Системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Курс лекций по теории автоматического управления

Системы автоматического управления

Содержание

Лекция 1. Общие сведения о системах управления

Лекция 2. Переходные процессы в САУ

Лекция 3. Устойчивость линейных систем САУ

Лекция 4.Частотные характеристики систем САУ

Лекция 5. Электрические модели типовых динамических звеньев

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Лабораторная работа № 1

Лабораторная работа № 2

Лабораторная работа № 3

Билеты

Примерный перечень задач для итогового контроля знаний студентов III курса

устойчивость частота система автоматическое управление

Лекция 1. Общие сведения о системах управления

Предмет «Теория автоматического управления» знакомит вас с основными принципами построения широкого класса систем автоматического управления, методами формализованного описания и анализа качества функционирования этих систем.

Рассмотрим с вами основные понятия, с которыми оперирует теория управления и которые вы должны хорошо себе представлять и использовать при изучении последующих разделов теории.

Объект управления. Под объектом управления следует понимать объект, на достижение желаемых результатов функционирования которого направлены специально организованные воздействия.

Воздействие. Воздействие есть внешнее влияние на объект управления, вызывающее в последнем изменение его свойств и (или) состояния.

Управление. Управление есть процесс выработки и осуществления управляющих воздействий в виде заданий для целенаправленного изменения каких-либо свойств или параметров объекта управления, под которым мы будем также понимать любой физический объект или процесс, свойства или параметры которых подвергаются изменению посредством определенного физического воздействия на них.

Возмущение - есть внешнее воздействие на любой элемент системы управления, включая объект управления, затрудняющее достижение цели управления. Компенсация действий возмущений на объект управления есть задача автоматического регулирования.

Регулирование. Регулирование - есть регулирующее воздействие на объект управления с целью обеспечения близости фактических значений одного или нескольких параметров объекта управления к их заданным значениям.

Что же требуется для управления, при том, следует отметить, качественного управления.

Во-первых, должно быть известно задание, а именно, какой параметр объекта управления мы хотим изменить, и какое значение этого параметра нас устроит. Следовательно, необходимо задающее устройство.

Во-вторых, необходим инструментарий для непосредственного физического воздействия на объект управления. Другими словами необходимо исполнительное устройство для выполнения задания.

В-третьих, очевидно, необходим контроль над ходом выполнения задания и проверка соответствия результатов исполнения заданию, т.е. необходимо иметь контрольно-измерительные устройства.

Рассмотрим примеры возможных схем управления.

Пример 1. Дачник копает лопатой на своем участке яму определенных известных только ему размеров. Здесь дачник является задающим устройством, а яма - объектом управления.

В качестве исполнительного устройства использованы руки и ноги человека, воздействующие на лопату. Изменяемой (регулируемой) величиной являются размеры ямы. Для получения требуемого результата используется мерная линейка, с помощью которой человек измеряет текущие размеры ямы. Здесь органы зрения и мерная линейка служат контрольно-измерительным устройством. Человек перестает копать, когда истинные размеры ямы будут соответствовать заданным, для чего человек мысленно выполняет логическую работу по анализу результатов измерения фактических размеров ямы, в зависимости от которых от продолжает копать или прекращает работу, т.е. в данном случае человек выполняет еще функции сравнивающего устройства.

Представим рассмотренный процесс управления в виде формализованной функциональной схемы некоторой системы управления.

Задающее устройство - дачник, хранящий в памяти требуемые размеры ямы.

Сравнивающее устройство - логика мышления дачника

Регулирующее устройство - логика мышления человека

Исполнительной устройство - руки и ноги человека, воздействующие на лопату

Объект управления - яма

Контрольно-измерительное устройство - зрение человека и мерная линейка.

Так как для обеспечения точных размеров ямы человек вынужден по ходу дела менять режим работы (уменьшать усилия нажатия на лопату и темп работы по мере приближения к заданным размерам), то он в этом случае исполняет еще роль регулирующего устройства.

Как видно из приведенной схемы в процессе управления практически все функции выполняет один человек, т.е. мы имеем дело чисто с ручным управлением процессом копания.

Пример 2. Рабочий по заданию дачника копает на садовом участке яму заданных размеров. Что же в этом случае меняется в нашей функциональной схеме? Дачник здесь исполняет роль только внешнего источника первичной информации для рабочего, который выполняет в дальнейшем все функции системы управления.

Пример 3. При термической обработке изделия в термокамере необходимо автоматически без участия человека поддерживать определенную заданную температуру.

Сейчас мы убедимся в том, что формализованная функциональная схема системы автоматического управления практически идентично той, которую мы рассматривали для системы ручного управления. Действительно:

Задающее устройство - задает требуемое значение температуры в виде сигнала определенной физической природы (например, электрического напряжения, пропорционального значению температуры). Значение температуры может задаваться человеком-оператором с помощью ряда кнопок на пульте управления или вырабатываться автоматически управляющим вычислительным комплексом на основе входной информации об изделии, его свойствах и назначении.

Сравнивающее устройство - производит сравнение значений двух сигналов одной физической природы, соответствующих заданному и фактическому значениям температуры, и вырабатывает разностный сигнал ошибки. Сравнение может осуществляться, как в аналоговом виде сигналов, так и в цифровом.

Регулирующее устройство или просто регулятор - вырабатывает соответствующее регулирующее воздействие на объект управления в зависимости от величины сигнала ошибки - сигнала расстройки. Регулятор может содержать усилитель разностного сигнала ошибки, исполнительное устройство или преобразователь сигнала одной физической природы в другую, более удобную для воздействия на объект управления (например, преобразование электрического сигнала в тепловой сигнал).

Объект управления - термокамера, температура в которой является регулируемым параметром.

