Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волжский политехнический институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

(ВПИ (филиал) ВолгГТУ)

Кафедра «Технология и оборудование машиностроительных производств»

Контрольная работа

по дисциплине

«Статические методы контроля и управления качеством в машиностроении»

Тема: «Составление планов приемочного контроля по качественному признаку»

Волжский, 2014 г.

Часть 1. Построение оперативной характеристики одноступенчатого плана контроля

По условию задачи исходными данными являются: размер партии N, объем выборки n, приемочное число Ac (Ac-предельно допустимое количество дефектов в выборке, при котором партия продукции может быть принята), вероятности ошибок принятия решения о состоянии партии.

Необходимо:

1) Построить оперативную характеристику: зависимость вероятности принятия партии продукции от уровня дефектности (доли брака).

2) Зная из условия задачи вероятности ошибок б = 1 - L(AQL), в = L(RQL) определить соответственно приемочный уровень дефектности AQL, и браковочный уровень дефектности RQL.

Последовательность расчета:

1) Определить из размера партии объем выборки исходя из условия, что распределение дефектов подчинено закону Пуассона (n = 0,1*N).

3) Самостоятельно задать диапазон изменения уровня дефектности p партии. Количество точек диапазона уровня дефектности p: 20-30. Для этих значений определить вероятность приемки партии L(p). Диапазон задавать по ходу построения графика оперативной характеристики. Он должен охватывать изменение L(p) от 1, или ?1, до значений, близких к нулю, но так чтобы график изменения L(p) был наглядным.

5) Определить из таблицы или графика значения уровней дефектности AQL и IQL.

Теоретическая часть

Уровень дефектности p - это доля брака в партии продукции.

Для различных планов выборочного контроля могут использоваться различные уровни дефектности. Чаще всего используются следующие показатели:

Приемочный уровень дефектности AQL - максимальный уровень дефектности, который для целей приемки продукции является удовлетворительным.

Партия принимается, если уровень дефектности p AQL. Значение AQL должно быть зафиксировано в договоре между заказчиком и потребителем. Принятие этой величины в качестве критерия приемки выгодно производителю.

Браковочный уровень дефектности RQL - максимальный уровень дефектности, который рассматривается как неудовлетворительный. В различной литературе можно также встретить обозначение LQ и LTPD.

Договоренность о защите RQL имеет целью защиту потребителя. Партии с долей брака p RQL должны, как правило, браковаться. Поэтому план контроля будет тем выгоднее потребителю, чем меньше значение RQL.

Нейтральный уровень дефектности IQL - имеет вероятность приемки, равную 0,5 для заданного выборочного плана.

Для оценки и сопоставления различных планов выборочного контроля служит оперативная характеристика.

Оперативная характеристика - выраженная уравнением, графиком или таблицей зависимость вероятности приемки L(p) партии продукции от величины, характеризующей качество этого плана. Оперативная характеристика L(p) при выборочном контроле имеет вид, показанный на рисунке 1.1.

При фиксированных параметрах плана контроля можно построить график оперативной характеристики. Также можно решить и обратную задачу: исходя из готовой оперативной характеристики, подобрать оптимальный план контроля с желаемыми свойствами.

Если, например, в качестве показателя качества плана принять приемочный уровень дефектности AQL, то при сплошном контроле партии имеем идеальную оперативную характеристику, при которой принимаются все партии с p ? AQL и бракуются все партии с p > AQL (рисунок 1.2).



Рисунок 1.1. График оперативной характеристики при выборочном контроле.

Рисунок 1.2 График оперативной характеристики при 100% контроле

При выборочном контроле возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода б возникает тогда, когда потребитель бракует годную партию с уровнем дефектности p ? AQL. Вероятность браковки партии продукции, обладающей приемочным уровнем дефектности AQL, называется риском поставщика.

Ошибка второго рода в возможна, когда принимается партия с большим уровнем дефектности продукции p > RQL. Вероятность такого ложного решения называется риском потребителя.

Согласно определениям вероятностей ошибок первого и второго рода имеем:

L(AQL) = 1 - б;

L(RQL) =в (1.1)

Мерой эффективности оперативной характеристики, как и мерой эффективности мощности критерия является крутизна и относительная чувствительность.

Крутизна - это скорость изменения графика L(p) в точке перегиба. Она характеризует плавность уменьшения вероятности приемки партии с возрастанием уровня дефектности. Чем меньше плавность, чем эффективнее оперативная характеристика, тем меньше вероятности ошибок первого и второго рода.

Относительная чувствительность m - величина показывающая на сколько процентов изменится вероятность приемки, если уровень дефектности изменится на один процент:

(1.2)

Например, если m = - 5 то это значит, что при увеличении на 1% уровня дефектности p, вероятность приемки партии уменьшится на 5%.

Свойства оперативной характеристики

Влияние основных параметров на кривую оперативной характеристики (объёма выборки n , приемочного числа Ас, размера партии N и отношения N/n) приведено на рисунках 3 и 4.

Анализ приведенных оперативных характеристик показывают следующее:

- увеличение объёма выборки n при постоянном числе ведет к смещению L(p) влево, то есть приближает кривую оперативной характеристики к идеальной, но увеличивает стоимость контроля (рисунок 3(а));

а) б)

Рисунок 1.3 Влияние на оперативную характеристику: а) объема выборки, б) приемочного (допустимого) числа дефектных изделий в выборке.

а) б)

Рисунок 1.4 Влияние на оперативную характеристику: а) размера партии N, б) отношения N/n.

