и 3.5.

Параметры синтезированного регулятора:

k_п = 4.67