Контрольно-измерительное устройство - преобразует значение фактической температуры в определенный уровень сигнала другой физической природы, аналогичный заданному сигналу. Как правило, устройство содержит чувствительный элемент для пропорционального преобразования значения текущей температуры в сигнал, удобный для последующего измерения, и измерительное устройство для измерения уровня преобразованного сигнала. В качестве контрольно-измерительного устройства может, например, использоваться термопара.

В реальных условиях эксплуатации на регулируемые параметры объекта управления могут влиять внешние возмущающие воздействия различного рода, например, температура окружающей среды.

Таким образом, любую систему автоматического управления (САУ) можно рассматривать как совокупность некоторого ряда составных частей - звеньев. Деления на звенья может осуществляться как по функциональному признаку (измерительные, усилительные, преобразовательные, исполнительные и другие элементы), так и по динамическим свойствам.

Системы автоматического управления по принципу действия могут быть классифицированы на системы замкнутые, разомкнутые, комбинированные и адаптивные.

К замкнутым системам относятся системы управления по отклонению, представляющие собой системы с обратной связью и представляющие собой основной тип САУ.

Структурная схема САУ по отклонению

На приведенном рисунке приняты следующие обозначения:

ЗУ - задающее устройство, вырабатывающее управляющее воздействие x(t);

АРУ - устройство автоматического регулирования, вырабатывающее регулирующее воздействие r(t);

ОУ - объект управления:

y(t) - регулируемый параметр объекта управления:

f(t) - внешнее возмущающее воздействие на ОУ.

К разомкнутым системам относятся системы управления по возмущению, в которых регулирующее воздействие вырабатывается в зависимости от результатов измерения возмущения.



Структурная схема САУ по возмущению

Системы САУ с комбинированным управлением сочетают в себе принципы управления по отклонению и возмущению.

Структурная схема САУ с комбинированным управлением

Адаптивные системы САУ обладают способностью приспособляться в процессе функционирования к изменению окружающей среды и улучшать свои свойства.

Структурная схема адаптивной системы САУ

В зависимости от назначения системы автоматического управления делят на системы стабилизации, программного управления и следящие системы.

Системы стабилизации предназначены для поддержания постоянного значения регулируемой величины, задаваемого ЗУ.

Системы программного управления предназначены для изменения значения регулируемой величины по заранее заданной программе, называемой программой управления.

Следящие системы предназначены для изменения регулируемой величины по закону изменения задающего воздействия.

По виду используемых сигналов САУ можно подразделить на непрерывные и дискретные системы. Дискретные системы можно подразделить на импульсные и релейные.

В зависимости от числа регулируемых параметров системы САУ подразделяются на одномерные и многомерные системы. При изучении процессов управления все многообразие САУ можно рассматривать как различные комбинации из небольшого количества стандартных элементов - динамических звеньев. Любой элемент характеризуется связью между его входным и выходным сигналами. Эта связь определяет физические процессы в элементе как в статическом режиме, когда входной и выходной сигналы - постоянные величины, так и в динамическом режиме, при котором входной и выходной сигналы являются некоторой функцией времени. В статическом режиме взаимосвязь между входной и выходной величинами определяет статические свойства элемента, в динамическом режиме - динамические свойства элемента. Для формализованного описания динамических свойств элементов используются следующие способы:

дифференциальные уравнения;

передаточные функции W(p), которые представляют собой запись дифференциальных уравнений в операторной форме путем перехода к преобразованиям Лапласа;

временные функции, характеризующие изменение во времени выходного сигнала определенного вида;

частотные характеристики, устанавливающие зависимость между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов при изменении частоты входного сигнала.

Удобство использования формализованного описания динамических свойств заключается в том, что независимо от физической природы элементов их поведение во времени (динамика) может быть описана одинаковыми дифференциальными уравнениями, а, следовательно, одинаковыми передаточными функциями, временными и частотными характеристиками.

Поэтому динамические элементы, которые описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, могут быть формально представлены одним и тем же стандартным типом динамического звена.

При этом следует отметить, что элементарным динамическим звеном называется звено, динамические свойства которого описываются линейным дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

a₂•y⁽²⁾(t) + a₁•y⁽¹⁾(t) + a₀•y(t) = b₂•x⁽²⁾(t) + b₁•x⁽¹⁾(t) + b₀•x(t) (1)

Здесь: y(t) - временная функция выходного сигнала;

x(t) - временная функция входного сигнала;

y^(j)(t) - j-я производная функции y(t);

x^(j)(t) - j-я производная функции y(t);

a_m, b_m - постоянные коэффициенты уравнения при соответствующих переменных.

Передаточная функция W(p) есть отношение выходного сигнала к входному сигналу, представленное в операторной форме:

W(p) = y/х

Представим выражение (1) в операторной форме, для чего заменим знак производной по времени d/dt на оператор Лапласа - р, а именно:

y⁽²⁾(t) = d²y/dt² = p²y; y⁽¹⁾(t) = dy/dt = py;

x⁽²⁾(t) = d²x/dt² = p²x; x⁽¹⁾(t) = dx/dt = px.

Произведя соответствующие замены в дифференциальном уравнении, получим следующее уравнение в операторной форме:

a₂•p²y + a₁•py + a₀•y = b₂•p²x + b₁•px + b₀•x . (2)

Здесь выражение (1) является оригиналом дифференциального уравнения, а выражение (2) называется его изображением по Лапласу.

Вынесем за скобки в уравнении (2) переменные у и х:

у•(a₂•p² + a₁•p + a₀) = х•(b₂• p² + b₁• p + b₀). (3)

Из уравнения (3) легко находим выражение для передаточной функции:

W(p) = y/х = (b₂• p² + b₁• p + b₀)/ (a₂•p² + a₁•p + a₀) (4)

Если вынести в выражении (4) за скобки постоянные коэффициенты a₀ и b₀, то получим стандартное представление передаточной функции в операторном виде:

W(p) = (b₀/a₀)•[(b₂/b₀)•p² + (b₁/b₀)•p + 1]/[(a₂/a₀)•p² + (a₁/ a₀)•p + 1], или

W(p) = К•(T_2x•p² + T_1x•p + 1)/(T_2y•p² + T_1y•p + 1) (5)

Здесь: T_2x и T_1x - постоянные времени выражения в скобках числителя;

T_2у и T_1у - постоянные времени выражения в скобках знаменателя.