- увеличение приемочного числа Ас (3(б)) при неизменном n смещает L(p) вправо и уменьшает её наклон в рабочей области (AQL,RQL). При Ас=0 оперативная характеристика близка к экспоненте, при этом обеспечивается приемка при минимальной доле дефектных единиц продукции. Поэтому условие Ас=0 применяется при контроле изделий, к качеству которых предъявляются высокие требования;

- если увеличить n при неизменном отношении Ас/n, то оперативная характеристика становится всё ближе к идеальной (рисунок 4 (а)), но при этом также увеличивается стоимость контроля.

Вероятность приемки партии слабо зависит от размера партии (рис.4 (б));

Вообще, с ростом n повышается гарантия качества, а с ростом Ас увеличивается информативность контроля.

Приемочный контроль по качественному признаку

Одноступенчатый контроль

Одноступенчатый план контроля по качественному признаку проводят в следующем порядке:

Задаются планом контроля:

1) Контролируемый признак качества. Признаки определяют по чертежам изделий, либо другой нормативно-технологической документации.

2) Определяют виды дефектов, согласно которым все изделия делят на «годные» и «дефектные».

3) Определяют объем выборки n и партии N.

4) Определяют вид контроля.

5) В качестве критерия приемки используют допустимое число дефектных изделий, связанное с уровнем дефектности партии p.

Основными параметрами выборочного одноступенчатого контроля являются целочисленные значения размера партии N, объёма выборки n и приёмочного числа Ac, которые соотносятся друг с другом следующим образом : Ac < n < N.

Партия принимается, если наступает одно из несовместимых событий : z = 0; z = 1;…; z = Ac. Здесь z - число дефектов (дефектных изделий) в выборке. Поэтому вероятность приёмки партии равна сумме вероятностей этих событий:

, (1.3)

где: i = 0, 1, 2, … , Ac - число дефектных изделий в выборке, p - уровень дефектности,

P(z=i) - вероятность такого события, что число дефектных изделий в выборке равно i.

Слагаемые в этой формуле зависят от вида закона распределения случайной величины z. Существуют три распределения, которые используются для нахождения вероятности приемки партии - гипергеометрическое, биномиальное и распределение Пуассона.

Для малых партий, когда объём выборки превышает 10 - 25% наиболее применимо гипергеометрическое распределение. При таком распределении учитывается зависимость результатов отдельных испытаний от изменения объёма малой партии при взятии из неё выборки, поэтому обеспечивается хорошее приближение к действительности.

Расчетная часть.

Результаты вычислений представили в виде таблиц.

Таблица 1. Исходные данные

N	Ac	б	в
1400	4	0,01	0,1

Зададим объем выборки согласно условию задачи:

n= 0,1*N = 140 (при получении дробного числа округлить до ближайшего целого).

1. Число дефектных изделий в выборке подчиняется закону распределения Пуассона.

1) Для определения вероятности приемки L(p) воспользуемся функцией Excel: ПУАССОН:

В этой функции:

X - максимально допустимое число обнаруженных дефектных изделий в выборке, т.е. приемочное число Ac.



Рисунок 1.5

среднее - среднее значение дефектных изделий в выборке, равно произведению уровня дефектности (доли брака) p на объем выборки n , т.е среднее = n_•p.

Интегральная = 1 - т.к. вычисляется вероятность попадания числа дефектных изделий в интервал от 0 до Ac1 : z₁ (0; Ac₁].

2. Число дефектных изделий в выборке подчиняется биномиальному закону распределения.

2) Для определения L(p) воспользуемся функцией Excel БИНОМРАСП:

Рисунок 1.6

В этой функции:

Число успехов - максимально допустимое число обнаруженных дефектных изделий в выборке, т.е. приемочное число Ac.

Число испытаний - объем выборки n.

Вероятность успеха - значение уровня дефектности (среднее значение доли брака в партиях) p

Интегральная = 1 - т.к. вычисляется вероятность попадания числа дефектных изделий в интервал от 0 до Ac1 : z₁ (0; Ac₁].

В таблицах приводятся результаты вычислений.

Таблица 2. Результаты расчета при распределении числа дефектных изделий по закону Пуассона.

p	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009	0,010	0,011
L(p)	0,999	0,999	0,999	0,998	0,996	0,994	0,990	0,985	0,979
p	0,012	0,013	0,014	0,015	0,016	0,017	0,018	0,019	0,020
L(p)	0,971	0,962	0,950	0,937	0,923	0,906	0,888	0,868	0,847
p	0,021	0,022	0,023	0,024	0,025	0,026	0,027	0,028	0,029
L(p)	0,825	0,801	0,777	0,751	0,725	0,698	0,671	0,644	0,617
p	0,030	0,031	0,032	0,033	0,034	0,035	0,036	0,037	0,038
L(p)	0,589	0,562	0,535	0,509	0,483	0,458	0,433	0,409	0,386
p	0,039	0,040	0,041	0,042	0,043	0,044	0,045	0,046	0,047
L(p)	0,363	0,342	0,321	0,301	0,282	0,264	0,246	0,230	0,214
p	0,048	0,049	0,050	0,051	0,052	0,053	0,054	0,055	0,056
L(p)	0,200	0,186	0,173	0,160	0,148	0,138	0,127	0,118	0,109

Таблица 3. Результаты расчета при распределении числа дефектных изделий по биномиальному закону.

