Анализ динамики ротора транспортной турбины

Ограничения на перемещения ротора при перегрузках можно записать в следующем виде:

XS+XPXСТ=r0/Kr,

ZS+ZPZСТ=z0/Kz,

где XСТ, ZСТ - допускаемые суммарные статические перемещения, Kr, Kz - нормативные коэффициенты запаса, r0, z0 - номинальные радиальный и осевой зазоры в турбинах.

Из соображений повышения КПД турбины радиальный зазор должен быть как можно меньшим, в то время как требования надежности (отсутствие задевания лопаток за корпус при максимальных нагрузках) не позволяют сделать его слишком малым. Осевой зазор z0 слабее влияет на КПД турбины и может быть большим Дr0. Необходимые зазоры можно выбрать по следующим формулам:

r0=k1Dmax;

z0=k2b,

где Dmax=515 мм - максимальный диаметр рабочего колеса. Примем k1=0,002, k2=0,25, Kz=Kr=1,5 (определяются, в основном, точностью изготовления и сборки деталей турбины и степенью достоверности величины nmax), b=28 мм - хорда лопатки.

Следовательно,

r0 = 0,515?0,002 =1,0310-3, м;

z0 = 0,028 ?0, 25 = 710-3, м;

XСТ=0,68710-3, м;

ZСТ=4,66710-3, м.

Ротор будем считать «жестким», если выполнено условие:

XS 20XP.

Условия (3.1) и (3.2) ограничивают на плоскости (1, 2) область допустимых значений податливости опор. Поэтому, подставляя полученные значения XP, ZP и XS, ZS в условия (3.1) и (3.2), получим аналитические выражения границ области допустимых податливостей:

2= -11,7611 +3,23510-6

2= 3,0401 +2,74010-8

2= -11,7611 +7,22410-7

Область допустимых значений податливостей опор изображена на рисунке 8.

Рисунок 8. Область допустимых значений податливости опор

3.2 Ограничение, накладываемое на первую критическую частоту вращения

Выбираемые в дальнейшем податливости опор, помимо ограничений линией АВ (Рисунок 8), должны обеспечить выполнение ограничения на критическую частоту ротора, выражаемого следующим неравенством

Здесь рад/с. - расчетная рабочая частота ротора, определяемая условиями прочности турбины. Упрощенно ее можно выбрать такой, чтобы на среднем радиусе лопаток окружная скорость составляла 400 м/с.

При определении зависимости первой критической частоты от податливости опор будем варьировать податливостью первой опоры, податливость второй опоры будет определять по условию (3.1).

Для получения представим ротор абсолютно жёстким.

Колебания ротора возбуждаются за счёт эксцентриситета е центра тяжести (Рисунок 9) по отношению к геометрической оси ротора z1 и за счёт наклона главной оси инерции к геометрической оси на угол . Моменты инерции относительно главных центральных осей и будем считать одинаковыми и равными Iэр. Ротор вращается с постоянной угловой скоростью .

Рисунок 9. Схема к выводу уравнений движения жесткого ротора

Вывод уравнений движения ротора приведен в работе [1, стр. 15]. Итоговые уравнения движения имеют вид:

w1a1 - 1b1 + w2a2 - 2b2 = Mрe2;

1a1 + w1b1 + 2a2 + w2b2 = 0;

w3a1 - 3b1 + w4a2 - 4b2 = -(Ieр - Izр)2;

3a1 + w3b1 + 4a2 + w4b2 = 0.

Здесь

w1=c1-Mр2; 1=1;

w2=c2-Мр2; 2=2; aj=ajcosj;

w3=c1l1-2; 3=1(l2+l);

w4=-c2l2+2; 4=2l2; bj=ajsinj.

Для того, чтобы определить зависимость , необходимо в полученной системе уравнений убрать возбуждение и пренебречь демпфированием. При этом она распадается на две однородные одинаковые системы, равенство нулю определителя которых

и является условием для нахождения .

Зависимость первой критической частоты от податливости первой опоры представлена на рисунке 10.

Рисунок 10. Зависимость кр1 от податливости первой опоры

Используя полученную зависимость , определим 1=8,89810-8, Н/м. Это значение накладывает дополнительное ограничение на область ABCD (Рисунок 8). В результате получаем новую область допустимых значений податливостей, представленную на рисунке 11.

Рисунок 11. Уточненная область допустимых значений податливости опор

4. Выбор податливостей опор

При выборе податливости опор в качестве критерия оптимальности примем минимум максимального значения опорной реакции подшипника при номинальной рабочей частоте вращения ротора:

Ri, max=min (i=1, 2).

Каждая из опор может быть схематично представлена в виде параллельно соединенных упругого элемента жесткостью сj и демпфера с коэффициентом трения j (Рисунок 4). Будем считать, что значения j и сj в двух взаимно перпендикулярных радиальных направлениях одинаковы. Усилие, передаваемое через такую опору со стороны ротора на основание, состоит из двух составляющих - упругой (сjхj) и вязкой (jх'j). Здесь хj - радиальное смещение вала, в котором расположен центр опоры (Рисунок 9). При

упругая и вязкая составляющие силы Rj изменяются синхронно, но сдвинуты относительно друг друга по фазе на /2, так что

.