В общем виде постоянные времени определяют характер изменения содержащих их функций от времени. Если с течением времени значение функции не меняется, то производная от этой функции будет равна нулю, следовательно, и оператор Лапласа р = 0. И тогда переходная функция, как это следует из выражения (5), будет равна статическому коэффициенту усиления К: W(p = 0) = K, что соответствует уравнению: у = К•х.

К временным характеристикам динамических звеньев относят переходную и весовую функции.

Переходная функция h(t) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией x(t) = 1(t):

y(t) = h(t)•1(t). (6)

Весовая функция g(t) (импульсная переходная функция) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является импульсной функцией x(t) = д(t) = 1?(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, т.е. ее кривая на плоскости охватывает площадь, равную 1:

y(t) = g(t)?д(t) = g(t)•1?(t) (7)

Для нахождения временных характеристик динамических звеньев необходимо решить дифференциальные уравнения звена при нулевых начальных условиях [у(х = 0)] и соответствующих входных сигналах 1(t) или д(t).

Весовая функция является производной от переходной функции. Следовательно весовую функцию g(t) можно определить путем аналитического и графоаналитического дифференцирования переходной функции h(t): g(t) = dh(t)/dt.

Рассмотрим с вами далее дифференциальные уравнения основных типов элементарных динамических звеньев и их переходные функции.

Интегрирующее звено

Характерная особенность интегрирующего звена заключается в том, что скорость изменения значения выходного сигнала y(t) звена (производная y?(t)) прямо пропорциональна значению выходного сигнала, т.е.:

y?(t) = K•x(t). (8)

или в операторной форме:

p•y = K•x. (9)

При подаче на вход единичной ступенчатой функции x(t) = 1(t) выражение (8) примет следующий вид: y?(t) = K, или dy = K•dt. Интегрируя обе части полученного уравнения, получим аналитическое выражение переходной функции интегрирующего звена:

y(t) = h(t) = K•t. (10)

Из уравнения (9) можно получить аналитическое выражение передаточной функции интегрирующего звена:

W(p) = y/x = K/p. (11)

Из уравнения 10 следует, что весовая функция интегрирующего звена равна его статическому коэффициенту усиления К:

g(t) = h?(t) = K (12)

Апериодическое (инерционное) звено

Динамические свойства апериодического звена определяются дифференциальным уравнением первой степени:

T• y?(t) + y(t) = K• x(t). (13)

Из данного выражения следует, что динамические свойства звена зависят от аргумента Т, называющегося постоянной времени и определяющего длительность переходного процесса от начального значения выходной функции y(t) к установившемуся постоянному ее значению при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t).

Уравнение (13) может быть также представлено в операторной форме:

T•p•y + y = y(T•p + 1) = K• x. (14)

Из уравнения (14) легко получаем аналитическое выражение для передаточной функции апериодического звена:

W(p) = y/x = K/(T•p + 1). (15)

Учитывая, что передаточная функция есть ничто иное, как изображение по Лапласу L[g(t)] весовой функции, найдем оригинал весовой функции, представив передаточную функцию в виде произведения изображений простейших функций, оригиналы которых можно найти из справочных таблиц изображений функций.

L[g(t)] = W(p) = K/(T•p + 1) = (K/T)•1/(p + 1/T). (16)

В нашем случае изображение некоторой неизвестной функции f(t) равно L[f(t)] = 1/(p + 1/T), которому соответствует оригинал f(t) = e^pt, где p - есть ничто иное, как решение (корень) характеристического уравнения, получаемого приравниванием выражения в знаменателе изображения L[f(t)] к нулю: p + 1/T = 0, откуда р = - 1/T. Следовательно, выражение для весовой функции будет иметь вид:

g(t) = (K/T)•f(t) = (K/T)•e^-t/T (17)

Переходную функцию h(t) можно найти интегрированием правой части выражения (17), которое производим в операторной форме путем умножения изображения весовой функции L[g(t)] на отношение (1/р), представляющее собой передаточную функцию интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1:

L[h(t)] = L[g(t)]• 1/р = (1/р)• (K/T)•1/(p + 1/T). (18)

Для отыскания оригинала функции h(t) разложим правую часть выражения (18) на элементарные дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

(K/T)/[p•(p + 1/T)] = A/p + B/(p + 1/T) = [A•(p + 1/T) + B•p]/[p•(p + 1/T)], откуда

K/T = A/T + A•p + B•p = A/T + p•(A + B).

Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях полученного выражения при одинаковых степенях оператора р, получим:

K/T = A/T, или А = К;

А + В = 0, откуда В = -А = -К;

следовательно:

(K/T)/[p•(p + 1/T)] = K/p - K/(p + 1/T) = K•[1/p - 1/(p + 1/T)]. (19)

Переходя от изображений (19) к оригиналам простейших функций, получим выражение для переходной функции апериодического звена:

h(t) = K•(1 - e^-t/T). (20)

Корень характеристического уравнения в изображении (1/р) элементарной функции f(t) равен нулю (р = 0), поэтому ее оригинал равен:

f(t) = e^pt = e^0t = e⁰ = 1.