p	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009	0,01	0,011
L(p)	1	1	0,999	0,998	0,997	0,994	0,991	0,986	0,980
p	0,012	0,013	0,014	0,015	0,016	0,017	0,018	0,019	0,02
L(p)	0,973	0,963	0,952	0,939	0,925	0,908	0,890	0,871	0,850
p	0,021	0,022	0,023	0,024	0,025	0,026	0,027	0,028	0,029
L(p)	0,827	0,803	0,779	0,753	0,727	0,700	0,672	0,645	0,617
p	0,03	0,031	0,032	0,033	0,034	0,035	0,036	0,037	0,038
L(p)	0,589	0,562	0,534	0,508	0,481	0,455	0,430	0,406	0,382
p	0,039	0,04	0,041	0,042	0,043	0,044	0,045	0,046	0,047
L(p)	0,359	0,337	0,316	0,296	0,276	0,258	0,241	0,224	0,208
p	0,048	0,049	0,05	0,051	0,052	0,053	0,054	0,055	0,056
L(p)	0,193	0,179	0,166	0,154	0,142	0,131	0,121	0,111	0,102

По результатам расчета определяем уровни дефектности AQL, RQL.

Для их определения можно использовать функцию линейной интерполяции Excel ПРЕДСКАЗ (допускается также непосредственно подбирать уровень дефектности p пока не получим значения оперативной характеристики, близкие к L(p = AQL) = 1-б, и L(p = RQL)=в.

Таблица 4

n	AQL	RQL
140	0,009	0,053

По полученным значениям строим график оперативной характеристики

Рисунок 1.7 Оперативная характеристика плана одноступенчатого контроля.

Вывод обе оперативные характеристики в этом случае различаются незначительно.

Рассчитаем оперативную характеристику для случая, когда объем выборки составляет 30% от размера партии. При больших объемах выборки, соизмеримых с размером партии необходимо учитывать факт того, что если выборка формируется без возвращения, то в остатке партии существенно может измениться уровень дефектности.

Расчет проведем для всех трех законов распределения признака качества: Пуассона, Биномиальное, Гипергеометрическое).

Для построения оперативной характеристики по гипергеометрическому закону, воспользуемся функцией Excel ГИПЕРГЕОМЕТ.

Однако с помощью данной функции можно определить только вероятность того что число дефектных изделий в выборке примет некоторое определенное значение, т.е. вероятность того, что z = j. В то же время для вычисления оперативной характеристики необходимо определить вероятность того что число дефектных изделий не превысит заданного значения, т.е. вероятность того что 0 ? z ? Ac.

Поэтому с помощью функции ГИПЕРГЕОМЕТ нам нужно определить вероятности всех возможных событий при определенном уровне дефектности p: P(z = 0), P(z = 1) … P(z = Ac) и найти их сумму. Эта сумма и будет значением оперативной характеристики.

Рисунок 1.8

В этой функции:

Число успехов в выборке - число дефектных изделий z из интервала z[0;Ac] .

Размер выборки - объем выборки n.

Число успехов в совокупности - математическое ожидание числа дефектных изделий в партии. Равно произведению уровня дефектности на размер партии: p•N

Размер совокупности - размер партии N.

Результаты вычислений представлены в следующих таблицах и на графике рисунка 1.8.

Результаты вычислений оперативной характеристики для Гипергеометрического закона распределения

Таблица 5

p	0,003	0,005	0,007	0,009	0,01	0,012	0,014	0,016
L(p)	1	0,972	0,902	0,724	0,584	0,449	0,281	0,162
p	0,018	0,02	0,022	0,024	0,026	0,028	0,03	0,032
L(p)	0,088	0,046	0,029	0,014	0,007	0,003	0,001	0,000

Результаты вычислений оперативной характеристики для закона Пуассона.

Таблица 6

p	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009	0,01
L(p)	0991	0,972	0,938	0,888	0,825	0,752	0,672	0,590
p	0,011	0,012	0,013	0,014	0,015	0,016	0,017	0,018
L(p)	0,434	0,364	0,301	0,247	0,200	0,161	0,128	0,101
p	0,019	0,02	0,021	0,022	0,023	0,024	0,025	0,026
L(p)	0,079	0,061	0,047	0,036	0,028	0,021	0,016	0,012
p	0,027	0,028	0,029	0,03	0,031	0,032
L(p)	0,009	0,007	0,005	0,004	0,003	0,002

Результаты вычислений оперативной характеристики для Биномиального закона распределения.

Таблица 7

p	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009	0,01
L(p)	0,991	0,972	0,938	0,889	0,826	0,752	0,672	0,590
p	0,011	0,012	0,013	0,014	0,015	0,016	0,017	0,018
L(p)	0,509	0,432	0,362	0,300	0,245	0,198	0,158	0,125
p	0,019	0,02	0,021	0,022	0,023	0,024	0,025	0,026
L(p)	0,099	0,077	0,059	0,046	0,035	0,026	0,020	0,015
p	0,027	0,028	0,029	0,03	0,031	0,032
L(p)	0,011	0,008	0,006	0,005	0,003	0,002

Пользуясь функцией линейной интерполяции ПРЕДСКАЗ, находим значения AQL и RQL при заданных ошибках б = 0,01 в = 0,1:

AQL = 0,0030; RQL = 0,018 при описании распределения случайного числа дефектных изделий в выборке по законам: Пуассона, Биномиального распределения.

AQL ? 0,004,RQL = 0,0180 при описании распределения случайного числа дефектных изделий в выборке по закону Гипергеометрического распределения.