При умеренном демпфировании вязкое трение практически не влияет на собственные частоты и критические частоты вращения ротора, а вязкая составляющая силы Rj мала по сравнению с упругой

,

так что приближенно можно считать

.

Из анализа динамики жесткого ротора следует, что амплитуды колебаний его опор Аj при частоте вращения можно определить из системы уравнений:

w1a1 + w2a2 = Mрe2;

w3a1 + w4a2 = - (Ieр - Izр) 2.

Модули статической е и динамической неуравновешенностей ротора приведены в задании на курсовое проектирование. Однако их знаки могут совпадать, либо быть противоположными. Поэтому расчет зависимостей сил R1, R2 от податливости первой опоры следует проводить для случаев е>0 и e<0, что дает четыре кривые, показанные на рисунке 12.

Рисунок 12. Силы в опорах в зависимости от податливости первой опоры

Поскольку минимум максимального значения опорной реакции подшипника при номинальной рабочей частоте вращения ротора не достигается (Рисунок 12), значение податливости первой опоры выберем на границе интервала 1 [8,89810-8; 2,16710-7], удовлетворяющему предложенному критерию оптимальности. Примем значение податливости первой опоры 1=2,16710-7, Н/м.

Значение податливости второй опоры определяется из условия (3.2).

Следовательно, принимаем при последующих расчетах значения:

1=2,16710-7, Н/м 2=6,86410-7, м/Н

с1=4,615106, Н/м с2=1,457106, Н/м.

5. Расчет собственных частот и форм модели «жесткого» ротора

При 1=2,16710-7, м/Н вычислим первую критическую частоту: kp1=339,605, рад/с. Форма колебаний на этой частоте определяется из системы уравнений (3.4), если положить = kp1:

Выражение для формы колебаний на первой критической частоте имеет вид (Рисунок 13):

Собственные частоты невращающегося ротора определим из частотного уравнения без учета влияния гироскопического момента (Iz=0): p1 =339,47, рад/с, и p2 =435,992, рад/с. Выражения для собственных форм колебаний на частотах р1 и р2 имеет вид (Рисунок 13):

U1(z) = 0,308z+0,989;

U2(z) = -11,1z +1,40.

При этом

,

Проведем проверку ортогональности полученных собственных форм, поскольку она является проверкой правильности решения задачи:

где zp=122,11, мм - координата центра тяжести ротора (рисунок 2);

;=2,411;

; =-2,412.

жесткий ротор диск вращение

Полученное значение погрешности не превышает допустимых 5%.

Форма вынужденных колебаний на номинальной рабочей частоте

=1553, рад/с:

Выражение для формы колебаний на номинальной рабочей частоте вращения (Рисунок 13):

Urab(z) = -11,6z +1,42.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 13. Формы колебаний

Разложим форму колебаний на номинальной рабочей частоте по собственным формам (выражение можно получить линейной комбинацией собственных форм):

Urab(z)=,

где k1, k2 - коэффициенты разложения. Определим эти коэффициенты.

Подставим в соотношение (5.3) выражения (5.2) и (5.1):

-11,6z +1,42=k1(0,308z+0,989)+k2(-11,1z +1,40).

Получаем систему из двух уравнений:

-11,6= 0,308k1 -11,1k2

1,42= 0,989k1+1,40k2

k1=0, 05; k2=1, 05.

Итак, Urab(z)=0,05U1(z)+1,05U2(z). Из разложения формы колебаний ротора, вращающегося на рабочей частоте, по собственным формам видно, что вторая собственная форма вносит бульший вклад в форму колебаний на рабочей частоте, что подтверждается большей близостью второй собственной формы к форме на рабочей частоте. Это объясняется тем, что форма колебаний на рабочей частоте ортогональна первой собственной форме, и, следовательно, первая форма не будет возбуждаться.

6. Выбор уровня демпфирования в опорах

Введение дополнительного демпфирования в опоры позволяет снизить динамические силы, передаваемые со стороны ротора на основание при проходе через критическую частоту вращения. При этом увеличение демпфирования приводит к некоторому повышению виброактивности ротора в закритической области. Следовательно, демпфирование должно выбираться максимально возможным при условии, что оно не повысит существенно виброактивности ротора на рабочих оборотах. Это практически выполняется, если

,

где j - демпфирование в опорах; cj - жёсткость опор.

с1=4,615106, Н/м, с2=1,457106, Н/м.

1max = 990,486 Нс/м, 2max = 312,702 Нс/м.

Предполагается, что специальным демпфером оснащается лишь одна из опор, рассеянием же энергии в другой опоре будем пренебрегать. Вопрос о том, какая из опор должна быть упруго-демпферной, а какая может быть чисто упругой, решается после построения функций Rj(, 1, 2) в диапазоне частот

0,8кр1 .

Реакции определяются из выражения

,

где Аj - амплитуда колебаний, определяемая из системы:

,

где ,

,

,

.

Реакции определяем для двух вариантов демпфирования: 1 = 0, 2 = 2max и 1 = 1max, 2 = 0.

Таблица 7