Колебательное звено. Динамические свойства колебательного звена определяются дифференциальным уравнением второй степени и зависят не только от постоянной времени Т, но и от коэффициента кси о, называемого коэффициентом демпфирования, характеризующего степень затухания колебаний:

T²•y??(t) + 2о•T•y?(t) + y(t) = K• x(t). (21)

Представим уравнение (21) в операторной форме и найдем из него выражение для передаточной функции:

T²•p²•y + 2о•T•p•y + y = (T²•p² + 2о•T•p + 1)•y = K• x;

W(p) = y/x = K/( T²•p² + 2о•T•p + 1). (22)

С целью экономии времени в виду громоздкости вывода формулы для переходной характеристики приводим ее без вывода:

h(t) = K•[1 - (e^-оt/T/r)•sin(rt/T + б)] (23)

Здесь: r = > 0 - условие наличия колебаний в звене;

б = arctg(r/о) - фазовый начальный угол;

r/(2рT) = f - частота затухающих колебаний звена.

Весовую функцию g(t) колебательного звена можно найти, взяв производную от переходной функции h(t):

g(t) = h?(t) = (K/T)•e^-оt/T•[(о/r)•sin(rt/T + б) - cos(rt/T + б)] (24)

Лекция 2. Переходные процессы в САУ

В результате наличия переходных процессов в динамических звеньях САУ требуемое заданное значение регулируемой величины устанавливается не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, называемого временем регулирования t_p. Обычно принято временем регулирования называть промежуток времени, за который значение переходной функции h(t) достигает 95% от своего установившегося значения при h(t>?) = K.

Следовательно, по виду кривой переходной функции САУ можно определить время регулирования t_p.

Рассмотрим переходную функцию апериодического звена:

h(t) = K•(1 - e^-t/T).

Из приведенной формулы видно, что время регулирования для инерционного звена зависит только от значения постоянной времени Т и связано с ней приближенным соотношением: t_p ? 3Т, так как

h(t) = K•(1 - e^-t/T) = K•(1 - e^-tp/T) = K•(1 - e^-3T/T) = K•(1 - e^-3) ? 0,95K.

Постоянную времени Т инерционного звена можно определить по графику переходной функции h(t), если провести касательную к переходной функции из начала координат. Действительно, производная от любой непрерывной функции в произвольной точке приближенно равна тангенсу угла наклона касательной к этой точке. Для переходной функции апериодического звена справедливо: h?(t = 0) = (K/T)• e^-t/T = (K/T)• e^-0/T = K/T = tgш, где ш - угол наклона касательной к h(t) в точке t = 0. При t = T значение функции h(t) = K•(1 - e^-1) = 0, 632K.

Для динамических звеньев второго порядка кривые переходных процессов могут иметь как колебательный, так и апериодический характер, который зависит от значения коэффициента демпфирования о.

При о < 0 переходной процесс носит колебательный характер; при о ? 0 переходной процесс носит апериодический характер.

Время регулирования t_p для звена второго порядка также измеряется промежутком времени, в течение которого значение переходной функции h(t) достигает 95% от h(t > ?), т.е. когда значение h(t) окажется в пределах от 0,95К ? h(t) ? 1,05К и в дальнейшем не выходит из них.

Для звеньев второго порядка время регулирования t_p зависит не только от постоянной времени Т, но и от параметра о. Минимальное значение t_p имеет место при о = 0,707, при котором значения функции h(t) носят затухающий колебательный характер, но не выходят за пределы 1,05К.

При меньших значениях о характерным для колебательных переходных процессов является превышение кривой переходного процесса над своим установившимся значением.

Отношение максимальной величины превышения [Дh_max = h_max - h(t > ?)] к установившемуся значению h(t > ?), выраженное в процентах, называется перерегулированием дh_max .

дh_max = Дh_max•100% / h(t > ?) = [h_max - h(t > ?)]•100% / h(t > ?)

Время регулирования t_p и перерегулирование дh_max относятся к показателям качества регулирования. Качество регулирования считается удовлетворительным, если дh_max ? (30 - 40)%.

Структура любой САУ определяется составом входящих в нее звеньев и способом их соединения. С помощью эквивалентных преобразований любую систему САУ можно привести к стандартному виду, свойства которой будут полностью определяться характером передаточной функции W(p).

Рис. 1

На рис. 1 представлена структурная схема САУ, состоящая из одного динамического звена с передаточной функцией W(p), охваченного жесткой обратной связью с коэффициентом усиления К_ос цепи обратной связи, равным 1.

Передаточную функцию W(p), которая называется передаточной функцией САУ в разомкнутом состоянии, можно представить в виде произведения или суммы передаточных функций элементарных типовых звеньев.

Передаточная функция W_з(p) замкнутой САУ определяется по следующей формуле:

W_з(p) = W(p)/[1 + К_ос• W(p)].

Для САУ, представленной на рис. 1, W_з(p) = W(p)/[1 + W(p)].

По виду W(p) все системы САУ делятся на статические и астатические.

САУ называется статической, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии не содержит множителей (1/р), соответствующих операции интегрирования, т.е.:

W(p) = K_o•W_o(p). (1)

Здесь: K_o - статический коэффициент усиления системы;

W_o(p) - рациональная дробь, которая при р > 0 стремится к 1.

Например, к статической системе САУ можно отнести систему, состоящую из апериодического звена, охваченного жесткой обратной связью:

W(p) = K/(T•p + 1) = K•[1/(T•p + 1)] = K_o•W_o(p)

Здесь: К_о = К; W_o(p) = 1/(T•p + 1).

Рис. 2

Основное свойство статических систем наличие установившейся ошибки е_уст = х_о - у_уст ? 0 при t > ?.

В статических системах установившаяся ошибка системы может быть определена по формуле:

е_уст = х_о/(1 + К_о) (2)

Из формулы (2) следует, что с увеличением коэффициента усиления К_о (при х_о = const) статическая ошибка уменьшается, т.е. точность системы увеличивается. Однако увеличение коэффициента усиления приводит к увеличению перерегулирования и колебательности системы. Поэтому в статических системах САУ не всегда возможно получить требуемые качество переходного процесса и точность регулирования.

САУ называется астатической, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии содержит множитель (1/p^s), т.е.:

W(p) = K_o•W_o(p)/p^s, (3)

где s - порядок астатизма системы.