Рисунок 1.9 Оперативная характеристика зависимости гипергеометрического распределения

Вывод. Увеличение объема выборки одним и тем же ошибкам принятия ложных решений соответствует меньшее по величине значение RQL, и AQL. Если же требования к качеству, которые выражаются заданными значениями AQL и RQL постоянны, то увеличение объема выборки снижают ошибку в и увеличивают б.

Получив оперативную характеристику, делаем вывод, что чем более пологий график, тем меньше статическая мощность критерия. При уменьшении размера выборки мощность критерия падает. Большая мощность критерия и более точные вычисления при большом объеме выборки по сравнению с размером партии (при отборе в выборку без возвращения в партию) могут быть получены при распределении бракованных изделий в выборке по гипергеометрическому закону.

Определение среднего выходного уровня дефектности и среднего числа проконтролированных изделий.

Важной для потребителя характеристикой является характеристика качества проконтролированной партии - средняя доля пропущенного (незамеченного) брака или средний выходной уровень дефектности AOQ (average outgoing quality).

При выборочном контроле нет гарантий, что будут приняты только «годные» партии. Можно лишь гарантировать то, что «хорошие» партии будут приниматься с большой вероятностью, а «плохие» партии будут браковаться. Однако ошибки первого и второго рода неизбежны.

Строго говоря, средний выходной уровень дефектности - математическое ожидание уровня дефектности в принятых и забракованных партиях.

Определяется AOQ в общем виде как отношение:

где M(Y₁) - математическое ожидание числа дефектных изделий Y₁ в принятых партиях.

М(Y₂) - математическое ожидание числа принятых изделий Y₂ в партиях.

Максимальное значение среднего выходного уровня дефектности AOQL (average outgoing quality limit) характеризует эффективность приемочного контроля. Величина AOQL означает, что независимо от уровня дефектности в партии до контроля, выходной уровень дефектности будет в среднем не более AOQL. Определение значений AOQ зависит от последующих действий с выборкой и отбракованной партией. Возможны следующие варианты действий с изделиями, входившими в выборку:

S₁ - все изделия выборки отбраковываются без замены.

S₂ - отбраковываются без замены только дефектные изделия.

S₃ - отбраковываются с заменой на годные только дефектные изделия.

Для изделий, входящих в партию, также возможны три варианта действий:

В - все N-n изделий отбраковываются.

К - остатки партий подвергаются сплошному контролю и все дефектные изделия отбраковываются без замены на годные.

КЗ - остатки партии подвергаются сплошному контролю и все дефектные изделия заменяются на годные.

Таким образом. В общем случае получается девять комбинаций. Из рассмотренных комбинаций на практике распространены лишь те, при которых решение по отношению к выборке и остатку партии одинаковы. Комбинация (S₁; B) встречается при разрушающем контроле. При этом входной и выходной уровни дефектности совпадают, если поставляются партии с постоянной долей брака р.

Если оценку способа контроля производят на основании того, на сколько средний уровень дефектности AOQ лежит ниже входного уровня дефектности р, то разрушающий контроль дает наихудшие результаты. Разрушающий контроль имеет смысл тогда, когда поставляются партии с переменным уровнем качества. В этом случае он защищает потребителя от приемки «плохих» партий.

Комбинация (S₂;К) типична для входного контроля потребителя, так как он обычно не в состоянии заменить дефектные изделия на годные.

Комбинация (S₃;КЗ) типична для внутрипроизводственного приемочного контроля производителем.

Определим средний выходной уровень дефектности для случая, когда все дефектные изделия отбраковываются без замены (входной контроль потребителя (S₂;К).

В этом случае зависимость AOQ(p) имеет вид:

Рисунок 1.10. Средний выходной уровень дефектности одноступенчатого контроля.

По результатам расчета можно сделать вывод что для выбранного плана контроля максимальная доля брака партий, прошедших контроль не превысит 1,65%.

Часть 2. Построение оперативной характеристики плана двухступенчатого контроля

Теоретическая часть.

Для одноступенчатого плана выборочного контроля решение о принятии или браковки партии принимается на основе результатов контроля одной выборки. Объем выборки при этом постоянен независимо от уровня дефектности.

Для всех однократных планов выборочного контроля характерно большое число контролируемых изделий ATI . Уменьшить среднее число ATI применяя планы двухступенчатого контроля.

Преимущество двухступенчатого контроля - меньшее среднее число ATI.

Недостаток двухступенчатого контроля - более сложная организация, чем однократного.

Описание метода контроля:

Пусть n₁ - объем выборки на первой ступени контроля, n₂ - объем выборки на второй ступени контроля, z₁ - число дефектных изделий, обнаруженных на первой ступени; z₂ - суммарное число дефектных изделий, обнаруженных на второй ступени контроля; Ac₁ - приемочное число на первой ступени контроля; Ac₂ - приемочное число на второй ступени контроля; Rc₁ - браковочное число на первой ступени контроля.

Из партии объемом N берется выборка объемом n₁. Если число дефектных изделий в выборке z₁ ? Ac₁ - партия принимается; если z₁ ? Rc₁ - партия бракуется. В случае z₁ (Ac₁;Rc₁) берут выборку объемом n₂. После контроля партию принимают, если общее число дефектных изделий (z₁+ z₂) в обоих выборках не превышает приемочного числа Ac₂.

