Получим спектр собственных значений

.

Составим матрицу Вандермонда:

.

Вычислим функции модальной чувствительности () с помощью соотношений:

,;

,;

,;

,;

,.

Сконструируем матрицу функций модальной чувствительности в виде функций чувствительности вещественной и мнимой частей:

, где

По нормам столбцов выделяем доминирующие параметры:

Для выделения неблагоприятного сочетания вариаций параметров воспользуемся сингулярным разложением матрицы модальной чувствительности:

, ,

Вектор наиболее неблагоприятного сочетания параметров может быть сформирован так:

, где -й столбец матрицы соответствует максимальному сингулярному числу.

Таким образом:

5. Вычисление матриц Кg и К методом модального управления, базовый алгоритм которого дополняется контролем нормы медианной составляющей интервальной матрицы спроектированной системы с последующим вычислением оценки

Дано ВМО ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в форме:

получаемое с использованием интервальной арифметики на основе интервальной реализации параметров , записываемых в форме

при следующих граничных (угловых) значениях:

Закон управления (ЗУ): должен доставлять системе с интервальными матричными компонентами

образованной объединением НОУ и ЗУ, с помощью:

матрицы прямой связи по входу равенство входа и выхода в неподвижном состоянии при медианных значениях параметров;

матрицы обратной связи по состоянию при медианных значениях параметров распределение мод Баттерворта с характеристической частотой , которая гарантирует достижение оценки относительной интервальности матрицы состояния системы

не больше заданной . Методом модального управления, базовый алгоритм которого, опирающийся на решение матричного уравнения Сильвестра и примененный к медианным составляющим интервальных матричных компонентов ВМО ВСВ НОУ, дополняется контролем нормы медианной составляющей интервальной матрицы спроектированной системы с последующим вычислением оценки , вычислить матрицы и . ВМО ВСВ интервального ОУ (из пункта 1):

, , .

В примечании к заданию рекомендуется преобразовать систему так, чтобы интервальной была бы только матрица состояния.

Для этого введем третью переменную состояния и новое входное воздействие :

Изначально:

После преобразования:

Таким образом, матрицы описания ОУ принимают вид:

Определим угловые значения матрицы . Очевидно, что элементы матрицы примут: максимальные значения при: и , минимальные значения при: и .

Остается лишь сравнить значения матрицы при и .

при ,

при ,

Граничные значения матрицы получим, скомпоновав экстремальные значения каждой составляющей матрицы :

, .

Необходимо отметить, что полученные граничные значения интервальной матрицы физически не реализуемы, то есть элементы матрицы не могут принять одновременно указанные экстремальные значения. Другими словами, здесь неизбежно закладывается избыточность в задании матрицы.

Это сделано формально с тем, чтобы все реализации матрицы ограничивались указанными значениями.

Далее, найдём медианное значение как среднее арифметическое угловых значений:

Найдем также абсолютную разность между угловым и медианным значением для последующего расчета относительной интервальности:

.

, .

.

Теперь можем сформировать медианное модальное управление.

Матрицы эталонной модели с учетом требования к выбору корней полинома Баттерворта () имеют вид:

Решим уравнения Сильвестра:

M-1=

Тогда медианная составляющая матрицы замкнутой системы имеет вид:

Таким образом, на частоте среза достигается требуемая относительная интервальность матрицы состояния системы.

Сформируем закон управления:

,.

,

Закон управления имеет вид:

.

Вывод