Например, к астатической системе САУ первого порядка можно отнести систему, состоящую из интегрирующего звена, охваченного жесткой обратной связью:

Рис. 3

W(p) = K/p = K•(1/p) = K_o•W_o(p)(1/р)

Здесь: К_о = К; W_o(p) = 1; s = 1.

В астатических системах установившаяся ошибка е_уст равна нулю при любом значении коэффициента K_o. Поэтому коэффициент K_o можно выбирать только исходя из требований к качеству переходного процесса.

Как следует из формулы (3), астатизм вводится в систему САУ путем последовательного включения одного или s интегрирующих звеньев. Например, астатическую систему САУ можно получить, если последовательно с инерционным звеном на рис. 2 включить интегрирующее звено:



Рис. 4

Принимая во внимание, что передаточная функция системы, состоящей из последовательно включенных звеньев, равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, составим формулу для передаточной функции разомкнутой системы САУ, представленной на рис. 4.

W(p) = (K1/p)•[K2/(T•p + 1)] = K1•K2•(1/p)•[1/(T•p + 1)].

Здесь: К_о = K1•K2; W_o(p) = 1/(T•p + 1); s = 1.

Передаточная функция для ошибки равна:

S(p) = е/x = (T•p + 1)•p/[(T•p + 1)•p + К_о] (4)

При постоянном сигнале х = х_о = const установившееся значение ошибки находим по формуле е_уст = S(p = 0)• х_о. Из формулы (4) следует, что S(p = 0) = 0, а, следовательно, и ошибка е_уст = 0 при любых постоянных значениях х_о ? 0 и К_о ? 0.

Лекция 3. Устойчивость линейных систем САУ

САУ называется устойчивой, если с течением времени выходная величина стремится к установившемуся значению при постоянном значении входного сигнала. Линейная САУ называется неустойчивой, если выходная величина неограниченно возрастает с течением времени. Динамика линейных САУ, как отмечалось нами ранее, описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами:

a_n•y⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)•y^(n-1) + ••• + a₀•y = b_m•x^(m) + b_(m-1)•x^(m-1) + ••• + b₀•x (1)

Равенство (1) выводится из уравнений отдельных звеньев, образующих систему САУ. Параметры же переходного процесса в САУ определяются решением однородного дифференциального уравнения, получаемого путем приравнивания левой части равенства (1) нулю:

a_n•y⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)•y^(n-1) + ••• + a₀•y = 0 (2)

Решение данного уравнения имеет вид: y(t) = , (3)

где C_i - постоянные интегрирования;

p_i - корни характеристического уравнения, получаемого путем замены в уравнении (2) знака дифференцирования на оператор Лапласа р:

a_n•р⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)•р^(n-1) + ••• + a₀ = 0 (4)

Как видим, выражение (3) представляет собой сумму экспоненциальных функций. Система будет устойчивой, если выполняется условие:

y(t) > 0, при t > ?.

Это условие будет выполнено только в одном случае, если все экспоненты в правой части равенства (3) будут стремиться к нулю. А любая экспоненциальная функция от времени будет стремиться к нулю, если показатель ее степени будет отрицательным числом. Отсюда можно сделать следующие выводы. Система САУ будет устойчива, если:

1) все корни p_i характеристического уравнения являются действительными отрицательными числами (p_i < 0);

2) если имеется пара комплексных и сопряженных корней типа p_i,i+1 = б +_ jв, то в равенство (3) входят слагаемые:

C_ie^{(б + jв)t} + C_i+1e^{(б - jв)t} = C_ie^бt•e ^jвt + C_i+1e^бt•e ^-jвt =

= C_ie^бt•[cos(вt) + jsin(вt)] + C_i+1e^бt•[cos(вt) - jsin(вt)].

Поэтому при б < 0 и C_i = C_i+1 в график функции y(t) данные слагаемые входят как затухающие по амплитуде косинусоидальные составляющие.

Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является наличие отрицательного знака действительной части корней характеристического уравнения. Впервые это условие для механических систем сформулировал и доказал русский ученый А.М. Ляпунов.

При наличии, хотя бы одного корня с положительной действительной частью график функции y(t) будет представлять собой возрастающую экспоненту или косинусоиду, и процесс регулирования будет неустойчивым.

Если хотя бы один из корней (p_i = 0), то функция y(t) будет содержать постоянную составляющую C_ie^pit = C_i, что соответствует нахождению САУ на грани устойчивости.

В аналогичном состоянии будет находиться система в случае наличия чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Рассмотренное условие устойчивости относится к линейным САУ. Но практически все реальные САУ являются нелинейными и только приближенно многие из них можно описать линейными уравнениями. Так, например, Ляпунов доказал, что по устойчивости линеаризованной системы можно судить об устойчивости исходной нелинейной системы.

Однако, для того, чтобы выяснить, устойчива система или нет, не обязательно решать дифференциальное уравнение, что весьма трудоемко при порядке уравнения более 3. Достаточно определить знаки действительных частей корней характеристического уравнения по другим критериям.

С этой целью разработаны различные алгебраические критерии устойчивости систем САУ, в основу которых положен следующий принцип, Поскольку корни p_i характеристического уравнения определяются коэффициентами а_i , то по знакам последних можно приближенно оценить устойчивость систем.

Так алгебраические критерии, предложенные Раусом, Гурвицем и Неймарком, позволяют оценить устойчивость системы с помощью алгебраических операций над коэффициентами характеристического уравнения, в случае, если все они имеют положительные знаки.

Ограничимся с вами рассмотрением критерия устойчивости Гурвица.

По характеристическому уравнению (4) составляется главный определитель n-го порядка Д_n, для чего по его главной диагонали слева на право выписываются коэффициенты в порядке убывания их индексов, начиная с а_n-1. В строках левее главной диагонали выписываются коэффициенты с последовательно убывающими индексами, а правее - с возрастающими. Места коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля заполняются нулями.