Таким образом, задание плана двухступенчатого контроля определяется 5-ю параметрами (N; n₁; Ac₁; Rc₁; n₂; Ac₂)

Данные параметры не могут быть выбраны произвольно. Однако из описания метода следует требование:

Для того чтобы возникла ситуация взятия второй выборки необходимо условие:

Открытый интервал (Ac₁;Rc₁) должен содержать минимум одно целое число. Для уверенности в том, что решение, принимаемое по результатам контроля второй выборки не могло быть принято по результатам контроля первой выборки необходимо выполнение условия:

Rc₁-1 Ac₂;

Итак, целочисленные параметры плана контроля должны соответствовать требованиям:

0 Ac₁< Rc₁-1 Ac₂ < n₁< n₁ + n₂

Для того, чтобы решение о приемке партии продукции было принято по результатам контроля первой выборки в случае если уровень дефектности слишком низок или слишком высок, необходимо выполнение условия:

В литературе существуют следующие (необязательные) рекомендации:

Rc₁-1 = (3…5)*Ac₁;

n₂ = (1…2)*n₁;

Ориентируясь на условия (1.2)-(1.4), план контроля может быть задан только тремя параметрами (N, n₁, Ac₁).

Задание:

Построить оперативную характеристику двухступенчатого плана контроля. Сравнить с ранее полученной характеристикой для одноступенчатого контроля. Сделать выводы.

Выберем параметры плана двухступенчатого контроля:

n₂= n₁; Ac₂=Rc₁-1; Ac₂=3Ac₁.

Используя объем выборки ранее исследуемого плана одноступенчатого контроля, разобьем его на две части.

n = n₁ + n₂. При n₁ = n₂; Ac₂=Ac; Ac₁ = Ac/3 (если при делении получено дробное значение Ac₁, его нужно округлить до ближайшего меньшего целого).

Где n - объем выборки ранее рассмотренного одноступенчатого плана контроля. Ac - приемочное число ранее рассмотренного одноступенчатого плана контроля. Rc₁ - браковочное число на первой ступени двухступенчатого контроля. Ac₁ - приемочное число на первой ступени двухступенчатого контроля.

Полученные исходные данные двухступенчатого плана контроля.

Таблица 2.1

n	n1	n2	Ac	Ac1	Rc1	Ac2	Rc2
140	70	70	4	1	5	4	4

В своем варианте необходимо произвести расчеты при описании распределения дефектных изделий по Биномиальному закону.

При реализации двухступенчатого плана контроля возможны 4 события. Вероятность каждого из этих событий зависит от уровня дефектности:

1) Приемка партии на основании результатов контроля первой выборки с вероятностью Wa₁(p).

2) Браковка партии на основании результатов контроля первой выборки с вероятностью Wr₁(p).

3) Приемка партии на основании результатов контроля второй выборки с вероятностью Wa₂(p).

4) Браковка партии на основании результатов контроля второй выборки с вероятностью Wr₂(p).

Кроме того, по окончании контроля первой выборки наступает одно из трех несовместных событий: приемка партии, браковка партии, продолжение контроля.

Обозначим через W_f (p) - вероятность события продолжения контроля на второй ступени, тогда:

Wa₁(p) + Wr₁(p) + W_f (p) =1 (2.1)

В соответствии с определением двухступенчатого плана контроля указанные выше вероятности находятся следующим образом:

a) (2.2)

b) (2.3)

c) (2.4)

d) (2.5)

Где P - вероятность, p - уровень дефектности.

Поскольку после двукратного контроля в любом случае будет принято решение о приемке или браковки партии, то данные вероятности являются несовместными и образуют полную группу.

Wa₁(p) + Wr₁(p) + Wa₂(p) + Wr₂(p) =1 (2.6)

Вероятность Wr₂(p) легко вычислить, если известны другие вероятности группы. Чтобы определить вероятность Wa₂(p), рассмотрим ту реализацию переменной z₁ , которая ведёт к необходимости отбора второй выборки, то есть диапазон:

Ac₁+1 ? (z₁ = j) ? Rc₁-1. (2.7)

Для того чтобы в дальнейшем партия была принята, нужно, чтобы во второй выборке n₂ число дефектных изделий было не больше z₂ ? Ac₂ - j.

Где j = z₁ -число дефектных изделий в первой выборке.

Вероятность появления сложного события:

P (z₁ =j и z₂ ? Ac₂-j ) (2.8)

равна произведению вероятностей этих событий.

Тогда вероятность W_a²(p) равна сумме таких произведений по всем возможным значениям j (Ac₁;Rc₁).

(2.9)

Очевидно, что вероятность взятия второй выборки определяется по зависимости:

(2.10)

Функция полной вероятности приемки партии на первой или на второй ступени в зависимости от уровня дефектности p представляет собой оперативную характеристику рассматриваемого плана:

L(p) = Wa₁(p) + Wa₂(p) (2.11)

Практическая часть

Согласно принятым исходным данным (см. таблица 2.1) определим последовательно все вероятности рассмотренных выше событий. Эти вероятности будут изменяться в зависимости от уровня дефектности p.

Все расчеты проводятся в Excel. Диапазон изменения уровня дефектности выбирается таким образом, чтобы полученный график оперативной характеристики наглядно отображал изменение вероятности приемки от максимальных до минимальных значений (этот диапазон и количество значений в нем корректируются при необходимости после проведения предварительных расчетов).

3) Для определения Wa₁(p) воспользуемся функцией Excel БИНОМРАСП:

Рисунок 2.1

В этой функции:

Число успехов - максимально допустимое число обнаруженных дефектных изделий на первой ступени контроля Ac1.

Число испытаний - объем выборки n₁.

Вероятность успеха - значение уровня дефектности (среднее значение доли брака в партиях) p

Интегральная = 1 - т.к. вычисляется вероятность попадания числа дефектных изделий в интервал от 0 до Ac1 : z₁ (0; Ac₁].

4) Для определения Wr₁(p) также воспользуемся функцией Excel БИНОМРАСП:

Wr₁(p) = 1 - P(z₁ ? Rc₁ - 1) ,

Где P(z₁ ? Rc₁ - 1) определяется по функции БИНОМРАСП (рис. 2.1) при следующих параметрах:

Число успехов - число обнаруженных дефектных изделий на первой ступени контроля Rc₁ - 1.

Число испытаний - объем выборки n₁.

Вероятность успеха - значение уровня дефектности (среднее значение доли брака в партиях) p

Интегральная = 1 - т.к. вычисляется вероятность попадания числа дефектных изделий в интервал от 0 до Ac1 : z₁ (0; Ac₁].

5) Вероятность W_f (p) определяем по формуле (2.1)

Таблица 2.2 Результаты расчета

p	Расчет Wa1	Расчет Wr1	Расчет Wf
0,001	0,976754	0,000004	0,023242
0,003	0,941514	0,000049	0,058437
0,005	0,896047	0,000232	0,103721
0,007	0,843973	0,000723	0,155305
0,009	0,788100	0,001748	0,210152
0,011	0,730580	0,003573	0,265847
0,013	0,673034	0,006482	0,320484
0,015	0,616659	0,010755	0,372586
0,017	0,562313	0,016649	0,421038
0,019	0,510588	0,024386	0,465026
0,021	0,461868	0,034139	0,503992
0,023	0,416372	0,046033	0,537596
0,025	0,374195	0,060133	0,565672
0,027	0,335341	0,076453	0,588206
0,029	0,299741	0,094957	0,605302
0,031	0,267279	0,115558	0,617163
0,033	0,237803	0,138133	0,624063
0,035	0,211141	0,162523	0,626336
0,037	0,187105	0,188541	0,624353
0,039	0,165506	0,215983	0,618512
0,041	0,146149	0,244628	0,609223
0,043	0,128849	0,274249	0,596902
0,045	0,113423	0,304619	0,581958
0,047	0,099699	0,335511	0,564790
0,049	0,087515	0,366706	0,545779
0,051	0,076718	0,397997	0,525285
0,053	0,067169	0,429189	0,503643
0,055	0,058737	0,460100	0,481163
0,057	0,051303	0,490569	0,458128
0,059	0,044761	0,520448	0,434791
0,061	0,039010	0,549610	0,411380
0,063	0,033963	0,577944	0,388093
0,065	0,029539	0,605357	0,365104
0,067	0,025666	0,631773	0,342561
0,069	0,022280	0,657132	0,320588
0,071	0,019322	0,681388	0,299290
0,073	0,016743	0,704510	0,278748
0,075	0,014494	0,726479	0,259027
0,077	0,012537	0,747288	0,240175
0,079	0,976754	0,000004	0,023242

6) Вероятность события Wa₂(p) определяем по формуле (2.9). Для этого определяем вероятности ее составляющих.

4.1) Вероятность P (z₁ =j ) где j принадлежит открытому интервалу j (Ac₁;Rc₁). Данную вероятность определяем также по функции БИНОМРАСП, где:

Число успехов = j - число обнаруженных дефектных изделий на первой ступени контроля.

Число испытаний = n₁ - объем выборки n₁.

Вероятность успеха = p - значение уровня дефектности (среднее значение доли брака в партиях).

Интегральная = 0 - т.к. вычисляется вероятность что случайная величина примет определенное значение: z₁ = j.

Для проверки правильности расчетов используем равенство:

4.2) Вероятность P (z₂ ? Ac₂-j ) определяется по функции БИНОМРАСП где

Число успехов = Ac₂-j - число обнаруженных дефектных изделий z₂ на первой ступени контроля.

Число испытаний = n₂ - объем выборки n₂. Вероятность успеха = p - значение уровня дефектности (среднее значение доли брака в партиях).

Интегральная = 1 - т.к. вычисляется вероятность попадания числа дефектных изделий в интервал от 0 до Ac1 : z₂ (0; Ac₂-j].

7) Полную вероятность приемки партии продукции определяем по формуле (2.11)

Таблица 2.3. Результаты расчета.