Д_n = (5)

Из главного определителя последовательным отчеркиванием m строк и m столбцов, начиная с диагонального элемента a_{n - 1} с индексом (n - 1), находятся определители (диагональные миноры):

Д₁ = Д₂ = ; Д₃ = ; …; Дm = … (6)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители от Д₁ до Д_n были положительны: Д₁ > 0; Д₂ > 0; Д₃ > 0; … ; Д_m > 0; …

В частности, для системы третьего порядка критерий Гурвица принимает более простой вид: a₃ > 0; a₂ > 0; a₁ > 0; a₀ > 0;

Д₂ = = a1•a2 - a0•a3 > 0. (7)

Наряду с алгебраическими методами оценки устойчивости систем САУ часто применяют частотные методы устойчивости. В практике наиболее широкое применение получил критерий устойчивости Михайлова, основанный на анализе левой части характеристического уравнения (4) замкнутой системы САУ после замены в нем оператора Лапласа р на комплексную переменную jщ:

V(jщ) = a_n•(jщ)⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)•(jщ)^(n-1) + ••• + a₁•(jщ) + a₀. (8)

Многочлен V(jщ) представляет собой вектор в комплексной плоскости, значение которого определяется величинами действительной N(щ) и мнимой M(jщ) составляющих: V(jщ) = N(щ) + jM(щ).

При изменении частоты от нуля до бесконечности вершина вектора V(jщ) вычерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется годографом или кривой Михайлова. Для построения такого годографа достаточно определить частоты, при которых происходит его пересечение с вещественной и мнимой осями координат.

Частоты щ_m, при которых годограф пересекается с вещественной осью, определяются из уравнения M(щ) = 0. После чего найденные частоты подставляются в выражение для действительной части N(щ_m).

Частоты щ_n, при которых годограф пересекается с мнимой осью, определяются из уравнения N(щ) = 0. После чего найденные частоты подставляются в выражение для мнимой части М(щ_n).

Например, для характеристического уравнения третьего порядка (n = 3) многочлен (8) V(jщ) принимает следующий вид:

V(jщ) = a₃•(jщ)³ + a₂•(jщ)² + a₁•(jщ) + a₀ = (a₀ - a₂•щ²) + jщ•( a₁ - a₃•щ²), (9)

Здесь: N(щ) = a₀ - a₂•щ²; M(щ) = щ•( a₁ - a₃•щ²).

Приравнивая к нулю поочередно действительную N(щ) и мнимую M(щ) части уравнения (9), можно найти в аналитической форме значения щ, N(щ) и M(щ):

M(щ) = 0; ;

N(щ) = 0; . (10)

Подставив численные значения коэффициентов a0, a1, a2 и a3 в выражения (10), можно построить на комплексной плоскости годограф Михайлова, по внешнему виду которого определяют устойчивость САУ следующим образом.

САУ будет устойчивой, если годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начиная с точки M(0) = a₀, лежащей на вещественной положительной полуоси, охватывает начало координат и последовательно проходит в направлении против часовой стрелки количество квадрантов, равное степени n характеристического уравнения, нигде не обращаясь в нуль и уходя в последнем квадранте в бесконечность.

Если кривая Михайлова проходит через начало координат, то САУ находится на границе устойчивости.

Есть еще ряд частотных критериев устойчивости САУ, к которым мы возможно вернемся после знакомства с частотными характеристиками САУ.

Лекция 4.Частотные характеристики систем САУ

Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию систем на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.

К частотным характеристикам относятся:

АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;

АЧХ - амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ - фазовая частотная характеристика;

ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ;

ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ.

АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W(jщ), которая получается путем замены в передаточной функции W(p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jщ. АФЧХ представляет собой вектор на комплексной плоскости в полярных координатах Н(щ) и ц(щ), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:

W(jщ) = Н(щ)?е^jц(щ) = N(щ) + jM(щ). (1)

Здесь: Н(щ) - АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора АФЧХ от круговой частоты;

ц(щ) - ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора АФЧХ от круговой частоты;

N(щ) = Н(щ)?cosц(щ) - проекция вектора АФЧХ на действительную ось комплексной плоскости;

M(щ) = Н(щ)?sinц(щ) - проекция вектора АФЧХ на мнимую ось комплексной плоскости;

При изменении частоты щ от нуля до бесконечности АФЧХ представляет собой кривую в комплексной плоскости, называемую годографом.

Рассмотрим частотные характеристики отдельных типовых звеньев.

Апериодическое звено.

Основные формулы и соотношения

W(jщ) = K/(1 + jщT) = = .

Н(щ) = ; ц(щ) = - arctg(щT);

N(щ) = K/[1 + (щ•T)²]; M(щ) = - K• щ•T/[1 + (щ•T)²]. (2)

ц(0) = 0^o; Н(0) = K; N(0) = K; M(0) = 0;

ц(щ = 1/T) = - 45^o; Н(T) = K/v2; N(T) = K/2; M(T) = - K/2;

ц(щ > ?) = - 90^o; Н(?) = N(?) = M(?) = 0.

Интегрирующее звено.

Основные формулы и соотношения

W(jщ) = K/jщ = K•e/щ;

Н(щ) = K/щ; ц(щ) = - 90^o;

N(щ) = 0; M(щ) = - K/щ; (3)

ц(0) = - 90^o; Н(0) = ?; N(0) = 0; M(0) = - ?;

ц(щ > ?) = - 90^o; Н(?) = N(?) = M(?) = 0.

Колебательное звено.