p	Wa1(p)	Wr1(p)	Wf(p)	Wa2(p)	L(p) дв.ст.
0,001	0,9768	0,0000	0,0232	0,0232	0,9999
0,003	0,9415	0,0000	0,0584	0,0577	0,9992
0,005	0,8960	0,0002	0,1037	0,1005	0,9965
0,007	0,8440	0,0007	0,1553	0,1462	0,9902
0,009	0,7881	0,0017	0,2102	0,1906	0,9787
0,011	0,7306	0,0036	0,2658	0,2302	0,9608
0,013	0,6730	0,0065	0,3205	0,2628	0,9358
0,015	0,6167	0,0108	0,3726	0,2871	0,9037
0,017	0,5623	0,0166	0,4210	0,3028	0,8651
0,019	0,5106	0,0244	0,4650	0,3101	0,8207
0,021	0,4619	0,0341	0,5040	0,3099	0,7717
0,023	0,4164	0,0460	0,5376	0,3032	0,7196
0,025	0,3742	0,0601	0,5657	0,2913	0,6655
0,027	0,3353	0,0765	0,5882	0,2753	0,6107
0,029	0,2997	0,0950	0,6053	0,2565	0,5563
0,031	0,2673	0,1156	0,6172	0,2360	0,5033
0,033	0,2378	0,1381	0,6241	0,2146	0,4524
0,035	0,2111	0,1625	0,6263	0,1931	0,4043
0,037	0,1871	0,1885	0,6244	0,1722	0,3593
0,039	0,1655	0,2160	0,6185	0,1521	0,3176
0,041	0,1461	0,2446	0,6092	0,1333	0,2795
0,043	0,1288	0,2742	0,5969	0,1160	0,2448
0,045	0,1134	0,3046	0,5820	0,1002	0,2136
0,047	0,0997	0,3355	0,5648	0,0860	0,1857
0,049	0,0875	0,3667	0,5458	0,0734	0,1609
0,051	0,0767	0,3980	0,5253	0,0623	0,1390
0,053	0,0672	0,4292	0,5036	0,0525	0,1197
0,055	0,0587	0,4601	0,4812	0,0441	0,1029
0,057	0,0513	0,4906	0,4581	0,0369	0,0882
0,059	0,0448	0,5204	0,4348	0,0307	0,0754
0,061	0,0390	0,5496	0,4114	0,0254	0,0644
0,063	0,0340	0,5779	0,3881	0,0210	0,0549
0,065	0,0295	0,6054	0,3651	0,0172	0,0468
0,067	0,0257	0,6318	0,3426	0,0141	0,0398
0,069	0,0223	0,6571	0,3206	0,0115	0,0338
0,071	0,0193	0,6814	0,2993	0,0094	0,0287
0,073	0,0167	0,7045	0,2787	0,0076	0,0243
0,075	0,0145	0,7265	0,2590	0,0061	0,0206
0,077	0,0125	0,7473	0,2402	0,0049	0,0175
0,079	0,9768	0,0000	0,0232	0,0232	0,9999

8) Строим оперативную характеристику.

Результат построения представлен на рисунках 2.2 и 2.3, где на рисунке 2.3 также представлена оперативная характеристика рассмотренного ранее одноступенчатого плана контроля.

Рисунок 2.2. Расчет вероятностей различных событий при двухступенчатом контроле.

Рисунок 2.3. Оперативная характеристика двухступенчатого и одноступенчатого планов контроля.

Из рисунка видно, что оперативные характеристики не совпадают. У двухступенчатого плана она более пологая, чем у одноступенчатого. Соответственно мощность критерия в одноступенчатом контроле выше.

Для того чтобы оперативные характеристики совпадали, будем увеличивать объем выборки n₁ первой ступени у плана двухступенчатого контроля.

На рисунке 2.4 представлен график сравнения оперативных характеристик, где окончательный план двухступенчатого контроля с измененным объемом выборки выглядит так:

Таблица 2.4

n1	n2	Ac	Ac1	Rc1	Ac2	Rc2
78	70	4	1	5	4	4

Рисунок 2.4. Сравнение оперативных характеристик двухступенчатого и эквивалентного одноступенчатого контроля.

Как видно из рисунка, оперативные характеристики полностью совпадают, на основании чего можно считать оба плана контроля эквивалентными.

Сравним эти планы по затратам на контроль.

Определим изменение среднего объема выборки при двухступенчатом контроле в зависимости от уровня дефектности:

Результаты расчета представлены на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 - График среднего объема выборки ASN (p) для плана двухступенчатого контроля.

Из рисунка 2.5 видно, что максимальный объем выборки ASNL не превышает значения 123, ASNL = 123.

Сравнивая одноступенчатый и двух ступенчатый планы контроля находим меру эффективности.

Мерой эффективности служит отношение максимума ASNL числа проконтролированных изделий двухступенчатого плана к объему выборки n одноступенчатого плана контроля:



Вывод: При сравнении объемов выборок одноступенчатого и двухступенчатого планов контроля можно увидеть, применение эквивалентного плана двухступенчатого контроля приведет к сокращению среднего объема выборки контролируемых партий на 12,7% . Вследствие этого в данном случае эффективнее будет использовать двухступенчатый план контроля.

Сравним также эквивалентные планы по среднему выходному уровню дефектности AOQ(p) и среднему числу проконтролированных изделий ATI(p). Для двухступенчатого контроля потребителя, не имеющего возможности замены дефектных изделий на годные (комбинация (S₂;К), см. стр. 11-12) определяемые параметры находят по зависимостям:

Где параметр A(p) находится по зависимости:

Результаты расчетов в сравнении с полученными результатами для эквивалентного одноступенчатого контроля представлены на рисунках.

Из рисунка 2.6 видно, что применение двухступенчатого плана контроля приводит к увеличению максимального значения AOQL, что снижает качество проконтролированных партий.

план контроль дефектность биномиальный



Рисунок 2.6. Сравнение среднего выходного уровня девфектности для одноступенчатого и эквивалентного двухступенчатого контроля.

Часть 3. Построение оперативной характеристики плана последовательного контроля

Описание последовательного метода контроля

Последовательный контроль можно рассматривать как предельный случай многоступенчатого контроля. При этом объём выборки не фиксируется - отдельные единицы продукции извлекают из партии случайным образом и проверяют. После каждой проверки принимают одно из трех решений: принять партию, продолжить проверку, забраковать партию.

Метод основан на применении критерия отношения вероятностей.

Применение плана последовательного контроля соответствует проверке конкурирующих гипотез с p₀=AQL и p₁=RQL:

Н₀ : p p₀ : = AQL,

Н₁ : p p₁ : = RQL.

Из партии берутся изделия одно за другим и на каждой ступени контроля n (n=1,…,N) проверяют, лежит ли общее z дефектных изделий, обнаруженных после контроля n изделий, вне интервала I_n = (a+cn, b+cn).