Основные формулы и соотношения

W(jщ) = K/[- (щ•T)² + j2о•T•щ + 1] = =

= = ;

Н(щ) = ; ц(щ) = - arctg{2о•T•щ/[1- (щ•T)²]};

N(щ) = K•[1 - (щ•T)²]/{[1- (щ•T)²]² + 4(о•T•щ)²};

M(щ) = - 2K•о•T•щ/{[1- (щ•T)²]² + 4(о•T•щ)²}; (4)

ц(0) = 0^o; Н(0) = K; N(0) = K; M(0) = 0;

ц(щ = 1/T) = - 90^o; Н(T) = K/(2о); N(T) = 0; M(T) = - K/(2о);

ц(щ > ?) = - 180^o; Н(?) = N(?) = M(?) = 0.

Идеальное дифференцирующее звено.

Основные формулы и соотношения

W(jщ) = jK•щ = K•щ•e;

Н(щ) = K•щ; ц(щ) = 90^o;

N(щ) = 0; M(щ) = K•щ; (5)

ц(0) = 90^o; Н(0) = 0; N(0) = 0; M(0) = 0;

ц(щ > ?) = 90^o; Н(?) = M(?) = ?; N(?) = 0.

Кроме перечисленных ранее частотных характеристик при анализе свойств САУ широко используются логарифмические частотные характеристики, к которым относятся:

ЛАЧХ - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;

ЛФЧХ - логарифмическая фазовая частотная характеристика.

ЛАЧХ представляет собой график зависимости L(щ) = 20lg[H(щ)] от десятичного логарифма частоты lg(щ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат L(щ). Единицей L(щ) является децибел (дБ), равный одной десятой Бела. L(щ) = 20 означает, что на данной частоте при прохождении сигнала через звено его амплитуда увеличивается в 10 раз.

ЛФЧХ - это график зависимости частотной функции ц(щ) от десятичного логарифма частоты lg(щ). При его построении по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, по оси ординат откладывают ц(щ) в градусах или радианах.

В обоих случаях за единицу масштаба по оси абсцисс принимается декада - это частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз. Ось ординат при построении этих характеристик проводят часто через точку (щ = 1) которая соответствует началу координат lg(1) = 0.

На практике часто кривую линию ЛАЧХ заменяют приближенным графиком, состоящим из нескольких пересекающихся прямых отрезков (асимптот), к которым стремится логарифмическая функция при определенных значениях частот, называемых сопрягающими частотами.

Рассмотрим аналитические выражения для ЛАЧХ и правила построения асимптотических ЛАЧХ для ряда характерных типовых звеньев.

Апериодическое звено. Формула ЛАЧХ согласно (2) принимает следующий вид:

L(щ) = 20lg[H(щ)] = 20lgК - 20lg. (6)

В области низких частот щ < щ_c = 1/T, меньших по значению, чем сопрягающая частота щ_c, L(щ) = 20lgК. В этой области частот кривая ЛАЧХ заменяется прямой линией, параллельной оси абсцисс и проходящей на уровне 20lgК.

В области высоких частот щ > щ_c L(щ) = 20lgК - 20lg(щ?Т). В этой области частот кривая ЛАЧХ заменяется прямой линией, имеющей наклон минус 20 дБ на декаду.

Обе прямые или иначе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей сопрягающей частоте щ_c = 1/T.

Интегрирующее звено. Формула ЛАЧХ согласно (3) принимает следующий вид:

L(щ) = 20lg[H(щ)] = 20lgК - 20lgщ. (7)

Так как при частоте щ = 1 согласно выражению (7) функция L(щ) = 20lgК, то естественно асимптота в виде прямой линии с отрицательным наклоном в 20 дБ должна проходить через эту точку при щ = щ_c = 1.



Колебательное звено. Формула ЛАЧХ согласно (4) принимает следующий вид:

L(щ) = 20lg[H(щ)] = 20lgK - 20lg . (8)

В области низких частот щ < щ_c = 1/T, меньших по значению, чем сопрягающая частота щ_c, L(щ) = 20lgК, а при значениях частоты щ > щ_c можно под корнем пренебречь единицей и слагаемым 4(о?щ?T)². В результате получаем уравнение асимптотической ЛАЧХ:

L(щ) = . (9)

Согласно уравнению (9) асимптотическая ЛАЧХ при щ < щ_c = 1/T, где щ_c - сопрягающая частота, параллельна оси частот, а при щ_c имеет минус 40 децибел на декаду.

Идеальное дифференцирующее звено. Формула ЛАЧХ согласно (5) принимает следующий вид:

L(щ) = 20lg[H(щ)] = 20lgК + 20lgщ. (10)

По аналогии с интегрирующим звеном асимптотическая ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку 20lgK при щ_c = 1 с наклоном плюс 20дб/дек.

После того, как мы познакомились с частотными характеристиками САУ и правилами их построения, можно вернуться к рассмотрению других частотных критериев устойчивости систем САУ.

Частотный критерий Найквиста. Данный критерий предложен в 1932 году американским ученым Г. Найквистом и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы ее АФЧХ W(jщ) при разомкнутой цепи обратной связи не охватывала в комплексной плоскости точку с координатами (- 1; j0).

Если разомкнутая система статическая (не имеет интегрирующих звеньев), то при щ = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке N(0) = H(0) = K, где К - коэффициент усиления разомкнутой системы. Заканчивается АФЧХ при щ = ? вначале координат.

Если система является астатической (имеет интегрирующие звенья), то ее АФЧХ начинается при щ = 0 в бесконечности, поскольку в знаменателе функции W(jщ) имеется множитель (jщ)^r, где r - порядок астатизма. Соответственно, при r = 1 и щ = 0 характеристика W(jщ) уходит в бесконечность вдоль отрицательной мнимой полуоси, при r = 2 - вдоль отрицательной действительной полуоси, а при r = 3 - вдоль положительной мнимой полуоси.

Логарифмический критерий Найквиста. Для оценки устойчивости САУ по данному критерию используются графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы САУ. Система САУ считается устойчивой, если при ц(щ) = - 180^о кривая ЛАЧХ находится в отрицательной области: L(щ) = 20lg[H(щ)] < 0, т.е. ЛАЧХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, перейдет за значение -180^о. Систему САУ можно считать также устойчивой, если на частоте среза щ_ср, на которой L(щ_ср) = 20lg[H(щ_ср)] = 0, значение аргумента ц(щ_ср) > - 180^o.

При оценке устойчивости САУ необходимо определить запас устойчивости, т.е. степень удаленности системы от границы устойчивости. В качестве меры запаса устойчивости используется запас устойчивости по амплитуде h(щ) и запас устойчивости по фазе ш(щ_ср).

Запас устойчивости САУ по амплитуде h(щ) определяется на частоте щ_у, при которой ц(щ_у) = - 180^о: h(щ_у) = - L(щ_у) и показывает допустимое увеличение ЛАЧХ , при котором система окажется на грани устойчивости. Запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту усиления К разомкнутой системы по отношению его к критическому по устойчивости значению.

Запас устойчивости по фазе ш(щ_ср) определяется на частоте среза щ_ср, как: ш(щ_ср) = ц(щ_ср) + 180^о и показывает, на какую величину должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза щ_ср, чтобы система оказалась на грани устойчивости.

При проектировании САУ рекомендуется выбирать ш(щ_ср) ? 30^о, а h(щ_у) ? 6 дБ, что соответствует примерно двойному запасу коэффициента усиления К по устойчивости.

Лекция 5. Электрические модели типовых динамических звеньев

Каждое из рассмотренных нами динамических звеньев может быть представлено в виде электрического, механического или электро-механического аналогов, процессы в которых математически описываются соответствующим одним и тем же дифференциальным уравнением.

Рассмотрим электрические модели наиболее часто встречающихся типовых звеньев. Апериодическое звено. Апериодическими звеньями являются RC и RL цепи, входные и выходные величины которых связаны соответствующей передаточной функцией.

Для схемы а) напряжение на выходе в комплексном виде равно:

U_вых(jщ) = I(jщ)•x_c/j = I(jщ)•1/(jщC);

I(jщ) = U_вх(jщ)/[R + 1/(jщC)] = jщC• U_вх(jщ)/(jщRC +1);

U_вых(jщ) = U_вх(jщ)/(jщRC +1). (1)

Представим уравнение (1) в операторной форме, заменив комплексную переменную jщ на оператор Лапласа р:

U_вых(р) = U_вх(p)/(рRC +1) = U_вх(p)/(рТ +1). (2)

Как следует из уравнения (2), передаточная функция схемы а) соответствует передаточной функции типового апериодического звена:

W(p) = y/x = U_вых(р)/U_вх(p) = 1/(рТ +1), где (3)

коэффициент усиления К равен 1, а постоянная времени Т равна произведению RC.

Для схемы б) ток на выходе в комплексном виде равен:

I_вых(jщ) = U_вх(jщ)/(R + jx_L) = U_вх(jщ)/(R + jщL);

I_вых(jщ) = U_вх(jщ)•(1/R)/[jщ•(L/R) +1)]. (4)

Заменяя в уравнении (4) комплексную переменную jщ на оператор Лапласа р, получим уравнение схемы б) в операторной форме:

I_вых(р) = U_вх(р)•(1/R)/[р•(L/R) +1)] = U_вх(р)•K/(рТ +1). (5)

Из выражения (5) следует, что передаточная функция данной схемы устанавливает связь между выходным током и входным напряжением:

W(p) = y/x = I_вых(р)/U_вх(p) = K/(рТ +1), где (6)

коэффициент усиления К равен 1/R, а постоянная времени Т равна отношению L/R.

25моделировать апериодические звенья с требуемыми характеристиками.

Колебательное звено. Оно представляет собой последовательное соединение RLC элементов:

Представим напряжение на выходе колебательного звена сразу в операторной форме:

U_вых(р) = I(p)•1/pC = U_вх(p)•(1/pC)/[R + pL + (1/pC)] =

= U_вх(p)/(p²CL + pRC + 1) = U_вх(p)/(p²T² + p2оT + 1), (7)

где Т² = CL; 2оT = CR.

Тогда передаточная функция колебательного звена:

W(p) = y/x = U_вых(р)/U_вх(p) = 1/( p²T² + p2оT + 1), (8)

где коэффициент усиления равен К = 1. Коэффициент демпфирования о можно найти из следующих соотношений:

T = vCL; 2оvCL = CR,

откуда о = CR/(2vCL) = 0,5•R•C/v(C•L). (9)

Для случая отсутствия активных потерь в колебательном контуре (R = 0) имеем согласно выражению (9): о = 0, т.е. в контуре имеют место незатухающие колебания. Колебательное звено превращается в апериодическое звено второго порядка, когда о = 1, т.е. при условии, что 0,5•R•C = v(C•L) или R²•C = 4L.

Интегрирующее звено.

Идеальными интегрирующими звеньями являются цепи с элементами С и L. В схеме а) входной величиной х является ток заряда конденсатора, а напряжение на нем - выходной величиной у. В схеме б) входной величиной х является напряжение на индуктивности, а ток - выходной величиной у.

Представим напряжение на выходе схемы а) в операторной форме:

U_вых(р) = I_вх(р)•1/(рС). (10)

Следовательно, передаточная функция данного звена равна:

W(p) = y/x = U_вых(р)/I_вх(p) = (1/C)/p = К/р, (11)

где К = 1/С.

Отличительным свойством интегрирующего звена является то, что после прекращения действия входного сигнала выходной сигнал звена остается на том уровне, на котором был в момент исчезновения входного сигнала. Иначе говоря, интегрирующее звено обладает свойством «запоминать» последнее значение выходной величины, благодаря чему достигается астатизм автоматической системы. Другой особенностью интегрирующего звена является то, что скорость изменения выходной величины у прямопропорциональна значению входной величины х.