Здесь границы интервала Ac и Rc представляют собой приемочные Ac и браковочные Rc границы

Ac = a+c•n, Rc= b+c•n

Коэффициенты a, b, c определяют по формулам:

где соответственно

;

б - ошибка первого рода (браковка хорошей партии с уровнем дефектности p ? AQL).

в - ошибка второго рода (приемка плохой партии с уровнем дефектности p ? RQL).

Контроль проводят для партии объемом N с неизвестным уровнем дефектности p при заданных вероятностях ошибок первого и второго рода: б и в. Объем партии N должен быть большим настолько, чтобы при последовательном взятии выборок без возвращения долю брака в остатке (уровень дефектности) партии можно было бы считать неизменной.

Рисунок 3.1 - Диаграмма хода контроля последовательного плана

Оперативная характеристика и средний объём выборки (ASN)

Вычисление оперативной характеристики довольно сложно, поэтому здесь приведем лишь ключевые моменты в ее определении.

Необходимо учитывать, что оперативная характеристика любого плана контроля проходит через две заранее определенных точки (AQL; 1-б) и (RQL; в).

Для вычисления оперативной характеристики используют вспомогательную функцию:

Вероятность L (p) приёмки партии с долей брака p(0;1) при реализации последовательного контроля определяется по формуле:



где h - действительное число в интервале от -? до ?.

с - коэффициент при определении контрольных границ.

При построении оперативной характеристики нужно действовать следующим образом:

- вначале задать h(-; ) и определить стоящее справа выражение,

- затем с помощью указанных выше уравнений определить для заданного h долю брака p, а по полученному значению p - вероятность приемки L (p).

Для сравнения экономичности различных планов контроля по качественному признаку интерес представляет математическое ожидание числа проконтролированных изделий ASN. Эту случайную величину назовём средним объёмом выборки или ASN плана последовательного контроля. ASN является функцией доли брака ASN (p) и зависит от параметров a, b и c приемочной и браковочной границ.

Эта зависимость описывается выражением:

Для сравнения эффективности плана последовательного контроля с эквивалентным одноступенчатым или многоступенчатым планом можно использовать максимум этой функции ASNL и отношение

w = ASNL / n

w = ASNL / ASNL₂

где n - объем выборки эквивалентного плана одноступенчатого ASNL₂плана контроля

ASNL₂ - максимальный объем выборки эквивалентного плана двухступенчатого контроля.

Решение

В качестве исходных данных берутся ошибки б и в, заданные по вариантом и используемые ранее в предыдущих расчетах, а также определенные по оперативным характеристикам в первой и второй части приемочный и браковочный уровни дефектности:

Таблица 3.1 - Исходные данные

AQL	RQL	б	в
0,009	0,053	0,01	0,1

Таблица 3.2 - Граничные значения и коэффициенты контрольных границ

A	B	a	b	c
0,1010	90,00	-1,261	2,474	0,025

Таблица 3.3 - Расчётные данные (получены из файла Excel)

	Уровень дефектности	Вер. Приемки	Сред. Объём выборки
h	p	L(p)	ASN (p)
-1,9	0,0854	0,0128	40,18
-1,8	0,0816	0,0161	42,65
-1,7	0,0778	0,0203	45,38
-1,6	0,0741	0,0255	48,40
-1,5	0,0705	0,0321	51,77
-1,4	0,0668	0,0403	55,51
-1,3	0,0633	0,0506	59,66
-1,2	0,0598	0,0636	64,26
-1,1	0,0564	0,0798	69,36
-1	0,0530	0,1000	74,97
-0,8	0,0465	0,1561	87,68
-0,7	0,0435	0,1940	94,66
-0,6	0,0405	0,2398	101,86
-0,5	0,0376	0,2942	108,99
-0,4	0,0348	0,3572	115,66
-0,3	0,0322	0,4282	121,40
-0,2	0,0297	0,5050	125,67
-0,1	0,0273	0,5844	128,00
0,0	0,02497	0,6625	128,1095
0,1	0,0228	0,7350	126,00
0,2	0,0208	0,7987	121,97
0,4	0,0171	0,8937	110,23
0,6	0,0140	0,9489	97,21
0,8	0,0113	0,9769	85,70
1	0,0090	0,9900	76,58
1,1	0,0080	0,9935	72,90
1,2	0,0071	0,9958	69,73
1,3	0,0063	0,9973	67,01
1,4	0,0056	0,9982	64,68
1,5	0,0049	0,9989	62,69
1,6	0,0043	0,9993	60,98
1,7	0,0038	0,9995	59,51
1,8	0,0034	0,9997	58,26
1,9	0,0029	0,9998	57,18
2	0,0026	0,9999	56,25
3	0,0006	1,0000	51,78
		макс. ASNL (p)	128,11

По результатам расчета строим оперативную характеристику и график среднего объема выборки.

По результатам расчета максимальный объем выборки составляет ASNL= 128 (см график на рис.3.2).

Можно показать, что в сравнении с эквивалентным одноступенчатым планом мера эффективности составляет:

,

а) б)

Рисунок 3.2 - а) График оперативной характеристики; б) - График среднего объёма выборки

Т.е. последовательный контроль эффективнее на 9% по максимальному объему выборки.

При сравнении с плана последовательного контроля по сравнению с эквивалентным двухступенчатым контролем эффективность составляет

В этом случае последовательный контроль не эффективнее по максимальному объему выборки.

Вывод план последовательного контроля имеет минимальный средний объём выборки при сравнении с другими видами организации приемочного контроля.

Размещено на Allbest.ru